Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán

S GIO DC V O TO THNH PH NNG K THI CHN HC SINH GII LP NM HC 2010-2011 CHNH THC Mụn thi: TON Thi gian: 150 phỳt (khụng tớnh thi gian giao ) Bi (2,0 im) a + a a a a a + a Cho biu thc : M = + + vi a > 0, a a a a a a a a) Chng minh rng M > b) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ biu nhn giỏ tr nguyờn? N= M thc Bi (2,0 im) a) Cho cỏc hm s bc nht: y = 0,5x + , y = v y = cú th ln x mx lt l cỏc ng thng (d 1), (d2) v (m) Vi nhng giỏ tr no ca tham s m thỡ ng thng (m) ct hai ng thng (d 1) v (d 2) ln lt ti hai im A v B cho im A cú honh õm cũn im B cú honh dng? b) Trờn mt phng ta Oxy, cho M v N l hai im phõn bit, di ng ln lt trờn trc honh v trờn trc tung cho ng thng MN luụn i qua im c nh I(1 ; 2) Tỡm h thc liờn h gia honh ca M v tung ca N; t ú, suy 1 giỏ tr nh nht ca biu Q= + OM ON thc Bi (2,0 im) 17x + 2y = 2011 xy a) Gii h phng trỡnh: x 2y = 3xy b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca x, y, z cho: x + y z + z x = (y + 3) Bi (3,0 im) Cho ng trũn (C) vi tõm O v ng kớnh AB c nh Gi M l im di ng trờn ( C) cho M khụng trựng vi cỏc im A v B Ly C l im i xng ca O qua A ng thng vuụng gúc vi AB ti C ct ng thng AM ti N ng thng BN ct ng trũn (C ) ti im th hai l E Cỏc ng thng BM v CN ct ti F a) Chng minh rng cỏc im A, E, F thng hng b) Chng minh rng tớch AM AN khụng i c) Chng minh rng A l trng tõm ca tam giỏc BNF v ch NF ngn nht Bi (1,0 im) Tỡm ba ch s tn cựng ca tớch ca mi hai s nguyờn dng u tiờn -HT H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Ch ký ca giỏm th 1: Ch ký ca giỏm th 2: S GIO DC V O TO THNH PH NNG Kè THI CHN SINH HC SINH GII LP NM HC 2010-2011 Mụn thi: TON HNG DN CHM MễN TON LP Di õy l s lc biu im ca thi Hc sinh gii lp Cỏc Giỏm kho tho lun thng nht thờm chi tit li gii cng nh thang im ca biu im ó trỡnh by T chm cú th phõn chia nh thang im n 0,25 im cho tng ý ca thi Tuy nhiờn, im tng bi, tng cõu khụng c thay i Ni dung tho lun v ó thng nht chm c ghi vo biờn bn c th vic chm phỳc kho sau ny c thng nht v chớnh xỏc Hc sinh cú li gii khỏc ỳng, chớnh xỏc nhng phi nm chng trỡnh c hc thỡ bi lm ỳng n ý no giỏm kho cho im ý ú Vic lm trũn s im bi kim tra c thc hin theo quy nh ca B Giỏo dc v o to ti Quyt nh s 40/2006/BGD-T BI-í -P N a + a a a a a + a + + vi a > 0, a a a a a a a a) Ch ng minh rng M > b) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ biu nhn giỏ tr nguyờn N= M thc Cho biu thc: M = Bi IM Do a > 0, a nờn: a a a a = ( a 1)(a + a + 1) + a ( a 1) = a a +1 2,00 v a 0,25 a a a + a (a + 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a +1) a + a = = = a a a a (1 a) a (1 a) a 1.a (1,25) M = a + + 2a Do a > 0; a nờn: 0,25 ( a 1) > a +1 > a a +2= a Ta cú < N < ú N ch cú th nhn c mt giỏ tr nguyờn l = M a 1.b M N = = a a +1 = ( a 2) = a+1+2 (0,75) a a = hay a = (phự hp) + Vy, N nguyờn a = (2 3) a) Cho cỏc hm s bc nht: y = 0, 5x + , y = v y = cú th ln lt x mx M> 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bi l cỏc ng thng (d1 ), (d2 ) v (m ) Vi nhng giỏ tr no ca tham s m thỡ ng thng (m ) ct hai ng thng (d1 ) v (d2 ) ln lt ti hai im A v B cho im A cú honh õm cũn im B cú honh d ng? b) Trờn mt phng ta Oxy, cho M v N l hai im phõn bit, di ng ln lt trờn trc honh v trờn trc tung cho ng thng MN luụn i qua im c nh I(1 ; 2) Tỡm h thc liờn h gia honh ca M v tung ca N; t ú, suy giỏ 2,00 1 tr nh nht ca biu Q= + OM ON thc iu kin (m ) l th hm s bc nht l m Phng trỡnh honh giao im ca (d ) v (m ) l: 0, 5x + = mx (m 0, 5)x = 0,25 2.a iu kiờn phng trỡnh ny cú nghim õm l m 0, < hay m < 0, (0,75) 0,25 Phng trỡnh honh giao im ca (d ) v (m) l: x = mx (m +1)x = iu kiờn phng trỡnh ny cú nghim d ng l m +1 > hay m > Vy iu kin cn tỡm l: < m < 0, 5; m 0,25 t m = xM v n = yN m n v m (*) Nờn ng thng qua ba im M, I, N cú dng: y = ax+b = am + b = a + b h thc liờn h gia m v n l 2m + n = n = b mn 0,25 0,25 (**) 2.b Chia hai v cho m n ta c: + = 1m (1,25) n 2 4 = + + + = + = 2 2 m n mn m n m n m n 0,25 1 1 Q= + ; du = xy = ; kt hp (**): m = 5, n = 2,5 (tha (*)) 2 0,25 m n m n Vy giỏ tr nh nht ca Q l 0,25 Bi 17x + 2y = 2011 xy a) Gii h phng trỡnh: x 2y = 3xy (1) x + y z + z x = (y + 3) (2) b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca x, y, z cho: 17 + = 2011 = 1= x= 007 y x y 490 Nu xy > thỡ (1) (phự hp) = = = y = 490 1007 y x x 3.a (1,25) 17 = 2011 + = y x y Nu xy < thỡ (1) = = y x x 2,0 0,50 1004 xy > (loi) 1031 18 0,25 3.b (0,75) Nu xy = thỡ (1) x = y = (nhn) 0,25 KL: H cú ỳng nghim l (0; 0) v ; 490 1007 iu kin x 0; y z 0; z x y z x (2) x + y z + z x = x + y z + z x + 0,25 0,25 2 ( x 1) + ( y z 1) + ( z x 1) = 0,25 x= x = y z = y = (tha iu kin) z = z x = Bi 4.a (1,00) Cho ng trũn (C ) vi tõm O v ng kớnh F AB c nh Gi M l im di ng trờn (C ) cho M khụng trựng vi cỏc im A v B Ly C l im i x ng ca O qua A ng thng vuụng gúc vi AB ti C ct ng thng AM ti N ng thng BN ct ng trũn (C C ) ti im th hai l E Cỏc ng thng BM v CN ct ti F a) Ch ng minh rng cỏc im A, E, F thng hng b) Ch ng minh rng tớch AM AN khụng i c) Ch ng minh rng A l trng tõm ca tam giỏc BNF v ch NF ngn nht N MN BF v BC NF A l trc tõm ca tam giỏc BNF FA NB 0,25 M A B O E (C) 3,0 0,25 0,25 Li cú AE NB 0,25 Nờn A, E, F thng hng 0,25 0,25 CAN = MAB , nờn hai tam giỏc ACN v AMB ng dng 4.b AN AC = (0,75) Suy ra: AB AM Hay AM AN = AB AC = 2R khụng i (vi R l bỏn kớnh ng trũn (C )) Ta cú BA = BC nờn A l tõm tam giỏc BNF C l trung im NF (3) 0,25 0,25 0,25 CAN = CFM , nờn hai tam giỏc CNA v CBF ng dng CN AC CN CF = BC AC = 4.c = BC CF 3R (1,25) p dng bt ng thc Cụ-si, ta cú: NF = CN + CF CN CF = khụng i 2R Nờn: NF ngn nht CN =CF C l trung im NF (4) Mt khỏc: (3) v (4) cho ta: A l tõm tam giỏc BNF NF ngn nht 0,25 0,25 0,25 0,25 Tỡm ba ch s tn cựng ca tớch ca m i hai s nguyờn dng u tiờn 0,75 t: S = 10 11 12 S = 11 12 (1) l mt s nguyờn 100 hai ch s tn cựng ca S l 00 0,50 Mt khỏc, sut quỏ trỡnh nhõn liờn tip cỏc tha s v phi ca (1), nu ch ý (1,00) S n ch s tn cựng, ta thy cú ch s tn cựng l (vỡ 4=12; 6=12; 7=14; 100 Bi 8=32; 9=18; 11=88; 12=96) Vy ba ch s tn cựng ca S l 600 - Ht - 0,25 0,25 iu kin x 0; y z 0; z x y z x x +1 y z + z x + Theo BT Cauchy: x ; y z ; z x 2 VP = x + y z + z x (y + 3) = 3.b VT (0,75) x= x = Do ú y z = y = tha iu kin z = z x = PHềNG GD-T CM THY 0,25 0,25 0,25 K THI CHN HC SINH GII TON ( S 3) nm hc : 2011 - 2012 Mụn : TON ( Thi gi an lm bi: 150 phỳt: Vũng 2) Bi ( 3,0 im) Cho cỏc s dng: a; b v x = 2ab a x a+x + a+x Xột biu thc P = b2+1 + a x 3b Chng minh P xỏc nh Rỳt gn P Khi a v b thay i, hóy tỡm giỏ tr nh nht ca P Bi (3,0 im) Tỡm x; y; z tho h sau: x 3x = y y 3y = 2z z 3z = 3x Bi ( 3,0 im) n n Vi mi s nguyờn dng n 2008, t S n = a +b , vi a =3 + = ;b n+1 n+1 n n Chng minh rng vi n 1, ta cú S n + = (a + b)( a + b ) ab(a + b ) Chng minh rng vi mi n tho iu kin bi, S n l s nguyờn n n 5 + Chng minh Sn = Tỡm tt c cỏc s n S n l s chớnh phng Bi (5,0 im) Cho on thng AB v im E nm gia im A v im B cho AE < BE V ng trũn (O1) ng kớnh AE v ng trũn (O 2) ng kớnh BE V tip tuyn chung ngoi MN ca hai ng trũn trờn, vi M l tip im thuc (O 1) v N l tip im thuc (O 2) Gi F l giao im ca cỏc ng thng AM v BN Chng minh rng ng thng EF vuụng gúc vi ng thng AB => AB.AH=AE.AC (2) Cụng theo v (1) v (2) ta c 0,25 AD.AK+ AB.AH =CE.AC+ AE.AC =(C E+AE)AC=AC 0,25 L u ý : Hc sinh lm cỏch k hỏc ỳng cho i m ti a PHềNG GIO DC V O TO HUYN KIM THNH THI CHN HC SINH GII HUYN NM HC 2012 2013 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 120 phỳt gm 01 trang B i : (4 ,0 i m) x a) Rỳt gn biu thc A = x x + x + x +1 x x b) Cho x, y, z tho món: xy + yz + xz = Hóy tớnh giỏ tr b iu thc: A = x 2 2 2 (1 + )(1 + ) (1 + )(1 + ) (1 + )(1 + y ) +y z +z x y z x 2 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) B i : (3 ,0 i m) a) Cho hm s : f(x) = (x + 12x 31) 2012 Tớnh f(a) ti a = 16 + 16 + b) Tỡm s t nhiờn n cho n + 17 l s chớnh phng? B i : (4 ,0 i m) Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 1x + + x = b) x2 + 4x + = 2x + B i : (3 ,0 i m) a) Tỡm x; y tha món: (x y + y x ) = xy b) Cho a; b; c l cỏc s thuc on [1; 2] tha món: a + b + c = hóy chng 2 minh rng: a+b+c B i : (6 ,0 i m) Cho tam giỏc ABC nhn; cỏc ng cao AK; BD; CE ct ti H 2 a) Chng minh: KC = AC + CB BA 2 KB CB + BA AC b) Gi s: HK = AK Chng minh rng: tanB.tanC = 3 c) Gi s SABC = 120 cm v BC = 60 Hóy tớnh din tớch tam giỏc ADE? TRNG THCS THNG V HNG DN GII THI HSG HUYN KIM THNH T KHTN NM HC 2012 2013 Mụn: Toỏn Thi gian: 120 Cõu 1: (4 im) x a/ Rỳt gn biu thc A = x x + x + x +1 x x KX: x 4; x A= = ( ( ( x x )( x ) )( x 2) = x )( x 3) x+1 x + x +1 x x + + 2x x + = = x x x x ( )( ) ( x x x )( x ) x+1 x b/ Cho x, y, z tho món: xy + yz + xz = 2 2 2 Hóy tớnh: A = x (1 + )(1 + ) + y (1 + )(1 + ) + z (1 + )(1 + y ) y z z x x 2 (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) 2 Gi ý: xy + yz + xz = + x = xy + yz + xz + x = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) 2 Tng t: + y = ; + z = Cõu 2: (3 im) a/ Cho hm s : f(x) = (x + 12x 31) 2012 Tớnh f(a) ti a = 16 + 16 + b/ Tỡm s t nhiờn n cho n + 17 l s chớnh phng? Gii a/T a= 16 + 16 + ( a = 32 + 3 16 )( 16 + ) 16 + + 16 = 32 nờn a3 + 12a = 32 12a Vy f(a) = 2 k n = n = k + n = 17 b/ Gi s: n + 17 = k (k ) v k > n (k n)(k + n) = 17 Vy vi n = tha yờu cu bi toỏn Cõu 3: (4 im) Gii cỏc phng trỡnh sau: a/ 1x + + x = b/ x2 + 4x + = 2x + Gii a/ K: x Bỡnh phng v: 1x + + x + (1x)(4 + x) = (1 x)(4 + x) = x= (tha món) 3x x = x( x + 3) = x = Vy phng trỡnh cú nghim: x = 0; x = -3 b/ x2 + 4x + = 2x + KX: x ( ) ( x + 2x +1) + 2x + 2x + +1 = ( x + 1) + 2x + ( nht x = -1 Cõu 4: (3 im) ) x+1= x = vy phng trỡnh cú nghim = 2x + = a/ Tỡm x; y tha món: ( x y + y x ) = xy b/ Cho a; b; c l cỏc s thuc on [1; 2] tha món: a + b + c = hóy chng 2 minh rng: a + b + c Gii a/ ( x y + y x ) = xy y + y.2 x = xy x.2 Xột VP = x.2 y + y.2 x theo BT cosi: y + y y = ; x x x = y = vy VP xy = VT = Du = xy khi: + x x = y = b/ Do a; b; c thuc on [1; 2] nờn a + 0; a nờn (a + 1)(a 2) 2 Hay: a a a a + 2 Tng t: b b + 2; c c + 2 2 2 Ta cú: a + b + c a + b + c + theo u bi: a + b + c = nờn: a + b + c Cõu 5: (6 im) Gii Cho tam giỏc ABC nhn; cỏc ng cao AK; BD; CE ct ti H 2 a/ Chng minh: KC = AC2 + CB2 BA KB b/ Gi s: HK = CB + BA AC AK Chng minh rng: tanB.tanC = 3 c/ Gi s SABC = 120 cm v BC = 60 Hóy tớnh din tớch tam giỏc ADE? Gii a/ S dng nh lý pytago: 2 AC + CB BA 2 CB + BA AC 2 = A 2 2 AK + KC + (BK + CK ) AB 2 (BK + CK ) + BA ( AK + KC) 2CK (CK + BK ) CK 2CK + 2BK.CK = = 2BK + 2BK (BK + CK ) BK 2BK.CK AK AK b/ Ta cú: tanB = ; tanC = BK CK = D E Nờn: tanBtanC = AK (1) B H K C BK CK Mt khỏc ta cú: B = m: tanHKC = KC KH HKC KB.KC KC KB Nờn tanB = KH tng t tanC = KH tan B tan C = KH T (1)(2) ( tan B tan C ) Theo gt: HK = (2) AK = KH AK tan B.tan C = 3 AB = v ADE ng dng vy: (3) S ADE AD S ABC c/ Ta chng minh c: ABC M BC = 60 nờn ABD = 300 AB = 2AD(4) T (3)(4) ta cú: S ABC = SADE = 30(cm2 ) S ADE K THI CHN HC SINH GII TNH S GIO DC V O TO THANH HểA Đề CHíNH THứC NM HC 2011 - 2012 MễN: TON Lp thcs Thi gian lm bi 150 phỳt khụng k thi gian phỏt Ngy t hi : 23 t hỏng nm 2012 Cõu I (4) Cho biu thc P = ổ x x 1 ữ: ỗ ỗố3 + x - 10 - x3ứữ ốỗ x - x - - + x ữ x - 1ứữ 1) Rỳt gn P 2) Tớnh giỏ tr ca P x = 3+2 2 2 3+2 Cõu II (4) Trong cựng mt h to , cho ng thng d: y = x v parabol (P): y = - x Gi A v B l giao im ca d v (P) 1) Tớnh di AB 2) Tỡm m ng thng d: y =- x = m ct (P) ti hai im C v D cho CD = AB Cõu III (4) x +x= y 1) Gii h phng trỡnh y +y= x 2) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh 2x + y x y = 320 Cõu IV (6) Cho tam giỏc nhn ABC cú AB > AC Gi M l trung im ca BC; H l trc tõm; AD, BE, CF l cỏc ng cao ca tam giỏc ABC Kớ hiu (C1 ) v (C2 ) ln lt l ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF v DKE, vi K l giao im ca EF v BC Chng minh rng: 1) ME l tip tuyn chung ca (C1 ) v (C2 ) 2) KH AM Cõu V (2) Vi x; y; z Tỡm tt c cỏc nghim ca phng trỡnh: x y z + + = + y + zx + z + 1+x+ x+ y+z xy yz S GIO DC V O TO T HAN H Hể A K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP NM HC 2011-2012 Mụn : TON Ngy thi :18/02/2012 Cõu 1:K 1< x 10 1) x - + ờộ x - + 4ỳự : P= 10 - x x - x - - ỳỷ P= + 3) 10 - x P= ) ( x - x - - 3( x - x-1+ x - 1( x 10)( x - - 2) 3( x - 2) =2(10 - x)( x 4) 2( x - 5) 1- b) x = 3+ 2 3- 2 - 3- 2 = 3+ 2 - (3 + 2 ) (3- 2 ) = + 2 - 3- 2 => x= 1+ - ( - 1) = vỡ x>1 Vy P=0 Cõu II: 1) Honh giao im l nghim phng trỡnh x2 +x-2=0 => x=1 hoc x=2 Vy A(1,-1) v B(-2;-4) hoc A(-2;-4) vB(1;-1) 2) (d) ct (P) ti im phõn bit thỡ phng trỡnh x -x+m=0 (1) cú hai nghim phõn bit D > m< Ta cú khong cỏch AB =18 2 CD = AB (x1 -x2 ) +(y1 -y2 ) =18 (x1 -x2 ) =9 (x1 +x2 )2 -4x1 x2 =9 1-4m-9=0=> m=-2(T M) Vy C(-1,-3) v D(2;0) hoc D(-1;-3) hoc C(2;0 Cõu III 1,K x 0, y t x=ky ( k 0) x ùỡ (k + k ) y = +x= ù y 1 (1) ( + 1) y = ù ùợ y k x + y = Nu k=-1 thỡ h phng trỡnh (1) vụ nghim nờn h phng trỡnh ó cho vụ nghim Nu k -1 (k + k )k = t (1) => k+1 => k=2 hoc k = -2 Nu k=2 => ( x, y) = ( ; ) 3 Nu k = -2 => (x;y)=(-2;1) 2, T 2x6 + y2 x3 y = 320 (x3 -y)2 +(x3 )2 =320 => (x ) Ê 320 m x nguyờn nờn x Ê Nu x=1 hoc x=-1 thỡ y khụng nguyờn (loi) Nu x=2=> y=-2 hoc y=6 Nu x=-2 => y=-6 hoc y=2 Vy phng trỡnh ó cho cú cp nghim (x;y) l(2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2) Cõu IV: 1) Ta cú Eà Fà= 900 nờn t giỏc AEHF ni tip mt ng trũn tõm chớnh = l (C1 ) l trung im AH EãAH sd EẳH (1) = ã (2) ( cựng ph vi gúc ACD) m E AH = CãBE Mã EB = (3)( ng trung tuyn ng vi cng huyn) CãBE T (1), (2) v (3) ta cú MãEH sd EẳH = => ME l tip tuyn ng trũn tõm (C ) A F E N B K C D M C 2, gi giao im AM vi KH l N trc tiờn chng minh im A,E,H,N,F cựng thuc mt ng trũn Ta thy AãFE AãCB; AãFE = AãNE AãCB = AãNE = > = => ngha l C,M,N, F cựng thuc mt ng trũn chng minh A,E,N, B ni tip ú KãNM = 900 KH AM Cõu V:: vai trũ x,y,z nh nờ n Ê x y Ê z Ê Ê y + z = 1+ z 1+ zy y+ z y z 1 Nu x= => = > ( )+ ( )= 1+ z y + z 1+ zy y + z y+ z ( y - 1)( y + 1+ z) z - 1 + = (1+ z)( y + z) (1+ yz)( y + z) y + z Ta cú VT m VP < nờn tr ong trng hp ny k hụng cú ng him => Nu x k hỏc m Ê x y Ê z Ê Ê ( z 1)( x ) + zx x + z >0 x + z zx x zx + z ỳng vi x; z mi Du = xy khi: x=z=1 + Ta cú: + zx x + z + y + zx x + y + z x x + y + zx x + y + z y y 1+z+ x+ y+z z xy z + x + yz x + y + z x+ y+ z y z x VT = = (1) + + + y + zx + z + xy + x + x+ y+ z yz + Mt khỏc, vỡ: x; y; z x + y + z + Tng t: 3 = D u = xy : x=y=z=1 (2) x+ y+ z + T (1) v (2) VT = ch ỳng khi: VT = VP = VP Khớ ú x= y=z=1 * Vy p hng trỡnh cú ng him nht: ( x; y; z ) = ( 1; 1; 1) VP = ... -HT H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Ch ký ca giỏm th 1: Ch ký ca giỏm th 2: S GIO DC V O TO THNH PH NNG Kè THI CHN SINH HC SINH GII LP NM HC 2010-2011 Mụn thi: TON HNG DN CHM... b + b c + ca 0,25 0,5 UBND HUYN PHềNG GIO DC - O TO THI CHN HC SINH GII HUYN NM HC 2013-2014 MễN: TON LP Thi gian lm bi 150 phỳt khụng k thi gian giao C HNH THC x+ y Bi 1: (4 i m) C ho biu... cỏch gii ú, cho khụng lm thay i tng im ca bi (hoc ý) ó nờu hng dn ny./  THI HC SINH GII TON Thi gian: 150 phỳt( khụng k thi gian giao ) Cõu1: ( ) x Cho biể u thức M = x+1 + + x+3 x x + x x a