Các tập song xác định duy nhất cho đạo hàm của hàm phân hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN ——————————————— ĐỖ THỊ NGỌC CÁC TẬP SONG XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CHO ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHÂN HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN ——————————————— ĐỖ THỊ NGỌC CÁC TẬP SONG XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CHO ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHÂN HÌNH Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương Thái Nguyên - 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Hà Trần Phương Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn i Lời cám ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Hà Trần Phương Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tới Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên toàn thầy cô giáo Khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phòng Sau Đại học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập đây, đồng thời xin cảm ơn bạn lớp cao học K23 Toán Giải Tích nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Bản luận văn chắn tránh nhiều thiếu xót, mong quý thầy cô bạn quan tâm, góp ý Thái Nguyên, tháng 04 năm 2017 Tác giả Đỗ Thị Ngọc ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cám ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu iv Mở đầu Chương Phân bố giá trị cho hàm phân hình 1.1 Hàm đặc trưng tính chất 1.2 Hai định lý lý thuyết phân bố giá trị 11 Chương Các tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình 19 2.1 Một số kiến thức bổ trợ 20 2.2 Các tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình 33 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 iii Một số ký hiệu m (r, f ) hàm xấp xỉ N (R, f ) hàm đếm T (R, f ) hàm đặc trưng Ef (a) tập 0-điểm f − a kể bội E f (a) tập 0-điểm f − a không kể bội Ek (a; f ) tập tất không điểm f N (r, a; f | = 1) hàm đếm a-điểm đơn f N (r, a; f | m) hàm đếm a-điểm f với bội không lớn m N (r, a; f | m) hàm đếm a-điểm f với bội không nhỏ m N∗ (r, a; f, g) hàm đếm rút gọn a-điểm f e.v.P giá trị bỏ Picard BU RSDM song xác định cho đạo hàm hàm phân hình iv Mở đầu Như ứng dụng quan trọng lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna, công trình vấn đề cho hàm phân hình thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Những công trình khởi nguồn từ định lý điểm Nevanlinna ngày có nhiều công trình công bố nhiều hình thức khác Kí hiệu: (z, m) ∈ C × N∗ : f (z) − a = ordf −a (z) = m Ef (S) = a∈S {z : f (z) − a = 0} E f (S) = a∈S Ta nói hai hàm phân hình f g chung tập S kể bội (không kể bội) Ef (S) = Eg (S) E f (S) = E g (S) Ta nói cặp tập hợp (S, T ) song xác định cho hàm phân hình kể bội (không kể bội) điều kiện Ef (S) = Eg (S) Ef (T ) = Eg (T ) (hoặc E f (S) = E g (S) E f (T ) = E g (T ) kéo theo f ≡ g Vấn đề đặt với điều kiện cặp tập hợp (S, T ) để chúng song xác định cho đạo hàm hàm phân hình (kể bội không kể bội) Những kết theo hướng liên quan đến công trình A Banerjee S Mallick ([4]), P Bhattacharjee ([2]), M.Fang ([5]), W C Lin, H X Yi ([9]) nhiều tác giả khác Với mong muốn tìm hiểu kết nghiên tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình Chúng lựa chọn đề tài: "Các tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình" Mục đích đề tài trình bày số kết nghiên cứu tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình Cụ thể kết A Banerjee S Mallick ([4]) tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình Luận văn bố cục với lời nói đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Phân bố giá trị cho hàm phân hình Chương trình bày hàm Nevanlinna, hai định lý lý thuyết Nevanlinna số tính chất phân bố giá trị hàm phân hình đạo hàm Đây kiến thức sử dụng để chứng minh kết Chương Chương 2: Các tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình Trình bày hàm phân hình chung giá trị tập hợp, tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình Chương Phân bố giá trị cho hàm phân hình 1.1 Hàm đặc trưng tính chất Các hàm Nevanlinna Cho f xác định mặt phẳng phức C, lấy giá trị C,D ⊂ C miền Ta nói f chỉnh hình z0 ∈ C tồn lân cận U z0 cho ∞ cn (z − z0 )n f (z) = n=0 Với z ∈ U , cn ∈ C số Hàm f (z) gọi chỉnh hình D chỉnh hình z ∈ D Với hàm f : C → C, điểm z0 ∈ C gọi điểm bất thường cô lập hàm f (z) f (z) chỉnh hình lân cận z0 trừ z0 Điểm bất thường cô lập z0 hàm f (z) gọi là: i) Điểm bất thường khử hàm f (z) tồn giới hạn hữu hạn lim f (z) z→z0 ii) Cực điểm hàm f (z) lim f (z) = ∞ z→z0 iii) Cực điểm bất thường cốt yếu hàm f (z) không tồn lim f (z) z→z0 Định nghĩa 1.1 Hàm f (z) gọi hàm nguyên chỉnh hình toàn mặt phẳng phức C Định nghĩa 1.2 Điểm z0 gọi 0–điểm cấp m hàm f (z) lân cận z0 , hàm f (z) có biểu diễn f (z) = (z − z0 )m h (z), h (z) chỉnh hình lân cận z0 h (z0 ) = Điểm z0 gọi cực điểm cấp m hàm hàm f (z) z0 0-điểm cấp m f (z) Với hàm phân hình f , ta kí hiệu:     m z0 0-điểm cấp m f (z)    ordf (z0 ) = f (z0 ) = 0, ∞      −m z0 cực điểm cấp m f (z) Định nghĩa 1.3 Hàm số f (z) gọi hàm phân hình miền D ⊂ C chỉnh hình miền D, trừ số điểm bất thường cực điểm Khi f (z) hàm phân hình C, ta gọi đơn giản hàm phân hình Nhận xét: Nếu f (z) hàm phân hình D lân cận z ∈ D hàm f (z) biểu diễn dạng thương hai hàm chỉnh hình Bây ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ hàm đặc trưng Nevanlinna hàm phân hình Với số thực dương x ∈ R∗ + p < ∞, m < ∞ H ≡ 0, ta có (n + 1) T r, f (k) + T r, g (k) N r, 0; f (k) + N +N + r, −a n − (k) ;f n r, −a n − (k) ;f n + N r, 0; f (k) p + 1) p + + N (r, ∞; f ) + N (r, ∞; g) [N (r, 1; F ) + N (r, 1; G)] − m − N∗ (r, 1; F, G) 2 + S r, f (k) + S r, g (k) Chứng minh Theo định lý thứ hai ta có: (n + 1) T r, f (k) + T r, g (k) (2.4) N (r, 1; F ) + N r, 0; f (k) + N n − (k) ;f + N (r, ∞; f ) n n ; g (k) + N (r, ∞; g) r, −a n−1 r, −a + N (r, 1; G) + N r, 0; g (k) + N − N0 r, 0; f (k−1) − N0 r, 0; g (k+1) + S r, f (k) + S r, g (k) Sử dụng bổ đề 2.1, 2.2, 2.3 Bổ đề 2.4 ý rằng: N (r, 1; F ) + N (r, 1; G) (2.5) 1 [N (r, 1; F ) + N (r, 1; G)] + N (r, 1; F | = 1) − m − N∗ (r, 1; F, G) 2 [N (r, 1; F ) + N (r, 1; G)] + N r, 0; f (k) p+1 n − (k) + N r, −a ;f p + + N (r, ∞; f ) + N (r, ∞; g) n − m− N∗ (r, 1; F, G) + N0 r, 0; f (k+1) + N0 r, 0; f (k+1) + S r, f (k) + S r, g (k) 29 Kết hợp (2.5) (2.4) ý N r, 0; f (k) +N r, −a n − (k) ;f n = N r, 0; g (k) +N r, −a n − (k) ;g , n bổ đề chứng minh Bổ đề 2.7 ([4]) Cho f (k) , g (k) hai hàm phân hình khác cho 0, −a Ef (k) f (k) n−1 n−1 ,0 n f (k) + a ≡ g (k) = Eg(k) n−1 0, −a n−1 ,0 , n g (k) + a kéo theo f (k) ≡ g (k) , n ≥ số nguyên, k số nguyên dương a số hữu hạn khác Chứng minh Cho z0 không điểm f (k) g (k) Khi z0 phải (k) f (k) Từ điều kiện cho, không điểm −a n−1 n điểm g z0 không không điểm g (k) z0 phải không điểm g (k) + a, điều mâu thuẫn Nên ta kết luận f (k) g (k) chung (0, ∞) f, g chung (∞, ∞) Chú ý rằng: Θ ∞; f (k) + Θ ∞; g (k) 2− 2k = > k+1 k+1 Bây bổ đề chứng minh chứng minh Bổ đề 2.3 Bổ đề 2.8 ([4]) Cho f, g hai hàm phân hình khác hằng, n(n số nguyên cho Ef 0, −a n−1 ,0 n = Eg f (k) + a g (k) 0, −a n−1 ,0 , n đó: f (k) n−1 n−1 a, b số hữu hạn khác 30 g (k) + a ≡ b2 , 3) Chứng minh Có thể giả sử n−1 f (k) f (k) + a g (k) n−1 g (k) + a ≡ b2 (2.6) Cho z0 không điểm f (k) g (k) Khi z0 phải không điểm (k) −a n−1 f (k) , điều mâu thuẫn (2.6) Cho nên n điểm g f (k) g (k) không điểm Tiếp theo cho z0 không điểm f (k) + a với bội p Khi z0 cực điểm g (k) với bội q cho p = (n − 1) q + q = nq n Khi cực điểm f không điểm g (k) + a Ta được: N (r, ∞; f ) N r, −a; g (k) T r, g (k) n Từ định lý thứ hai ta có: T r, f (k) N (r, ∞; f ) + N r, 0; f (k) + N r, −a; f (k) + S r, f (k) N r, −a; f (k) + n 1 T r, f (k) + T n n T r, g (k) + S(r, f (k) ) n r, g (k) + S(r, f (k) ) Tức 1− T r, f (k) n T r, g (k) + S(r, f (k) ) n (2.7) Tương tự 1− T r, g (k) n T r, f (k) + S(r, g (k) ) n Kết hợp (2.7) (2.8) ta có: 1− T r, f (k) + T r, g (k) n mâu thuẫn với n S r, f (k) + S(r, g (k) ), Bổ đề chứng minh 31 (2.8) Bổ đề 2.9 ([4]) Cho F, G cho (2.1) F, G chung (1, m) Cho ω1 , ω2 , , ωn phần tử tập S1 = z : z n + az n−1 + b = , a, b số khác cho z n + az n−1 + b = nghiệm bội n ∈ Z (n ≥ 3) Khi đó: N∗ (r, 1; F, G) N r, 0; f (k) + N m r, −a n − (k) ;f n + S r, f (k) Chứng minh Trước tiên ý từ S1 gồm phần tử phân biệt, −a n−1 n không phần tử S2 nên: N∗ (r, 1; F, G) N (r, 1; F | m + 1) N (r, 1; F ) − N (r, 1; F ) m n N r, ω; f (k) − N r, ωj ; f (k) m j=1 N m r, 0; f (k+1) f (k) = 0, −a N m f (k) f (k) + a n−1 n r, ∞; (k+1) f N m f (k+1) f (k) + a n−1 n r, ∞; f (k) N r, 0; f (k) + N m r, −a n−1 n + S r, f (k) n − (k) ;f n + S r, f (k) Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.10 ([11]) Nếu H ≡ F, G chung (1, ∞) Năm 2015, trình nghiên cứu tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình, A Banerjee S Mallick chứng minh hai kết sau 32 2.2 Các tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình Định lý 2.6 ([4]) Cho S1 = z : z n + az n−1 + b = , S2 = 0, −a n−1 n với n số nguyên a, b số khác cho z n +az n−1 +b = nghiệm bội Khi S1 , S2 BURSDM3,0 Chứng minh Cho F, G cho (2.1) Khi F, G chung (1, 3) Xét trường hợp sau Trường hợp Giả sử Φ ≡ TH1.1 Cho H ≡ Khi sử dụng Bổ đề 2.6 với m = p = 0, Bổ đề 2.5 với p = 0, Bổ đề 2.4 Bổ đề 2.9 với m = ta được: (n + 1) T r, f (k) + T r, g (k) (2.9) n − (k) ;f n + N (r, ∞; f ) + N (r, ∞; g) + [N (r, 1; F ) + N (r, 1; G)] − N∗ (r, 1; F, G) + S r, f (k) + S r, g (k) T r, f (k) + T r, g (k) + [N (r, 1; F ) + N (r, 1; G)] k+1 n − (k) + N r, 0; f (k) + N r, −a ;f n n − (k) + N r, 0; g (k) + N r, −a ;g + S r, f (k) + S r, g (k) n n + + T r, f (k) + T r, g (k) + S r, f (k) + S r, g (k) 2 k+1 N r, 0; f (k) + N r, −a Mâu thuẫn (2.9) với n 33 TH1.2 Cho H ≡ Khi đó: F = AG + B , CG + D (2.10) A,B,C,D số cho AD − BC = 0, có T (r, F ) = T (r, G) + O(1), tức nT r, f (k) = nT r, g (k) + O (1) (2.11) Từ Bổ đề 2.10 ta có F, G chung (1, ∞) Ta xét trường hợp sau TH1.2.1 Cho AC = Ta có: N (r, ∞; G) = N r, A ;F C Từ F G chung (1, ∞), A C = Giả sử F − (2.12) A C không điểm bội Nên từ Bổ đề 2.5 (2.11) (2.12), định lý thứ hai, ta có: (n + 1) T r, f (k) N r, 0; f (k) + N +N r, A ;F C r, −a n − (k) ;f + N (r, ∞; f ) n + S (r, f ) T r, f (k) + T r, g (k) k+1 T r, f (k) + S r, f (k) , k+1 điều mâu thuẫn với n 34 + S r, f (k) Tiếp theo giả sử F − A C có không điểm bội −a n−1 n Từ Bổ đề 2.5, (2.11) (2.12), định lý thứ hai ta được: (n − 1) T r, f (k) N r, 0; f (k) + N (r, ∞; f ) + N 1+ r, A ;F C + S (r, f ) T r, f (k) + S r, f (k) , k+1 điều mâu thuẫn với n TH1.2.2 Cho A = C = Khi F = α0 G + β0 , α0 = A D β0 = B D Chú ý điểm bỏ Picard F (G) Cho nên xảy ra, f (k) g (k) bỏ qua điều kiện n điều mẫu thuẫn Nên F G có điểm Khi α0 + β0 = nên F ≡ α0 G + − α0 (2.13) Giả sử α0 = Nếu F − (1 − α0 ) không điểm bội, sử dụng (2.11), Bổ đề 2.5 định lý thứ hai ta có: (n + 1) T r, f (k) N r, 0; f (k) + N r, −a n − (k) ;f n + N (r, ∞; f ) + N (r, − α0 ; F ) + S r, f (k) 2T r, f (k) + T r, g (k) + 2T r, g (k) + S r, f (k) k+1 2+ T r, f (k) + S r, f (k) k+1 35 Điều kéo theo mâu thuẫn xem Bổ đề 2.4 với n ≥ Nếu F − (1 − α0 ) có không điểm bội, xem Bổ đề 2.5,(2.11) (2.12), định lý thứ hai, ta có: (n − 1) T r, f (k) N r, 0; f (k) + N r, ∞; f (k) + N (r, − α0 ; F ) + S r, f (k) 3+ T r, f (k) + S r, f (k) , k+1 điều kéo theo mâu thuẫn Bổ đề 2.4 với n Nên α0 = F ≡ G, điều mâu thuẫn Φ ≡ TH1.2.3 Cho A = C = Khi F ≡ δ0 = γ0 G+δ0 , γ0 = C B D B Hiển nhiên e.v.P F e.v.P G Từ F G có điểm, ta có γ0 + δ0 = nên F ≡ γ0 G + − δ0 (2.14) Trường hợp γ0 = Chú ý N (r, 0; G) = N r, 1−γ ; F Tiếp tục làm giống TH 1.2.2 Ta chia thành TH F − 1−γ0 có không điểm phân biệt không điểm bội TH mâu thuẫn Bây bỏ qua trình bày chi tiết Nên ta có γo = F G ≡ 1, điều từ Bổ đề 2.8 Hoàn thiện chứng minh định lí Trường hợp Giả sử Φ ≡ Ta có (F − 1) ≡ A (G − 1) với A số khác Cho nên từ Bổ đề 2.4 ta có: T r, f (k) = T r, g (k) + O(1) 36 (2.15) Từ điều kiện định lý Ef (S2 , 0) = Eg (S2 , 0) Xét trường hợp sau: TH 2.1 Đầu tiên ta giả thiết f (k) g (k) chung (0, 0) −a n−1 n ,0 (k) Nếu −a n−1 g (k) Khi ta có A = n e.v.P f F ≡ G, xem Bổ đề 2.7 kéo theo f (k) ≡ g (k) (k) Nếu −a n−1 g (k) lưu ý n e.v.P f F ≡ AG + (1 − A) Giả sử A = Sử dụng Bổ đề 2.4,(2.15) định lý thứ hai ta được: nT r, f (k) N (r, 0; F ) + N (r, − A; F ) + N (r, ∞; F ) + S (r, F ) N r, 0; f (k) + N r, −a; f (k) + N (r, 0; G) + N (r, ∞; f ) + S r, f (k) T r, f (k) + T r, g (k) + S r, f (k) k+1 T r, f (k) + S r, f (k) , 2+ k+1 1+ điều kéo theo mẫu thuẫn n TH 2.2 Ta lấy A = 1, từ Bổ đề 2.7 ta có f (k) ≡ g (k) Tiếp tục giả sử có điểm z0 cho f (k) (z0 ) = g (k) (z0 ) = −a n−1 n Tại điểm z0 , ta có F (z0 ) = G (z0 ) = β Nên ta có A = 1−β Rõ ràng β = 0, ta có: F ≡ β G+ 1−β β−1 β Từ β = 0, ý N r, β−1 ;F n 37 = N (r, 0; G) ta lại có mẫu thuẫn (k) Nếu e.v.P f (k) −a n−1 n e.v.P g , ý AG ≡ F + A − 1, (2.16) xét trường hợp sau TH 2.2.1 Giả sử F +A−1 có n không điểm phân biệt, ζi , i = 1, 2, , n Khi từ (2.16) ta có A g (k) n−1 g (k) + a ≡ f (k) − ζ1 f (k) − ζ2 f (k) − ζn Khi ζi , i = 1, 2, , n trùng với −a n−1 n , ta có mâu thuẫn (k) (2.16) với điểm z1 , f (k) (z1 ) = −a n−1 (z1 ) = n g TH2.2.2 Giả sử F + A − có n − không điểm phân biệt, ξi , i = 1, 2, , n − không điểm bội hai −a n−1 n Khi (2.16) có dạng: A g (k) n−1 g (k) +a ≡ f (k) a(n − 1) + n f (k) − ξ1 · · · f (k) − ξn−2 Cho nên sử dụng Bổ đề 2.4 cho (2.16), định lý thứ hai ta có: (n − 2)T (r, f (k) ) n−2 N r, ξi ; f (k) + N r, 0; f (k) + N r, − i=1 a(n − 1) (k) ;f + S r, f (k) n N r, 0; g (k) + N r, −a; g (k) + S r, f (k) 2T r, f (k) + S r, f (k) , mâu thuẫn với n (k) Nếu −a n−1 g (k) , ta xét trường n e.v.P f hợp sau 38 TH2.2.3 Giả sử F +A−1 có n không điểm phân biệt, ζi , i = 1, 2, , n Khi sử dụng Bổ đề 2.4 vào (2.16), từ định lý thứ hai ta có: nT r, f (k) n N r, ζi ; f (k) + N r, 0; f (k) + N r, − i=1 a(n − 1) (k) ;f + S r, f (k) n N r, −a; g (k) + S r, f (k) T r, f (k) + S r, f (k) , mâu thuẫn với n TH2.2.4 Giả sử F + A − có n − không điểm phân biệt ξi , i = 1, 2, , n − không điểm bội hai −a n−1 n TH chứng minh TH2.2.2 Định lý chứng minh Định lý 2.7 ([4]) Cho S1 , S2 Định lý 2.6 n(n 5) số nguyên Khi S1 , S2 BURSDM2,1 Chứng minh Cho F G cho (2.1) Khi F G chung (1, 2) Ta xét trường hợp sau Trường hợp Giả sử Φ ≡ TH1.1 Cho H ≡ sử dụng Bổ đề 2.6 với m = p = 1, Bổ đề 2.5 với p = p = 1, Bổ đề 2.4 Bổ đề 2.9 với m = ta có: (n + 1) T r, f (k) + T r, g (k) N r, 0; f (k) + N +N r, −a n − (k) ;f n r, −a (2.17) n − (k) ;f n + N r, 0; f (k) + N (r, ∞; f ) + N (r, ∞; g) 39 1 [N (r, 1; F ) + N (r, 1; G)] − N∗ (r, 1; F, G) + S r, f (k) + S r, g (k) 2 13 T r, f (k) + T r, g (k) + [N (r, 1; F ) + N (r, 1; G)] 3(k + 1) 11 n − (k) + N r, 0; f (k) + N r, −a ;f 24 n 11 n − (k) ;g + N (r, 0; g (k) ) + N r, −a + S r, f (k) + S r, g (k) 24 n 13 n 11 + + T r, f (k) + T r, g (k) + S r, f (k) + S r, g (k) , 2 3(k + 1) + mâu thuẫn (2.17)với n Chứng minh TH lại chứng minh Định lý 2.6 40 Kết luận Với mục đích nghiên cứu tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình Chúng trình bày nội dung sau: Trình bày số kiến thức lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna: hàm Nevanlinna tính chất, hai định lý bản, quan hệ số khuyết định lý Picard Các kiến thức kiến thức chuẩn bị cho việc chứng minh kết Chương 2 Trình bày lại kết tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình 41 Tài liệu tham khảo [1] Banerjee A (2008), On the uniqueness of meromorphic functions that share two sets, Georgian Math., 15 (1), 21-38 [2] Banerjee A and Bhattacharajee P (2010), Uniqueness of Derivatives Of Meromorphic Function Sharing Two Or Three Sets, Turkish J Math.,34 (1), 21-34 [3] Banerjee A and Bhattacharajee P (2010), Uniqueness and set sharing of derivatives of meromorphic functions, Math Slovaca, 61 (2), 197-214 [4] Banerjee A and Mallick S (2015) On the Bi unique range sets for derivatives of meromorphic functions, Surveys in Mathematics and its Applications, Vol 10, 95 – 111 [5] Fang M and Lahiri I (2003), Unique range set for certain meromorphic functions, Indian J Math., 45(2), 141-150 [6] Lahiri I (2001), Value distribution of certain differential polynomials, Int J Math.Math Sci., 28(2), 83-91 [7] Lahiri I , Weighted sharing and uniqueness of meromorphic functions, Nagoya Math.J., 161(2001), 193-206 42 [8] Lahiri I (2001), Weighted value sharing and uniqueness of meromorphic functions, Complex Var.Theory Appl., 46, 241-253 [9] Lin W C and Yi H X (2003), Some further results on meromorphic functions that share two sets, Kyungpook Math J.,43, 73-85 [10] Mokhon’ko A Z (1971), On the Nevanlinna characteristics of some meromorphic functions, in”Theory of functions, functional analysis and their appliactions”, Izd-vo Khar’kovsk, Un-ta, 14, 83-87 [11] Yi H X (1999), Meromorphic functions that share one or two values II, Kodai Math J., 22, 264-272 [12] Yi H X and Lin W C (2006), Uniqueness of meromorphic functions and a question of Gross, Kyungpook Math.J., 46, 437-444 [13] Yi H X and Lu W.R (2004), Meromorphic functions that share two sets II, Acta Math Sci Ser.B Engl Ed., 24, 83-90 43 ... 2: Các tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình Trình bày hàm phân hình chung giá trị tập hợp, tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình Chương Phân bố giá trị cho hàm phân hình 1.1 Hàm. .. nghiên tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình Chúng lựa chọn đề tài: "Các tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình" Mục đích đề tài trình bày số kết nghiên cứu tập song xác định cho đạo hàm. .. {∞} cho Θ (a, f ) = Vậy f hàm 18 Chương Các tập song xác định cho đạo hàm hàm phân hình Như nói phần mở đầu, Định lý năm điểm R Nevanlinna khởi nguồn cho công trình tập xác định cho hàm phân hình