T 14

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Môn thi:Toán - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm)  x+2 x  x −1 + + ÷ Cho biểu thức: P =  ÷:  x x −1 x + x + 1 − x  a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị P x = 11 − + − c So sánh: P2 2P (Với x ≥ 0, x ≠ 1) Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x + x + = x + x + 2 x − b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng (d 1): y = 3x – m – (d2) : y = 2x + m - Chứng minh m thay đổi, giao điểm (d 1) (d2) nằm đường thẳng cố định Bài 3: ( điểm) a) Tìm số nguyên a cho a + số nguyên tố b) Đặt a = − + + 64 Chứng minh M = (a − 3) − 3a số phương Bài 4: (… điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh rằng: S AEF Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; S = cos A ABC 2 b Chứng minh : S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC c.Chứng minh rằng: HA HB HC + + ≥ BC AC AB Bài 5: (… điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên hai lần số đo diện tích ba lần số đo chu vi HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp Bài 1: ( điểm) Ý/Phần a) Đáp án ĐKXĐ Với x ≥ 0, x ≠ Điểm  x + + x − x − x − x −1  x −1 P =  ÷ ÷:  ( x − 1)( x + x + 1)  = 0.75 x − x +1 2 = ( x − 1)( x + x + 1) x − x + x + x = 11 − + − 2 = (3 − 2) + ( − 1) b) = 3− + − = (3 − 2) + ( − 1) =2(TM ĐKXĐ) Thay x =2 vào P ta có P = Vậy x = P = 0.25 2 2(3 − 2) = = + +1 + 2(3 − 2) 0.25 0.25 Vì x + x + >0 nên P >0 Với x ≥ x + x ≥ nên x + x + ≥ c) ≤1⇒ P = ≤2 x + x +1 x + x +1 Do < P ≤ nên P.(P – 2) ≤ ⇔ P2 ≤ 2P Vậy P2 ≤ 2P suy ra: 0.25 0.25 Bài 2: ( điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm x + x + = x + x + 2 x − ( ĐKXĐ x ≥ ) ⇔ 4x2 + 3x + = 4x x + + 2x − ( ⇔ ( 2x − ) ( ) 0.25 ⇔ 4x2 − 4x x + + x + + 1− 2x − + 2x − = ) ( ) x + + 1− 2x − = 2x = x + 4x2 = x + ⇔ ⇔ ⇔ x = 1(tmđk)  = 2x −  = 2x − Vậy phương trình có nghiệm x = 0.25 0.25 0.25 Tìm (d1) cắt (d2) M(2m ; 5m-1) với m Suy quan hệ : ym = b) xm - với m 0.75 Vậy m thay đổi, giao điểm M (d 1) (d2) nằm đường thẳng cố định (d) : y = x - 0.25 Bài 3: ( điểm) Ý/ Phần a) Đáp án Điểm 4 2 2 Ta có : a + = (a + 4a + 4) − 4a = ( a -2a+2 ) ( a +2a+2 ) 0.25 Vì a ∈ Z → a -2a+2 ∈ Z ;a +2a+2 ∈ Z 2 Có a +2a+2= ( a+1) + ≥ ∀a Và a -2a+2= ( a-1) + ≥ ∀a 0.25 0.25 nên a + số nguyên tố a +2a+2=1 a - 2a+2=1 Nếu a +2a+2=1 → a = −1 thử lại thấy thoả mãn Nếu a -2a+2=1 → a = thử lại thấy thoả mãn Vậy a + số nguyên tố a=1 a= -1 b) 2 0.25 Từ a = − + + a = ( − + + )3 a3 = 3a +4 a3 - 3a = Mặt khác từ a3 = 3a +4 a(a2 - ) = a2 - = : a (vì a3 = 3a +4 nên a ≠0 ) 0.25 0.25 64 Thay vào rút gọn ta có M = (a − 3) − 3a = a3 - 3a = Vậy M số phương 0.5 Bài 4: ( điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm A E F H B D AE Tam giác ABE vuông E nên cosA = AB AF Tam giác ACF vuông F nên cosA = AC AE AF ⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g c) = AB AC S AEF  AE  = * Từ ∆AEF : ∆ABC suy ÷ = cos A S ABC  AB  SCDE S BDF 2 Tương tự câu a, S = cos B, S = cos C ABC ABC Suy b) C 0.5 0.5 0.25 Từ suy SDEF S ABC − S AEF − S BDF − SCDE = = − cos A − cos B − cos C S ABC S ABC 2 Suy S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC c) HC CE HC.HB S HA.HC CE.HB 0.5 S HBC Từ ∆AFC : ∆HEC ⇒ AC = CF ⇒ AC AB = CF AB = S ABC HB.HA S HAC HAB Tương tự: AC.BC = S ; AB.BC = S Do đó: ABC ABC 0.25 HC.HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB =1 + + = S ABC AC AB AC.BC AB.BC Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta có:  HA HB HC   HA.HB HB.HC HC.HA  + + + +  ÷ ≥  ÷ = 3.1 =  BC AC AB   BC.BA CA.CB AB AC  HA HB HC + + ≥ Suy BC AC AB 0.5 Bài : (1 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Gọi a, b, c cạnh huyền cạnh góc vuông ∆ vuông Khi đó: a, b, c ∈ N a ≥ 5; b, c ≥ 0.5 a = b + c (1) Ta có hệ phương trình:  bc = 3(a + b + c) ( 2) (1): (2): a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c) ⇔ a2 + 6a + = (b + c)2 – 6(b + c) + ⇔ (a + 3)2 = (b + c – 3)2 ⇔ a+3=b+c–3 ⇔ a=b+c–6 bc = 3(b + c – + b + c) = 3(2b + 2c – 6) ⇔ (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có trường hợp sau: b – = c – = 18 b = 7; c = 24 a = 25 b – = c – = b = 8; c = 15 a = 17 b – = c – = b = 9; c = 12 a = 15 0.5 ... 0.25 nên a + số nguyên t a +2a+2=1 a - 2a+2=1 Nếu a +2a+2=1 → a = −1 thử lại thấy thoả mãn Nếu a -2a+2=1 → a = thử lại thấy thoả mãn Vậy a + số nguyên t a=1 a= -1 b) 2 0.25 T a = − + + a =... = x + ⇔ ⇔ ⇔ x = 1(tmđk)  = 2x −  = 2x − Vậy phương trình có nghiệm x = 0.25 0.25 0.25 T m (d1) c t (d2) M(2m ; 5m-1) với m Suy quan hệ : ym = b) xm - với m 0.75 Vậy m thay đổi, giao điểm... = ( − + + )3 a3 = 3a +4 a3 - 3a = M t khác t a3 = 3a +4 a(a2 - ) = a2 - = : a (vì a3 = 3a +4 nên a ≠0 ) 0.25 0.25 64 Thay vào r t gọn ta có M = (a − 3) − 3a = a3 - 3a = Vậy M số