Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: PHAN HUY KHẢI Phƣơng pháp thích hợp với tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số mà trực tiếp áp dụng BĐT Cơ si sau biến đổi sơ cấp đơn giản dùng đƣợc BĐT Cơ si Kỹ thuật chủ yếu dựa vào biểu thức đầu nhƣ điều kiện cho chọn số thích hợp để sau áp dụng BĐT Cô si với số cho ta đáp số tốn BĐT Cơ si cho số: a b ab , a, b Dấu xảy a = b a b c abc , a, b, c Dấu xảy a = b = c Ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ Cho x,y,z không âm 1 Tìm GTLN của: P xyz x 1 y 1 z 1 Hướng dẫn giải: Ta có: 1 2 x 1 y 1 z 1 1 y z y z 2 2 (1) x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1 z 1 "" y z Tương tự: x z (2); 2 y 1 x 1 z 1 x y (3) 2 z 1 x 1 y 1 Từ (1), (2), (3) ta có: ( xyz )2 xyz 2 ( x 1)( y 1)( z 1) ( x 1) ( y 1) ( z 1) ( x 1)( y 1)( z 1) Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải xyz Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi "" x y z 1 max P x y z Ví dụ Cho x, y, z > thỏa mãn: x + y + z = Tìm GTLN của: P x yz y xz z xy Hướng dẫn giải: Ta có: P x yz y xz z xy x( x y z ) yz y ( x y z ) xz z ( x y z ) xy ( x y )( x z ) ( y x)( y z ) ( z x)( z y ) ( x y ) ( x z ) ( y x) ( y z ) ( z x) ( z y ) 2 2( x y z ) max P x y z Ví dụ Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN: P x y yz zx xy z yz x zx y Hướng dẫn giải: Theo giải thiết: x y z 1 x y yz zx P xy z yz x zx y 1 z xy x y 1 x 1 y yz y z zx z x Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi 1 z 1 x 1 y (1 x)(1 y ) (1 y )(1 z ) (1 x)(1 z ) 33 1 z 1 x 1 y 3 (1 x)(1 y ) (1 y )(1 z ) (1 x)(1 z ) P x y z x y z Ví dụ Cho x, y, z > x + y + z = xyz Tìm GTLN: P x 1 y 1 z2 1 Hướng dẫn giải: Ta có: 1 1 xy yz zx 1 u ; v ; w uv vw uw x y z u v w P u2 1 v2 w2 u v w P 2 u uv vw uw v uv vw uw w uv vw uw u v w P (u v)(u w) (v w)(v u ) ( w u )( w v) x y z xyz u u v v w w uv uw vu vw wu wv u u v v w w P ( ) u v u w vu v w wu wv u v w max P uvw x yz 3 uv vw wu P Ví dụ Cho x, y > x + y = Tìm GTNN: P 1 x y xy Hướng dẫn giải: Theo giả thiết: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi x y ( x y )3 x y xy ( x y ) x y 3xy P 1 x3 y 3xy x y 3xy x y xy x3 y xy P 4 xy x3 y 3xy x y 42 x3 y xy x3 y xy P 3 1 3 x xy x y xy 3 ' ' x y3 xy x y 3 x y x y 3 1 y Giáo viên : Phan Huy Khải Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - ... y ) x y 3xy P 1 x3 y 3xy x y 3xy x y xy x3 y xy P 4? ?? xy x3 y 3xy x y 4? ??2 x3 y xy x3 y xy P 3 1 3 x xy x y xy 3 '