DE THI GIAI 19-4

a) HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 1 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1 : ( 2 đ ) Cho phương trình ( có ẩn số là x ) 4x 2 + 2 (3- 2m)x +-3m +2 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trò của tham số m . b) Tìm m để có tích của hai nghiệm đạt giá trò nhỏ nhất . Câu 2 : ( 2 điểm). Giải các phương trình và các hệ phương trình : x 2 + y 2 =2 (xy + 2) x + y = 6 b) 11 )5( 25 2 2 = + + x x x Câu 3 : (2 điểm ) a) Cho a> c , b> c , c > 0 . Chứng minh : abcbccac ≤−+− )()( b) Cho a> 0 , b> 0 . Chứng minh : ab ba ab ≤ + 2 Câu 4: (1 điểm) Tìm số chính phương có 4 chử số biết rằng khi tăng thêm mỗi chử số một đơn vò thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương . Câu 5 : ( 1,5 điểm ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R ), gócC bằng 45 0 , Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC và BC lần lượt tại M và N . a) Chứng minh MN vuông góc với OC . b) Chứng minh : 2 AB MN = Câu 6 : ( 1,5 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ( O;R) . Điểm M lưu động trên cung nhỏ BC . Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC. (H thuộc đường thẳng AB , K thuộc đường thẳng AC ) a)Chứng minh 2 tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhau . b) Tìm vò trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất . HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 2 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1 : ( 4 điểm) a)Đònh m để hai phương trình x 2 + x + m = 0 và x 2 + mx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm chung . b)Cho a , b , c , là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng phương trình : b 2 x 2 + ( b 2 + c 2 –a 2 ) x + c 2 = 0 vô nghiệm . Câu 2 : (4 điểm ) Giải phương trình và hệ phương trình : a) x 3 -y 3 = 3( x- y) x + y = -1 b) 6 23 13 253 2 22 = ++ + +− xx x xx x Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh 2(a 4 + b 4 ) 2233 2 baabab ++≥ với mọi a , b . b) Chứng minh ababba >−+− 222 2 với a>b>0 . Câu 4 : ( 2 điểm ) Tìm các số nguyên dương có 2 chữ số, biết số đó là bội của tích 2 chữ số của chính số đó . Câu 5 : ( 4 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, AB< AD . Tia phân giác của góc BAD cắt BC tại M và cắt DC tại N.Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác NCN a) Chứng minh rằng : DN = BC và CK vuông góc MN . b) Chứng minh rằng BKCD là một tứ giác nội tiếp . Câu 6 : ( 2 điểm ) Cho tam giác ABC có góc A = 2 góc B . Chứng minh rằng : BC 2 = AC 2 + AB . AC HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 3 (Thời gian làm bài : 150 phút . ) Câu 1 : a) Rút gọn biểu thức sau : 2 158 2 158 − + + = A b) Giải phương trình : 435 =−++ xx Câu 2: Chứng minh rằng ( n 3 + 17 n ) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n . Câu 3 : Giả sử x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình mx x xx += − − 3 1 4 2 , trong đ01 m là tham số. Tìm m để biểu thức |x 1 - x 2 | đạt giá trò nhỏ nhất Câu 4 : Cho hình vuông ABCD . Hai điểm I, J lần lượt thuộc hai cạnh BC và CD sao cho góc IAJ = 45 0 . Đường chéo BD cắt AI và AJ theo tương ứng tại H và K . Tính tỉ số IJ HK Câu 5 : Cho 2 đường tròn (O 1 ;R 1 ) ; (O 2 ;R 2 ) có R 1 >R 2 tiếp xúc ngoài với nhau tại A . Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O 1 ;R 1 ) tại M và cắt đường tròn (O 2 ;R 2 ) tại N ( Các đểm M, N khác A ) a) Xác đònh vò trí của đường thẳng d để đoạn thẳng MN lớn nhất . b) Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đường thẳng MN khi đường thẳng d quay quanh điểm A HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 4 (Thời gian làm bài : 150 phút . ) Câu 1: a) Tìm chữ số tận cùng của số (19 6 ) 2005 . . b) Tìm tất cả các số tụ nhiên n sao cho n 2 -14n -256 là số chính phương Câu 2: Giải hệ phương trình : 2 1 2 1 =+ =+ x y y x Câu 3 : Tìm các số nguyên a,b, c thoả mãn a 2 + b 2 c 2 +2 < ab +3b +2c Câu 4 : Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a (a > 0 ) và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. a) Chứng minh rằng nếu M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC . b) Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của biểu thức MA + MB + MC Câu 5 : Cho hình vuông ABCD có AB = 14 cm . Trong hình vuông có đánh dấu 76 điểm phân biệt . Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có bán kính 2 cm chứa trong nó ít nhất 4 điểm trong các số điểm trên . HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 5 ( Thời gian làm bài : 150 phút ) Câu 1 : Giải hệ phương trình 2 3 22 =+ =++ yx xyyx Câu 2 : Giải phương trình 1123234 =−+++ xxx Câu 3 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 + 17y 2 +34xy + 51 ( x + y ) = 1740 Câu 4 Cho 2 đường tròn (O) , (O’) nằm ngoài nhau có tâm tương ứng là O và O’ . Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và (O’) tại B . Một tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn cắt AB tại I , tiếp xúc với (O) tại C và (O’) tại D . Biết rằng C nằm giữa I và D . a) hai đường thẳng OC , O’B cắt nhau tại M . Chứng minh rằng OM > O’M. b) Kí hiệu (S) là đường tròn điqua A,C, B và (S’) là đường tròn đi qua A,D,B . Đường thẳng CD cắt (S) tại E khác C và cắt ( S’) tại F khác D . Chứng minh AF vuông góc với BE . Câu 5 Giả sử x,y, z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xy 2 z 2 + x 2 z + y = 3 z 2 Hãy tìm giá trò lớn nhất của biểu thức HUỲNH ĐÌNH TÁM )(1 444 4 yxz z P ++ = ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 6 ( Thời gian làm bài : 150 phút ) Câu 1: Giải phương trình : 2422 2 =−+++− xxx Câu 2 : Giải hệ phương trình : x 3 + y 3 –xy 2 = 1 4x 4 + y 4 = 4x + y Câu 3 : Giả sử x ,y là những số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 =1 a) Chứng minh rằng 1 ≤ x+ y ≤ 2 . b) Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức yxP 2121 +++= Câu 4 : Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC. a) Giả sử góc BPC = 135 0 . Chưng minh rằng 2PB 2 + PC 2 = PA 2 . b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA tương ứng tại các điểm M và N . Gọi Q là điểm đối xứng của với B qua trung điểm của đoạn MN Chứng minh khi P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng PQ lu ôn đi qua D . Câu 5 : HUỲNH ĐÌNH TÁM a) Cho đa giác đều ( H) có 14 đỉnh . Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kỳ của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang . b) Có bao nhiêu phân số tối giản n m lớn hơn 1 ( m ,n là các số nguyên dương ) thoả mãn m.n = 13860 . ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 7 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 ( 3 điểm ) 1) Thực hiện phép tính : 111 999 62)32( +−+ 2) Cho biểu thức x x xx A − − − + + = 4 2 2 1 2 1 Với x≥ 0 vàx ≠ 4 Rút gọn biêủ thức A và tìm giá trò của x để A = 4 1 3) Giải phương trình và hệ phương trình sau : a) x 2 -9x + 2 = 0 b) 1 94 11 62 =+ =+ yx yx Bài 2 (3 điểm ) 1) Tìm các giá trò của m để hàm số y = (2m +1 ) x +3 nghòch biến và đồ thò của nó đi qua điểm( 1; 2) 2) Tìm m để hệ phương trình 224 2 2 =− =− ymx myx Có nghiệm duy nhất . 3) Cho phương trình x 2 –(2m + 1 ) x +m 2 + m – 6 = 0 a) Tìm các nghiệm của phương trình theo m . HUỲNH ĐÌNH TÁM b) Tìm các giá trò của m để phương trình có 2 nghiệm đều âm . Bài 3 : ( 3 điểm ) Cho M là 1 điểm bất kỳ trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R ( M không trùng với A, B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đường tròn đó . Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt tại D . Chứng minh : a) Tứ giác AOMN nội tiếp được trong đường tròn . b) Tam giác NOP là tam giác vuông . c) Các điểm N va P lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AD và BC . Bài 4 ( 1 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường phân giác của góc A . Cho biết AB = c , AC = bvà AD = d . Chứng minh : cbd 112 += ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 8 ( Thời gian làm bài : 120 phút ) Bài 1 . (1,5 điểm ). Cho biểu thức : a aab a b A 2 − −= 1) Tìm điều kiện đối với a,b để biểu thức A được xác đònh . 2) Rút gọn biểu thức A . Bài 2 . (2 điểm ) 1) Giải hệ phương trình: 13 13 2 2 =− =+ yx yx 2) Giải bất phương trình : x +|x -1| > 5 Bài 3 . (1,5 điểm) . Chưng minh rằng , nếu phương trình : x 2 + 2mx + n = 0 (1) có nghiệm, thì phương trình : 0) 1 () 1 (2 22 =++++ k knmx k kx (2) Cũng có nghiệm . (m,n,k là các tham số: k ≠ 0 ) HUỲNH ĐÌNH TÁM Bài 4 . (1,5 điểm ) Cho hàm số y ax + b có đồ thò (D) và hàm số y = k x 2 có đồ thò là (p) . a) Tìm a , b biết rằng (D ) đi qua A (-1 ;3) và B ( 2 ; 0 ) b) Tìm k ≠ 0 sao cho (p) tiếp xúc với đường thẳng (D) vừa tìm được . Viết phương trình của ( P) . Bài 5 . ( 3,5 điểm ). Cho tam giác ABC không cân có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O . Đường cao AI và BE cắt nhau tại H . a) Chứng minh : góc CHI = góc CBA . b) Chứng minh : EI ⊥ C O c) Co góc ACB = 60 0 . Chứng minh : CH = CO . ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 9 ( Thời gian làm bài : 150 phút ) Câu 1. Giải hệ phương trình : x 2 –xy + y 2 = 19 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 931 Câu 2 . Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm : 121)2( +=++ xxx Câu 3. Chứng minh rằng : 6 8 33 3)223223( >−++ HUỲNH ĐÌNH TÁM Câu 4 . 1) Chứng minh rằng số n =(18 6 ) 2004 có tính chất là tồn tại 2 số nguyên dương p và q thoả mãn điều kiện : 0< p <q <n (p + (p+1) + (p+2) +…. +q ) chia hết cho n 2) Số n = ( 16 6 ) 2004 có tính chất nói trên hay không ? Câu 5 . Cho tam giác ABC có góc ABC = 40 0 và điểm P trong tam giác ABC sao cho góc PAC = 10 0 , góc PCA = 20 0 , góc PAP = 30 0 . Giả sử Q là điểm đối xứng với điểm P qua đường trung trực của đoạn AB . 1) Tam giác CPQ là tam giác gì ? 2) Tính góc CPB . ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 1O ( Thời gian làm bài : 150 phút ) Câu 1 . Cho x,y,z là 3 số dương thay đổi luôn thoả mãn điều kiện : x+ y+ z = 3 . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : zyx P 111 ++= Câu 2 .Tìm tất cả các bộ ba số dương ( x, y, z ) thoả mãn hệ phương trình : 2x 2004 = y 6 + z 6 2y 2004 = z 6 + x 6 2z 2004 = x 6 + y 6 Câu 3 Giải phương trình [...]... Tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN 2) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp 3) Đường thẳng EF luôn đ qua một điểm cố đònh ( Khi ( ∆) thay đổi nhung luôn đi qua A ) ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 11 ( Thời gian làm bài : 150 phút ) Bài 1 ( 2 đ ) Rút gọn biểu thức sau : 1) P = m −n m + n + 2 mn + m− n m+ n Với m ≥ 0 , n ≥ 0 và m ≠ n 2 2) Q= a b − ab 2 a− b... Chứng minh tam giác ABE = tam giác CBD2 2) Xác đònh vò trí của D sao cho tổng DA + DB lớn nhất Bài 5 ( 1 đ ) Tìm x , y dương thoả mản hệ x + y =1 8( x 4 + y 4 ) + 1 =5 xy ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 12 ( Thời gian làm bài : 150 phút ) Bài 1: ( 2 đ) 1) Chứng minh rằng với mọi x thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 5 , ta có : 5 − x + x −1 ≥ 2 2) Giải phương trình : 5 − x + x − 1... : xyz +z = a xy z2 + z = b x 2 + y 2 + z2 = 4 Bài 5 ( 1 đ) Cho ba số a , b , c thoả mãn : 0≤a≤2; 0≤b≤2 0 ≤c ≤2 và a + b + c = 3 3 3 3 Chứng minh rằng : a + b + c ≤ 9 ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 13 ( Thời gian làm bài : 150 phút ) Bài 1 ( 2 đ ) Cho biểu thức :  P =   x −1 − x +1 2 x +1  1 x    2 x − 2  x −1   1) Rút gọn P 2) Tìm x để Bài 2 . a) HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 1 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1. độ dài đoạn HK lớn nhất . HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 2 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1