Toán tử Hamilton và phương trình Schrodinger trong nghiên cứu hệ nhiều hạt

Luận văn tốt nghiệp Đại học Toán tử Hamilton và phương trình Schrodinger trong nghiên cứu hệ nhiều hạt.Vật lí hệ nhiều hạt là tên gọi chung cho các bài toán hay vấn đề vật lí liên quan đến thuộc tính của các hệ vi mô được cấu tạo từ một số lượng lớn hạt có tương tác. Tính chất vi mô ở đây là bao hàm việc cơ học lượng tử đã được sử dụng mô tả chính xác các hệ hạt này. Trong các hệ nhiều hạt lượng tử, sự tương tác lặp đi lặp lại giữa các hạt tạo ra mối tương quan lượng tử giữa các hạt, hoặc thậm chí là rối lượng tử. Kết quả là hàm sóng của cả hệ là một đối tượng phức tạp. Bởi vậy, bài toán hệ nhiều hạt thường được nghiên cứu bằng các phương pháp gần đúng và là một trong những lĩnh vực chuyên sâu của khoa học.Năm 1926, Schrödinger đưa ra phương trình sóng mô tả trạng thái vi hạt dựa trên ý tưởng sóng vật chất của de Broglie thì khi đó cơ học lượng tử ra thời và lấy các đại lượng vật lí cổ điển làm cơ sở kinh điển. Từ ấy, hàm Hamilton đã khoát lên mình chiếc áo toán tử và gắn bó với phương trình Schrödinger đến tận ngày hôm nay. Khi phương trình Schrödinger vừa mới ra đời, nó được áp dụng nó cho nguyên tử hidro, cho dao động tử điều hòa, cho phân tử có hai nguyên tử,… nghiệm nhận được là rất phù hợp với kết quả thực nghiệm. Về sau, phương trình Schrödinger tiếp tục được ứng dụng vào vật lí chất rắn, hóa học,…Phương trình Schrödinger thời gian giúp chúng ta xác định trạng thái của một hệ lượng tử biến đổi theo thời gian. Trong trường hợp hệ không tương tác với trường ngoài biến thiên theo thời gian, ta có phương trình Schrödinger dừng (phương trình hàm riêng trị riêng của toán tử Hamilton) có nghiệm là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ đang xét và trị riêng là năng lượng của hệ đang xét. Từ hàm sóng và năng lượng sau khi giải phương trình Schrödinger cho phép ta tính toán các đặc tính mong muốn và tìm ra những tính chất mới cũng như hình dung một cách tổng quan hơn về phổ năng lượng của bài toán.Trong nghiên cứu hệ nhiều hạt, việc áp dụng phương trình Schrödinger cho hệ nhiều hạt và giải nó là bất khả thi vì số biến là quá lớn. Mặt khác, thành phần thế năng tương tác giữa các hạt trong hệ trong biểu thức của toán tử Hamilton làm cho việc giải phương trình Schrödinger thêm phần bất khả thi hơn. Do đó, người ta đã dựa vào đặc thù của từng hệ hạt cụ thể để đưa ra một số phương pháp đơn giản hóa việc giải phương trình Schrödinger. Những phương pháp phổ biến được ứng dụng trong nghiên cứu hệ nhiều hạt như: phương pháp gần đúng đoạn nhiệt (là phương pháp hàng đầu trong việc đơn giản hóa phương trình Schrödinger cho hệ hạt trong tinh thể chất rắn), phương pháp trường trung bình (là phương pháp được áp dụng để đưa bài toán cho hệ nhiều hạt về bài toán một hạt), phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai (được ứng dụng trong nghiên cứu lý thuyết trường, nghiên cứu hệ electron siêu dẫn),…Từ khi phương trình Schrödinger ra đời cho đến nay thì nó đã được được ứng dụng rộng rãi. Như đối với việc nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượng trong vật lí chất rắn, bằng việc áp dụng phương trình Schrödinger cho hệ hạt trong tinh thể chất rắn thì ta tìm được phổ năng lượng có cấu trúc vùng. Để có được kết quả cuối cùng cũng như ý nghĩa vật lí của bài toán là phải trãi qua một loạt các phương gần đúng để giải phương trình Schrödinger tổng quát cho hệ tinh thể.Toán tử Hamilton và phương trình Schrödinger có vai trò quan trọng trong vật lí học nói chung và nghiên cứu hệ nhiều hạt nói riêng. Vì thế, tôi lựa chọn đề tài “Toán tử Hamilton và phương trình Schrödinger trong nghiên cứu hệ nhiều hạt” làm đề tài Luận văn tốt nghiệp.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ - - Đề tài: TOÁN TỬ HAMILTON VÀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER TRONG NGHIÊN CỨU HỆ NHIỀU HẠT Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: TS Huỳnh Anh Huy Cao Hữu Hạnh Mã số SV: B1300559 Lớp: Sư phạm Vật lý - CN Khóa: 39 Cần Thơ, năm 2017 LỜI CẢM TẠ  Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Thầy Huỳnh Anh Huy tận tình hướng dẫn vào tạo điều kiện tốt cho hoàn thành luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Thầy Cô Bộ môn Sư phạm Vật lí, Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ truyền đạt kiến thức suốt thời gian học tập Tôi xin gởi lời cảm đến gia đình ủng hộ, động viên suốt trình học tập Cần Thơ, ngày 21 tháng năm 2017 Sinh viên thực Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục tiêu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn PHẦN NỘI DUNG Chương 1: TOÁN TỬ HAMILTON & PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER 1.1 Toán tử Hamilton 1.2 Phương trình Schrödinger Chương 2: HỆ NHIỀU HẠT 10 2.1 Khái quát hệ nhiều hạt 10 2.2 Hệ hạt đồng 13 2.3 Các đại lượng bảo toàn hệ nhiều hạt 24 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU HỆ NHIỀU HẠT 28 3.1 Phương pháp tách chuyển động khối tâm 28 3.2 Phương pháp gần đoạn nhiệt 33 3.3 Phương pháp trường trung bình 37 3.4 Phương pháp nhiễu loạn 49 3.5 Phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai 60 Chương 4: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER VÀO NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG VÀ DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ TRONG VẬT LÍ CHẤT RẮN 69 4.1 Hàm sóng điện tử tinh thể chất rắn 69 4.2 Năng lượng điện tử tinh thể chất rắn 78 4.3 Cấu trúc vùng lượng chất rắn 80 4.4 Dao động mạng tinh thể chất rắn 97 PHẦN KẾT LUẬN 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO .112 Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lí hệ nhiều hạt tên gọi chung cho toán hay vấn đề vật lí liên quan đến thuộc tính hệ vi mô cấu tạo từ số lượng lớn hạt có tương tác Tính chất vi mô bao hàm việc học lượng tử sử dụng mô tả xác hệ hạt Trong hệ nhiều hạt lượng tử, tương tác lặp lặp lại hạt tạo mối tương quan lượng tử hạt, chí rối lượng tử Kết hàm sóng hệ đối tượng phức tạp Bởi vậy, toán hệ nhiều hạt thường nghiên cứu phương pháp gần lĩnh vực chuyên sâu khoa học Năm 1926, Schrödinger đưa phương trình sóng mô tả trạng thái vi hạt dựa ý tưởng sóng vật chất de Broglie học lượng tử thời lấy đại lượng vật lí cổ điển làm sở kinh điển Từ ấy, hàm Hamilton khoát lên áo toán tử gắn bó với phương trình Schrödinger đến tận ngày hôm Khi phương trình Schrödinger vừa đời, áp dụng cho nguyên tử hidro, cho dao động tử điều hòa, cho phân tử có hai nguyên tử,… nghiệm nhận phù hợp với kết thực nghiệm Về sau, phương trình Schrödinger tiếp tục ứng dụng vào vật lí chất rắn, hóa học,… Phương trình Schrödinger thời gian giúp xác định trạng thái hệ lượng tử biến đổi theo thời gian Trong trường hợp hệ không tương tác với trường biến thiên theo thời gian, ta có phương trình Schrödinger dừng (phương trình hàm riêng trị riêng toán tử Hamilton) có nghiệm hàm sóng mô tả trạng thái hệ xét trị riêng lượng hệ xét Từ hàm sóng lượng sau giải phương trình Schrödinger cho phép ta tính toán đặc tính mong muốn tìm tính chất hình dung cách tổng quan phổ lượng toán Trong nghiên cứu hệ nhiều hạt, việc áp dụng phương trình Schrödinger cho hệ nhiều hạt giải bất khả thi số biến lớn Mặt khác, thành phần tương tác hạt hệ biểu thức toán tử Hamilton làm cho việc giải phương trình Schrödinger thêm phần bất khả thi Do đó, người ta dựa vào đặc thù hệ hạt cụ thể để đưa số phương pháp đơn giản hóa việc giải phương trình Schrödinger Những phương pháp phổ biến ứng dụng nghiên cứu hệ nhiều hạt như: phương pháp gần đoạn nhiệt (là phương pháp hàng đầu việc đơn giản hóa phương trình Schrödinger cho hệ hạt tinh thể chất rắn), phương pháp trường trung bình (là phương pháp áp dụng để đưa toán cho hệ nhiều hạt toán hạt), phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai (được ứng dụng nghiên cứu lý thuyết trường, nghiên cứu hệ electron siêu dẫn),… GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt Từ phương trình Schrödinger đời được ứng dụng rộng rãi Như việc nghiên cứu cấu trúc vùng lượng vật lí chất rắn, việc áp dụng phương trình Schrödinger cho hệ hạt tinh thể chất rắn ta tìm phổ lượng có cấu trúc vùng Để có kết cuối ý nghĩa vật lí toán phải trãi qua loạt phương gần để giải phương trình Schrödinger tổng quát cho hệ tinh thể Toán tử Hamilton phương trình Schrödinger có vai trò quan trọng vật lí học nói chung nghiên cứu hệ nhiều hạt nói riêng Vì thế, lựa chọn đề tài “Toán tử Hamilton phương trình Schrödinger nghiên cứu hệ nhiều hạt” làm đề tài Luận văn tốt nghiệp Mục tiêu đề tài  Thiết lập toán tử Hamilton phương trình Schrödinger  Khái quát hệ nhiều hạt  Trình bày số phương pháp giải toán hệ nhiều hạt  Giải số toán hệ nhiều hạt đơn giản Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Tìm hiểu cấu trúc vùng lượng dao động mạng tinh thể vật lí chất rắn việc áp dụng giải phương trình Schrödinger cho hệ hạt tinh thể chất rắn Phương pháp nghiên cứu  Tìm kiếm, phân tích, so sánh, tổng hợp tài liệu Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm có ba phần Phần mở đầu giới thiệu lí chọn đề tài, mục tiêu đề tài, đối tượng phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu Phần nội dung gồm có chương Chương trình bày sơ lược toán tử Hamilton phương trình Schrödinger Chương giới thiệu hệ nhiều hạt Trong chương 3, mô tả số phương pháp để giải toán hệ nhiều hạt Một toán áp dụng cụ thể thể chương Phần kết luận tóm tắt lại kết đạt luận văn GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt PHẦN NỘI DUNG Chương 1: TOÁN TỬ HAMILTON & PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER Phương trình sóng Schrödinger phương trình mô tả dáng điệu động lực học   Hˆ  , với Hˆ toán tử Hamilton hệ lượng tử không gian thời gian: i t 1.1 Toán tử Hamilton Toán tử Hamilton suy theo nguyên lý tương ứng từ hàm Hamilton nhà bác học người Ireland, William Rowan Hamilton (1805 - 1865) thiết lập nên học cổ điển Toán tử Hamilton toán tử quan trọng bậc học lượng tử Bởi toán học lượng tử cuối quy việc tìm hàm riêng trị riêng toán tử Hamilton 1.1.1 Toán tử Hamilton hệ tọa độ Descartes Xét hạt có khối lượng m chuyển động trường với V  r , t  Khi trường lực tác dụng lên hệ không đổi theo thời gian lượng toàn phần E hệ bảo toàn tổng động K V : E  K V (1.1.1) Ở đây, K hàm xung lượng, V hàm tọa độ: 2 p px  p y  pz K  2m 2m (1.1.2) V  V  r , t   V  x, y , z , t  (1.1.3) Áp dụng nguyên lý tương ứng, thay đại lượng động lực cổ điển toán tử tương ứng ta được: pˆ ˆ Hˆ  V r ,t  2m (1.1.4) Ta có:  pˆ  pˆ x2  pˆ y2  pˆ z2                  i  i    i  i    i  i  x  x   y  y   z  z   GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học      2 2    x   TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt 2    y   2   z   2 2 2   2 2 2 z   x y  pˆ    ; (1.1.5) với  toán tử Laplace hệ tọa độ Descartes:  2 2 2    x y z (1.1.6) Vˆ  r , t   Vˆ  x, y, z, t   V  r , t   V  x, y, z, t  (1.1.7) Biểu thức (1.1.4) viết lại: Hˆ   2m  V r ,t  (1.1.8) Đây biểu thức toán tử Hamilton 1.1.2 Toán tử Hamilton hệ tọa độ cầu Toán tử Laplace hệ tọa độ cầu có dạng:          2 r  sin       r r  r  r sin      r sin   (1.1.9)      r     ,   ; r r  r  r (1.1.10) Hay: với:   ,        2 sin     sin      sin   (1.1.11) Suy toán tử Hamilton hệ tọa độ cầu là: Hˆ   1      r     ,     V  r , ,    2m  r r  r  r  (1.1.12) Hˆ   1     L2  r   V  r , ,   ;   2m  r r  r  2mr  (1.1.13) Hay: đó, Lˆ toán tử moment động lượng: Lˆ2        2  sin       ,     sin    2   sin        GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang (1.1.14) SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt 1.2 Phương trình Schrödinger Xuất phát từ ý niệm sóng vật chất nhà vật lí người Pháp, Louis de Broglie (1892 - 1987) tương đồng quang học học Năm 1926, nhà vật lí người Áo, Erwin Schrödinger (1887 - 1961) thiết lập nên phương trình sóng mô tả trạng thái hệ lượng tử Phương trình Schrödinger phương trình học lượng tử Cũng nhiều phương trình vật lí khác, phương trình Schrödinger có tính chất tiên đề Sự đắn phương trình Schrödinger khẳng định thông qua so sánh kết thu từ phương trình với thực nghiệm Một mặt khác, tiên đoán thiên tài vĩ đại Schrödinger 1.2.1 Phương trình Schrödinger hạt chuyển động tự Xét trường hợp hạt chuyển động phi tương đối tính (v c) Hàm sóng mô tả sóng phẳng hạt chuyển động tự có lượng E xung lượng p có dạng:   r , t   Ae  i  Et  pr  ; (1.2.1) với A biên độ sóng Lấy đạo hàm bậc hàm sóng (1.2.1) theo thời gian, ta được:  i   r , t    E  r , t  t  i   r , t   E  r , t  t (1.2.2) Lấy đạo hàm bậc hai hàm sóng (1.2.1) theo tọa độ, ta được:  2 2 2  p2    r , t    r ,t     2   x y z     r , t    p2  r ,t      r , t   p 2  r , t  (1.2.3) Vì hạt chuyển động tự nên lượng hạt động nó: EK p2 2m (1.2.4) Nhân hai vế biểu thức với hàm sóng   r , t  : E  r , t   p2  r ,t  2m (1.2.5) Thay (1.2.2) (1.2.3) vào (1.2.5) ta được: GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học i TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt   r , t     r , t  t 2m (1.2.6) Đây phương trình Schrödinger hạt chuyển động tự Phương trình phương trình tuyến tính   nghiệm Tổ hợp tuyến tính hàm  nghiệm phương trình Nghiệm phương trình Schrödinger hạt chuyển động tự có dạng sóng phẳng de Broglie viết sau:   r , t   Ae  i  Et  pr     r   t     r  e i  Et (1.2.7) Thay hàm sóng vào phương trình (1.2.6) ta được:  2m   r   E  r  (1.2.8) Phương trình phụ thuộc vào tọa độ nghiệm xác định hàm sóng   r  cho hạt chuyển động tự Áp dụng nguyên lý tương ứng cho biểu thức (1.2.4) ta tìm biểu thức toán tử Hamilton cho cho hạt chuyển động tự do: Hˆ   2m  (1.2.9) Phương trình (1.2.6) viết lại: i   r , t  ˆ  H  r , t  t (1.2.10) 1.2.2 Phương trình Schrödinger tổng quát Trong trường hợp tổng quát, hạt chuyển động trường lực Phương trình hạt chuyển động tự cho hạt (hay hệ hạt) chuyển động trường lực Tức trường hợp tổng quát, hạt chuyển động trường lực phương trình Schrödinger hệ có dạng phương trình Schrödinger hạt chuyển động tự Bây ta tổng quát hóa phương trình Schrödinger hạt chuyển động tự sang cho trường hợp hạt chuyển động trường lực Nếu hạt chuyển động trường lực phụ thuộc thời gian (nhưng không phụ thuộc vào vận tốc hạt), theo nguyên lý tương ứng ta có: E  K  V  r , t   Hˆ   2m  V r ,t  (1.2.11) Nếu hạt chuyển động trường thế, lượng hạt là: E  K  V  r   Hˆ   GVHD: TS Huỳnh Anh Huy 2m  V r  Trang (1.2.12) SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt Thay biểu thức toán tử Hamilton (1.2.12) vào phương trình (1.2.10) ta phương trình Schrödinger cho hạt chuyển động trường thế: i i   r , t  ˆ  H  r , t  t   r , t  t       V  r    r , t   2m  (1.2.13) Đây phương trình Schrödinger tổng quát, hay gọi phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian Từ dạng tường minh phương trình Schrödinger thời gian, ta nhận thấy nghiệm phương trình có số đặc điểm sau:  Do toán tử lượng Hˆ vế phải phép lấy đạo hàm theo thời gian vế trái toán tử tuyến tính nên phương trình Schrödinger phương trình tuyến tính Do đó, nghiệm phải thỏa mãn nguyên lý chồng chất trạng thái:   r , t    Cn n  r , t  (1.2.14)  Phương trình Schrödinger phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc theo thời gian bậc hai theo tọa độ Nhưng có thừa số ảo i vế trái, nên phương trình vi phân bậc theo thời gian phương trình Schrödinger có nghiệm tuần hoàn theo thời gian Nghiệm phương trình tìm ta biết điều kiện ban đầu điều kiện biên 1.2.3 Phương trình Schrödinger dừng Trong trường hợp vi hạt chuyển động trường lực không đổi theo thời gian Hamiltonian hệ không phụ thuộc thời gian Trong trường hợp ta tách biến phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian cách viết hàm sóng dạng tích hai hàm Trong đó, hàm phụ thuộc thời gian hàm phụ thuộc không gian:   r , t   Ae  i  Et  pr     r   t     r  e i  Et (1.2.15) Thay hàm sóng vào phương trình Schrödinger thời gian (1.2.13) Ta được: i  r    t  ˆ  H  r   t  t (1.2.16) Chia hai vế phương trình cho   r , t     r   t  Ta được:   t  1 ˆ i  H  r   const  E ;  t  t  r  (1.2.17) với E số tách biến có thứ nguyên lượng GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt Số hạng thứ ba vế phải phép khai triển (4.4.2) ứng với lực đàn hồi dẫn đến dao động điều hòa mạng tinh thể Dễ dàng chứng minh số hạng thứ tư không, số hạng ứng với dao động phi điều hòa 4.4.2 Phương trình Schrödinger cho hệ phonon biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai Các dao động mang tinh thể từ góc độ lượng tử coi hệ phonon Để thấy rõ điều này, đưa vào toán tử sinh hủy phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai Để đơn giản, xét trường hợp dao động điều hòa chiều Thế (4.4.2) viết dạng:   VJ R   An,n 'unun ' (4.4.4) n,n ' Chú ý đến (4.4.3), viết lại biểu thức sau:   VJ R   Anun2 (4.4.5) n Toán tử Hamilton cho dao động mạng tinh thể có dạng:  pˆ  Hˆ    n  M n2un2    Hˆ n n  2M  n (4.4.6) Bài toán quy toán hệ dao động tử điều hòa, dao động tử điều hòa ứng với toán tử Hamilton Hˆ n Để đơn giản, xét trường hợp dao động điều hòa chiều theo phương x Khi đó, (4.4.5) viết lại dạng:   VJ R   An,n ' xn xn ' n,n '    VJ R   An xn2 (4.4.7) n Lúc này, toán tử Hamilton dao động mạng tinh thể chiều xác định:  pˆ x2n  ˆ H    M n2 xn2    Hˆ n ; n   2M  n (4.4.8) với Hˆ n toán tử Hamilton dao động tử điều hòa n chiều với tần số dao động n : Hˆ n  pˆ x2n  M n2 xn2 2M (4.4.9) Các toán tử xˆn pˆ x thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: n GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 99 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt  xˆn , xˆn '    pˆ n , pˆ n '    xˆn , pˆ n '   i  nn ' (4.4.10) Từ Hamiltonian (4.4.8) ta viết phương trình Schrödinger trạng thái dừng dao động mạng chiều gần điều hòa có dạng tổng quát là: Hˆ   E    d2     M n2 xn2    E  2M dxn n   (4.4.11) Từ Hamiltonian (4.4.9) ta viết phương trình Schrödinger trạng thái dừng dao động tử điều hòa n : Hˆ n n   n n   d2    M n2 xn2  n   n n  2M dxn  (4.4.12) Bằng phương pháp tách biến số, từ hai phương trình (4.4.11) (4.4.12) ta dễ dàng thấy rằng: E  n (4.4.13) n    n (4.4.14) n Ta đưa vào toán tử sinh hạt aˆn hủy hạt aˆn xác định sau: aˆn  ipˆ xn  M   n xˆn   n  M  (4.4.15) aˆn  ipˆ xn  M   n xˆn   n  M  (4.4.16) Toán tử aˆn aˆn thỏa mãn hệ thức giao hoán:  aˆn , aˆn '    aˆn , aˆn'   (4.4.17)  aˆn , aˆn'    nn ' Toán tử aˆn liên hiệp Hermite với aˆn Từ (4.4.15) (4.4.16) ta có: xˆn  M n  aˆ GVHD: TS Huỳnh Anh Huy  n  aˆn  (4.4.18) Trang 100 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học pˆ xn  iM n M n TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt  aˆ  n  aˆn  (4.4.19) Thay xˆn pˆ x vào (4.4.12) ta được: n Hˆ n  pˆ x2n n  M n2 xn2  aˆn aˆn  aˆn aˆn   2M 2 (4.4.20) Mặt khác,  aˆn , aˆn   nên ta viết lại biểu thức sau: 1 1   Hˆ n  n  aˆn aˆn    n  nˆ   ; với nˆ  aˆn aˆn 2 2   (4.4.21) Toán tử nˆ  aˆn aˆn toán tử số hạt có lượng n Ta chứng minh điều mục sau Bây giờ, ta viết lại toán tử Hamilton tổng quát dao động mạng sau: 1 1   Hˆ   Hˆ n   n  aˆn aˆn     n  nˆ   2 n 2   n (4.4.22) Ta thay đổi gốc tính lượng viết biểu thức dạng là: Hˆ   n  aˆn aˆn    n nˆ n (4.4.23) n Phương trình Schrödinger (4.4.11), (4.4.12) viết lại là: Hˆ   E        n  nˆ    n    n n   n  n (4.4.24) Hˆ n n   n n      n  nˆ    n   n n    (4.4.25) 4.4.3 Năng lượng dao động mạng tinh thể Ta thấy hàm riêng Hˆ n hàm riêng toán tử số hạt nˆ Gọi n trị riêng toán tử nˆ tương ứng với hàm riêng n Ta có: nˆ n  n n (4.4.26) Từ (4.4.25) (4.4.26) ta suy ra: 1 1   Hˆ n n  n  nˆ   n  n  n   n   n n 2 2   (4.4.27) Ta suy lượng dao động tử điều hòa n là: GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 101 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt  n  n  n   ; với n  0,1, 2,3,  (4.4.28)  Mặt khác, (4.4.13), cho ta E    n Ta suy lượng dao động mạng n gần điều hòa là: 1  E    n   n  n   2  n n   n  n n n n  E0   n n (4.4.29) n Ở đây, E0 gọi lượng dao động không mạng tinh thể: E0   n n (4.4.30) Như vậy, thấy lượng dao động tử điều hòa nhận giá trị gián đoạn Nghĩa lượng dao động mạng chịu lượng tử hóa En n4 n n n n3 n n 1 n n0 n2 Hình 4.12 – Đồ thị mô tả lượng dao động tử tinh thể chiều [08]  Kết luận:  Sau sử dụng toán tử Hamilton phương trình Schrödinger để nghiên cứu dao động mạng tinh thể ta thấy điểm đặc biệt lý thuyết lượng tử GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 102 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt dao động mạng tinh thể tồn lượng không (năng lượng trạng thái bản) Đó mức lượng thấp mạng tinh thể 4.4.4 Hệ phonon dao động mạng tinh thể Theo thuyết lượng tử dao động mạng tinh thể, phần lượng nhỏ (lượng tử lượng) bị hấp thụ xạ trạng thái dao động nhiệt    Một mạng tinh thể trạng thái dao động coi hệ hạt, mà hạt có lượng    gọi phonon Hay nói cách khác, phonon lượng tử lượng sóng đàn hồi Sóng đàn hồi tinh thể tạo thành từ phonon Các dao động nhiệt tinh thể phonon kích thích nhiệt Trong thực tế, ta hạt thật mà có trạng thái dao động khác mạng tinh thể biểu diễn hệ nhiều hạt Do nên phonon mà ta xét đến hạt thật mà chuẩn hạt mà Để hiểu rõ chuẩn hạt phonnon, ta xét ý nghĩa toán tử sinh hạt aˆn hủy hạt aˆn Xét giao hoán tử Hˆ với aˆn aˆn , ta có: ˆ ˆ   aˆ  Hˆ   aˆ   Hˆ , aˆn   Ha n n n n   (4.4.31) ˆ ˆ  aˆ Hˆ    aˆ  Hˆ , aˆn   Ha n n n n   (4.4.32) Gọi n hàm riêng Hˆ ứng với trị riêng  Ta có phương trình hàm riêng - trị riêng: Hˆ n n   n n (4.4.33) Ta xét trạng thái aˆn  n Sử dụng kết hệ thức giao hoán (4.4.32) ta được: Hˆ  aˆn n ˆˆ      Ha Hˆ  aˆn n    n n    aˆn Hˆ  n aˆn n (4.4.34) Suy ra: n  n   aˆn n  (4.4.35) Tương tự trên, xét trạng thái aˆn n ta được: Hˆ  aˆn n    n  n   aˆn n  n  n   aˆn n  (4.4.36) Như vậy, ta có: Hˆ n n   n n Hˆ  aˆn n    GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 103 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học Hˆ  aˆn n    TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt n  n   aˆn n  Từ đây, ta rút kết luận sau:  Kết luận:  Ở trạng thái n lượng dao động điều hòa  n Ở trạng thái aˆn  n lượng dao động điều hòa  n  n Ở trạng thái aˆn n lượng dao động điều hòa  n  n  Hạt có lượng n gọi hạt phonon ( n lượng phonon) Phonon hạt thực mà chuẩn hạt thuộc loại boson  Toán tử aˆn toán tử sinh hạt phonon có lượng n , toán tử aˆn toán tử hủy hạt phonon có lượng n 4.4.5 Trạng thái phonon dao động mạng tinh thể Quy tắc áp dụng toán tử sinh hạt aˆn hủy hạt aˆn lên hàm n : aˆn n  nn  n1 (4.4.37) aˆn n  nn n1 (4.4.38) Từ hệ thức ta dễ dàng thấy rằng: nn  aˆn nn  n*1 aˆn n  nn  (4.4.39) nn  aˆn nn  n*1 aˆn n  nn (4.4.40) Trong hệ thức (4.4.37) thay nn nn  ta có: aˆn n1  nn n (4.4.41)  aˆn n 1 nn (4.4.42) Suy ra: n  Thay nn nn  2, nn  3, vào biểu thức ta có: n 1  n2 aˆn n  nn 1 (4.4.43)  aˆn n 3 nn  …………… GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 104 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt Từ đây, ta rút được: n  xn   n aˆn  0  xn   nn ! (4.4.44) Biểu thức toán tử sinh hạt hủy hạt là: Đặt a0  aˆn  ipˆ xn  M   n xˆn   n  M  aˆn  ipˆ xn  M   n xˆn   n  M  M n ý pˆ x  i n d ta được: dxn  d  aˆn  a0  n xˆn   M dxn   (4.4.45)  d  aˆn  a0  n xˆn   M dxn   (4.4.46) Ở trạng thái 0 phonon cho nên: aˆn 0  (4.4.47) Người ta gọi trạng thái phonon trạng thái chân không hay trạng thái Hàm 0 xác định từ phương trình: aˆn 0   d   a0  n xˆn   0  M dxn   (4.4.48) hay: d0  xn  M n  xn0  xn   dxn (4.4.49) Nghiệm phương trình có dạng: 0  xn   A0e  M n xn (4.4.50) Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng  0*  xn  0  xn  dxn  ta suy ra:  M n  A0       GVHD: TS Huỳnh Anh Huy (4.4.51) Trang 105 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt Từ đây, ta thu được:  M n   0  xn     e    M n xn (4.4.52) Như vậy, biết hàm 0  xn  ta xác định hàm  n  xn  theo (4.4.44) Trạng thái n , với  n  0,1, 2,3,  tạo hệ sở biểu diễn số hạt ( N - biểu diễn), chúng tạo thành hệ trực giao, đầy đủ hàm chuẩn hóa Bây ta chứng minh nˆ  aˆn aˆn toán tử số hạt Để làm điều này, ta tác dụng lên trạng thái với n phonon: nˆ  n  aˆn aˆn  n  n  aˆn aˆn  aˆn  0 n! (4.4.53) Nhân bước bên phải aˆn với hệ thức giao hoán  aˆn , aˆn '    aˆn , aˆn'   ,  aˆn , aˆn    nn ' ta nhận được: aˆn aˆn  aˆn aˆn  aˆn  aˆn    aˆn  aˆn  2aˆn 2 (4.4.54) aˆn  aˆn    aˆn  aˆn  n  aˆn  n n n 1 Do ta có: n n 1 n   aˆn aˆn  aˆn  0  aˆn  n  aˆn    aˆn  aˆn 0   n! n!   n n   n 1 aˆn  aˆn  0 n! n aˆn  0  n! (4.4.55) Kết hợp với (4.4.52) ta được: aˆn aˆn n  n n (4.4.56) Như vậy, ta thấy trạng thái n hàm riêng toán tử aˆn aˆn với trị riêng n số phonon toán tử nˆ  aˆn aˆn toán tử số hạt GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 106 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt PHẦN KẾT LUẬN Sau trình thực đề tài luận văn tốt nghiệp “Toán tử Hamilton phương trình Schrödinger nghiên cứu hệ nhiều hạt” luận văn hoàn thành đạt số kết sau:  Thứ nhất, thiết lập Toán tử Hamilton phương trình Schrödinger:  Đối với toán tử Hamilton, toán tử quan trọng học lượng tử toán học lượng tử quy việc tìm hàm riêng - trị riêng toán tử Hamilton Còn phương trình Schrödinger, phương trình học lượng tử phi tương đối tính, có vai trò tương tự phương trình Newton học cổ điển  Phương trình Schrödinger suy từ hàm sóng hạt chuyển động tự áp dụng cho tất trường hợp kể hạt chịu tác dụng trường lực  Phương trình Schrödinger dừng trường hợp riêng phương trình Schrödinger tổng quát Mọi nghiệm phương trình Schrödinger dừng thỏa mãn phương trình Schrödinger tổng quát Nhưng ngược lại, nghiệm phương trình Schrödinger tổng quát thỏa mãn phương trình Schrödinger dừng  Việc giải phương trình Schrödinger thực chất ta giải toán để tìm hàm riêng trị riêng toán tử Hamilton  Phương trình Schrödinger áp dụng cho hạt có vận tốc v c Trường hợp v  c phải dụng đến phương trình Dirac (phương trình tương đối tính)  Thứ hai, trình bày khái quát Hệ nhiều hạt:  Hệ nhiều hạt hệ gồm có từ hai hạt trở lên  Khác với hệ hạt đồng cổ điển ta phân biệt hạt hạt hệ hạt đồng lượng tử phân biệt theo “Nguyên lí không phân biệt hạt đồng nhất”  Nguyên lí không phân biệt hạt đồng nảy sinh hệ trạng thái hệ hạt đồng không thay đổi ta hoán vị hạt cho  Những tính chất quan trọng hàm sóng hệ hạt đồng là: đối xứng (tính đối xứng vĩnh cửu), phụ thuộc vào spin,…  Hệ hạt đồng boson (spin nguyên) mô tả hàm sóng đối xứng Hệ hạt đồng fermion (spin bán nguyên) mô tả hàm sóng phản GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 107 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt đối xứng tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli Một khía cạnh khác, nguyên lý Pauli hệ trực tiếp tính chất phản đối xứng hàm sóng  Nếu tương tác hạt hệ không chứa tường minh thời gian, lượng hệ có giá trị xác định xét đến đại lượng bảo toàn hệ nhiều hạt: bảo toàn động lượng, bảo toàn moment động lượng,…  Thứ ba, trình bày số Phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt:  Việc áp dụng toán tử Hamilton phương trình Schrödinger nghiên cứu hệ nhiều hạt giải phương trình Schrödinger bất số biến phương trình Schrödinger lớn Vì vậy, cần phải có phương pháp cụ thể để đơn giản hóa phương trình Schrödinger (hay nói cách khác giải gần phương trình Schrödinger) việc nghiên cứu hệ nhiều hạt  Một số phương pháp phổ biến việc nghiên cứu hệ nhiều hạt là: phương pháp tách chuyển động khối tâm, phương pháp gần đoạn nhiệt, phương pháp trường trung bình, phương pháp nhiễu loạn, phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai  Thứ tư, Áp dụng phương trình Schrödinger vào nghiên cứu cấu trúc vùng lượng dao động mạng tinh thể vật lí chất rắn: Các tính chất chất rắn xác định phương trình Schrödinger cho hệ điện tử hạt nhân Việc giải phương trình Schrödinger cho hệ tinh thể không khả thi, nên áp dụng phương pháp gần đoạn nhiệt để đơn giản hóa phương trình Schrödinger cho hệ tinh thể cách tách thành hai phương trình: phương trình cho hệ hạt nhân phương trình cho hệ điện tử Đối với phương phương trình Schrödinger cho hệ điện tử, dùng phương trình để nghiên cứu cấu trúc vùng lượng Còn phương trình Schrödinger cho hệ hạt nhân, dùng phương trình để nghiên cứu dao động mạng tinh thể  Về kết việc nghiên cứu cấu trúc vùng lượng:  Năng lượng toàn phần hệ tổng lượng hệ điện tử lượng hệ hạt nhân Tuy nhiên, đóng góp lượng cho toàn hệ hệ hạt nhân không đáng kể so với hệ điện tử Vì thế, nói lượng, bỏ qua lượng hệ hạt nhân  Phương trình Schrödinger cho hệ điện tử phương trình hệ nhiều hạt có tương tác với nên việc giải phương trình nhiều khó khăn Do vậy, ta áp dụng phương pháp trường trung bình để đưa phương trình Schrödinger cho hệ điện tử phương trình Schrödinger điện tử GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 108 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt  Việc giải phương trình Schrödinger điện tử, với giả thuyết tuần hoàn khác có mô hình vật lí chất rắn khác với phương pháp áp dụng để giải gần phương Schrödinger  Trong mô hình điện tử liên kết yếu, xem tuần hoàn nhiễu loạn, từ ta áp dụng phương pháp nhiễu loạn để giải phương trình Schrödinger điện tử xác định lượng hàm sóng điện tử tinh thể Ta thấy thuộc tính lượng chất rắn có cấu trúc vùng, đan xen vùng phép vùng cấm Tuy nhiên, hạn chế của mô hình điện tử liên kết yếu áp dụng với điện tử xa lõi nguyên tử điện tử nhỏ  Để khắc phục nhược điểm mô hình điện tử liên kết yếu mô hình điện tử liên kết mạnh đề Với giả thiết coi điện tử liên kết chặt với nguyên tử mẹ, tạo thành vùng lượng hệ phủ hàm sóng Qua việc chọn hàm sóng ban đầu nguyên tử cô lập, ta tìm lời giải phương trình Schrödinger Kết lượng nguyên tử cô lập bị dịch chuyển tách thành vùng lượng, xen vùng lượng phép vùng cấm Nhược điểm mô hình áp dụng cho điện tử nằm sâu bên nguyên tử, liên kết chặt với nguyên tử dẫn đến xét đến điện tử hóa trị bên chồng phủ hàm sóng lớn  Kết việc áp dụng phương trình Schrödinger nghiên cứu cấu trúc vùng lượng chất rắn lượng có cấu trúc vùng Bức tranh lượng vật rắn có đan xen lẫn vùng phép vùng cấm Như vậy, thấy phương trình Schrödinger có vai trò cốt lõi việc nghiên cứu cấu trúc vùng lượng vật lí chất rắn  Để có kết cuối phải trãi qua phương pháp gần để đơn giản hóa phương trình Schrödinger cho hệ hạt khổng lồ Bằng việc áp dụng phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt ta đưa phương trình Schrödinger cho hệ hạt phương trình Schrödinger cho hạt Sau đó, giải phương trình Schrödinger điện tử dựa mô hình vật lí tính lượng điện tử tinh thể Ý nghĩa vật lí mà ta tìm lượng chất rắn có cấu trúc vùng Cấu trúc vùng lượng cở sở để người ta phân loại vật rắn: kim loại (chất dẫn điện), chất bán dẫn, chất điện môi (chất cách điện)  Việc sử dụng toán tử Hamilton phương trình Schrödinger nghiên cứu hệ tinh thể đưa việc nghiên cứu hệ hạt việc nghiên cứu hạt  Về kết việc nghiên cứu dao động mạng tinh thể: GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 109 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt  Xét thấy thành phần tương tác phương trình Schrödinger cho hệ hạt nhân tương tác nguyên tử (hoặc phân tử) nút mạng, tương tác có dạng đàn hồi Vì thế, ta sử dụng phương trình Schrödinger cho hệ hạt nhân để nghiên cứu dao động mạng tinh thể  Qua việc áp dụng phương trình trình Schrödinger để lượng tử hóa dao động mạng tinh thể ta thấy điểm đặc biệt lý thuyết lượng tử dao động mạng tinh thể tồn lượng không, mức lượng thấp mạng tinh thể  Phần lượng nhỏ (lượng tử lượng) bị hấp thụ xạ trạng thái dao động nhiệt Vì vậy, mạng tinh thể trạng thái dao động coi hệ hạt Tuy nhiên, phonon mà ta xét đến hạt thật mà chuẩn hạt mà Chúng ta biết tượng quang điện tượng chứng tỏ có tồn lượng tử sóng điện từ hạt photon Tuy nhiên, phonon chưa có chứng thực nghiệm Nhưng chúng có chứng thực nghiệm gián tiếp chứng tỏ hữu phonon Ví dụ nhiệt dung riêng mạng tinh thể vật rắn tiến không Điều giải thích lượng sóng đàn hồi bị lượng tử hóa, nghĩa phải có tồn phonon  Như vậy, sau áp toán tử Hamilton phương trình Schrödinger để nghiên cứu dao động mạng tinh thể thấy dao động mạng biểu diễn hệ phonon Tính ưu việt cách biểu diễn dao động mạng tinh thể phonon so với cách biểu diễn dao động tử điều hòa là:  Với cách biểu diễn dao động tử điều hòa xét đến dao động có biên độ lớn giả thuyết tính điều hòa dao động không Tức dao động tử dao động độc lập  Trong cách biểu diễn phonon lượng mà tinh thể thu nhận làm sinh phonon Khi số phonon không lớn phonon độc lập, không tương tác với Khi số phonon lớn phải xét thêm tương tác phonon với chúng va chạm đủ Vì vậy, xét vấn đề dao động không điều hòa Trên tất kết mà đúc kết sau trình thực đề tài luận văn tốt nghiệp “Toán tử Hamilton phương trình Schrödinger nghiên cứu hệ nhiều hạt” Đó sở giới quan phương pháp luận sau có bước tiến cao khoa học vật lí GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 110 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt Trong nghiên cứu hệ nhiều hạt, người ta dùng số phương pháp khác phương pháp hàm Green, phiếm hàm mật độ Ngoài ra, người ta dùng máy tính để giải toán hệ nhiều hạt Nếu nghiên cứu tiếp, chuyển sang nghiên cứu hệ nhiều hạt qua phương pháp giải toán máy tính, phương pháp hàm Green Bên cạnh nghiên cứu cụ thể toán hệ electron siêu dẫn, toán hệ electron linh động từ học Đó toán hệ nhiều hạt có ý nghĩa vật lí sâu sắc khoa học kỹ thuật GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 111 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [01] Charles Kittel, Sơ yếu vật lý chất rắn - Dịch giả Phạm Duy Hiển & Đặng Mộng Lân, NXB Khoa học Kỹ thuật, năm 1970 [02] Đỗ Trần Cát, Lý thuyết hệ nhiều hạt, NXB Bách khoa - Hà Nội, năm 2009 [03] Đỗ Trần Cát, Vật lý thống kê, NXB Khoa học Kỹ thuật, năm năm 2001 [04] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội, năm 2007 [05] Huỳnh Anh Huy, Bài giảng Vật lý hệ nhiều hạt, ĐH Cần Thơ, năm 2016 [06] Huỳnh Anh Huy - Nguyễn Thị Thúy Hằng, Giáo trình Cơ học lượng tử 1, ĐH Cần Thơ, năm 2016 [07] Huỳnh Anh Huy - Vũ Thanh Trà, Bài giảng Cơ học lượng tử 2, ĐH Cần Thơ, năm 2016 [08] Nguyễn Thành Tiên - Nguyễn Trí Tuấn, Giáo trình Vật lý chất rắn, NXB ĐH Cần Thơ, năm 2015 [09] Nguyễn Quang Báu - Hà Huy Bằng, Lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt, NXB ĐHQG Hà Nội, năm 2002 [10] Nguyễn Quốc Khánh, Lý thuyết hệ nhiều hạt, NXB ĐHQG TP HCM, năm 2000 [11] Nguyễn Xuân Hãn, Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội, năm 1998 [12] Nguyễn Hữu Mình - Nguyễn Thị Thanh Hương, Lí thuyết lượng tử chất rắn, NXB ĐH Sư phạm, năm 2008 [13] Nguyễn Văn Hùng, Lý thuyết chất rắn, NXB ĐHQG Hà nội, năm 2000 [14] Nguyễn Thị Bảo Ngọc - Nguyễn Văn Nhã, Giáo trình Vật lí chất rắn, NXB ĐHQG Hà Nội, năm 1997 [15] Nguyễn Văn Hiệu, Tuyển tập giảng chuyên đề Lý thuyết chất rắn, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội, năm 2001 [16] N I Kariankin - K N Buxtrôv - P X Kirêev, Sách tra cứu tóm tắt vật lý Dịch giả Đặng Quang Khanh, NXB Khoa học Kỹ thuật, năm 2003 [17] Phan Đình Kiển, Cơ học lượng tử, NXB Giáo dục, năm 2005 [18] Phùng Hồ, Phan Quốc Phô, Giáo trình Vật lý bán dẫn, NXB Khoa học Kỹ thuật, năm 2001 [19] Vũ Thanh Trà, Bài giảng Vật lý chất rắn, ĐH Cần Thơ, năm 2016 GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 112 SVTH: Cao Hữu Hạnh Luận văn tốt nghiệp Đại học TT Hamilton PT Schrödinger NC hệ nhiều hạt [20] Vũ Đình Cự, Vật lý chất rắn, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội, năm 1997 [21] Võ Văn Hòa, Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ “Nghiên cứu lý thuyết việc mở rộng vùng cấm Graphene hai lớp cách sử dụng điện trường ngoài”, Trường ĐH Cần Thơ, năm 2016 Tiếng Anh [22] Charles Kittel, Intoduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, 2004 [23] E K U Gross, E Runge, Many - Particle Theory, Universitat Wurzburg and Harvard University, 1991 [24] Gerald D Mahan, Many - Particle Physics, University of Tennessee, 2000 [25] John W Negele-Henni Orland, Quantum Many - particle Systems, Advanced book classics, 1998 [26] J M Ziman, Principles of the Theory of Solids, Cambridge University Press, 1964 GVHD: TS Huỳnh Anh Huy Trang 113 SVTH: Cao Hữu Hạnh