Chương 1 nhập môn mật mã học

Chương – Nhập môn mật mã học Chương 1: Nhập môn mật mã học 1.1 Sơ đồ khối đơn giản hệ thống thông tin số Đầu vào rõ Biến đổi A/D (tương tự – số) Nguồn tin tương tự Bản rõ Mã nguồn Bản mã Mã kênh Mã bảo mật Kênh truyền Từ mã truyền (tạp âm, đa đường, giao thoa, nhiễu, nghe trộm …) Nhận tin Biến đổi D/A (số tương tự Giải mã nguồn Đầu số Giải mã kênh Giải mã mật Bản rõ Bản mã Hình 1.1: Sơ đồ khối hệ thống thông tin số Trường hợp nguồn tin đầu vào nguồn tin số khơng cần biến đổi A/D đầu vào biến đổi D/A đầu Trong hệ thống khối mã bảo mật có chức bảo vệ cho thơng tin khơng bị khai thác bất hợp pháp, chống lại công sau: - Thám mã thụ động: bao gồm hoạt động: + Thu chặn + Dị tìm + So sánh tương quan + Suy diễn - Thám mã tích cực: bao gồm hoạt động: + Giả mạo + Ngụy trang + Sử dụng lại + Sửa đổi 1.2 Sơ lược mật mã học Chương – Nhập môn mật mã học Khoa học mật mã (cryptology) bao gồm: - Mật mã học (cryptography) - Phân tích mật mã (cryptanalysis) Mật mã học khoa học nghiên cứu cách ghi bí mật thơng tin nhằm biến tin rõ thành mã Phân tích mã khoa học nghiên cứu cách phá hệ mật nhằm phục hồi rõ ban đầu từ mã Việc tìm hiểu thơng tin khóa phương pháp biến đổi thông tin nhiệm vụ quan trọng phân tích mật mã Có ba phương pháp công thám mã: - Tìm khóa vét cạn - Phân tích thống kê - Phân tích tốn học Việc cơng thám mã thực với giả định: - Tấn công với mã - Tấn công với rõ biết - Tấn công với rõ chọn - Tấn công với mã chọn Chú ý: - Một hệ mật bị phá với mã thường hệ mật có độ an tồn thấp - Một hệ mật an tồn với kiểu cơng có rõ chọn thường hệ mật có độ an tồn cao Có loại hệ mật mã sau: - Hệ mật mã dòng - Hệ mật mã khối đối xứng - Hệ mật mã có hồi tiếp mật mã - Hệ mật mã khóa cơng khai (Bất đối xứng) Ta nghiên cứu loại hệ mật chương sau Khi xây dựng hệ mật người ta thường xem xét tới tiêu chuẩn sau: - Độ mật cần thiết - Kích thước khơng gian khóa - Tính đơn giản tốc dộ mã hóa giải mã - Tính lan truyền sai - Tính mở rộng tin Chương – Nhập môn mật mã học 1.3 Thuật toán độ phức tạp 1.3.1 Khái niệm thuật tốn 1.3.1.1 Định nghĩa Có thể định nghĩa thuật toán theo nhiều cách khác ta khơng có ý định trình bày chặt chẽ thuật toán mà hiểu khái niệm thuật tốn theo cách thơng thường Thuật tốn quy tắc để với liệu ban đầu cho, tìm lời giải tốn xét sau khoảng thời gian hữu hạn Để minh họa cách ghi thuật tốn tìm hiểu yêu cầu đề cho thuật toán, ta xét ví dụ cụ thể sau đây: Cho n số X [ 1] ,X [ 2] , ,X [ n] ta cần tìm m j cho: m = X [ j] = max X [ k] 1≤ k≤ n Và j lớn Điều có nghĩa cần tìm cực đại số cho số lớn số cực đại Với mục tiêu tìm số cực đại với số lớn nhất, ta xuất phát từ giá trị X [ n] Bước thứ nhất, có số ta tạm thời xem m = X [ n] j = n Tiếp theo ta so sánh X [ n] với X [ n − 1] Nếu X [ n] không nhỏ X [ n − 1] ta giữ nguyên, trường hợp ngược lại, X [ n − 1] số cực đại hai số xét ta phải thay đổi m j Đặt m = X [ n − 1] , j = 1, ,n − Với cách làm trên, bước ta nhận số cực đại số số xét Bước so sánh với số đứng trước kết thúc thuật tốn trường hợp khơng cịn số đứng trước 1.3.1.2 Thuật tốn tìm cực đại M1: [Bước xuất phát] đặt j ¬ n, k ¬ n − 1,m ¬ X [ n] M2: [Đã kiểm tra xong?] Nếu k = 0, thuật toán kết thúc M3: [So sánh] Nếu X [ k] ≤ m, chuyển sang M5 M4: [Thay đổi m] Đặt j ¬ k, m¬ X [ k] (Tạm thời m cực đại) M5: [Giảm k] Đặt k ¬ k − quay M2 Dấu " ¬ " dùng để phép tốn quan trọng phép thay chỗ (replacement) Trên ta ghi thuật tốn ngơn ngữ thơng thường Trong trường hợp thuật tốn viết ngơn ngữ máy tính, ta có chương trình Chương – Nhập mơn mật mã học Trong thuật tốn có số liệu ban đầu cho trước thuật toán bắt đầu làm việc gọi đầu vào (input) Trong thuật toán đầu vào số X [ 1] ,X [ 2] , ,X [ n] Một thuật tốn có nhiều đầu (output) Trong thuật toán đầu m j Có thể thấy thuật tốn vừa mô tả thỏa mãn yêu cầu thuật tốn nói chung, là: - Tính hữu hạn: Thuật toán cần phải kết thúc sau số hữu hạn bước Khi thuật toán ngừng làm việc ta phải thu câu trả lời cho vấn đề đặt Thuật toán m rõ ràng thỏa mãn điều kiện này, bước ta ln từ việc xem xét số sang số đứng trước số số hữu hạn - Tính xác định: bước thuật toán cần phải xác định, nghĩa rõ việc cần làm Nếu người đọc thuật toán chưa thỏa mãn điều kiện lỗi người viết Ngồi yếu tố kể trên, ta cịn phải xét đến tính hiệu thuật tốn Có nhiều thuật tốn mặt lý thuyết hữu hạn bước, nhiên thời gian”hữu hạn ” vượt khả làm việc Những thuật tốn khơng xét đến đây, quan tâm thuật tốn sử dụng thực máy tính Cũng mục tiêu trên, ta cịn phải ý đến độ phức tạp thuật toán Độ phức tạp thuật tốn đo không gian tức dung lượng nhớ máy tính cần thiết để thực thuật tốn thời gian, tức thời gian máy tính làm việc nói đến độ phức tạp thuật tốn ta ln hiểu độ phức tạp thời gian 1.3.2 Độ phức tạp thuật toán Thời gian làm việc máy tính chạy thuật tốn khơng phụ thuộc vào thuật tốn mà cịn phụ thuộc vào máy tính sử dụng Vì thế, để có tiêu chuẩn chung, ta đo độ phức tạp thuật toán số phép tính phải làm thực thuật toán Khi tiến hành thuật toán, số phép tính phải thực cịn phụ thuộc vào cỡ toán, tức độ lớn đầu vào Vì độ phức tạp thuật tốn hàm số độ lớn đầu vào Trong ứng dụng thực tiễn, khơng cần biết xác hàm mà cần biết “cỡ” chúng, tức cần có ước lượng đủ tốt chúng Trong làm việc, máy tính thường ghi chữ số bóng đèn “sáng, tắt”, bóng đèn sáng số 1, bóng đèn tắt số Vì để thuận tiện dùng hệ đếm số 2, để biểu diễn số, ta cần dùng hai ký hiệu Một Chương – Nhập môn mật mã học ký hiệu gọi 1bít “viết tắt binary digit” Một số nguyên n biểu diễn k chữ số gọi số k- bít Độ phức tạp thuật tốn đo số phép tính bít Phép tính bít phép tính logic hay số học thực số bít Để ước lượng độ phức tạp thuật toán ta dùng khái niệm bậc O lớn Định nghĩa 1.1: Giả sử f [ n] g[ n] hai hàm xác định tập hợp số nguyên dương Ta nói f [ n] có bậc O-lớn g[ n] viết f [ n] = O( g[ n] ) , tồn số C > cho với n đủ lớn Các hàm f [ n] g[ n] dương f [ n] < Cg[ n] Ví dụ : Giả sử f [ n] đa thức: f [ n] = adnd + ad−1nd−1 + + a1n + a0 ad > ( ) d Dễ chứng minh f [ n] = O n Nếu f [ n] = O( g[ n] ) , f2 [ n] = O( g[ n] ) f1 + Nếu f1 = O( g1) , f2 = O( g2 ) f1 2= 2=O ( g) O( g1g2 ) Nếu tồn giới hạn hữu hạn: lim n→∞ f [ n] g[ n] f = O( g) ( ) ε Với số ε > 0, logn = O n Định nghĩa 1.2: Một thuật toán gọi có độ phức tạp đa thức có thời gian đa thức, số phép tính cần thiết để thực thuật tốn khơng vượt q ( ) O logd n , n độ lớn đầu vào d số nguyên dương Nói cách khác đầu vào số k bít thời gian thực thuật toán ( ) O kd , tức tương đương với đa thức k ( ) α Các thuật toán với thời gian O n , α > gọi thuật toán với độ phức tạp mũ thời gian mũ Chương – Nhập môn mật mã học Chú ý thuật tốn có độ phức tạp O( g) nói có độ phức tạp O( h) với hàm h > g Tuy nhiên ta ln ln cố gắng tìm ước lượng tốt để tránh hiểu sai độ phức tạp thực thuật tốn Cũng có thuật tốn có độ phức tạp trung gian đa thức mũ Ta thường gọi thuật tốn mũ Chẳng hạn thuật toán nhanh biết để phân tích số nguyên n thừa số thuật tốn có độ phức tạp: exp = ( lognloglogn ) Khi giải tốn khơng ta cố gắng tìm thuật tốn đó, mà cịn muốn tìm thuật tốn “tốt nhất” Đánh giá độ phức tạp cách để phân tích, so sánh tìm thuật tốn tối ưu Tuy nhiên độ phức tạp tiêu chuẩn để đánh giá thuật tốn Có thuật tốn lý thuyết có độ phức tạp cao thuật toán khác, sử dụng lại có kết (gần đúng) nhanh nhiều Điều cịn tùy thuộc tốn cụ thể, mục tiêu cụ thể kinh nghiệm người sử dụng Chúng ta cần lưu ý thêm số điểm sau Mặc dù định nghĩa thuật toán mà đưa chưa phải chặt chẽ, “cứng nhắc” ứng dụng thực tế Bởi cịn cần đến thuật tốn “xác suất”, tức thuật toán phụ thuộc vào hay nhiều tham số ngẫu nhiên Những “thuật toán” ngun tắc khơng gọi thuật tốn chúng với xác suất bé, khơng kết thúc Tuy nhiên thực nghiệm rằng, thuật toán xác suất thường hữu hiệu thuật tốn khơng xác suất Thậm chí nhiều trường hợp, có thuật tốn sử dụng Khi làm việc với thuật toán xác suất, ta thường hay phải sử dụng số “ngẫu nhiên” Khái niệm chọn số ngẫu nhiên cần xác hóa Thường người ta sử dụng “máy” sản xuất số giả ngẫu nhiên Tuy nhiên nói đến việc chọn số ngẫu nhiên ta hiểu thực máy Cần ý rằng, thuật tốn xác suất, khơng thể nói đến thời gian tuyệt đối, mà nói đến thời gian hy vọng (expected) Để hình dung phần “độ phức tạp” thuật toán làm việc với số lớn, ta xem bảng cho khoảng thời gian cần thiết để phân tích số nguyên n thừa số nguyên tố thuật toán nhanh biết Số chữ số thập phân Số phép tính bít Thời gian 50 1,4.1010 3,9 75 9.1012 104 ngày 100 2,3.1015 74 năm Chương – Nhập môn mật mã học 200 1,2.1023 3,8.109 năm 300 1,5.1029 4,9.1015 năm 500 1,3.1039 4,2.1025 năm Từ bảng trên, ta thấy với thuật toán mũ, thời gian làm việc với số nguyên lớn q lâu Vì nói chung người ta ln cố gắng tìm thuật tốn đa thức 1.4 Lý thuyết thông tin hệ mật Năm 1949, Claude Shannon cơng bố báo có nhan đề " Lý thuyết thông tin hệ mật" tạp chí " The Bell System Technical Journal" Bài báo có ảnh hưởng lớn đến việc nghiên cứu khoa học mật mã Trong chương ta thảo luận vài ý tưởng lý thuyết Shannon 1.4.1 Độ mật hồn thiện Có hai quan điểm độ an toàn hệ mật Độ an tồn tính tốn Độ đo liên quan đến nỗ lực tính tốn cần thiết để phá hệ mật Một hệ mật an toàn mặt tính tốn thuật tốn tốt để phá cần N phép tốn, N số lớn Vấn đề chỗ, khơng có hệ mật thực tế biết chứng tỏ an toàn theo định nghĩa Trên thực tế, người ta gọi hệ mật "an tồn mặt tính tốn" có phương pháp tốt phá hệ yêu cầu thời gian lớn đến mức không chấp nhận (Điều tất nhiên khác với việc chứng minh độ an toàn) Một quan điểm chứng minh độ an tồn tính tốn quy độ an tồn hệ mật toán nghiên cứu kỹ toán coi khó Ví dụ, ta chứng minh khẳng định có dạng " Một hệ mật cho an tồn khơng thể phân tích thừa số số nguyên n cho trước" Các hệ mật loại đơi gọi " An tồn chứng minh được" Tuy nhiên cần phải hiểu rằng, quan điểm cung cấp chứng minh độ an toàn có liên quan để tốn khác khơng phải chứng minh hoàn chỉnh độ an tồn (Tình hình tương tự việc chứng minh tốn NP đầy đủ: Có thể chứng tỏ tốn cho chí khó tốn NP đầy đủ khác, song khơng phải chứng minh hồn chỉnh độ khó tính tốn tốn) Chương – Nhập mơn mật mã học Độ an tồn khơng điều kiện Độ đo liên quan đến độ an toàn hệ mật khơng có hạn chế đặt khối lượng tính tốn mà Oscar phép thực Một hệ mật gọi an tồn khơng điều kiện khơng thể bị phá chí với khả tính tốn khơng hạn chế Khi thảo luận độ an toàn hệ mật, ta phải kiểu công xem xét Trong chương ta thấy rằng, không hệ mật hệ mã dịch vòng, mã thay mã Vigenère coi an tồn mặt tính tốn với phương pháp cơng với mã (Với khối lượng mã thích hợp) Điều mà ta làm phần để phát triển lý thuyết hệ mật có độ an tồn khơng điều kiện với phương pháp cơng với mã Có thể thấy rằng, ba hệ mật nêu hệ mật an tồn vơ điều kiện phần tử rõ mã hoá khoá cho trước Rõ ràng độ an tồn khơng điều kiện hệ mật nghiên cứu theo quan điểm độ phức tạp tính tốn thời gian tính tốn cho phép khơng hạn chế lý thuyết xác suất tảng thích hợp để nghiên cứu độ an tồn khơng điều kiện Tuy nhiên ta cần số kiến thức sơ đẳng xác suất; định nghĩa nêu Định nghĩa 1.3 Giả sử X Y biến ngẫu nhiên Kí hiệu xác suất để X nhận giá trị x p(x) để Y nhận giá trị y p( y) Xác suất đồng thời p( x, y) xác suất để X nhận giá trị x Y nhận giá trị y Xác suất có điều kiện p( x y) xác suất để X nhận giá trị x với điều kiện Y nhận giá trị y Các biến ngẫu nhiên X Y gọi độc lập p( x, y) = p( x) p( y) với giá trị x X y Y Quan hệ xác suất đồng thời xác suất có điều kiện biểu thị theo công thức: p( x,y) = p( x y) p( y) Đổi chỗ x y ta có : p( x,y) = p( y x) p( x) Từ hai biểu thức ta rút kết sau:(được gọi định lý Bayes) Định lý 1.1: (Định lý Bayes) Chương – Nhập mơn mật mã học Nếu p( y) > thì: p( x y) = p( x) p( y x) p( y) Hệ 1.1 X Y biến độc lập khi: p( x y) = p( x) với x,y Trong phần ta giả sử rằng, khoá cụ thể dùng cho mã Giả sử có phân bố xác suất khơng gian rõ P Kí hiệu xác suất tiên nghiệm để rõ xuất pP (x) Cũng giả sử rằng, khóa K chọn (bởi Alice Bob) theo phân bố xác suất xác định (Thơng thường khố chọn ngẫu nhiên, tất khoá đồng khả năng, nhiên khơng phải điều bắt buộc) Kí hiệu xác suất để khóa K chọn pK(K) Cần nhớ khóa chọn trước Alice biết rõ Bởi giả định khố K rõ x kiện độc lập Hai phân bố xác suất P K tạo phân bố xác suất C Thật vậy, dễ dàng tính xác suất pP(y) với y mã gửi Với khoá K ∈ K, ta xác định: C ( K ) = { eK ( x) : x ∈P } C(K) biểu thị tập mã K khóa Khi với y ∈ C, ta có : pC ( y) = ∑ { K:y∈C( K ) } pK ( K ) pP ( dK ( y) ) Nhận thấy rằng, với y ∈ C x ∈ P, tính xác suất có điều kiện pC ( y x) (Tức xác suất để y mã với điều kiện rõ x): pC ( y x) = ∑ { K:x= dK ( y) } pK ( K ) Bây ta tính xác suất có điều kiện pP ( x y) (tức xác suất để x rõ với điều kiện y mã) cách dùng định lý Bayes Ta thu công thức sau: pP ( x) = pP ( y x) = ∑ { K:y∈c( K ) } ∑ { K:x= dK ( y) } pK ( K ) pK ( K ) pP ( dK ( y) ) Các phép tính thực biết phân bố xác suất Chương – Nhập môn mật mã học Sau trình bày ví dụ đơn giản để minh hoạ việc tính tốn phân bố xác suất Ví dụ 1.1 Giả sử P = { a,b} với pP ( a) = 4, pP ( b) = Cho K = { K 1,K 2,K 3} với pK ( K 1) = 2, pK ( K ) = pK ( K 3) = Giả sử C = { 1,2,3,4} hàm mã xác định eK1(a) = 1, eK2(b) = 2, eK2(a) = 2, eK2(b) = 3, eK3(a) = 3, eK3(a) = Hệ mật biểu thị ma trận mã hoá sau: a b K1 K2 K3 Tính phân bố xác suất pC ta có: pC (1) = 1/8 pC (2) = 3/8 + 1/16 = 7/16 pC (3) = 3/16 + 1/16 = 1/4 pC (4) = 3/16 Bây ta phân bố xác suất có điều kiện rõ với điều kiện biết mã Ta có : pP(a | 1) = pP(b | 1) = pP(a | 3) = 1/4 pP(b | 3) = 3/4 pP(a | 2) = 1/7 pP(a | 4) = pP(b | 2) = 6/7 pP(b | 4) =1 Bây ta có đủ điều kiện để xác định khái niệm độ mật hồn thiện Một cách khơng hình thức, độ mật hồn thiện có nghĩa Oscar với mã tay khơng thể thu thơng tin rõ ý tưởng làm xác cách phát biểu theo thuật ngữ phân bố xác suất định nghĩa sau: Định nghĩa 1.4 Một hệ mật có độ mật hoàn thiện pP ( x y) = pP ( x) với x ∈ P , y ∈ C Tức xác suất hậu nghiệm để rõ x với điều kiện thu mã y đồng với xác suất tiên nghiệm để rõ x Trong ví dụ có mã thoả mãn tính chất độ mật hồn thiện, mã khác khơng có tính chất 10 Chương – Nhập môn mật mã học Sau chứng tỏ rằng, MDV (xem chương 2) có độ mật hoàn thiện Về mặt trực giác, điều dường hiển nhiên Với mã dịch vòng, biết phần tử mã y ∈ Z26, phần tử rõ x ∈ Z26 mã giải y tuỳ thuộc vào giá trị khố Định lý sau cho khẳng định hình thức hoá chứng minh theo phân bố xác suất Định lý 1.2 Giả sử 26 khoá MDV có xác suất bằng1/26.Khi MDV có độ mật hồn thiện với phân bố xác suất rõ Chứng minh: Ta có P = C = K = Z26 với ≤ K ≤ 25, quy tắc mã hoá eK eK ( x) = x + K mod26 (x ∈ 26) Trước tiên tính phân bố PC Giả sử y ∈ Z26, đó: pC ( y) = ∑ pK ( K ) pP ( dK ( y) ) ∑ 26pP ( y − K ) K ∈Z26 = K ∈Z26 = 26 ∑ K∈Z26 pP ( y − K ) Xét thấy với y cố định, giá trị y − K mod26 tạo thành hoán vị Z26 pP phân bố xác suất Bởi ta có: ∑ K ∈Z26 Do pP ( y − K ) = pC ( y) = 26 ∑ K∈Z26 pP ( y) = với y ∈ Z26 Tiếp theo ta có: pC ( y x) = pK ( y − xmod26) = 26 Với x,y với cặp x,y, khóa K (khố đảm bảo eK(x) = y) khoá K = y-x mod 26 Bây sử dụng định lý Bayes, ta dễ dàng tính: pC ( x y) = = pP ( x) pC ( y x) pC ( y) pP ( x) ( 26) ( 26) = pP ( x) 11 Chương – Nhập môn mật mã học Bởi vậy, MDV có độ mật hồn thiện Như vậy, mã dịch vịng hệ mật khơng phá miễn dùng khoá ngẫu nhiên dồng xác suet để mã hoá ký tự rõ Sau nghiên cứu độ mật hoàn thiện trường hợp chung Trước tiên thấy rằng,(sử dụng định lý Bayes) điều kiện để pP (x | y) = pP (x) với x∈P , y∈P tương đương với pC (y | x) = pC (y) với x∈P , y∈P Giả sử pC (y) > với y∈C (pC (y) = mã khơng dùng loại khỏi C ) Cố định giá trị x∈P Với y∈C ta có pC (y | x) = pC (y) > Bởi vậy, với y∈C phải có khoá K x cho eK(x) = y Điều dẫn đến | K | ≥ | C | Trong hệ mật ta phải có | C | ≥ | P | quy tắc mã hoá đơn ánh Trong trường hợp giới hạn, | K | = | C | = | P | , ta có định lý sau (Theo Shannon) Định lý 1.3 Giả sử (P,C, K, E, D) hệ mật , | K | = | C | = | P | Khi đó, hệ mật có độ mật hồn thiện khoá K dùng với xác suất 1/| K | , với x ∈ P,mỗi y ∈C có khố K cho eK(x) = y Chứng minh Giả sử hệ mật cho có độ mật hồn thiện Như thấy trên, với x ∈P y ∈C , phải có khố K cho eK(x) = y Bởi ta có bất đẳng thức: C = { eK ( x) : K ∈ K } = K Tuy nhiên, ta giả sử | C | = | K | Bởi ta phải có: { eK ( x) : K ∈ C} =K Tức không tồn hai khoá K1 K2 khác để eK1( x) = eK ( x) = y Như ta chứng tỏ rằng, với x ∈P y ∈C có khố K để eK(x)=y 12 Chương – Nhập môn mật mã học Ký hiệu n = | K | Giả sử P = { xi: ≤ i ≤ n } cố định giá trị y ∈C Ta ký hiệu khoá K1,K2, .,Kn cho eKi (xi ) = yi, ≤ i ≤ n Sử dụng định lý Bayes ta có: pP ( xi y) = = pC ( y xi ) pP ( xi ) pC ( y) pK ( K i ) ( pP ( xi ) ) pC ( y) Xét điều kiện độ mật hoàn thiện pP ( xi y) = pP ( xi ) Điều kiện kéo theo pK ( K i ) = pC ( y) với ≤ i ≤ n Tức khoá dùng với xác suất (chính pC(y)) Tuy nhiên số khố | K | nên ta có pK(K) =1/ | K | với K ∈K Ngược lại, giả sử hai điều giả định thoả mãn Khi dễ dàng thấy hệ mật có độ mật hoàn thiện với phân bố xác suất rõ ( tương tự chứng minh định lý 2.3) Các chi tiết dành cho bạn đọc xem xét Mật mã khoá sử dụng lần Vernam (One-Time-Pad:OTP) ví dụ quen thuộc hệ mật có độ mật hồn thiện Gillbert Vernam lần mô tả hệ mật vào năm 1917 Hệ OTP dùng để mã giải mã tự động tin điện báo Điều thú vị nhiều năm OTP coi hệ mật bị phá chứng minh Shannon xây dựng khái niệm độ mật hồn thiện 30 năm sau Mơ tả hệ mật dùng lần nêu hình 1.2 Hình 1.2 Hệ mật sử dụng khoá lần (OTP) Giả sử n ≥ số nguyên P = C = K = (Z2)n Với K(Z2)n , ta xác định eK(x) tổng véc tơ theo modulo K x (hay tương đương với phép loại trừ hai dãy bit tương ứng) Như vậy, x = (x1, , xn ) K = (K1, , Kn ) thì: eK(x) = (x1 + K1, , xn + Kn) mod Phép mã hoá đồng với phép giải mã Nếu y = (y1, , yn ) thì: dK(y) = (y1 + K1, , yn + Kn) mod 13 Chương – Nhập môn mật mã học Sử dụng định lý 2.4, dễ dàng thấy OTP có độ mật hồn thiện Hệ thống hấp dẫn dễ thực mã giải mã Vernam đăng ký phát minh với hy vọng có ứng dụng thương mại rộng rãi Đáng tiếc có nhược điểm quan trọng hệ mật an tồn khơng điều kiện, chẳng hạn OTP Điều kiện | K | ≥ | P | có nghĩa lượng khóa (cần thơng báo cách bí mật) lớn rõ Ví dụ , trường hợp hệ OTP, ta cần n bit khoá để mã hoá n bit rõ Vấn đề không quan trọng dùng khố để mã hoá tin khác nhau; nhiên, độ an tồn hệ mật an tồn khơng điều kiện lại phụ thuộc vào thực tế khoá dùng cho lần mã Ví dụ OTP đứng vững trước công với rõ biết ta tính K phép loại trừ xâu bít x e K(x) Bởi vậy, cần phải tạo khóa thơng báo kênh bảo mật tin trước gửi Điều tạo khó khăn cho vấn đề quản lý khoá gây hạn chế cho việc sử dụng rộng rãi OTP Tuy nhiên OTP áp dụng lĩnh vực quân ngoại giao, lĩnh vực độ an tồn khơng điều kiện có tầm quan trọng lớn Lịch sử phát triển mật mã học trình cố gắng tạo hệ mật dùng khố để tạo xâu mã tương đối dài (tức dùng khố để mã nhiều tin) chí cịn giữ độ an tồn tính tốn Chuẩn mã liệu (DES) hệ mật thuộc loại 1.4.2 ENTROPI Trong phần trước ta thảo luận khái niệm độ mật hoàn thiện đặt mối quan tâm vào trường hợp đặc biệt, khoá dùng cho lần mã Bây ta xét điều xẩy có nhiều rõ mã khoá cách mà thám mã thực có kết phép công với mã thời gian đủ lớn Công cụ nghiên cứu toán khái niệm entropi Đây khái niệm lý thuyết thông tin Shannon đưa vào năm 1948 Có thể coi entropi đại lượng đo thơng tin hay cịn gọi độ bất định Nó tính hàm phân bố xác suất Giả sử ta có biến ngẫu nhiên X nhận giá trị tập hữu hạn theo phân bố xác suất p(X) Thông tin thu nhận kiện xảy tuân theo phân bố p(X) gì? Tương tự, kiện cịn chưa xảy 14 Chương – Nhập môn mật mã học độ bất định kết bao nhiêu? Đại lượng gọi entropi X kí hiệu H(X) Các ý tưởng trừu tượng, ta xét ví dụ cụ thể Giả sử biến ngẫu nhiên X biểu thị phép tung đồng xu Phân bố xác suất là: p(mặt xấp) = p(mặt ngửa) = 1/2 Có thể nói rằng, thông tin (hay entropi) phép tung đồng xu bit ta mã hố mặt xấp mặt ngửa Tương tự entropi n phép tung đồng tiền mã hố xâu bít có độ dài n Xét ví dụ phức tạp chút Giả sử ta có biến ngẫu nhiên X có giá trị x1, x2, x3 với xác suất tương ứng 1/2, 1/4, 1/4 Cách mã hiệu biến cố mã hoá x 0, mã x2 10 mã x3 11 Khi số bít trung bình phép mã hố là: 1/2 × +1/4 × + 1/4 × = 3/2 Các ví dụ cho thấy rằng, biến cố xảy với xác suất 2− n mã hố xâu bít có độ dài n Tổng qt hơn, coi rằng, biến cố xảy với xác suất p mã hố xâu bít có độ dài xấp xỉ − log2 p Nếu cho trước phân bố xác suất tuỳ ý p 1, p2, ., pn biến ngẫu nhiên X, độ đo thơng tin trọng số trung bình lượng − log2 pi Điều dẫn tới định nghĩa hình thức hố sau Định nghĩa 1.5 Giả sử X biến ngẫu nhiên lấy giá trị tập hữu hạn theo phân bố xác suất p(X) Khi entropy phân bố xác suất định nghĩa lượng: n H ( X ) = −∑ pi log2 Pi i =1 Nếu giá trị X xi ,1 ≤ i ≤ n ta có: n H ( X ) = −∑ p( X = xi ) log2 P ( X = xi ) i =1 Nhận xét: Nhận thấy rằng, log2 pi không xác định pi =0 Bởi entropy định nghĩa tổng tương ứng tất xác suất khác Vì 15 Chương – Nhập mơn mật mã học limxlog2 x = nên thực tế khơng có trở ngại cho p i = với giá trị x→ i Tuy nhiên ta tuân theo giả định tính entropy phân bố xác suất pi , tổng lấy số i cho pi ≠ Ta thấy việc chọn số logarit tuỳ ý; số không thiết phải Một số khác làm thay đổi giá trị entropy số Chú ý rằng, pi = 1/n với ≤ i ≤ n H(X) = log2n Cũng dễ dàng thấy H(X) ≥ H(X) = p i = với giá trị i p j = với j ≠ i Xét entropy thành phần khác hệ mật Ta coi khố biến ngẫu nhiên K nhận giá trị tuân theo phân bố xác suất p K tính H(K) Tương tự ta tính entropy H(P) H(C) theo phân bố xác suất tương ứng mã rõ Ví dụ 1.1: (tiếp) Ta có: H ( P) = − 4log2 − 4log2 = − 4( −2) − − 4( log2 3− 2) = − 4log2 ≈ 0,81 tính tốn tương tự, ta có H(K) = 1,5 H(C) ≈ 1,85 1.4.3 Các tính chất Entropi Trong phần chứng minh số kết quan trọng liên quan đến entropi Trước tiên ta phát biểu bất đẳng thức Jensen Đây kết hữu ích Bất đẳng thức Jensen có liên quan đến hàm lồi có định nghĩa sau Định nghĩa 1.6 Một hàm có giá trị thực f lồi khoảng I nếu:  x + y  f (x) + f (y) f ≥   với x,y ∈I f hàm lồi thực khoảng I nếu: 16 Chương – Nhập môn mật mã học  x + y  f (x) + f (y) f >   với x,y ∈ I,x ≠ y Sau ta phát biểu mà không chứng minh bất đẳng thức Jensen Định lý 1.4.(Bất đẳng thức Jensen) Giả sử h hàm lồi thực liên tục khoảng l, n ∑ = i =1 >0,1 ≤ i ≤ n Khi đó:  n  a f (x ) ≤ f ∑ i i  ∑ xi  i =1  i =1  n xi ∈ I,1 ≤ i ≤ n Ngoài dấu "=" xảy x1= = xn Bây ta đưa số kết entropi Trong định lý sau sử dụng khẳng định: hàm log2x hàm lồi thực khoảng (0, ∞) (Điều dễ dàng thấy từ tính tốn sơ cấp đạo hàm cấp hàm logarith âm khoảng (0, ∞)) Định lý 1.5 Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất p 1, p2, , pn, pi > 0, ≤ i ≤ n Khi H(X) ≤ log2n Dấu "=" xảy pi = n, ≤ i ≤ n Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta có: n n i =1 i =1 H(X) = −∑ pi log2 pi = ∑ pi log2(1/ pi ) n ≤ log2 ∑ (pi × 1/ pi ) i =1 = log2 n 17 Chương – Nhập môn mật mã học Ngoài ra, dấu "=" xảy pi = 1/n, ≤ i ≤ n Định lý 1.6 H(X,Y) ≤ H(X) +H(Y) Đẳng thức (dấu "=") xảy X Y biến cố độc lập Chứng minh Giả sử X nhận giá trị x i,1 ≤ i ≤ m;Y nhận giá trị y j,1≤ j ≤ n Kí hiệu: pi = p(X= xi), ≤ i ≤ m qj = p(Y = yj ), 1≤ j ≤ n Kí hiệu ri j = p(X = xi ,Y = yj ), ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n (Đây phân bố xác suất hợp) Nhận thấy n pi = ∑ rij (1 ≤ i ≤ m) j =1 m qj = ∑ rij i =1 (1 ≤ j ≤ n) Ta có m n i =1 j =1 H(X) + H(Y) = −(∑ pi log2 pi + ∑ qj log2 qj ) m n n m i =1 j =1 j =1i =1 = −(∑ ∑ rij log2 pi + ∑ ∑ rij log2 qj ) m n = −∑ ∑ rij log2 pi qj i =1 j =1 m n Mặt khác H(X,Y) = −∑ ∑ rij log2 rij i =1 j =1 Kết hợp lại ta thu kết sau: m n m n i =1 j =1 i =1 j =1 H(X,Y) − H(X) − H(Y) = ∑ ∑ rij log2(1/rij ) + ∑ ∑ rij log2 pi qj m n ≤ log2 ∑ ∑ pi qj i =1 j =1 = log2 =0 18 Chương – Nhập môn mật mã học (ở áp dụng bất đẳng thức Jensen biết r ij tạo nên phân bố xác suất ) Khi đẳng thức xảy ra, thấy phải có số c cho p ij / rij = c với i,j Sử dụng đẳng thức sau: m n = ∑ ∑ rij log2(pi qj /rij ) i =1 j =1 n m n m j =1i =1 j =1i =1 ∑ ∑ rij = ∑ ∑ pi qj = Điều dẫn đến c = Bởi đẳng thức (dấu "=") xảy rjj = pjqj, nghĩa là: p(X = xj, Y = yj ) = p(X = xj )p(Y = yj ) với ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n Điều có nghĩa X Y độc lập Tiếp theo ta đưa khái niệm entropi có điều kiện Định nghĩa 1.7 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên Khi với giá trị xác định y Y, ta có phân bố xác suất có điều kiện p(X|y) Rõ ràng : H(X | y) = −∑ p(x | y)log2 p(x | y) x Ta định nghĩa entropi có điều kiện H(X|Y) trung bình có trọng số (ứng với xác suất p(y)) entropi H(X|y) giá trị y H(X|y) tính bằng: H(X | Y) = −∑ y ∑ p(y)p(x | y)log2 p(x | y) x Entropi có điều kiện đo lượng thơng tin trung bình X Y mang lại Sau hai kết trực tiếp ( Bạn đọc tự chứng minh) Định lý 1.7 H(X,Y) = H(Y) + H(X | Y) Hệ 1.2 19 Chương – Nhập môn mật mã học H(X |Y) ≤ H(X) Dấu xảy X Y độc lập 1.4.4 Các khoá giả khoảng Trong phần áp dụng kết entropi cho hệ mật Trước tiên quan hệ entropi thành phần hệ mật Entropi có điều kiện H(K|C) gọi độ bất định khoá Nó cho ta biết lượng thơng tin khố thu từ mã Định lý 1.8 Giả sử(P, C, K, E, D) hệ mật Khi đó: H(K|C) = H(K) + H(P) - H(C) Chứng minh: Trước tiên ta thấy H ( K,P,C) = H ( C K,P ) + H ( K,P ) Do y = eK(x) nên khoá rõ xác định mã Điều có nghĩa H ( C K,P) = Bởi H ( K,P,C) = H ( K,P ) Nhưng K P độc lập nên H ( K,P) = H ( K ) + H ( P ) Vì thế: H ( K,P,C) + H ( K,P ) = H ( K ) + H ( P ) Tương khố mã xác định rõ (tức x = d K(y)) nên ta có H(P | K,C) = H(K,P,C) = H(K,P) Bây ta tính sau: H ( K C ) = H ( K,C ) − H ( C ) = H ( K,P,C) − H ( C ) = H ( K ) + H ( P) − H ( C) Đây nội dung định lý Ta quay lại ví dụ 2.1 để minh hoạ kết Ví dụ 1.1 (tiếp) Ta tính H(P) ≈ 0,81, H(K) = 1,5 H(C) ≈ 1,85 Theo định lý 1.8 ta có H ( K ,C) ≈ 1,5 + 0,81− 0,85 ≈ 0,46 Có thể kiểm tra lại kết cách áp dụng định nghĩa entropi có điều kiện sau Trước tiên cần phải tính xác 20 Chương – Nhập môn mật mã học suất xuất p(Kj | j), ≤ i ≤ 3, ≤ j ≤ Để thực điều áp dụng định lý Bayes nhận kết sau: P(K1 | 1) = p(K2 | 1) = p(K3 | 1) = P(K1 | 2) = 6/7 p(K2 | 2) = 1/7 p(K3 | 2) = P(K1 | 3) = p(K2 | 3) = 3/4 p(K3 | 3) = 1/4 P(K1 | 4) = p(K2 | 4) = p(K3 | 4) = Bây ta tính: H(K | C) = 1/8 × +7/16 × 0,59 + 1/4 × 0,81 + 3/16 × = 0,46 Giá trị giá trị tính theo định lý 2.10 Giả sử (P, C, K, E, D ) hệ mật sử dụng Một xâu rõ x1x2 xn mã hoá khoá để tạo mã y 1y2 yn Nhớ lại rằng, mục đích thám mã phải xác định khoá Ta xem xét phương pháp cơng với mã coi Oscar có khả tính tốn vơ hạn Ta giả sử Oscar biết rõ văn theo ngôn ngữ tự nhiên (chẳng hạn văn tiếng Anh) Nói chung Oscar có khả rút số khố định (các khố hay khố chấp nhận được) có khố đúng, khố cịn lại (các khố khơng đúng) gọi khố giả Ví dụ, giả sử Oscar thu xâu mã WNAJW mã phương pháp mã dịch vòng Dễ dàng thấy rằng, có hai xâu rõ có ý nghĩa river arena tương ứng với khoá F(= 5) W(= 22) Trong hai khố có khố đúng, khố cịn lại khố giả (Trên thực tế, việc tìm mã MDV có độ dài giải mã có nghĩa khơng phải q khó khăn, bạn đọc tìm nhiều ví dụ khác) Mục đích ta phải tìm giới hạn cho số trung bình khố giả Trước tiên, phải xác định giá trị theo entropi (cho kí tự) ngơn ngữ tự nhiên L (kí hiệu HL) HL lượng thơng tin trung bình kí tự xâu có nghĩa rõ (Chú ý rằng, xâu ngẫu nhiên kí tự bảng chữ có entropi kí tự log 26 ≈ 4,76) Ta lấy H(P) xấp xỉ bậc cho HL Trong trường hợp L Anh ngữ, ta tính H(P) ≈ 4,19 Dĩ nhiên kí tự liên tiếp ngôn ngữ không độc lập với tương quan kí tự liên tiếp làm giảm entropi Ví dụ, Anh ngữ, chữ Q kéo theo sau chữ U Để làm xấp xỉ bậc hai, tính entropi phân bố xác suất tất đôi chia cho Một cách tổng quát, ta định nghĩa P n biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất tất n rõ Ta sử dụng tất định nghĩa sau: Định nghĩa 1.8 21 Chương – Nhập môn mật mã học Giả sử L ngôn ngữ tự nhiên Entropi L xác định lượng sau: H(Pn) HL = lim n→∞ n Độ dư L là: RL = - (HL / log2 | P | ) Nhận xét: HL đo entropi kí tự ngôn ngữ L Một ngôn ngữ ngẫu nhiên có entropi log2 |P | Bởi đại lượng RL đo phần "kí tự vượt trội" phần dư Trong trường hợp Anh ngữ, dựa bảng chứa số lớn đôi tần ( ) số, ta tính H(P2) Ước lượng theo cách này, ta tính H P ≈ 3,90 Cứ tiếp tục cách lập bảng ba v.v ta thu ước lượng cho HL Trên thực tế, nhiều thực nghiệm khác nhau, ta tới kết sau 1,0 ≤ HL ≤ 1,5 Tức lượng thông tin trung bình tiếng Anh vào khoảng bít tới 1,5 bít kí tự! Giả sử lấy 1,25 giá trị ước lượng giá trị H L Khi độ dư vào khoảng 0,75 Tức tiếng Anh có độ dư vào khoảng 75%! (Điều khơng có nghĩa loại bỏ tuỳ ý kí tự văn tiếng Anh mà có khả đọc Nó có nghĩa tìm phép mã Huffman cho n với n đủ lớn, phép mã nén văn tiếng Anh xuống 1/4 độ dài gốc) Với phân bố xác suất cho K Pn Có thể xác định phân bố xác suất Cn tập n mã (Ta làm điều trường hợp n =1) Ta xác định Pn biến ngẫu nhiên biểu diễn n rõ Tương tự Cn biến ngẫu nhiên biểu thị n mã { } Với y ∈ Cn, định nghĩa: K ( y) = K ∈ K; ∃x ∈ P n,pP n ( x) > 0,eK ( x) = y nghĩa K(y) tập khoá K cho y mã xâu rõ độ dài n có nghĩa, tức tập khố "có thể" với y mã cho Nếu y dãy quan sát mã số khố giả K ( y) − 1vì có khố khố số khố Số trung bình khố giả (trên tất xâu mã độ dài n) kí hiệu sn tính sau: 22 Chương – Nhập môn mật mã học sn = ∑ p( y) ( K ( y) ) −1 y∈Cn = ∑ p( y) K ( y) − ∑ p( y) K ( y) −1 y∈C = y∈C n ∑ p( y) y∈Cn n Từ định lý 1.8 ta có: ( ) ( ) ( ) H K Cn = H ( K ) + H Pn − H Cn Có thể dùng ước lượng sau: ( ) H Pn ≈ nHL = n( 1− R L ) log2 P với điều kiện n đủ lớn Hiển nhiên là: ( ) H Cn ≤ nlog2 C Khi P = C thì: ( ) H K Cn ≥ H ( K ) − nR L log2 P (1.1) Tiếp theo xét quan hệ lượng H(K | Cn) với số khố giả sn Ta có: ( ) H K Cn = ∑ p( y) ( K y) y∈Cn ≤ ∑ p( y) log2 K ( y) y∈Cn ≤ ∑ p( y) K ( y) y∈Cn ( ) = log2 sn + ta áp dụng bất đẳng thức Jensen (định lý 1.5) với f(x) = log 2x Bởi ta có bất đẳng thức sau: H(K Cn) ≤ log2(sn + 1) (1.2) Kết hợp hai bất đẳng thức (1.1) (1.2), ta có : log2(sn + 1) ≥ H(K) − nR L log2 P Trong trường hợp khoá chọn đồng xác suất (Khi H(K) có giá trị lớn nhất) ta có kết sau 23 Chương – Nhập môn mật mã học Định lý 1.9 Giả sử (P, C, K, E, D ) hệ mật |C | = |P| khoá chọn đồng xác suất Giả sử RL độ dư ngôn ngữ gốc Khi với xâu mã độ dài n cho trước (n số đủ lớn), số trung bình khố giả s n thoả mãn bất đẳng thức sau: { sn ≥ K Lượng K ( P nRL ) } − ( P nRL ) − tiến tới theo hàm mũ n tăng Ước lượng khơng xác với giá trị n nhỏ Đó H(P n)/ n ước lượng tốt cho HL n nhỏ Ta đưa khái niệm Định nghĩa 1.9 Khoảng hệ mật định nghĩa giá trị n mà ứng với giá trị này, số khố giả trung bình (kí hiệu giá trị n 0) Điều có nghĩa n0 độ dài trung bình cần thiết mã để thám mã tính tốn khố cách với thời gian đủ lớn Nếu đặt sn = định lý 1.11 giải theo n ta nhận ước lượng cho khoảng nhất: n0 ≈ log2 K RL log2 P Ví dụ với MTT, ta có |P| = 26 |K| =26 ! Nếu lấy RL =0,75 ta nhận ước lượng cho khoảng bằng: n0 ≈ 88,4/ (0,75 × 4,7) ≈ 25 Điều có nghĩa thơng thường mã thám có xâu mã với độ dài tối thiểu 25, nhận giải mã 1.5 tập Cho n số ngun dương Một hình vng lớn latin cấp n(L) bảng n × n số nguyên 1, …, n cho số n số nguyên xuất lần hàng cột L Ví dụ hình vng Latin cấp có dạng: 24 Chương – Nhập môn mật mã học 2 Với hình vng Latin L cấp n, ta xác định hệ mã tương ứng Giả sử P = C = Κ = {1, , n} Với ≤ i ≤ n , quy tắc mã hóa e1 xác định e1 ( j) = L( i, j) (Do hàng L cho quy tắc mã hóa) Chứng minh hệ mật hình vng Latin có độ mật hoàn thiện Hãy chứng tỏ mã Affine có độ mật hồn thiện Giả sử hệ mật đạt độ hoàn thiện với phân bố xác suất p rõ Hãy chứng tỏ độ mật hồn thiện cịn giữ phân bố xác suất rõ Hãy chứng tỏ hệ mật có độ hồn thiện K = C = P mã đồng xác suất Hãy chứng tỏ H( X, Y ) = H( Y ) + H ( X Y ) Sau chứng minh bổ đề H ( X Y ) ≤ H( X ) , đẳng thức xảy X Y độc lập Chứng minh hệ mật có độ mật hoàn thiện H ( P C ) = H( P ) Chứng minh hệ mật H ( K C ) ≥ H ( P C ) (về mặt trực giác kết nói với mã cho trước độ bất định thám mã khóa lớn độ bất định thám mã rõ) { } Xét hệ mật P = { a , b, c} , κ = K1 , K , K C = {1, 2, 3, 4} Giả sử ma trận mã hóa sau: a b c K1 K2 25 Chương – Nhập môn mật mã học K3 Giả sử khóa chọn đồng xác suất phân bố xác suất rõ pP ( a) = 1/ , pP ( b) = 1/ , pP ( c) = 1/ Hãy tính H(P), H(C), H(K), H( K C ) H ( P C ) 26 ... tính bít Thời gian 50 1, 4 .10 10 3,9 75 9 .10 12 10 4 ngày 10 0 2,3 .10 15 74 năm Chương – Nhập môn mật mã học 200 1, 2 .10 23 3,8 .10 9 năm 300 1, 5 .10 29 4,9 .10 15 năm 500 1, 3 .10 39 4,2 .10 25 năm Từ bảng trên,.. .Chương – Nhập môn mật mã học Khoa học mật mã (cryptology) bao gồm: - Mật mã học (cryptography) - Phân tích mật mã (cryptanalysis) Mật mã học khoa học nghiên cứu cách ghi bí mật thông... = (x1, , xn ) K = (K1, , Kn ) thì: eK(x) = (x1 + K1, , xn + Kn) mod Phép mã hoá đồng với phép giải mã Nếu y = (y1, , yn ) thì: dK(y) = (y1 + K1, , yn + Kn) mod 13 Chương – Nhập môn mật mã học