MATHVN.COM - www.mathvn.com 1 Đề số 1 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 2 3 2 y x x = - + - (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C). Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình: x x x x x 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16 + + + = + + + - . 2) Giải phương trình: x x x x 3 2 2 cos2 sin2 cos 4sin 0 4 4 p p æ ö æ ö + + - + = ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I x x x x dx 2 4 4 6 6 0 (sin cos )(sin cos ) p = + + ò . Câu IV (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Câu V (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: abcd a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 + + + £ + + + + + + + + + + + + II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 2x – y – 5 = 0 và đường tròn (C’): 2 2 20 50 0 x y x + - + = . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1). 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK. Câu VII.a (1 điểm) Chứng minh rằng nếu n a bi (c di ) + = + thì 2 2 2 2 n a b c d ( ) + = + . B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2; – 3), B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y –8 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C. 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD. Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình: x y x x y x xy y y x y 2 2 4 4 4 2 4 4 4 log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 ) log ( 1) log (4 2 2 4) log 1 ì + - + = + ï æ ö í + - + - + = - ç ÷ ï è ø î MATHVN.COM - www.mathvn.com 2 Đề số 2 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (2đ): Cho hàm số y x mx x 3 2 3 9 7 = - + - có đồ thị (C m ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0 = . 2. Tìm m để (C m ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Câu II. (2đ): 1. Giải phương trình: x x x x 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 - = - 2. Giải bất phương trình: x x x 1 2 2 1 0 2 1 - - + ³ - Câu III. (1đ) Tính giới hạn sau: x x x A x 2 3 1 7 5 lim 1 ® + - - = - Câu IV (1đ): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA ^ (ABCD); AB = SA = 1; AD 2 = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB. Câu V (1đ): Biết x y ( ; ) là nghiệm của bất phương trình: x y x y 2 2 5 5 5 15 8 0 + - - + £ . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F x y 3 = + . II. PHẦN TỰ CHỌN (3đ) A. Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2đ) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y 2 2 1 25 16 + = . A, B là các điểm trên (E) sao cho: 1 AF BF 2 8 + = , với F F 1 2 ; là các tiêu điểm. Tính AF BF 2 1 + . 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) a : x y z 2 5 0 - - - = và điểm A (2;3; 1) - . Tìm toạ độ điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng ( ) a . Câu VIIa. (1đ): Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 log x 2 3 log 4 x log x 6 2 + - = - + + B. Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2đ) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A (2; 1) - và tiếp xúc với các trục toạ độ. 2. Trong không gian SỞ GD – ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH ĐỀTHI THỬ THPTQUỐCGIA NĂM 2015 - LẦN Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm cực đại (C) Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình ( ) cos x 2sin x + − 2cos x − = 1 + sin x b) Cho số phức z thỏa mãn: ( + i ) ( − i ) z = + i + ( + 2i ) z Tính môđun z Câu (0,5 điểm) Giải phương trình: log x + log ( x ) = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: x + x − 171x − 40 ( x + 1) x − + 20 = 0, x ∈ ¡ e Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ∫ 1 + x3 lnxdx x Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, AB = BC = a, · BAD = 900 , cạnh SA = a SA vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông C Gọi H hình chiếu A lên SB Tính thể tích tứ diện SBCD khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm cạnh AC cho AB = AM Đường tròn tâm I ( 1; −1) đường kính CM cắt BM 4 D Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng BC qua N ;0 ÷, phương 3 trình đường thẳng CD : x − y − = điểm C có hoành độ lớn Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) đường thẳng d: x − y z− = = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vuông góc với d Tìm d hai 1 điểm A, B cho tam giác ABM Câu (0,5 điểm) Lập số tự nhiên có chữ số khác từ chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Tính xác suất để lập số tự nhiên chia hết cho Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c không âm, chứng minh rằng: a3 a3 + ( b + c ) + b3 b3 + ( c + a ) + c3 c3 + ( a + b ) ≥1 Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Ghi chú: Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP ĐÀ NẴNG TRƯỜNG THPT THÁI PHIÊN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁNĐỀ CƯƠNG ÔNTHI TỐT NGHIỆP Năm học: 2013 - 2014 THPT THÁI PHIÊN – TỔ TOÁN 2 ĐỀ CƯƠNG ÔNTHI TỐT NGHIỆP A. NỘI DUNG ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP THPT I/ Đại số và giải tích : 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit 3. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 4. Số phức II/ Hình học : 1. Khối đa diện và thể tích khối đa diện 2. Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón 3. Phương pháp tọa độ trong không gian B. CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một của nó. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình hoặc chứng minh bất đẳng thức. - Tìm điểm cực trị của hàm số; tính giá trị cực tiểu, giá trị cực đại của hàm số; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng; ứng dụng vào việc giải phương trình, bất phương trình. - Vận dụng phép tịnh tiến tọa độ để biết được một số tính chất của đồ thị - Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (đối với chương trình Nâng cao) của đồ thị hàm số - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức, hàm nhất biến THPT THÁI PHIÊN – TỔ TOÁN 3 ĐỀ CƯƠNG ÔNTHI TỐT NGHIỆP - Dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình - Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị, có hệ số góc cho trước, đi qua một điểm không thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung( đối với chương trình Nâng cao) 2. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit - Dùng các tính chất của lũy thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa lũy thừa - Dùng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa logarit đơn giản - Áp dụng tính chất của logarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa logarit - Áp dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số logarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và logarit - Vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit - Tính đạo hàm các hàm số xyey x ln, == . Tính đạo hàm các hàm số lũy thừa, mũ, logarit và hàm số hợp của chúng. - Giải một số phương trình, bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp : đưa lũy thừa về cùng cơ số, phương pháp logarit hóa, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng tính chất hàm số (đối với chương trình Nâng cao) - Giải một số phương trình, bất phương trình logarit đơn giản bằng các phương pháp : đưa logarit về cùng cơ số, phương pháp mũ hóa, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng tính chất hàm số (đối với chương trình Nâng cao) - Giải một số hệ phương trình mũ, lôgarit đơn giản (đối với chương trình Nâng cao) 3. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng THPT THÁI PHIÊN – TỔ TOÁN 4 ĐỀ CƯƠNG ÔNTHI TỐT NGHIỆP - Tính nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần - Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm - Tính tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tích phân từng phần - Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân - Tính diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành, trục tung (đối với chương trình Nâng cao) bằng tích phân. 4. Số phức - Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức ở dạng đại số. Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực - Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác và ngược lại; cách nhân, chia các số phức dưới dạng lượng giác (đối với chương trình Nâng cao) - Tìm căn bậc hai của số phức. Giải phương trình bậc hai đối với hệ số phức. II/ Hình học : 1. Khối đa diện và thể tích khối đa diện - Tính thể tích khối lăng trụ, khối chop, khối chop cụt. 2. Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón - Tính diện tích mặt cầu, KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀTHI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo d ục trung học phổ thông Đề số 01 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y 3 2 6 9 4 x x x = − + − + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số đã cho. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C tại giao điểm của ( ) C với trục hoành. 3) Tìm m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt: 3 2 6 9 4 0 x x x m − + − + = Câu II (3,0 điểm): 1) Giải phương trình: 2 1 2 3.2 2 0 x x+ − − = 2) Tính tích phân: 1 0 (1 ) x I x e dx = + ∫ 3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2 ( 1) x y e x x = − − trên đoạn [0;2]. Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0 . Tính thể tích của hình chóp. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây 1. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (2; 0; 1), (1; 2;3), (0;1;2) A B C − − . 1) Chứng minh 3 điểm A,B,C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng ( ) ABC . 2) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O lên mặt phẳng ( ) ABC . Câu Va (1,0 điểm): Tìm số phức liên hợp của số phức z biết rằng: 2 6 2 z z i + = + . 2. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho (2; 0; 1), (1; 2;3), (0;1;2) A B C − − 1) Chứng minh 3 điểm A,B,C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng ( ) ABC . 2) Viết phương trình mặt cầu tâm B, tiếp xúc với đường thẳng AC. Câu Vb (1,0 điểm): Tính môđun của số phức z = 2011 ( 3 ) i − . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: http://ebooktoan.com 1 x y 2 3 4 4 2 O 1 BÀI GIẢI CHI TIẾT. Câu I : 2 2 2 2 3 (1 ) (4 ) (1 2 )(4 ) 4 8 2 4 y x x x x x x x x x x = − − = − + − = − − + + − 3 2 6 9 4 x x x = − + − + 3 2 6 9 4 y x x x = − + − + Tập xác định: D = ℝ Đạo hàm: 2 3 12 9 y x x ′ = − + − Cho 2 1 0 3 12 9 0 3 x y x x x = ′ = ⇔ − + − = ⇔ = Giới hạn: ; lim lim x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = −∞ Bảng biến thiên x –∞ 1 3 +∞ y ′ – 0 + 0 – y +∞ 4 0 –∞ Hàm số ĐB trên khoảng (1;3), NB trên các khoảng ( –∞;1), (3;+∞) Hàm số đạt cực đại CÑ 4 y = tại CÑ 3 x = ; đạt cực tiểu CT 0 y = tại CT 1 x = 6 12 0 2 2 y x x y ′′ = − + = ⇔ = ⇒ = . Điểm uốn là I(2;2) Giao điểm với trục hoành: 3 2 1 0 6 9 4 0 4 x y x x x x = = ⇔ − + − + = ⇔ = Giao điểm với trục tung: 0 4 x y = ⇒ = Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4 y 4 0 2 4 0 Đồ thị hàm số: nhận điểm I làm trục đối xứng như hình vẽ bên đây 3 2 ( ) : 6 9 4 C y x x x = − + − + . Viết pttt tại giao điểm của ( ) C với trục hoành. Giao điểm của ( ) C với trục hoành: (1;0), (4;0) A B pttt với ( ) C tại (1;0) A : vaø pttt taïi 0 0 0 1 0 : 0 0( 1) 0 ( ) (1) 0 x y A y x y f x f = = ⇒ − = − ⇔ = ′ ′ = = pttt với ( ) C tại (4;0) B : vaø pttt taïi 0 0 0 4 0 : 0 9( 4) 9 36 ( ) (4) 9 x y B y x y x f x f = = ⇒ − = − − ⇔ = − + ′ ′ = = − Vậy, hai tiếp tuyến cần tìm là: 0 y = và 9 36 y x = − + Ta có, 3 2 3 2 6 9 4 0 6 9 4 (*) x x x m x x x m − + − + = ⇔ − + − + = (*) là phương trình hoành độ giao điểm của 3 2 ( ) : 6 9 4 C y x x x = − + − + và : d y m = nên số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của ( ) C và d. Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 4 m < < Vậy, với 0 < m < 4 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. http://ebooktoan.com 2 60 2 a O C B A D S Câu II 2 1 2 2 3.2 2 0 2.2 3.2 2 0 x x x x + − − = ⇔ − − = (*) Đặt 2 x t = (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành (nhan) (loai) 2 1 2 2 2 3 2 0 t t Đề cương ônthiTHPTquốcgia năm học 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1. Chủ đề 1: Bài toán về tiếp tuyến 1.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm 0 0 M( , ) ( ) : ( )x y C y f x∈ = * Tính ' ' ( )y f x= ; tính ' 0 ( )k f x= (hệ số góc của tiếp tuyến) * Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= tại điểm ( ) 0 0 ;M x y có phương trình ( ) ' 0 0 0 ( )y y f x x x− = − với 0 0 ( )y f x= Ví dụ 1: Cho hàm số 3 3 5y x x= − + (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7). b) Tại điểm có hoành độ x = 2. c) Tại điểm có tung độ y =5. Giải: a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0 0 ( ; )M x y có dạng: 0 0 0 '( )( )y y f x x x− = − Ta có 2 ' 3 3y x= − '( 1) 0y⇒ − = . Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: 7 0y − = hay y = 7. b) Từ 2 7x y= ⇒ = . y’(2) = 9. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là: 7 9( 2) 7 9 18 9 11y x y x y x− = − ⇔ − = − ⇔ = − c) Ta có: 3 3 0 5 3 5 5 3 0 3 3 x y x x x x x x = = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = − = +) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5). Ta có y’(0) = -3. Do đó phương trình tiếp tuyến là: 5 3( 0)y x− = − − hay y = -3x +5. +) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm ( 3;5)− . 2 '( 3) 3( 3) 3 6y − = − − = Do đó phương trình tiếp tuyến là: 5 6( 3)y x− = + hay 6 6 3 5y x= + + . +) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3;5)− là: 6 6 3 5y x= − + . Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số 3 2 2 2 4y x x x= − + − . a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x 0 thỏa mãn y”(x 0 ) = 0. Giải: Ta có 2 ' 3 4 2y x x= − + . Gọi ( ) 0 0 ;M x y là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình: 0 0 0 0 0 0 '( )( ) '( )( ) (1)y y y x x x y y x x x y− = − ⇔ = − + 1 Đề cương ônthiTHPTquốcgia năm học 2014-2015 a) Khi ( )M C Ox= I thì y 0 = 0 và x 0 là nghiệm phương trình: 3 2 2 2 4 0 2x x x x− + − = ⇔ = ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 6( 2)y x= − b) Khi ( )M C Oy= I thì x 0 = 0 0 (0) 4y y⇒ = = − và 0 '( ) '(0) 2y x y= = , thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 2 4y x= − . c) Khi x 0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4. y” = 0 0 0 2 2 88 6 4 0 3 3 27 x x x y y ⇔ − = ⇔ = = ⇒ = = − ÷ ; 0 2 2 '( ) ' 3 3 y x y = = ÷ Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: 2 100 3 27 y x= − Ví dụ 3: Cho hàm số 3 3 1y x x= − + (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2. b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N. Giải a) Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) có hoành độ 0 0 2 3x y= ⇒ = Ta có 2 0 '( ) 3 3 '( ) '(2) 9y x x y x y= − ⇒ = = Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là 0 0 0 '( )( ) 9( 2) 3 9 15y y x x x y y x y x= − + ⇒ = − + ⇒ = − Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là 9 15y x= − b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N Xét phương trình ( ) ( ) 3 3 2 2 3 1 9 15 12 16 0 2 2 8 0 4 x x x x x x x x x x = − + = − ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇔ = − Vậy ( ) 4; 51N − − là điểm cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số 3 3 1 ( )y x x C= − + và điểm 0 0 ( , )A x y ∈ (C), tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A. tìm hoành độ điểm B theo 0 x Lời giải : Vì điểm 0 0 ( , )A x y ∈ (C) 3 0 0 0 3 1y x x⇒ = − + , ' 2 ' 2 0 0 3 3 ( ) 3 3y x y x x= − ⇒ = − Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng: ' 2 3 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 ( )( ) (3 3)( ) 3 1 (3 3)( ) 2 1 ( ) y y x x x y y x x x x x y x x x x d = − + ⇔ = − − + − + ⇔ = − − − + Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 2 Đề cương ônthiTHPTquốcgia năm học 2014-2015 3 2 3 3 2 3 2 0 0 0 0 0 TÀI LIỆU ÔN TẬP MÔN TOÁN KÌ THIQUỐCGIATHPT NĂM 2015 Chuyên đề 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN (Thời lượng: 25%) 1. Một số kiến thức bổ trợ (2%) a) Tính đạo hàm Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' ' ' 1 ' ' ' 2 . ' '. ' 3 '. . ' ' ( ) 0 4 u v u v u v u v u v u v u u v u v v v x v v + = + − = − = − = = ≠ ÷ Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau: 3 2 3 2 4 4 2 2 ) 3 4 ) 3 4 2 3 ) 2 3 ) 2 2 2 2 ) ) 1 2 1 a y x x b y x x x x c y x x d y x x x e y g y x x = + − = − + − + = − − = − − + − + − = = + + Giải ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 ) ' 3 6 ) ' 3 6 4 ) ' 4 4 ) ' 2 2 3 5 ) ' ) ' 1 2 1 a y x x b y x x c y x x d y x x e y g y x x = + = − + − = − = − − − = = + + b. Xét dấu y' 1) Hàm số ( ) 3 2 0y ax bx cx d a= + + + ≠ - Khi đó y' có dạng: y' = f(x) = Ax 2 + Bx + C ( ) 0A ≠ , 2 4B AC∆ = − + Nếu 0∆ < thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số A, x∀ ∈¡ 1 + Nếu 0∆ = thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số A, 2A B x − ≠ + Nếu 0∆ > thì: f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi 1 2 x x x x < > f(x) luôn trái dấu với hệ số a khi 1 2 x x x< < Trong đó ( ) 1 2 1 2 ,x x x x< là hai nghiệm của y' Ví dụ: Xét dấu các biểu thức sau: ( ) ( ) 2 2 ) 3 6 ) 3 6 4a f x x x b f x x x= + = − + − Giải a) Ta có: ( ) ( ) 2 2 3x 6x 0 3 2 0 0 x f x x x x = − = + = ⇔ + = ⇔ = Bảng xét dấu: x −∞ -2 0 +∞ f(x) + 0 - 0 + b) Ta có: 12 0∆ = − < nên ( ) 2 3 6 4 0,f x x x x= − + − < ∀ ∈¡ 2) Hàm số ( ) 4 2 0y ax bx c a= + + ≠ - Khi đó y' có dạng: ( ) ( ) ( ) 3 ' 0 *y f x Ax Bx A= = + ≠ . Trong khoảng đầu tiên dấu của (*) trái dấu với dấu của hệ số A, sau đó dùng tính đan dấu để xét. Ví dụ: Xét dấu các biểu thức sau: ( ) ( ) 3 3 ) 4x 4 ) 2 2 a f x x b f x x x = − = − − Giải: a) Ta có: ( ) ( ) 3 2 1 4 - 4 0 4 1 0 -1 0 x f x x x x x x x = = = ⇔ − = ⇔ = = Bảng xét dấu: x −∞ -1 0 1 +∞ f(x) - 0 + 0 - 0 + 2 b) Ta có: ( ) ( ) 3 2 2 2 0 2x 1 0 0f x x x x x= − − = ⇔ − + = ⇔ = Bảng xét dấu: x −∞ 0 +∞ f(x) + 0 - 3. Hàm số ( ) 0, 0 ax b y c ad bc cx d + = ≠ − ≠ + - Khí đó: ( ) 2 ' ad bc y cx d − = + + Nếu 0ad bc− > thì ' 0y > + Nếu 0ad bc− < thì ' 0y < Ví dụ: Xét dấu y' của các hàm số sau: 2 2 ) ) 1 2 1 x x a y b y x x − + − = = + + Giải a) Ta có: ( ) 2 3 ' 1 y x − = + nên ' 0, 1y x< ∀ ≠ − b) Ta có : ( ) 2 5 ' 2 1 y x = + nên 1 ' 0, 2 y x> ∀ ≠ − c) BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 3 2 3 2 3 4 2 4 2 4 2 2 4 ) 2 3x ) 4x 4x ) x 9x ) 2 5 ) 8x 1 ) 2x 2 1 3 ) x ) 2 x 3 2 2 3 1 2x ) ) 1 2x 4 2 ) 2x 1 a y x b y x c y x d y x e y x g y x h y x i y x x j y k y x x l y = + − = + + = + + = − + = − + − = − + = + − = − − + + − = = − − − + = + Bài 2: Xét dấu các biểu thức sau 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 3 ) 3 3 ) 3 8x 4 ) 3 2x 9 ) 6 ) 4 16x ) 4 4x ) 2 2x ) 4 4x a f x x b f x x c f x x d f x x e f x x g f x x h f x x i f x x = − = + + = + + = − = − + = − = + = − − Bài 3: Xét dấu y' của các hàm số sau: 3 ) 1 1 2x ) 2x 4 2 ) 2x 1 x a y x b y x c y + = − − = − − + = + 2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề Chủ đề 1: Khảo sát hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d và các bài toán liên quan (7%) A) Kiến thức cần nhớ: • Sơ đồ khảo sát hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d • Dạng đồ thị của hàm số bậc 3 0a > 0a < Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Phương trình y’ = 0 có nghiệm kép Phương trình 4 y’ = 0 vô nghiệm * CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thịGiả sử (C 1 ) là đồ thị của hàm số y = f(x) và (C 2 ) là đồ thị hàm số y = g(x). Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) 2) Viết