sở giáo dục & đào tạo tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quốc Học thừa thiên huế năm học 2003-2004 ---------------------- hớng dẫn chấm đề chính thức môn toán ----------------------------------------------------- Bài I: ( 2,5 điểm). 1/. M có nghĩa khi : > >+ 012 012 01 xx xx x > 12 1 xx x 0,25 đ > )1(4 1 2 xx x > 0)2( 1 2 x x 2 1 x x 0,25 đ 2/. M = 22 )11( 1 )11( 1 + xx 0,25 đ = 11 1 11 1 + x x 0,25 đ * Nếu 1 x - 1 > 0 , hay x > 2 thì : M = 11 1 11 1 + xx = x 2 2 0,25 đ * Nếu 1 x - 1 < 0 , hay 1 x < 2 thì : M = 11 1 11 1 + xx = 2 12 x x 0,25 đ Vậy, M = < > 21 2 12 2 2 2 xneu x x xneu x 3/. Với x > 2 ta có M = x 2 2 . Muốn M nguyên khi x > 2, x Z 2 (2 - x) 2 - x = 1 ; 2 - x = 2. 0,25 đ * 2 - x = 1 x = 1 (loại) 0,25 đ * 2 - x = -1 x = 3 M = - 2 1 * 2 - x = 2 x = 0 (loại) 0,25 đ * 2 - x = -2 x = 4 M = - 1. Vậy, với x = 3 ; x = 4 biểu thức M có giá trị nguyên. 0,25 đ Bài II: ( 2 điểm). 1/. (D ) có dạng y = ax + b. 0,25 đ . Vì (D )// (D) a = -1 0,25 đ . M(0; m) (D) m = a.0 + b b = m. 0,25 đ Vậy, phơng trình của (D) là y = - x + m. 0,25 đ 2). Số giao điểm của (D) và (P) chính là số nghiệm của phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (D). Với (P) : y = x 2 và (D): y = - x + m , ta có phơng trình hoành độ giao điểm của của (D) và (P) là: x 2 = - x + m x 2 + x - m = 0 (1) 0,25 đ = 1 + 4m * > 0 1 + 4m > 0 m > 4 1 . Vậy, với m > 4 1 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt, suy ra (D) và (P) cắt nhau tại hai điểm khác nhau. 0,25 đ * < 0 1 + 4m < 0 m < 4 1 . Vậy, với m < 4 1 phơng trình (1) vô nghiệm , suy ra (D) và (P) không có điểm chung. 0,25 đ * = 0 1 + 4m = 0 m = 4 1 . Vậy, với m = 4 1 phơng trình (1) có nghiệm kép, suy ra (D) và (P) tiếp xúc nhau. 0,25 đ Bài III: (2,5 điểm). 1/. (1 đ). Giải phơng trình x 2 - x - 20 = 0. Phơng trình x 2 - x - 20 = 0 tơng đơng với các hệ phơng trình: (1) = 0 020 2 x xx ; (2) =+ 0 020 2 x xx 0,25 đ Hệ (1) có hai nghiệm là x 1 = 5 , x 2 = - 4 . x 2 = - 4 < 0 không thoả mãn điều kiện x 0 nên bị loại. Vậy (1) chỉ có một nghiệm là x 1 = 5. 0,25 đ Hệ (2) có hai nghiệm là x 3 = 4 , x 4 = - 5 . x 3 = 4 > 0 không thoả mãn điều kiện x 0 nên bị loại. Vậy (2) chỉ có một nghiệm là x 4 = - 5. 0,25 đ Vậy, phơng trình đã cho chỉ có hai nghiệm : x 1 = 5 , x 4 = - 5. 0,25 đ 2 2/. Giả sử phơng trình x 2 + px + q = 0 có hai nghiệm nguyên x 1 , x 2 . Theo định lý Viet, ta có: x 1 + x 2 = -p x 1 x 2 = q 0,25 đ Do đó p + q + 1 = x 1 x 2 - (x 1 + x 2 ) + 1 = 2003 hay ( x 1 - 1 ) ( x 2 - 1 ) = 2003. 0,50 đ Vì 2003 là số nguyên tố, giả sử x 1 > x 2 , ta nhận đợc : a/. x 1 - 1 = 2003 x 1 = 2004 x 2 - 1 = 1 x 2 = 2 p = - 2006 , q = 4008. 0,25 đ b/. x 1 - 1 = - 1 x 1 = 0 x 2 - 1 = - 2003 x 2 = - 2002 p = 2002 , q = 0. 0,25 đ Từ đó, ta có các phơng trình bậc hai dạng x 2 + px + q = 0 thoả mãn điều kiện bài toán : x 2 - 2006x + 4008 = 0 x 2 + 2002x = 0 0,25 đ Bài IV: (3 điểm). 1/. Hình vẽ đúng, rõ : 0,25 đ Trong (O 1 ) ta có: BDM = ABC (cùng chắn BM ) Trong (O 2 ) ta có : CDM = ACB. ta có: BAC + BDC = BAC + ABC + ACB = 180 0 0,50 đ ABDC nội tiếp D nằm trên (O). 0,25 đ 2/. Tia DM cắt (O) ở I. Ta chứng minh I là điểm cố định. Ta có IAB = IDB (cùng chắn BI ) IDB = ABC IAB = ABC AI // BC. 0,50 đ Vì A, B, C cố định, (O) cố định I cố định. 0,25 đ 3/. Khi ABC đều AO BC. Đờng thẳng AI song song với BC tại A chính là tiếp tuyến của (O) tại A (vì AI vuông góc với đờng kính tại một điểm trên đờng tròn ) I A. 0,25 đ Do đó tia DM đi qua A hay D, M, A thẳng hàng. 0,25 đ ABM ADB (g-g) 0,25 đ AB AM AD AB = AM . AD = AB 2 = ( ) 2 3R = 3R 2 . 0,25 đ 3 Từ đó ta có nhận xét: Khi M thay đổi trên BC ( M B, C ) thì tích AM . AD không đổi và luôn luôn bằng 3R 2 . 0,25 đ -------------------------------------------------------------------------- Ghi chú: - Nếu thí sinh giải đúng theo cách khác với đáp án, thì ngời chấm cho điểm theo số điểm quy định dành cho câu (hay phần) đó. - Tổ chấm thảo luận để thống nhất việc vận dụng HDC. - Điểm toàn bài là tổng điểm của tất cả các phần cộng lại, không quy tròn điểm toàn bài. ----------------------------------------------------------------------------- 4 . dành cho câu (hay phần) đó. - Tổ chấm thảo luận để thống nhất việc vận dụng HDC. - Điểm toàn bài là tổng điểm của tất cả các phần cộng lại, không quy tròn