PHềNG GD - T TNH GIATHI CHN I TUYN HC SINH GII (VềNG 2) Nm hc 2013-2014 CHNH THC Mụn thi: Toỏn - Lp Thi gian lm bi: 150 phỳt Ngy thi: 25/02/2014 Bi 1: (4 im) a) Cho a+b+c =0 Tớnh giỏ tr biu thc sau : a b a b b c c a c + + + + . a b ab bc ca c P= b) Thu gn tng sau N = 13 +23+ +n3 vi n>1 v n N Bi 2: (4 im) a) Cho s nguyờn x,y,z tho món: x2 + y2 =z2 Chng minh xyz M60 b) Tỡm s t nhiờn khỏc cho tng cỏc nghch o ca chỳng l s nguyờn Bi 3: (4 im) Gii phng trỡnh v h phng trỡnh sau: a) x + x3 3x + 2=0 ( x 1) x x + + y = b) y + + x = Bi 4: (4 im) Cho tam giỏc ABC (AB < AC) ni tip ng trũn tõm O, ng kớnh BC = 2R Ly im M i xng vi im A qua im B Gi im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn BC v im I l trung im ca HC a) Chng minh rng MH AI b) ng thng MH ct ng trũn (O) ti E v F (im E nm gia im M v im F); ng thng AI ct ng trũn (O) ti G (im G khỏc im A) Chng minh rng tng bỡnh phng di cỏc cnh ca t giỏc AEGF khụng i Bi 5: (2 im) Cho tam giỏc vuụng cú s o ba cnh l cỏc s nguyờn, ú s o ca hai cnh l hai s nguyờn t v hiu ca chỳng bng 50 Tớnh s o nh nht ca cnh th ba cú th t c Bi 6: (2 im) Cho số x,y,z thoả mãn x+y+z =1 Tìm giá trị bé x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x 2 2 biểu thức : M = (Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Cõu P N MễN TON (VềNG 2) ( Gm trang ) Ni dung bc ca a b ;y= ;z = a) (2) t x = a b c 1 y+z z+x x+ y + + Khi ú P = ( x + y + z ) + + ữ = + x y z x y z im (1) y+z a c a a b a c ac + ab b = + Ta cú ữ= x bc b c bc bc a (c b).(c + b a ) 2a = = (vỡ c+b= -a) bc bc bc z + x 2b x + y 2c = = Tng t v y ac z ab y+z z+x x+ y Suy x + y + z = 3 a b c 2.(a + b3 + c ) (b + c ) + b + c + + ữ = = abc abc bc ca ab = 6bc(b + c ) = (vỡ c+b= -a) abc 1.0 (2) P = T (1) v (2) suy 3 (4) b) (2) Ta cú n n = n( n -1) = n(n-1).(n+1) suy : n = n(n-1).(n+1) +n Vy N = 13 +23+ +n3 = (0.1.2 +1)+ (1.2.3+2)+ + {n(n-1).(n+1) +n} 1.0 = {1.2.3+2.3.4+ + n(n-1).(n+1)}+ { 1+2+ +n} t A= 1.2.3+2.3.4+ + n(n-1).(n+1) v B = 1+2+ +n 1.0 Ta cú 4.A = 4.{1.2.3+2.3.4+ + n(n-1).(n+1)} = 1.2.3.4+2.3.4.4+ +n(n-1).(n+1).4 = 1.2.3.(4-0)+ 2.3.4.(5-1)+ + n(n-1).(n+1).{(n+2)-(n-2)} = 1.2.3.4- 0.1.2.3 + 2.3.4.5 1.2.3.4 + + n(n-1).(n+1) (n+2)- (n-2) n(n-1).(n+1) = n(n-1).(n+1) (n+2)- 0.1.2.3 (n 1).n(n + 1).(n + 2) n(n + 1) v B = 2 n(n + 1) 3 T ú suy N = +2 + +n = (A+B) = Vy A = a) (2) (4) * Chng minh xyz chia ht cho +) Nu xy chia ht cho thỡ xyz chia ht cho 1.0 +) Nu xy khụng chia ht cho thỡ x2 v y2 chia d hoc d Khi ú z2 = x2 + y2 chia d hoc hoc nhng vỡ z2 khụng th chia d hoc d => z2 chia ht cho hay z chia ht cho Vy xyz chia ht cho * Chng minh xyz chia ht cho - Nu x hoc y khụng chia ht cho thỡ x2 hoc y2 ch cú th chia d ú z2 chia d (Vụ lớ) Vy xy chia ht cho hay xyz chia ht cho * Chng minh xyz chia ht cho +) Nu x ,y chn thỡ xyz chia ht cho +) Nu hai s x hoc y cú mt s l, gi s x chn, y l suy z l t x =2k; y = 2n+1, z = 2m+1.Theo bi : (2m+1)2 = 4k2+ (2n+1)2 suy k2 = m(m+1)-n(n+1) chia ht cho => x chia ht cho Vy xyz chia ht cho M (3,4,5) =1 nờn xyz chia ht cho 60 b)(2) Gi s t nhiờn tho bi l x, y, z vi x,y,z u khỏc v khỏc 1 1 1 0.5 1.0 Gi s x< y z= (tho ) Ta c cp s (2 ;3 ;6) 1 TH2) x + y + z =2 0.5 1 3 Ta cú = x + y + z < suy x < x 1 => x =1 => y + z = < y suy x (u-v).(u+v+8) = => u= v vỡ u+v+8 >0 Khi ú: 11-2v2 = (4-v)2 => 3.v2 -8v + =0 a v dng tớch ta cú v = hoc v = 0.5 (tho ) +) Nu v = thỡ x = y =3(TM) +) Nu v = 11 thỡ x = y = (TM) Vy nghim ca h l (x ; y) = (3,3) hoc (x ; y) = ( 11 11 , ) 9 1.0 a) (2) (4 Ta cú = 90 (gúc ni tip chn na ng trũn) đ) = (cựng ph vi ) (1) Li cú AHB CHA (g-g) suy AM AH AH AM = = 2CI CA CI CA AH AB = CH CA (2) 1.0 T (1) v (2) suy AHM vi CIA (c-g-c) = M + = 90 + = 90 MH AI 1.0 b) (2) Ly D i xng vi G qua O, ta cú = 90 (gúc ni tip chn na ng trũn) AD / / EF T giỏc ADFE cú AD / / EF ADEF l hỡnh thang cõn AE = DF , AF = ED 1.0 Ta cú AE + GF = DF + GF = DG = 4R AF + GE = DE + GE = DG = R Vy AE + GE + GF + FA2 = 8R 1.0 Gi di ba cnh ca tam giỏc vuụng ABC l: a, b, c (a, b, c N ) Ta cú: a, b P v b a = 50: l s chn nờn a, b u l (b > a) Gi s cnh th ba c l cnh huyn Theo nh lý Pi-ta-go, ta cú: c2 = a2 + b2 c2 = a2 + (a + 50)2 = 2a2 + 100a + 2500 = 2(a2 + 50a + 1250): s chn Vỡ a l nờn (a2 + 50a + 1250): l ú 2(a2 + 50a + 1250) 4: iu ny vụ lý vỡ C c l s chớnh phng chn phi chia ht cho 1.0 Do ú cnh th ba c khụng th l cnh huyn b a Suy b l cnh huyn (vỡ b > a) A B (2) Theo nh lý Pi-ta-go ta cú: c 2 2 2 b = a + c c = b a = (b a)(b + a) = 50(b + a) = 2.( a + b) 0.5 Vỡ c2 l s chớnh phng nờn: Suy ra: a + b = 2k2 (k N*), vỡ b > 50 nờn a + b > 50, ú k Khi ú: (a + b)min = 2.62 = 72, ta cú: * a + b = 72 a =11 P : tha iu kin b a = 50 b = 61P T ú: cmin = 5.2.k = 5.2.6 = 60 a = 11, b = 61 Vy giỏ tr nh nht ca cnh th ba ca tam giỏc vuụng l 60 Ta cú : x + xy + y = ( x + 2.xy + y )+ ( x 2.xy + y ) 4 3 = (x+y)2 + (x-y)2 (x+y)2 => x + xy + y (x+y) 4 0.5 0.5 0.5 3 (y+z) ; z + zx + x (z+x) (2) Tng t : y + yz + z 2 Cng v theo v ta c M (x+y+z) = Vy M t giỏ tr nh nht bng x = y = z = ( Nu bi hc sinh lm cỏch khỏc ỳng cho im ti a ! ) 0.5 0.5 ... ∆CIA (c-g-c) ⇒ = Mà + = 90 ⇒ + = 90 ⇒ MH ⊥ AI 1.0 b) (2đ) Lấy D đối xứng với G qua O, ta có = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AD / / EF Tứ giác ADFE có AD / / EF ⇒ ADEF hình thang cân ⇒... =3(TM) +) Nếu v = 11 x = y = (TM) Vậy nghiệm hệ (x ; y) = (3,3) (x ; y) = ( 11 11 , ) 9 1.0 a) (2đ) (4 Ta có = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ®) ⇒ = (cùng phụ với ) (1) Lại có ∆AHB ∽ ∆CHA... / EF ⇒ ADEF hình thang cân ⇒ AE = DF , AF = ED 1.0 Ta có AE + GF = DF + GF = DG = 4R AF + GE = DE + GE = DG = R Vậy AE + GE + GF + FA2 = 8R 1.0 Gọi độ dài ba cạnh tam giác vuông ABC là: a,