Ebook cơ sở truyền nhiệt PGS TS trịnh văn quang

Dẫn nhiệt được thực hiện thông qua quá trình truyền dao động các phần tử vi mô của vật thể: trong kim loại dẫn nhiệt chủ yếu nhờ quá trình truyền dao động của các điện tử tự do, trong ch

LỜI NÓI ĐẦU

Qua nhiều năm giảng dạy môn học Kỹ thuật nhiệt , Lý thuyết Truyền nhiệt cho các lớp

Cơ khí, chuyên ngành Nhiệt - lạnh , chương trình Cao học Cơ khí tại các trường ĐH Giao thông HN, ĐH Công nghiệp TpHCM cũng như tham gia thực hiện và hướng dẫn các đề tài khoa học, chúng tôi nhận thấy một tài liệu chuyên sâu về Truyền nhiệt là hết sức cần thiết Tài liệu đó không chỉ có kiến thức cơ sở về truyền nhiệt để giảng dạy cho chương trình đại hoc, mà cần có một số kiến thức chuyên sâu để sử dụng trong tính toán nghiên cứu Cuốn

sách “Cơ sở Truyên nhiệt” được biên soạn nhằm đáp ứng phần nào yêu cầu trên

Cuốn sách bao gồm 5 chương như sau:

Chương 1 - Dẫn nhiệt, trình bày các bài toán dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng, vách trụ, vách cầu, dẫn nhiệt ổn định hai chiều và các bài toán dẫn nhiệt không ổn định một chiều Chương 2 - Phương pháp số giải bài toán dẫn nhiệt, gồm phương pháp Sai phân hữu hạn và phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) Trong đó các PTHH cơ bản như phần tử một chiều, phần tử tam giác và phần tử chữ nhật được khảo sát Từ đó xây dựng các phương trình PTHH đặc trưng để giải các bài toán dẫn nhiệt ổn định qua các PTHH

Chương 3 - Tỏa nhiệt đối lưu, ngoài các kiến thức cơ bản như Lý thuyết đồng dạng, các phương trình tiêu chuẩn tỏa nhiệt đối lưu trong các trường hợp khác nhau, các Quá trình tỏa nhiệt khi sôi và ngưng tụ cũng được đề cập

Chương 4 - Bức xạ nhiệt bao gồm các khái niệm cơ bản vè bức xạ, các định luật về bức xạ, bức xạ của vật đen Bên cạnh đó, bức xạ của vật xám, bức xạ trong môi trường có hấp thụ , bức xạ của vật có phản xạ gương là những vấn đề mới cũng được đề cập

Chương 5 – Truyền chất, nêu các khái niệm về truyền chất và đề cập chất cụ thể là nước và hơi ẩm trong vật liệu

Cuốn sách có thể được tham khảo làm tài liệu giảng dạy cho chương trình đại học, chương trình cao học ngành cơ khí, động lực, năng lượng, chuyên ngành nhiệt – lạnh, và cũng có thể phục vụ cho công tác nghiên cứu về truyền nhiệt trong các lĩnh vực xây dựng công trình, luyện kim Hy vọng rằng cuốn sách sẽ hữu ích và thiết thực với bạn đọc Mặc dù rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, nhưng chắc rằng cuốn sách vẫn còn có những khiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc và đồng nghiệp Mọi đóng góp xin gửi về Bộ môn Kỹ thuật nhiệt, Khoa Cơ khí, Trường Đại học GTVT Hà

Tác giả

PGS.TS Trịnh Văn Quang

Mục lục Trang

Chương 1 Dẫn nhiệt

Chương 2 Phương pháp số giải bài toán dẫn nhiệt

A Phương pháp sai phân hữu hạn

B Phương pháp phần tử hữu hạn

$2.12 Dẫn nhiệt qua cánh tiết diện thay đổi 132

Chương 3 Toả nhiệt đối lưu

$5.4 Truyền chất ổn định qua vách nhiều lớp, trở lực khuếch tán 241

và trong chất khí Dẫn nhiệt được thực hiện thông qua quá trình truyền dao động các phần tử vi mô của vật thể: trong kim loại dẫn nhiệt chủ yếu nhờ quá trình truyền dao động của các điện tử tự do, trong chất điện môi và chất lỏng dẫn nhiệt nhờ sóng đàn hồi truyền dao động nhiệt, trong chất khí dẫn nhiệt nhờ quá trình khuếch tán các phân

trong đó: x, y, z là toạ độ của điểm khảo sát,  là thời gian

Trường nhiệt độ trong vật thể không thay đổi theo thời gian được gọi là trường nhiệt độ ổn định:

4 Gradient nhiệt độ - grad t

Gradt là một véc tơ biểu thị thay đổi nhiệt độ giữa các mặt đẳng nhiệt, có phương vuông góc với mặt đẳng nhiệt, có chiều theo chiều nhiệt độ tăng, có độ lớn bằng đạo hàm của nhiệt độ theo phương pháp tuyến mặt đẳng nhiệt:

gradt =

n

t

Biến thiên nhiệt độ theo hướng s được xác định bởi:

Mật độ dòng nhiệt q là lượng nhiệt truyền theo phương pháp tu yến mặt đẳng nhiệt

trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích:

q =

 d dF

Trong (1.4), dấu (-) biểu thị chiều của mật độ dòng nhiệt ngược với chiều của gradt,

dFd n

dq



Hệ số dẫn nhiệt  của các chất khác nhau có giá rất khác nhau có thể so sánh trong

bức tranh chung như sau:

Than chì Silic HỢP KIM

-Bạc -Đồng

CHẤT RẮN phi k/loại -Sắt các ôxít

-HK đồng &

thiếc

CHẤT LỎNG Thuỷ ngân

Đá

CÁCHNHIỆT Thực phẩm Phíp

Hệ số dẫn nhiệt  bằng mật độ dòng nhiệt dẫn qua vật khi có gradient nhiệt độ bằng 1

độ/m Hệ số dẫn nhiệt  đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật thể,  càng lớn thì

vật thể dẫn nhiệt càng tốt Hệ số dẫn nhiệt  phụ thuộc vào nhiều yếu tố: bản chất vật

thể, nhiệt độ, áp suất, độ ẩm, độ xốp Hệ số dẫn nhiệt  của hầu hết các vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ theo hàm bậc nhất:

Tuy vậy, nếu khoảng nhiệt độ tính toán không lớn lắm, có thể lấy hệ số dẫn nhiệt là hằng số bằng giá trị trung bình trong khoảng nhiệt độ đó

§1.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT VÀ ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ

1 Phương trình vi phân dẫn nhiệt

Để xác định nhiệt độ trong vật thể cần phải thiết lập mối quan hệ của nhiệt độ với các toạ độ và thời gian Đó chính là phương trình vi phân dẫn nhiệt

a Phương trình vi phân dẫn nhiệt đối với vật không có nguồn nhiệt trong

Xét một vật thể đồng chất, đẳng hướng, các thông số vật lý là hằng số và không có nguồn nhiệt bên trong Tách một phân tố hình hộp ra khỏi vật thể đặt trong toạ độ Oxyz Phân tố có kích thước dxd ydz Khảo sát dẫn nhiệt qua phân tố theo các hướng x,y,z sau thời gian d:

Tương tự như vậy theo hướng y và theo hướng z, phân tố nhận được:

2

z

t t r

1 r

t r

1 r

trong đó:

r - bán kính mặt trụ qua điểm khảo sát;

 - góc của bán kính r với trục x; z - độ cao

Nếu trong quá trình dẫn nhiệt, nhiệt độ tại các

điểm không đổi theo thời gian, tức là t/ =

0, khi đó phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn

định sẽ là:

b Phương trình vi phân dẫn nhiệt khi vật

có nguồn trong

Trường hợp trong vật thể tồn tại nguồn sinh nhiệt phân bố đều có năng suất sinh

qv

(1.16)

(1.16) là phương trình vi phân dẫn nhiệt khi trong vật có nguồn nhiệt bên trong

Phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định có nguồn trong

Khi quá trình là ổn định tức nhiệt độ không thay đổi theo thời gian, phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định có nguồn trong sẽ trở thành:

- 11 -

2 Điều kiện đơn trị

Để phương trinh vi phân có nghiệm xác định cần phải có các điều kiện riêng của mỗi bài toán cụ thể, gọi đó là điều kiện đơn trị Điều kiện đơn trị cho biết các đặc điểm riêng của bài toán, bao gồm:

Điều kiện ban đầu

Điều kiện ban đầu cho biết quy luật phân bố nhiệt độ trong vật thể ở thời điểm ban đầu Điều kiện ban đầu chỉ có mặt trong quá trình không ổn định, quá trình ổn định thì không cần điều kiện ban đầu

Điều kiện biên giới

Điều kiện biên giới cho biết đặc điểm của quá trình nhiệt xảy ra tại biên giới của vật

thể, gồm có:

- Điều kiện biên giới loại 3: Cho biết quy luật toả nhiệt giữa bề mặt vật và môi trường chất lỏng bao quanh vật tuân theo phương trình Niu tơn - Rích man: q = .t Trong đó  là hệ số toả nhiệt đối lưu, t là độ chênh nhiệt độ giữa bề mặt vật tm và chất lỏng tL, t = tm- tL

- Điều kiện biên giới loại 4: Cho biết dòng nhiệt dẫn qua mặt tiếp xúc giữa hai vật được bảo toàn, nghĩa là:

1

1 m

Xét vách phẳng một lớp đồng chất, đẳng hướng, có bề dày  nhỏ hơn nhiều so với

(tm1 > tm2)

Với điều kiện trên dòng nhiệt chỉ dẫn theo một hướng nên nhiệt độ cũng chỉ thay đổi theo hướng đó Đặt vách trong toạ độ t-x, như hình 1.3 Phương trình vi phân dẫn nhiệt trong trường hợp này (ổn định, một biến) là:

2 2

dx

t d

Từ nghiệm tổng quát (1.22) thấy rằng phân bố nhiệt độ trong vách phẳng là đường

Vậy nghiệm xác định là:

q =





 m21

dx

t d

= 0, tức q = const tại mọi mặt đẳng nhiệt Lượng nhiệt truyền qua diện tích F, trong thời gian :

Q = q.F. , J

2 Vách phẳng nhiều lớp

xúc như nhau Gọi các nhiệt độ tại hai chỗ tiếp xúc là ttx1 và ttx2

Áp dụng kết quả ở trên cho từng lớp:

Hình 1.4

Lớp 1: q1 =

1 1

1 tx 1 m

/

t t

2 tx 1 tx

/

t t

2 m 2 tx

/

t t

a a

2 1 2 1

2 m 1 m

R R R

t t

2 m 1 m

R

t t

i i i

2 m 1

m t t

2 m 1 m

R

t t

i i i

2 m 1

m t t

i i

Thí dụ

a) Nhiệt độ mặt trái tm1, nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx?

b) Gradien nhiệt độ tại mỗi lớp?

c) Nếu giữ nguyên lớp có gradt nhỏ và duy trì gradt như cũ, thì lớp còn lại phải thay đổi độ dày ' và chọn ’ bằng bao nhiêu để gradt như nhau trên cả vách, khi nhiệt độ các mặt và dòng nhiệt không đổi

Giải

- Nhiệt trở dẫn nhiệt của các lớp:

độ tại hai mặt vách là tm1 và tm2 (tm1 > tm2) Phương trình vi phân dẫn nhiệt (1.11) trong toạ độ trụ là:

2

z

t t r

1 r

t r

1 r

t

Với điều kiện trên có thể coi nhiệt chủ yếu truyền theo hướng bán kính và nhiệt độ chỉ thay đổi theo hướng bán kính Khi dẫn nhiệt ổn định, một chiều, phương trình (1.26) sẽ trở thành:

dr

dt r

1 +

2 2

dr

t d

Điều kiện biên loại 1:

dr

t d

Thấy rằng phân bố nhiệt độ trong vách là

đường cong logarit

r

r ln

t

t 

; C2 = tm1 -

2 1 2 m 1 m

r

r ln

2 2 m 1 m

d

d ln

d

d ln

t

t 

(1.29)

mỗi giá trị của d, chỉ có một trị số nhiệt độ nên các mặt đẳng nhiệt là các mặt trụ đồng trục với vách

r

r ln r

t

t 

= 

1 2 2 m 1 m

d

d ln r

Mật độ dài của dòng nhiệt q L

q  =

1 2 2 m 1 m

d

d ln 2 1

t t

Cho biết nhiệt độ tại mặt trong cùng và ngoài cùng

là tm1 và tm2 Giả thiết giữa các lớp có tiếp xúc lý tưởng

để nhiệt độ hai mặt tiếp xúc là như nhau Gọi các nhiệt

độ tại hai chỗ tiếp xúc là ttx1 và tt x2 Áp dụng kết quả ở

trên cho từng lớp của vách:

Lớp 1: qL1 =

1 2 1

1 tx 1 m

d

d ln 2 1 t t

2 tx 1 tx

d

d ln 2 1 t t

2 m 2 tx

d

d ln 2 1 t t

1 d

d ln 2

1

2 3

2 d

d ln 2

1

3 4

3 d

d ln 2

2 m 1 m

R R R

t t







Hình 1.6

hay: qL =

3 4 3 2

3 2 1

2 1

2 m 1 m

d

d ln 2

1 d

d ln 2

1 d

d ln 2

1

t t

1 i i

2 m 1 m

d

d ln 2 1

t t

Vách trụ hai lớp, đường kính trong cùng d1 = 20 cm, bề dày và hệ số dẫn nhiệt hai

a) Dòng nhiệt dài qL qua vách, nhiệt độ chỗ tiếp xúc tt x?

c) Gradt tại mặt trong cùng?

Lớp 1:

1 2

1 d

d ln 2

1

2 , 0

24 , 0 ln 2 , 1 2

1

Lớp 2:

2 3

2 d

d ln 2

1

24 , 0

3 , 0 ln 8 , 0 2

t

=

0685 , 0

1 d

d ln 2

1

L 1 d

q



2 , 0 2 , 1 91 , 875

nhỏ hơn nhiều bề rộng và cao, hệ số dẫn nhiệt là

 hằng số Hai phía của vách phẳng có hai chất

Theo Niutơn Ríchman, toả nhiệt giữa chất lỏng và bề mặt vách tỷ lệ với hệ số toả nhiệt  và độ chênh nhiệt độ giữa chúng:

q = (tL - tm)

Bởi vậy sẽ có: q1 = 1(tL1 - tm1) =

1

1 m 1 L

1 t t





=

1 1 m 1 L

t

=

R t

tm1 m2

q3 = 2(tm2 - tL2) =

2

2 L 2 m

1 t t

R t

gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng

Do khi ổn định các dòng nhiệt trên bằng nhau, áp dụng tính chất của tỷ lệ thức sẽ được:

q =

3 2 1 2 L 1 L

R R R

t t

2 L 1 L

1 1

t t

1

i i i 1

2 L 1 L

1 1

t t

b) Nhiệt độ tại hai mặt tm1, tm2 và nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx?

c) Gradien nhiệt độ tại mỗi lớp?

=



 R

đường kính trong d1, đường kính ngoài d2, hệ số

dẫn nhiệt của vách  Bên trong và ngoài vách có

hai chất lỏng, có nhiệt độ tương ứng là tL1 và tL2

(tL1 > tL2) Hệ số toả nhiệt giữa bề mặt của vách

mật độ dài của dòng nhiệt truyền qua vách và

nhiệt độ tại hai mặt vách

Gọi mật độ dài của dòng nhiệt tru yền bằng

Gọi mật độ dài của dòng nhiệt dẫn từ mặt

Gọi mật độ dài của dòng nhiệt tru yền bằng

Hình 1.9 Vách trụ một lớp

qL1 = 1d1(tL1 - tm1) =

1 1

1 m 1 L

d 1 t t





=

1 1 m 1 L

R

t

t 

qL2 =

1 2 2 m 1 m

d

d ln 2 1 t t

R t

t 

qL3 = 2d2(tm2 - tL2) =

2 2

2 L 2 m

d 1 t t





=

3 2 L 2 m

1

tỷ lệ thức sẽ được:

qL =

3 2 1

2 L 1 L

R R R t t

1

2 L 1 L

d

1 d

d ln 2

1 d 1

t t

1

1 i i 1

1

2 L 1 L

d

1 d

d ln 2

1 d

1

t t

= C1 2

r

dr (e)

2 1 1

r

1r1C

2 21 1

2

2

r

1r1

T m m

(1.42)

Cuối cùng có nghiệm

T T T

w

1 1 1

2 1

2 1 1

(1.43)

phân bố nhiệt độ trong vách cầu là đường cong hyperbol

Dòng nhiệt qua vách cầu

R T

d d d d k

T T

2

1



)(W/m2 (1.44)

§1.8 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH QUA THANH VÀ CÁNH

Thanh và cánh chỉ khác nhau ở tỷ lệ giữa kích thước mặt cắt ngang và chiều dài Nếu chi tiết có kích thước mặt cắt ngang nhỏ hơn nhiều so với chiều dài, ta gọi là thanh, trong trường hợp ngược lại gọi là cánh Tuy tên gọi có thể khác nhau nhưng nguyên tắc tính nhiệt

là như nhau

1 Thanh có tiết diện không đổi

Nhiệt độ trên thanh giảm dần từ Tb ở gốc thanh đến Ta ở đỉnh thanh

Xét phân tố thể tích có chiều dài dx, diện tích mặt cắt ngang A, chu vi tiết diện là P, diện tích xung quanh Pdx, hệ số dẫn nhiệt là k, hình 1.4 Nhiệt độ tại mặt cắt ngang (x+dx) là T,

dQ xdx 

dx

dT T dx

d k

Lượng nhiệt đi ra khỏi thể tích phân tại bề mặt xung quanh là dQ h h.(TT a)Pdx

Lượng nhiệt dẫn vào phân tố tại (x+ dx) cân bằng với tổng lượng nhiệt dẫn ra khỏi phân tố tại x và lượng nhiệt tỏa nhiệt ra môi trường qua diện tích mặt xung quanh: dQx+dx =dQx +

dQh:

dx

dT T dx

d k Pdx T T h A dx

T d

kA (1.45)

Đặt (T – Ta) =  ; 

L

m kA

mL

x L m

cosh

cosh 0



 

 (1.48)

2 Thanh có tiết diện thay đổi

Thanh có chiều dài L, tiết diện ngang A(x) và chu vi P(x) thay đổi theo x Gốc thanh x = 0, nhiệt độ T0 , đặt trong môi trường nhiệt độ Ta,, hệ số toả nhiệt tại mặt ngoài thanh là h, thể hiện trên hình 1.5

Hình 1.5 Thanh có tiết diện thay đổi Tại x, phần tử thanh dày dx, diện tích hai mặt là f(x) và f(x+dx), diện tích xung quanh P(x)dx Lượng nhiệt vào phần tử tại mặt f(x) là :

dx

dT x kA

Q x  ( ) (1.49) Lượng nhiệt ra khỏi phần tử tại mặt f(x+dx) là:

d dx dx x dA x A k

dT x kA

dx

Tuỳ thuộc vào dạng hàm số A(x) theo x mà dẫn tới các phương trình khác nhau, xét cánh

cụ thể có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x

3 Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x

L

x x

Thay A(x) vào (1.52) dẫn tới

T T d b L

x k

dx

d

Hình 1.6 Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x

T T

0

sẽ dẫn tới

2 2

d d

k

hLx I

2 0

0

2

2 (1.55)

với I0 là hàm Bessel loại 1, có thể tra theo bảng lập sẵn

§1.9 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH QUA VÁCH CÓ VẬT LIỆU HỖN HỢP

Trong thực tế có nhiều trường hợp các vách được cấu tạo bởi các vật liệu có tính chất nhiệt khác nhau thí dụ như tường được xây bằng gạch có xen kẽ các lớp vữa dày Khi

đó coi dòng nhiệt dẫn qua vách tương tự như dòng điện qua mạch có các điện trở ghép nối tiếp hoặc song nhau

Khảo sát một vách phẳng rất rộng có ba lớp dày 1, 2, 3 tạo nên bởi nhiều vật liệu khác nhau như hình 1.11 Mỗi vật liệu có tính chất nhiệt đồng nhất Hai phía của vách có hai chất lỏng nhiệt độ và hệ số toả nhiệt tương ứng là tL1, 1 và tL2, 2 Khi đó dòng nhiệt chỉ truyền theo hướng bề dày Gọi các đoạn vách có cấu trúc giống nhau là một phần tử thì dòng nhiệt qua mọi phần tử là hoàn toàn như nhau

Từ tính chất tương tự của khái niệm cường độ dòng điện (a), mật độ dòng nhiệt (b):

) b ( R

t q ) a ( R

trong đó: U và t tương ứng là hiệu điện áp

hai đầu mạch điện và độ chênh nhiệt độ giữa

hai chất lỏng; I và q tương ứng là cường độ

dòng điện qua mạch và mật độ dòng nhiệt

truyền qua vách có thể rút ra công thức tính

nhiệt trở tổng theo công thức tính điện trở tổng

2 D C B

C B A 1

R R R R R R

C C B

B A A 1 2 D D

C C B B C C B B

A A 1 q

1 1

1 1

1

Từ đó tính ra mật độ dòng nhiệt truyền qua vách hỗn hợp:

q =

q 2 L 1 L

R t t





Cách tính nhiệt độ tại các mặt trong vách hoàn toàn như trước

§1.10 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH HAI CHIỀU

Dẫn nhiệt qua vách phẳng điều kiện biên loại 1

Bài toán dẫn nhiệt ổn định hai chiều thường hay gặp trong thực tế Đó là trường hợp

nhiệt độ tại các điểm bên trong vật thay đổi theo hai hướng

Khảo sát vật thể là thanh thẳng khá dài có tiết diện ngang là hình chữ nhật với chiều rộng  và chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với chiều dài : (, h) << 

Vật liệu của thanh đồng chất đẳng hướng, hệ số dẫn nhiêt  không đổi Nhiệt độ tại mỗi mặt xung quanh của thanh có trị số không đổi Khi đó nhiệt độ trong thanh không thay đổi theo hướng trục thanh mà chỉ thay đổi theo hướng bề rộng  và bề cao h của thanh Gọi tiết diện ngang hình chữ nhật của thanh là OLKH thì nhiệt độ trên mọi tiết diện ngang của thanh thay đổi như nhau theo hướng bề rộng là OL và theo hướng chiều cao là OH

Đặt hình chữ nhật trong toạ độ xy như hình 1.12

Điều kiện biên loại một cho biết tại 3 cạnh OH, OL,

= const Khi đó nhiệt độ t là hàm của x và y

Phương trình vi phân trong trường hợp này sẽ là:

2 2 2

y

tx

1

t t

t t

y

* x

) x (

) y (

"





(1.60) là phương trình đạo hàm riêng có mỗi vế là hàm riêng của từng biến độc lập,

) x ( ) x (

Nghiệm tổng quát của (1.60) bằng tích của hai nghiệm riêng (1.64) và (1.65) ở trên:

biên:

- Khi y = 0 thì *(x, 0) = 0 Do (0) phải bằng 0 nên:

[C3.exp(k.0) + C4.exp(- k.0)] = [C3.1 + C4/1] = 0, suy ra C4 = - C3

Như vậy nghiệm trên có dạng:

*(x, y) = C2.C3.sin(k.x).[exp(+ ky) - exp(- ky)]

- Khi x =  thì *(, y) = 0, tức là:

C2.C3.sin (k.).[exp(ky) - exp(- ky)] = 0

Vậy: sin (k.) = 0 Su y ra: k = n.; (n = 1, 2, 3, ), nghĩa là: k =



 n

, nên nghiệm trên trở thành:

Như vậy sẽ có vô số nghiệm riêng ứng với các giá trị của n (n = 1, 2, 3, .) Gộp

triển chuỗi vô hạn của hàm trực giao

Tập hợp vô hạn các hàm: gn(x) = g1(x), g2(x), g3(x), được gọi là trực giao trong miền xác định a  x  b nếu:

phân trong khoảng a, b:

b ( x ) g ( x ) dx

a gm( x ) Angn( x ) dx (1.70) Theo đặc tính (1.68) của hàm trực giao rõ ràng vế phải của (1.70) chỉ còn một số hạng khi n = m, tất cả các số hạng khác còn lại đều bằng 0 vì m  n:

dx ) x ( g ) x ( b

2 n

n g ( x ) dx

(1.68)

Từ đó rút ra được hệ số An: An =





b a

2 n

b a n

dx ).

x ( g

dx ).

x ( g ).

x (

có f(x) = 1, có thể chọn hàm trực giao là gn(x) = sin(nx/), thay vào (1.72) sẽ được:

n 1 ) 1 ( 2

dx ) x n ( sin

dx ) x n sin(

A

1 n b

a 2

b a n

1 ) 1 ( n

Đó là một chuỗi hội tụ, tức là trong miền xác định

(0  x  , 0  y  h), với mọi n = 1, 2, 3 *(x, y)

tiến tới một giá trị hữu hạn Như vậy * được xác

định theo các giá trị x và y, kết quả thay các giá trị x

= 0   và y = 0  h sẽ vẽ được các đường đẳng

nhiệt như trên hình 1.13

Hình 1.13 Phân bố nhiệt độ hai

chiều trong vách

§1.11 DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH CỦA VẬT CÓ NGUỒN NHIỆT

BÊN TRONG

1 Dẫn nhiệt qua vách phẳng điều kiện biên loại một

Dẫn nhiệt của vật có nguồn nhiệt bên trong cũng thường gặp trong các kết cấu công trình Đó là trường hợp khi đúc các cấu kiện bê tông, phản ứng hydrat hoá xi măng

là năng suất sinh nhiệt thể tích (W/m3) Xét một vách phẳng rộng đồng chất đẳng

hướng, bề dày 2 nhỏ hơn nhiều so với chiều cao và bề rộng Nguồn nhiệt trong vách

theo hướng này Phương trình vi phân dẫn nhiệt trường hợp này chỉ có một biến của

toạ độ, gọi biến đó là x và đặt vật trong toạ độ t -x:



 v

2

2 q dx

t d

dt v + c1 Tích phân lần 2:

t = -



2

v x q

+ c1x + c2 (1.76)

trị âm nên đường cong nhiệt độ có chiều lõm quay xuống duới Các hằng số c1, c2được xác định từ điều kiện biên (1.80):

 2

qv

.2 - c1 + c2 (a) Khi x =  thì t = tm2  tm2 = -

 2

t t 2

) x (

v

1 m 2

Với điều kiện: -  < x0 <  Tức là: -  <

v

1 m 2 m

q 2

t t





. < 

Hình 1.13

Từ đó rút ra:



2 qv2

bên trong vách có nhiệt độ cực đại

Khi đó nếu tm1 > tm2 thì x0 < 0, điểm cực đại bên trái trục tung, còn nếu tm1 < tm2 thì

x0 > 0, điểm cực đại sẽ nằm bên phải trục tung

Nhiệt độ cực đại tại x0 trong vách là:

2

t t x 2

t t 2

x

0 1 m 2 m 2 0 2

8

t t 2

.

v 2

2 1 m 2 m 2

thì trong vách không có nhiệt độ cực đại Khi đó nhiệt

độ lớn nhất và nhỏ nhất của vách nằm trên hai mặt vách, và dòng nhiệt chỉ tru yền theo một chiều từ mặt có nhiệt độ cao tới mặt có nhiệt độ thấp hơn

Mật độ dòng nhiệt tại mỗi điểm trong vật được xác định theo (1.54) và công thức Furiê và phụ thuộc vào toạ độ x:

tm1 m2

Trường hợp nhiệt độ trên hai mặt bằng nhau:





 2

x

.

qv 2

Như vậy tại giữa vách không có dòng nhiệt truyền qua

Mật độ dòng nhiệt tại mặt trái (x = - ) và tại mặt phải (x = + ):

q(x = - ) = - qV.; q(x = + ) = + qV. (1.86)

2 Dẫn nhiệt qua vách phẳng điều kiện biên loại 3

Bài toán điều kiện biên loại 3 khá phức tạp, ở đây chỉ

xét trường hợp điều kiện biên loại 3 đối xứng cho đơn

giản, tức là cho biết nhiệt độ chất lỏng và hệ số toả nhiệt

tại hai phía của vách là như nhau và tương ứng

Do tính đối xứng của bài toán nên chỉ cần khảo sát

một nửa bên phải tấm

Điều kiện biên:

qv

+



 2

qv 2

(1.88) Thay vào sẽ được:





 2 x

qv 2 2

+





Hình 1.13

tm =





x

qv 2 2

+





qv

Thí dụ 1

Tấm bê tông dày 80 cm, rộng 3 m, dài 6 m, hệ số dẫn nhiệt  = 2 W/mđộ Nguồ n

nhiệt QV = 1800 J/m3h Nhiệt độ tại hai mặt ngoài của tấm bằng nhau là tm = 300C Xác định:

a) Lượng nhiệt sinh ra của tấm bêtông trong một giờ?

b) Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt ngoài?

c) Nhiệt độ tại giữa tấm, nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 15 cm, 20 cm?



Thí dụ 2

của xi măng, nhiệt độ tại hai mặt ngoài của tấm bằng nhau và cao hơn nhiệt độ không

a Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt ngoài?

b Năng suất sinh nhiệt thể tích qV (W/m3)?

d Nhiệt độ tại giữa tấm, nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 5 cm, 10 cm, 15 cm?

Giải

a Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt ngoài:

Dòng nhiệt do toả nhiệt:

q = (tm - tf) = 10.(37 - 30) = 70 W/m2Dòng nhiệt do dẫn nhiệt q x = xác định theo công thức: qx =  = qV., trong đó qV

là năng suất sinh nhiệt thể tích

b) Năng suất sinh nhiệt thể tích:

qV = qx = / = 70/0,2 = 350 W/m3 c) Năng suất sinh nhiệt khối lượng:

d) Nhiệt độ tại các lớp:

- Nhiệt độ tại các điểm bên trong tấm xác định theo công thức:

t = v 2 x 22

350 +

10 2 , 0

- Nhiệt độ tại lớp cách mặt 5 cm: lớp này có toạ độ x = 0,2 – 0,05 = 0,15 m

tx=0,15 = ( 0 , 2 0 , 15 )

1 2

§1.12 DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH VỚI PHƯƠNG PHÁP QUY

TỤ

1 Xuất phát điểm

Dẫn nhiệt không ổn định là quá trình dẫn nhiệt khi nhiệt độ của vật thể thay đổi theo thời gian Thí dụ làm lạnh hoặc làm nóng một vật, khi đó nhiệt độ tại các điểm bên trong vật luôn thay đổi theo thời gian và được thể hiện bởi phương trình:

z

t y

t x

t a

kèm theo các điều kiện đơn trị của bài toán

Việc giải phương trình vi phân trên là khá phức tạp, chỉ có thể thực hiện được trong một số trường hợp vật thể có hình dáng đơn giản kèm theo những giả thiết hạn chế nhất định

Trong các quá trình dẫn nhiệt không ổn định thực tế có nhiều trường hợp nhiệt độ của vật thay đổi khá chậm, thí dụ khối kim loại hoặc các cấu kiện công trình có dạng tấm khá mỏng được làm nguội tự nhiên trong không khí khi đó có thể tìm mối quan

hệ giữa dẫn nhiệt bên trong vật và toả nhiệt tại mặt ngoài để khảo sát thì vấn đề sẽ đơn giản và dễ dàng Một phương pháp khảo sát như vậy là phương pháp quy tụ

2 Phương pháp quy tụ cấp 1

a Khảo sát phân bố nhiệt độ trong vật

Xét truyền nhiệt của vật là tấm phẳng nhiệt độ ban

đầu t0 được làm nguội trong môi trường có nhiệt độ

tL,với t0 > tL Tấm phẳng dày 2, hệ số dẫn nhiệt của

tấm , nhiệt của tấm phẳng sẽ truyền từ bên trong

qua hai bề mặt tấm tới môi trường, hệ số toả nhiệt tại

bề mặt  (hình 1.15)

Tại một thời điểm nào đó, nhiệt độ ở giữa tấm

phẳng là t0’, nhiệt độ bề mặt tm, với t0’ > tm > tL Nếu

như t0’ không lớn hơn tm nhiều lắm tức là t0’  tm,khi

đó tại mỗi thời điểm có thể coi phân bố nhiệt độ

trong tấm phẳng gần như đường thẳng (như trong chế

độ ổn định) Dòng nhiệt do dẫn nhiệt trong mỗi nửa

tấm từ giữa tới bề mặt bằng với dòng nhiệt do toả nhiệt trên mỗi mặt bên nên có:





/

t'

t0 m

= (tm - tL) (a)

Hình 1.15 Truyền nhi ệt của tấm phẳng

t ' t L m m

Khi nhiệt độ tại bề mặt của tấm phẳng nhỏ hơn nhiệt độ giữa tấm rất ít thì có thể coi tấm có nhiệt độ đồng nhất: t0’ tm Từ (b) thấy rằng:

- Khi: (t0’- tm) << (tm - tL), tức là . <<  hay nói cách khác là khi có  hoặc 

- Trường hợp: (t0’ - tm)  (tm - tL) thì không thể coi nhiệt độ trong vật là đồng nhất được

Lập luận trên cũng hoàn toàn phù hợp với các vật có hình dạng khác với tấm phẳng

b Phương pháp quy tụ cấp 1

Phương pháp quy tụ là phương pháp quy vật thể về “một điểm” để toàn bộ vật thể có cùng một nhiệt độ Nói cách khác, phương pháp này coi nhiệt độ tại mọi điểm của vật thể luôn đồng nhất nhưng vẫn thay đổi theo thời gian, và không quan tâm tới mức độ phức tạp của hình dạng vật thể

Xét một vật thể khối lượng M, thể tích V, diện tích toàn bộ mặt ngoài F, nhiệt

môi trường có nhiệt độ không đổi tL với tL < t0, hệ số toả nhiệt  tại bề mặt xung quanh vật với môi trường là khá nhỏ và không đổi Khi đó nhiệt độ của vật sẽ giảm chậm theo thời gian nên vẫn được duy trì đồng nhất tại mọi điểm trong vật như lập luận trên

Sau thời gian d, lượng nhiệt mất đi do toả ra môi trường qua bề mặt ngoài của vật có diện tích F là:

trong đó:

t là nhiệt độ mặt ngoài vật tại thời điểm khảo sát, cũng là nhiệt độ trong vật;

Khi mất nhiệt, nội năng của vật thể giảm đi một lượng là:

trong đó: U - nội năng, M - khối lượng của vật, c - nhiệt dung riêng, dt - biến đổi

nhiệt độ của vật sau thời gian d

Độ giảm nội năng của vật bằng chính lượng nhiệt toả ra môi trường, nên:

) t t

F

Lấy tích phân phương trình (g), với vế trái theo nhiệt độ t: t từ t0  t(); vế phải theo thời gian :  từ 0  , sẽ được:

ln

L 0

L

t t

t ) ( t

F

L

t t

t ) ( t





=

c L

Thấy rằng nhiệt độ của vật tiến dần tới nhiệt độ môi trường theo hàm mũ Khi giá trị

b càng lớn nhiệt độ vật tiến tới nhiệt độ môi trường càng nhanh Ngược lại khi b có giá trị nhỏ nhiệt độ vật thay đổi rất chậm tới nhiệt độ môi trường b tỷ lệ thuận với diện tích bề mặt F của vật thể và hệ số toả nhiệt  tại bề mặt vật, nhưng tỷ lệ nghịch với khối lượng M = V và nhiệt dung riêng c của vật

c Tiêu chuẩn đặc trưng cho hệ quy tụ cấp 1

+ Tiêu chuẩn Biô:

Để xác định xem khi nào nhiệt độ trong vật là đồng nhất tại mọi điểm để có thể áp dụng công thức (l.66), tức là áp dụng được phương pháp quy tụ đối với vật thể, cần khảo sát số mũ b:

b =

c V F

L V

F c

2

L

c L





= Bi.Fo trong đó:

L

t t

t ) (

Bi =

L /



 =

nhiÖt

¶ to trë nhiÖt

nhiÖt dÉn trë nhiÖt

=

nhiÖt dÉn ng

¨ n

¶ kh

nhiÖt

¶ to ng

¨ n

¶ kh