T 10

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học : 2015 - 2016 Môn thi: Toán – Lớp Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề)  x −2 x +  x2 − 2x +1 − ÷ Bài 1:(2 điểm) Cho A =  ÷ x − x + x +   a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Bài 2:(2điểm) a) Giải phương trình sau: x − x + 14 = x + b) Cho đường thẳng (d) có phương trình : y = (m-1)x + (m +1) (d) Chứng minh m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bài 3:(2 điểm) a) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng b) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương Bài 4: (3 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định Điểm A di động trện nửa đường tròn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB a) Chứng minh: AB EB + AC AD = AB2 b) Chứng minh bốn điểm A,E,H,D thuộc đường tròn c) Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R Bài 5: (1 điểm) Cho x ≠ 0; y ≠ Chứng minh :  x10 y10  −5 Q =  + ÷+ ( x16 + y16 ) − (1 + x y ) ≥ 2 y x  HẾT -(Đề thi gồm có 01trang) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi : Toán – Lớp Bài 1:(2 điểm) Ý/phần a Đáp án ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 0.25đ 0.75đ A = − x ( x − 1) b c Điểm Với x = ta có A = Với x > ta có : A > ⇔ − x ( x − 1) > ⇔ x ( x − 1) < ⇔ x − < 0(do x > 0) ⇔ x < Vậy với < x < thì A > 1 1 1 A = − x ( x − 1) = − x + x − + = −( x − ) + ≤ ⇒ A ≤ 4 4 1 Vậy GTLN A = x = ⇔ x = (t / m) 4 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Bài 2:(2 điểm) Ý/phần Đáp án x − x + 14 = x +  ( x − 3) + ( x + − ) = 0.25đ a ( x − 3) =    x + − = x =  x = ( 0.25đ ) 0.25đ  x=3 Vậy… b Điểm Gọi ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm cố định mà (d) qua với m Ta có: y0 = (m − 1) x0 + m + có nghiệm với m ⇔ ( x0 + 1) m + ( − x0 − y0 ) = có nghiệm với m 0.25đ 0.25đ 0.25đ  x0 + =  x0 = −1 ⇔ ⇔ 1 − x0 − y0 =  y0 = 0.25đ Vậy điểm cố định mà (d) qua với m (-1;2) 0.25đ Bài 3:(2 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm A = n + n + số phương nên A có dạng A = n + n + = k (k ∈ N * ) 0.25đ ⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2k ) − (2n + 1) = 23 a 2 2k + 2n + = 23 ⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔   k − 2n − = 0.25đ (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) b 2k + 2n = 22 k = ⇔ ⇔  2k − 2n = n = 0.25đ Vậy với n = thì A số phương Gọi a,b,c ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số nguyên tố abc chia hết có số Do a,b,c số có vai trò nên : Giả sử a = 5bc = 5(5+b+c) ⇔ bc = 5+b+c ⇔ bc -b - c + = ⇔ (b-1)(c-1) = Khi ta có: 0.25đ 0.25đ 0.25đ b − = b = ⇔ ( thỏa mãn) c − = c = b − = b = ⇔ *)  ( loại vì hợp số) c − = c = *)  0.25đ 0.25đ Vậy ba số nguyên tố cần tìm 2, 5, Bài 4:(3 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm A E D a b c C H O Chứng minh : AB EB = HB2 AC AD = AH2 HB2 + AH2 = AB2 AB EB + AC AD = AB2 Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật Gọi I giao điểm AH DE => IA = ID = IH = IE => Bốn điểm A,E,H,D thuộc đường tròn S(ADHE)= AD.AE ≤ AD + AE DE AH = = 2 B 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5 đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ AH AO R ≤ = ≤ 2 2 R Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE ⇒ S(ADHE) 0.25đ 0.25đ Hay A điểm cung AB Bài 5:(1 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm  x 10 y 10  16 Q =  +  + ( x + y 16 ) − (1 + x y ) 2 y x   1  x 10 y 10 =  + + + 1 + ( x 16 + y 16 + + 1) − (1 + x y ) − 2 y x  0.25đ Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:   x 10 y 10  + + + 1 ≥ x y 2 y x  16 ( x + y 16 + + 1) ≥ x y 4 0.25đ 0.25đ => Q ≥ x y + x y − − x y − x y − = − Chú ý : Các cách giải khác cho điểm 0.25đ ... nguyên t 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) b 2k + 2n = 22 k = ⇔ ⇔  2k − 2n = n = 0.25đ Vậy với n = thì A số phương Gọi a,b,c ba số nguyên t cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) T ch ba số nguyên t abc... LƯƠNG T I PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO T O HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi : Toán – Lớp Bài 1:(2 điểm) Ý/phần a Đáp án ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 0.25đ 0.75đ A = − x ( x − 1) b c Điểm Với x = ta có A = Với x > ta có... Đáp án Điểm  x 10 y 10  16 Q =  +  + ( x + y 16 ) − (1 + x y ) 2 y x   1  x 10 y 10 =  + + + 1 + ( x 16 + y 16 + + 1) − (1 + x y ) − 2 y x  0.25đ Áp dụng b t đẳng thức Cô-si cho