Cây Nhị Phân

Cây nhị phân tìm kiếm • Cây Trees là một tập hợp hữu hạn các phần tử gọi là nút cây Node, trong đó có một nút đặc biệt gọi là nút gốc Root.. • Cây nhị phân tìm kiếm binary search tree –

KHOA: CNTT & TT

MÔN: CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ GIẢI THUẬT

ĐỀ TÀI: “CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM”

Giáo viên HD : Tr nh Th Phú ị ị

H và tên : Đ Vi t Vũ ọ ỗ ế

Mã S Viên : 1561030049 ố

L p : K18 -ĐHCNTT ớ

MỤC LỤC

Lời mở đầu

Cùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật , công nghệ thông tin nói chung và bộ môn cấu trúc dữ liệu và giải thuật nói riêng ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Với một cơ sở dữ liệu khổng lồ, việc đưa ra một phương pháp nhằm giải quyết vấn đề tìm kiếm dữ liệu có hiệu quả và nhanh chóng nhất luôn được sự quan tâm của các nhà phát triển phần mềm Thông thường dữ liệu được biểu diễn dưới dạng danh sách liên kết Việc truy suất dữ liệu chưa đạt hiệu quả cao Sử dụng cấu trúc dữ liệu cây là một giải pháp làm tăng hiệu suất trong các thao tác xử lý Vấn đề đặt ra : với việc sử dụng cấu trúc dạng cây, chúng ta cần dùng giải thuật nào với từng dạng dữ liệu để đạt hiệu quả cao nhất Để giải quyết vấn đề trên ta cùng tìm hiểu một số

phương pháp duyệt cây

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I.1 Cây nhị phân tìm kiếm

• Cây (Trees) là một tập hợp hữu hạn các phần tử gọi là nút cây (Node), trong

đó có một nút đặc biệt gọi là nút gốc (Root) Trên tập hợp các nút này có một quan hệ phân cấp gọi là quan hệ "cha - con"

• Cây nhị phân tìm kiếm (binary search tree – BST) là cây nhị phân trong đó tại mỗi nút, khóa của nút đang xét lớn hơn nút khóa của tất cả các nút thuộc cây con trái và nhỏ hơn tất cả nút khóa thuộc cây con phải

I.2 Một số khái niệm

•Một nút đơn độc cũng là một cây

•Tập hợp rỗng cũng là một cây mà ta gọi là cây rỗng

•Mức của một nút :

+ Nút gốc : Mức 0

+ Các nút cách nút gốc i cạnh được gọi là nút ở mức i

• Nút gốc (Root): Là nút không có nút cha

• Nút lá (leaf): Là nút không có nút con

• Chiều cao của một nút: Là độ dài đường đi từ nút đó đến nút lá xa nhất

• Chiều cao của một cây: Là chiều cao của nút gốc

• Bậc của một nút: Là số nút con của nút đó

• Bậc của một cây: Là bậc cao nhất của các nút trong cây

II.1 Khai báo cài đặt cây nhị phân

Để biểu diễn cây nhị phân ta chọn phương pháp cấp phát liên kết ứng với một nút của, ta dùng một biến động lưu trữ các thông tin

• Thông tin lưu trữ tại nút

• Địa chỉ nút gốc của cây con trái trong bộ nhớ

• Địa chỉ của nút gốc của cây con phải trong bộ nhớ

• Khai báo tương ứng như sau:

#include<stdlib.h>

#include<stdio.h>

typedef int item ; struct NODE {

int key;

NODE *Left, *Right;

typedef NODE *TREE;

II.2 Hàm khởi tạo rỗng

void khoitaorong(TREE &T){

T=NULL;

}

II.3 Hàm kiểm tra rỗng

int ktrarong(TREE T){

if(T==ULL) return 1;

else return 0;

}

II.4 Hàm thêm một nút

• Hàm này cho phép chúng ta nhập thêm một số vào dãy số mà ta đã nhập và xét số đó để sắp xếp vào vị trí của một nút trong cây

• Xảy ra hai trường hợp:

 Cây rỗng

 Cây không rỗng

- Nếu X trùng với gốc thì ta không thể thêm node

- Nếu X< gốc và chưa có lá con bên trái thì thực hiện thêm vào bên trái

- Tương tự X> gốc thì ta thêm vào bên phải

II.5 Hàm xóa một nút.

• Hàm cho phép ta xóa một nút trong cây tìm kiếm nhị phân

• Xảy ra hai trường hợp

 Cây rỗng

 Cây khác rỗng

- X là nút lá

- X chỉ có một con trái (phải)

- X có đủ cả hai con

• Xây dựng thêm hàm tìm kiếm

- Hàm tìm kiếm có nhiệm vụ xác định vị trí của nút cần xóa

II.6 Hàm nhập một cây tìm kiếm nhị phân

- Cho phép ta nhập n số ta muốn, n số đó sẽ tạo thành n nút trong cây nhị phân

- Hàm còn làm thêm nhiệm vụ sắp xếp vị trí đứng của các nút vừa nhập

II.7 Hàm duyệt cây

II.7.1 Duyệt theo thứ tự trước

• Hàm có nhiệm vụ:

- Thăm nút gốc.

- Thăm các nút gốc của cây con trái theo thứ tự trước

- Thăm các nút gốc của cây con phải theo thứ tự trước

II.7.2 Duyệt theo thứ tự giữa

• Hàm có nhiệm vụ:

- Thăm các nút gốc của cây con trái theo thứ tự giữa

- Thăm nút gốc

- Thăm các nút gốc của cây con phải theo thứ tự giữa

II.7.3 Duyệt theo thứ tự sau

• Hàm có nhiệm vụ sau:

- Thăm các nút gốc của cây con trái theo thứ tự sau

- Thăm các nút gốc của cây con phải theo thứ tự sau

- Thăm nút gốc

II.8 Hàm xác định số nút của cây

• Sử dụng hàm để đếm xem trên cây có tất cả bao nhiêu nút

• Xảy ra 2 trường hơp:

 Cây rỗng số nút trên cây là 0

 Cây không rỗng: thì chiều cao cây sẽ tổng các nút bên trái và nút bên phải của cây cộng với 1 ( 1 là nút gốc)

II.9 Hàm xác định chiều cao của cây

• Hàm này sử dụng để tính chiều cao của cây nhị phân tức là đếm số tầng của cây tìm kiếm nhị phân

• Ta có các trường hợp sau:

 Trường hợp cây rỗng thì xuất ra chiều cao của cây là -1

 Cây khác rỗng:

- Không có cây con bên trái và bên phải thì chiều cao của cây là 0

- Có cả cây con bên trái và bên phải thì chiều cao là 1+ cây bên trái + cây bên phải

- Cây cực trái hoặc cây cực phải thì chiều cao của cây là 1+ cây bên trái hoặc 1 + cây bên phải

II.10 Hàm xác định mức của cây

• Hàm này sử dụng để xác định mức của một nút bất kỳ mà nười sử dụng cần xác định, nút được nhập từ bàn phím.có sử dụng biếm đếm, mỗi lần như thế lại cộng thêm một giá trị

III.1 Xây dựng chương trình

Đề bài: Cây nhị phân tìm kiếm.

Viết chương trình cài đặt một cây tìm kiếm nhị phân (nhãn của mỗi nút được nhập từ bàn phím)

Yêu cầu chi tiết:

1 Viết phần khai báo để cài đặt một cây tìm kiếm nhị phân

2 Viết thủ tục khởi tạo cây rỗng

3 Viết hàm kiểm tra cây rỗng

4 Viết thủ tục xen một nút vào cây tìm kiếm nhị phân

5 Viết thủ tục xóa một nút trong cây tìm kiếm nhị phân

6 Viết thủ tục nhập một cây tìm kiếm nhị phân với nhãn của các nút của cây được nhập vào từ bàn phím

7 Viết các thủ tục duyệt cây:

Duyệt tiền tự, trung tự, hậu tự

8 Viết hàm xác định số nút trong cây

9 Thiết kế hàm xác định chiều cao của cây

10 Viết hàm xác định mức của một nút trong cây

BÀI LÀM

// phần khai báo

#include<stdlib.h>

#include<stdio.h>

typedef int item ; //kieu item la kieu nguyen struct NODE

{ int key; //truong key cua du lieu NODE *Left, *Right; //con trai va con phai };

int nmax(int a,int b){

return a>=b?a:b;

} int d=0;

typedef NODE *TREE; //cay

// khoi tao rong

void khoitaorong(TREE &T){

T=NULL;

}

// ktra rong

int ktrarong(TREE T){

if(T==NULL) return 1;

else return 0;

}

// hàm thêm nút

int themnut(TREE &T, int x) // chen 1 Node vao cay {

if (T != NULL) {

if (T->key == x) return -1;

if (T->key > x) return themnut(T->Left, x);

else if (T->key < x) return themnut(T->Right, x); }

T = (NODE *) malloc(sizeof(NODE));

if (T == NULL) return 0;

T->key = x;

T->Left = T->Right = NULL;

return 1;

}

// hàm nhap

void nhap(TREE &T) // nhap cay {

int x, tl;

while (tl) {

printf("\n Nhap vao Node: ");

scanf("%d", &x);

int check = themnut(T, x);

if (check == -1) printf("\n\n Node da ton tai!"); else if (check == 0) printf("\n Khong du bo nho");

printf("\n Ban co muon tiep tuc khong <0/1>");

scanf("%d",&tl);

} }

// Duyet theo TTT

void ttt(TREE T) {

if(T!= NULL) {

printf("%d ",T->key);

ttt(T->Left);

ttt(T->Right);

} }

// duyet theo tt giua

void ttg(TREE T) {

if(T!=NULL) {

ttg(T->Left);

printf("%d ", T->key);

ttg(T->Right);

} }

// duyet theo tt sau

void tts(TREE T) {

if(T!=NULL) {

tts(T->Left);

tts(T->Right);

printf("%d ", T->key);

} }

// hàm tìm nút

NODE* timnut(TREE T, int x) {

if (T!=NULL) {

if (T->key == x) { NODE *P = T; return P;}

if (T->key > x) return timnut(T->Left, x);

if (T->key < x) return timnut(T->Right, x);

} return NULL;

}

// dem nut

int demnut(TREE T){

if(T==NULL)

return 0;

else

return (demnut(T->Right) + demnut(T->Left) + 1);

// hàm xóa nút

int xoanut(TREE &T, int x) // xoa nut co key x {

if (T==NULL) return 0;

if (T->key > x) return xoanut(T->Left, x);

if (T->key < x) return xoanut(T->Right, x);

else // T->key == x {

TREE p = T;

if (T->Left == NULL) T = T->Right; // Node chi co cay con phai else if (T->Right == NULL) T = T->Left; // Node chi co cay con trai

else // Node co ca 2 con {

NODE* q = T->Right;

timnut(T, x);

} delete p;

} }

//xac dinh chieu cao cua cay

int ccaocay(TREE T){

if(T==NULL)return -1;

if((T->Right==NULL) && (T->Left==NULL)) return 0;

if((T->Right!=NULL) && (T->Left!=NULL)) return nmax((1 + ccaocay(T->Right)),(1 + ccaocay(T->Left)));

if(T->Left==NULL&&T->Right!=NULL)

return (1 + ccaocay(T->Right));

else

if(T->Left!=NULL&&T->Right==NULL) return (1 + ccaocay(T->Left));

}

// hàm xác định mức của một nút

void muc(TREE T, int x) {

if (T!=NULL) {

d++;

if (T->key > x) muc(T->Left, x);

if (T->key < x) muc(T->Right, x);

} }

// hàm main

int main() {

TREE T;

T=NULL; //Tao cay rong

nhap(T); //Nhap cay //duyet cay

printf("\n Duyet cay theo ttt: ");

ttt(T);

printf("\n Duyet cay theo ttg: ");

ttg(T);

printf("\n Duyet cay theo tts: ");

tts(T);

printf("\n so nut cua cay la:%d", demnut(T));

printf("\n Chieu cao cay la: %d",ccaocay(T));

int a;

printf("\n Nhap nut: "); scanf("%d",&a);

d=0; muc(T,a); printf(" Muc cua nut la: %d",d);

NODE *P;

int x;

printf("\n Nhap vao nut can tim: ");

scanf("%d", &x);

P = timnut(T, x);

if (P != NULL) printf("\n Tim thay nut %d: ", P->key); else printf("\n nut %d khong co trong cay: ", x);

if (xoanut(T, x)) printf("\n Xoa thanh cong ");

else printf("\n Khong tim thay nut %d can xoa: ", x); printf("\n Duyet cay theo ttt: ");

ttt(T);

printf("\n Duyet cay theo ttg: ");

ttg(T);

printf("\n Duyet cay theo tts: ");

tts(T);

printf("\n Chieu cao cay la: %d",ccaocay(T));

printf("\n so nut cua cay la:%d", demnut(T));

return 0;

}

III.2 Kết quả

• Chương trình cho ta được kết quả sau:

- Xuất ra được các thứ tự duyệt : TTT, TTG, TTS

- Đếm được số nút của cây

- Xác định được chiều cao của cây

- Xác định được mức của nút

- Tìm nút của cây

- xóa thành công nút cần xóa trên cây

- Thêm được các nút chưa có trên cây

• Ví dụ:

Nhập một dãy số sau: 12 22 43 55

Chương trình xuất ra:

Duyệt theo ttt: 12 22 43 55

Duyệt theo ttg: 12 22 43 55

Duyệt theo tts: 55 43 22 12

Số nút của cây là : 4

Chiều cao của cây là: 3

Nhập nút: 12

Mức của nút là : 1

Nhập nút : 12

Tìm thấy nút 12

Xóa thành công

Duyệt theo ttt : 22 43 55

Duyệt theo ttg: 22 43 55

Duyệt theo tts: 55 43 22

Chiều cao của cây : 2

Số nút của cây : 3

Sau một thời gian tìm hiểu, nghiên cứu và thực hiện đề tài các yêu cầu chính của đề tài cơ bản đã hoàn tất với các nội dung sau:

IV.1 Ưu điểm

• Xây dựng được chương trình “ tìm kiếm cây nhị phân” sử dụng các thuật toán tìm kiếm được các node trên cây nhị phân

• Chương trình sử lý nhanh và tương đối chính xác

IV.2 Khuyết điểm

• Mặc dù rất cố gắng nhưng trong thời gian ngắn, kinh nghiệm còn hạn chế nên kết quả còn thiếu sót cần tiếp tục được hoàn thiện để có thể giải được các yêu cầu phức tạp hơn

• Chương trình còn nhiều lỗi như: về vấn đề xử lý, hay thuật toán xóa nút còn chưa tối ưu,…

IV.3 Hướng phát triển

• Xây dựng hoàn thiện các chức năng giúp người sử dụng dễ dàng hơn, các phương pháp duyệt tối ưu và hiệu quả hơn

Trên đây là kết quả đạt được cũng như còn một số tồn tại, hướng phát triển của đề tài

Em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, nhiệt tình của cô Trịnh Thị Phú

giúp em hoàn thành đề tài này

Sinh viên thực hiện

Đỗ Viết Vũ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

• Đỗ Xuân Lôi, Cấu trúc dữ liệu và giải thuật, nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà

Nội, 2006

• Lê Minh Trung, Bài tập cấu trúc dữ liệu và giải thuật, Nhà xuất bản thống kê, 2005

• Donald Knuth The Art of Compter Programming, Volume 3: Sorting and

Searching, Third Edition Addison-Wesley, 1997 ISBN 0-201-89685-0 Section 6.2.2: Binary Tree Searching, pp 426–458

• Thomas H Cormen, Charles E Leiserson, Ronald L Rivest, and Clifford Stein Introduction to Algorithms, Second Edition MIT Press and McGraw-Hill,

2001 ISBN 0-262-03293-7 Chapter 12: Binary search trees, pp 253–272 Section 15.5: Optimal binary search trees, pp 356–363