Thầy Hồng Trí Quang Chuyên Hà Nội ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II 2016 – 2017 HN AMS Ngày 21/3/2017 – thời gian 120 phút (sưu tầm biên soạn) Câu 1.(2,5 điểm) Cho hai biểu thức A x 2 B x 1 x 3 x 36 với x 0, x x 3 x 3 x 9 Rút gọn biểu thức B tìm tất giá trị x để A B Tìm giá trị x để A nhận giá trị số nguyên dương Câu 2.(1,5 điểm) Giả tốn cách lập hệ phương trình phương trình Một mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài đường chéo 13m chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất Câu (2 điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol p : y x đường thẳng d : y x m , m tham số Khi m , chứng tỏ đường thẳng d cắt P hai điểm phân biệt A,B Từ , tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ) Với giá trị m đường thẳng d cắt P hai điểm M, N cho khoảng cách từ M đến Oy gấp lần khoảng cách từ N đến Oy Câu 4.(3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Đường cao AD, BE cắt H, kéo dài BE cắt đưòng tròn (O;R) F Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác AHF tam giác cân Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ME tiếp tuyến đưòng tròn ngoại tiếp tam giác CDE Cho B, C cố định BC R Xác định vị trí A đường tròn (O; R) để DH.DA lớn Câu (0,5 điểm) Cho hai số dương x,y thoả mãn điều kiện xy x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy 1 2 x y *** Thầy Hồng Trí Quang Chuyên Hà Nội ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1.(2,5 điểm) Cho hai biểu thức A x 2 B x 1 x 3 x 36 với x 0, x x 3 x 3 x 9 Rút gọn biểu thức B tìm tất giá trị x để A B Tìm giá trị x để A nhận giá trị số nguyên dương Lời giải B x 3 x 36 x 9 Để A B x 2 x1 12 x 36 12 x x 9 x 9 12 x 2 x 3 12 x 3 x 12 x x 2 x 21 x x 24 x 12 x x 18 x4 x l Vậy để A B x 11 x 1 x 1 x 2 2 A 2 x 1 x 1 x 1 A 7 mà A nhận giá trị nguyên dương A ; A nguyên A 1; A 2; A 2 A 1 x x 25 A2 x 16 x Thầy Hồng Trí Quang Chuyên Hà Nội A x x 25 Vậy để A nhận giá trị số nguyên dương x 16 ; x ; x 25 25 Câu 2.(1,5 điểm) Giả tốn cách lập hệ phương trình phương trình Một mảnh vườn hình chữ nhật có độ dài đường chéo 13m chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất Lời giải Gọi chiều dài , chiều rộng hình chữ nhật a, b m a, b 2 a b2 132 ab 60 a b 2ab 13 Ta có a b a b a b a b a b a 12 b b b 60 b b 12 l Vậy chiều dài hình chữ nhật 12 chiều rộng hình chữ nhật Câu (2 điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol p : y x đường thẳng d : y x m , m tham số Khi m , chứng tỏ đường thẳng d cắt P hai điểm phân biệt A,B Từ , tính diện tích tam giác OAB (O gốc toạ độ) Với giá trị m đường thẳng d cắt P hai điểm M, N cho khoảng cách từ M đến Oy gấp lần khoảng cách từ N đến Oy Lời giải Khi m d : y x Phương trình hồnh độ giao điểm d P nghiệm phương trình: Thầy Hồng Trí Quang Chun Hà Nội x 1 x x2 x2 2x x 1 Vậy d cắt P hai điểm phân biệt A(1 3; 4 3) B(1 3; 4 3) SOAB S MNBA SONB SOMA Ta có : S MNBA 1 MN AM BN 1 4 3 2 1 SOMA OM MA 1 4 3 2 SOAB 12 10 22 Gọi xM , xN hoành độ điểm M N Khi đó: xM , xN nghiệm phương trình: x x m x x m ' 1 m2 m2 0m Để phương trình có nghiệm phân biệt m xM m x 1 m Ta có: ' m M x N 1 m xN 1 m Để khoảng cách từ M đến Oy gấp lần khoảng cách từ N đến Oy xM xN Chuyên Hà Nội Thầy Hồng Trí Quang TH1 xM xN m m m m m 1 t / m m m m Th2 Hs tự giải Kết luận m 1; m … Câu 4.(3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Đường cao AD, BE cắt H, kéo dài BE cắt đưòng tròn (O;R) F Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác AHF tam giác cân Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ME tiếp tuyến đưòng tròn ngoại tiếp tam giác CDE Cho B, C cố định BC R Xác định vị trí A đường trịn (O; R) để DH.DA lớn Lời giải 1.Ta có HE EC ; HD DC Thầy Hồng Trí Quang Chuyên Hà Nội H , E , C , D nội tiếp đường trịn đường kính HC 2.Xét ADC BEC có C chung ; ADC BEC 90 ADC đồng dạng với BEC DAC EBC CAF (cùng chắn cung FC) HAE EAF AHF cân A Mà AE HF Ta có tâm đường trịn ngoại tiếp H, E, C, D I Chứng minh A,E,D,B nội tiếp đường trịn đường kính AB tâm M MBE MEB ABE ADE AEM ~ ADE ( góc –góc) AE AH AHC ~ AED (cạnh-góc-cạnh) AD AC ADE ACH ABE ACH MEB Mà ACH EHC 90 ; EHC HEI ACH HEI 90 MEB HEI 90 ME EI Chứng minh tương tự câu “ 2” BHK cân B HD DK ( K AD (O ) ) AD.DH AD.DK Tứ giác ABKC nội tiếp, D BC AK AD.DK BD.DC Để AD.DH max BD.DC max Mà BD DC 3R Nên BD.DC max BD DC BC R 2 D trung điểm BC A nằm cung BC Câu (0,5 điểm) Cho hai số dương x,y thoả mãn điều kiện xy x y Thầy Hồng Trí Quang Chun Hà Nội Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy 1 2 x y Lời giải xy x y xy xy xy Ta có P xy xy xy xy xy 1 xy xy xy x y xy xy 2 8 x Dấu " " x y x y ... tiếp đường trịn đường kính AB tâm M MBE MEB ABE ADE AEM ~ ADE ( góc –góc) AE AH AHC ~ AED (cạnh-góc-cạnh) AD AC ADE ACH ABE ACH MEB Mà ACH EHC 90 ; EHC HEI... tam giác cân Gọi M trung điểm cạnh AB Chứng minh ME tiếp tuyến đưòng tròn ngoại tiếp tam giác CDE Cho B, C cố định BC R Xác định vị trí A đường trịn (O; R) để DH.DA lớn Lời giải 1.Ta có HE