MOT SO PHUONG PHAP HOC TOT CHUONG SO PHUC

Phần I: LỜI NÓI ĐẨU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Cơ sở lý luận: Đổi phương pháp dạy học thay đổi từ phương pháp dạy học tiêu cực đến phương pháp tích cực, sáng tạo Nhưng thay đổi phương pháp hoàn toàn lạ mà phải trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Trong chương trình giải tích 12 nay, chương số phức đưa vào, gồm phần: khái niệm số phức, cộng trừ nhân chia hai số phức, phương trình bậc hai với hệ số thực, phương trình bậc hai với hệ số phức (nâng cao) biểu diễn số phức dạng lượng giác (nâng cao) chiếm vị trí quan trọng thường có đề thi tốt nghiệp, Cao đằng Đại học Phần lớn học sinh lúng túng việc phân tích đề để tìm lời giải Chính mà nghiên cứu, biên soạn vấn đề nhằm giúp học sinh hướng tìm lời giải Cơ sở thực tiễn: Đây vấn đề học sinh phổ thông, Bộ giáo dục chuyển tải nội dung từ nội dung học đại học năm thứ xuống lớp 12 Với thời lượng cho phép giảng dạy lớp có hạn Chất lượng học sinh lớp không đồng đều, dạy cho học sinh yếu, trung bình hiểu học sinh giỏi chán, nguồn học sinh thi đậu đại học lại mong manh Để phát huy tính động sáng tạo học sinh giỏi biên soạn nhóm tập xếp thứ tự tập từ dễ đến khó, nhằm giúp học sinh làm tốt phần số phức kỳ thi tới II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Bản thân nghiên cứu đề tài nhằm mục đích: + Chia sẻ với đồng nghiệp em học sinh số phương pháp giúp học tốt chương Số phức Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang + Trang bị thêm nhiều kiến thức, kinh nghiệm trình hướng dẫn học sinh tự học, tự ôn tập, tự tìm tòi, khám phá kiến thức khả tư sáng tạo + Góp phần nâng cao chất lượng môn Toán đặc biệt nâng cao chất lượng giáo dục hàng năm + Hưởng ứng phong trào thi đua “Dạy tốt học tốt” thực tốt vận động “Mỗi thầy cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo” + Hưởng ứng phong trào viết SKKN TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng CĐCS TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng phát động III LỊCH SỬ ĐỀ TÀI Bắt đầu từ năm 2008, chương trình toán lớp 12 thay đổi nhiều nội dung Và chương Số phức đưa vào giảng dạy chương trình lớp 12 kể từ giai đoạn Trong nhiều năm qua, đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học cao đẳng câu hỏi số phức, nhiên việc hướng dẫn học sinh có kiến thức bản, phương pháp học tốt chương Số phức, cách vận dụng linh hoạt sáng tạo phương pháp trình học chương số phức nói chung môn toán nói riêng hạn chế Nhìn chung học sinh giải dạng toán bản, đơn giản mà chưa ứng dụng phương pháp mức độ cao Qua trình giảng dạy, tích lũy số kinh nghiệm đúc kết thành SKKN với đóng góp nhiệt tình đồng nghiệp IV PHẠM VI ĐỀ TÀI Đề tài áp dụng rộng rãi cho tất giáo viên giảng dạy môn toán TT.GDTX, trường THPT em học sinh lớp 12 tham khảo, ôn thi tốt nghiệp luyện thi cao đẳng, đại học Phạm vi nghiên cứu đề tài bao gồm: Xác định phần thực, phần ảo, số phức liên hợp môđun số phức Các phép toán số phức Căn bậc hai số phức Giải phương trình tập số phức Dạng lượng giác số phức, xác định acgumen số phức Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang Phần II: NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP I THỰC TRẠNG Mục tiêu Giáo dục nói chung, Nhà trường nói riêng đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế Nền giáo dục nước ta tiếp cận với khoa học đại Các môn học đòi hỏi tư sáng tạo đại học sinh Đặc biệt với môn học có tính đặc thù cao môn Toán đòi hỏi trình tư tích cực học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức cách xác, khoa học đại Để thực điều giáo viên có kiến thức vững vàng, tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết phải tự giác, tích cực tìm phương pháp dạy học mới, phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, khắc phục lối truyền thụ chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề, bồi dưỡng lực tự nghiên cứu, tự rèn luyện, tự tìm tòi, tự tìm giải pháp thích hợp để giải vấn đề Thực tế giáo viên tích cực thực đổi phương pháp dạy học, khắc phục lối truyền thụ kiến thức chiều, khắc phục tình trạng đọc chép giáo viên chưa bồi dưỡng lực tư sáng tạo lực tự tìm tòi, tự nghiên cứu, tự tìm hướng để giải vấn đề Năm học 2012-2013 tiến hành khảo sát 25 em học sinh lớp 12 hệ GDTX, với nội dung khảo sát kiểm tra cuối chương Số phức Kết sau: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 12 0% 8% 10 40% 13 52% Từ kết thấy số lượng học sinh đạt loại trung bình khá, giỏi đạt 48%, học sinh yếu, lại đạt đến 52% Tôi tiến hành phân tích nguyên nhân dẫn đến tình hình trên, nguyên nhân chủ quan em học sinh GDTX, đa số học yếu, tảng kiến thức em bị hỏng từ lớp dưới, thân em học chủ quan, em học yếu thiếu quan tâm gia đình, thân nên Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang em không thích học, chán học, giáo viên cho nhà không chịu học, không chịu tìm tòi, học hỏi, không chịu làm tập… Nguyên nhân khách quan chương trình từ lớp đến lớp 12 em quen dần với số tự nhiên, số nguyên, số vô tỉ, số hữu tỉ số thực Nên bước sang chương Số phức vừa lạ, vừa khó, em chưa quen nên dễ nhầm số phức số thực Trước thực trạng thúc đẩy nghiên cứu nhiều để đưa phương pháp giúp em học tốt chương Số phức II NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP Chủ đề 1: Xác định phần thực, phần ảo, số phức liên hợp môđun số phức  Phương pháp: - Viết số phức dạng: z = a + bi - Từ suy ra: phần thực a, phần ảo b, số phức liên hợp z = a − bi môđun z = a + b2  Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp mô đun số phức: a z = i − (2 + 4i ) − (1 + 2i) Lời giải: z = i − (2 + 4i ) − (1 + 2i) = −3 − 5i Phần thực: -3 Phần ảo: -5 Số phức liên hợp: z = −3 + 5i Mô đun: z = a + b = 34 b z = ( − 2i) Lời giải: z = ( − 2i) = −1 − 3i Phần thực: -1 Phần ảo: Số phức liên hợp: z = −1 + 3i Mô đun: z = a + b = 49 = c z = (3 + 2i)3 − (1 − 2i )3 Lời giải: z = (3 + 2i)3 − (1 − 2i )3 = + 44i Phần thực: Phần ảo: 44 Số phức liên hợp: z = − 44i Mô đun: z = a + b = 1940 Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp mô đun số phức: 33 10  1− i  z= ÷ + ( − i ) + ( + 5i ) ( − 5i ) + i 1+ i  Lời giải: 33 10  1− i  z= ÷ + ( − i ) + ( + 5i ) ( − 5i ) + i 1+ i  33  (1 − i )  i = + [ ( − i ) ]5 + − 25i + 2  i  1− i  33  −2i  = ÷ + ( −2i ) + 29 − i = 29 − 34i   Phần thực: 29 Phần ảo: -34 Số phức liên hợp: z = 29 + 34i Mô đun: z = a + b = 1997 Bài 3: Cho số phức z = a + bi , a, b ∈ R Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: a z1 = z − 3z + 5i Lời giải: z1 = z − z + 5i = ( a + bi ) − 3(a + bi ) + 5i = (a − 3a − b ) + (2ab − 3b + 5)i Phần ảo: 2ab − 3b + Phần thực: a − 3a − b b z2 = z+i iz − Lời giải: z2 = z+i a − bi + i a − (b − 1)i −a (2b + 1) + (b + b − a − 2)i = = = iz − (a + bi )i − −b − + (b + 2) + a −a (2b + 1) Phần thực: (b + 2)2 + a b2 + b − a − Phần ảo: (b + 2) + a  Bài tập làm thêm: Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp môđun số phức: a z = (4 − 2i) + (1 + 4i) − 3i b z = (2 − i) − (2 + i) −i +i − d z = 1+ i i e z = + i + i + + i 2008 i + 2i + 3i + + 2008i c z = (3 − 2i ) (1 + i) 1− i f z = 2010i 2009 + 2009i 2010 Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp môđun số phức sau biết z = − 2i a z1 = z + 3i − b z2 = z − z + z c z3 = Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng 1+ z + z2 z d z4 = z3 +1 1− z + z2 Trang Bài 3: Tính z + z z.z biết: a z = + 3i b z = −5 + 2i c z = −i Chủ đề 2: Các phép toán số phức  Phương pháp: Cho hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b ' i Khi đó: + Cộng trừ hai số phức: z ± z ' = (a ± a ') + (b ± b ')i + Nhân hai số phức: z.z ' = (aa '− bb ') + (ab '+ a ' b)i + Chia hai số phức: z aa '+ bb ' ab '− a ' b = − i z ' a '2 + b '2 a '2 + b '2 + Nghịch đảo số phức: a-bi a b = = − i 2 z a +b a + b a + b2  Bài tập áp dụng: Bài 1: Thực phép tính sau: a) ( − 4i ) +( + 2i ) Lời giải: ( − 4i ) +( + 2i ) = −2i b) ( − 3i ) ( − 5i ) Lời giải: ( − 3i ) ( − 5i ) = −7 − 22i c) ( + 4i ) ( − 5i ) + ( − 3i ) Lời giải: ( + 4i ) ( − 5i ) + ( − 3i ) = 26 + 2i + 28 − 21i = 54 −19i d) 2+i − 2i Lời giải: e) + i (2 + i )(3 + 2i ) = = + i − 2i 13 13 13 ( + 2i ) ( − 3i ) + 1+ i ( − i) Lời giải: ( + 2i ) ( − 3i ) + 1+ i = ( − i) = − 7i (9 − 7i)(1 − i 3) + (2 − i ) = + (2 − i) 1+ i 9−7 7+9 17 − 11 + − i+ 2−i = − i 4 4 Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang f) ( − 4i ) Lời giải: ( − 4i ) = − 24i − 16i = 25 − 24i Bài 2: Tìm nghịch đảo số phức sau: a z = i Lời giải: 1 −i = = = −i z i b z = + 3i Lời giải: c z = 1 − 3i = = = − i z + 3i 13 13 13 1+ i − 2i Lời giải: − 2i (3 − 2i)(1 − i 5) − + = = = − i z 1+ i 6 ( d z = + i ( ) Lời giải: z = + i ) = − 6i => 1 + 6i = = = + i z − 6i 121 121 121 z z Bài 3: Cho hai số phức: z1 = − 5i , z1 = − i Tính z z2 Lời giải: z z1 − 5i ( − 5i)( + i) = = = − 3i => = a + b = z2 z2 −i  Bài tập làm thêm: Bài 1: Thực phép tính + − 3i a 4−i d − 3i 12 −i (1 − i )8 b (2 + 3i )(1 − i ) (3 − 2i )3 (1 − i) c 1+ i e (2 − 4i )(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 − i) f + 7i − 8i + + 3i − 3i Bài 2: Tìm số phức nghịch đảo số phức z, biết: a z = (1 + i 2) b z = 1 + 1+ i 1− i c z = (3 + 2i)(1 − i) + (3 − 2i )(1 + i) Bài 3: Tính Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang a + i tan x − i tan x b (1 + i )9 (1 − i )7 c (1 − i )5 − (1 + i )5 + Chủ đề 3: Căn bậc hai số phức  Phương pháp: - Biến đổi số phức cho dạng: z=a+bi - Gọi z’ = x + yi với x, y ∈ R bậc hai số phức z=a+bi -  x2 − y = a ⇔ ⇔ x + yi = a + bi ( ) Ta có z ' = a + bi   xy = b - Giải hệ phương trình tìm x,y - Từ suy bậc hai số phức z  Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm bậc hai số phức sau: a z = Lời giải: z = => số phức z có hai bậc hai là: ± b z = −5 Lời giải: z = −5 = 5i => số phức z có hai bậc hai là: ±i c z = 2i Lời giải: Gọi z’= x + yi bậc hai z Khi đó, x − y = z '2 = z ⇔( x + yi ) = 2i ⇔( x − y ) + xyi = 2i ⇔ 2 xy = x =1  y =1(n) 1 − y =  y =    y2 z =1 + i    y = −1(l ) y =1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ 1 ⇔ x = −1 z2 = −1 −i x = x = y   x =    y  y   y = −1 d z = + 6i Lời giải: Gọi z’= x + yi bậc hai z Khi đó, Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang x − y = z '2 = z ⇔( a + bi ) = + 6i ⇔( x − y ) + xyi = + 6i ⇔  2 xy = x =  y =1( n) 9 − y =  y + y − =    y z = + i    y = −9(l )  y =1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ x = −3 z2 = −3 −i x = −3 x = y   x =    y  y   y = −1 e z = −3 + 4i Lời giải: Gọi z’= x + yi bậc hai z Khi đó, x − y = −3 z ' = z ⇔( x + yi ) = −3 + 4i ⇔( x − y ) + xyi = −3 + 4i ⇔  2 xy = 2 2   y = −1(n)  x = 4 − y = −  y − y − =    y  z = + 2i     y = 4(l ) y = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒   x = −1  z2 = −1 − 2i x = x = y   x =    y y   y = −2  Bài 2: Tìm số phức z, cho a z = −15 + 8i Lời giải: Đặt z = a+bi => z = (a + bi )2 = (a − b ) + 2abi Theo giả thuyết:  a =  a − b = −15  z = + 4i b = 2 z = −15 + 8i ⇔ (a − b ) + 2abi = −15 + 8i ⇔  ⇔ ⇒  a = −1  z2 = −1 − 4i 2ab =   b = −4 b z = −2i Lời giải: Đặt z = a+bi => z = (a + bi )2 = (a − b ) + 2abi Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang  a =  a − b2 = b = −1  z1 = − i 2 ⇔ ⇒ Theo giả thuyết: z = −15 + 8i ⇔ (a − b ) + 2abi = −2i ⇔   a = −1  z2 = −1 + i  2ab = −2   b = c z = Lời giải: Đặt z = a+bi => z = (a + bi)3 = (a − 3ab ) + (3ab − b3 )i Theo giả thuyết:  a =  b =  z1 =    a = −1 a − 3ab = 1   3 2  z = ⇔ (a − 3ab ) + (3ab − b )i = ⇔  ⇔  ⇒ z = − − 2   b =− 3 ab − b =      z = − + a = −1     b =    i i  Bài tập làm thêm: Bài 1: Tìm bậc hai số phức sau: a z = −8 b z = 3i − 3i 3−i c z = − 12i d z = c z = −5 + 12i d z = e z = (2 + 6i)(2 − 6i) Bài 2: Tìm số phức z, biết: a z = −1 b z = 3i e z = −i Chủ đề 4: Giải phương trình tập số phức  Phương pháp: Cho phương trình: ax + bx + c = , (a ≠ 0) Tính ∆ = b − 4ac −b ± ∆ + Nếu ∆ > => Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 = 2a + Nếu ∆ = => Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a + Nếu ∆ < => Phương trình có hai nghiệm phức: x1,2 = Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng −b ± i ∆ 2a Trang 10 * Lưu ý: Việc giải phương trình, hệ phương trình giải tương tự giải trường số thực ý đến việc tìm bậc hai số âm bậc hai số phức  Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình sau tập số phức: a 3z + ( + 3i ) ( − 2i ) = + 4i Lời giải: z + ( + 3i ) ( − 2i ) = + 4i ⇔ z + − i = − 4i ⇔ z = − 4i − + i ⇔ z = −3 − 3i ⇔ z = −1 − i Vậy phương trình có nghiệm z = −1 − i b ( − 2i ) z + ( + 5i ) = + 3i Lời giải: ( − 2i ) z + ( + 5i ) = + 3i ⇔ ( − 2i ) z = + 3i − − 5i ⇔ (3 − 2i ) z = − 2i ⇔ z = Vậy phương trình có nghiệm z=1 c ( + 3i ) z − ( + 5i ) = ( + i ) Lời giải: ( + 3i ) z − ( + 5i ) = ( + i ) ⇔z= ⇔ ( + 3i ) z = + 4i + + 5i + 9i (5 + 9i )(1 − 3i ) 16 = = − i + 3i 10 5 Vậy phương trình có nghiệm z = d 16 − i 5 2+ i - + 3i z= 1- i 2+ i Lời giải: 2+ i - + 3i - + 3i - i z= Û z= 1- i 2+ i 2+ i 2+ i + 4i (2 + 4i )(3 - 4i ) 22 Û z= = = + i + 4i 25 25 25 Vậy phương trình có nghiệm z = 22 + i 25 25 e - 2iz = ( + 4i ) ( - 3i ) Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 11 Lời giải: - 2iz = ( + 4i ) ( - 3i ) Û - 2iz = 15 - 5i Vậy phương trình có nghiệm 10 - 5i (10 - 5i ).2i Û - 2iz = 10 - 5i Û z = = = + 5i - 2i z= + 5i f (3 + 4i )z = (1 + 2i )(4 + i ) Lời giải: (3 + 4i )z = (1 + 2i )(4 + i ) Û (3 + 4i )z = + 9i 42 19 + 9i (2 + 9i )(3 - 4i ) 42 19 Vậy phương trình có nghiệm z = + i Û z= = = + i 25 25 + 4i 25 25 25 Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức: a z + z + = Lời giải: Tính ∆ = b − 4ac = 36 − 4.2.5 = −4 < Phương trình có hai nghiệm phức: x1,2 = −b ± i ∆ 2a = −6 ± 2i =− ± i 2 = ± 8i = ± 4i b z − z + 20 = Lời giải Tính ∆ = b − 4ac = 16 − 4.1.20 = −64 < Phương trình có hai nghiệm phức: x1,2 = −b ± i ∆ 2a Bài 3: Giải phương trình sau tập số phức: a z − = Lời giải: z = ± 2 z2 = 2 z −8 = ⇔ z = ⇔  ⇔  z = ±i 2  z = −2  4 Vậy phương trình có nghiệm: z1,2 = ± 2 , z3,4 = ±i 2 b z + z − = Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 12 Lời giải: Đặt t = z z2 =  z = ±1 t = pt ⇔ t + 2t − = ⇔  ⇔ ⇔  t = −3  z = ±i  z = −3 Vậy phương trình có nghiệm z1,2 = ±1 z3,4 = ±i c z − z + z − = Lời giải: z − z + z − = ⇔ ( z − 1)( z − z + 5) = z = z = ⇔ ⇔  z = ± 19 i z − z + =  2 19 i Vậy phương trình có nghiệm z1 = z2,3 = ± 2 Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức: a z + (1 + 2i ) z + i − = Lời giải: Tính ∆ = b − 4ac = (1 + 2i )2 − 4(i − 1) = >0  −b + ∆ −(1 + 2i) + = = −i  x1 = a Phương trình có hai nghiệm phân biệt:   −b − ∆ −(1 + 2i ) − = = −1 − i  x2 = 2a  b ( z − z ) + 3( z − z ) − = Lời giải: Đặt t = z − z z2 − z =  z − z − = 0(*) t = pt ⇔ t + 3t − = ⇔  ⇔ ⇔ z − z = − t = −4   z − z + = 0(**) * z2 − z −1 = Tính ∆ = b − 4ac = − 4.1.(−1) = Phương trình có hai nghiệm phân biệt: z1,2 = −b ± ∆ ± = 2a * z2 − z + = Tính ∆ = b − 4ac = − 4.1.4 = −15 = 15i Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 13 Phương trình có hai nghiệm phức: z1,2 = −b ± i ∆ 2a Vậy phương trình cho có nghiệm: z1,2 = = ± i 15 1± ± i 15 z3,4 = 2 Bài 5: Giải phương trình sau tập số phức: a ( z + i)( z − 1)( z + i ) = Lời giải: z + i =  z = −i   ( z + i )( z − 1)( z + i ) = ⇔  z − = ⇔  z = ±1  z3 + i =  z − i = 0(*)  z = i Phương trình (*) ⇔ ( z − i )( z + z + 1) = ⇔   z + z + = 0(**) Tính ∆ = b − 4ac = − 4.1.1 = −3 = 3i Phương trình (**) có nghiệm phức: z1,2 = −b ± i ∆ 2a = −1 ± i = −1 ± i Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: z1 = −i; z2 = i; z3 = 1; z4 = −1; z5,6 = −1 ± i 2 b z + z − z + z + = Lời giải: z4 + 2z3 − z + 2z + = ⇔ z2 + z Đặt: w = z + ⇒ z + 1 + 2( z + ) − = z z = w2 − 2 z w = pt ⇔ w − + w − = ⇔ w + w − = ⇔   w = −3 z * z + = ⇔ z2 − z +1 = Tính ∆ = b − 4ac = − 4.1.1 = −3 = 3i Phương trình (**) có nghiệm phức: z1,2 = −b ± i ∆ 2a z * z + = −3 ⇔ z + z + = Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 14 Tính ∆ = b − 4ac = − 4.1.1 = Phương trình (**) có nghiệm phân biệt: z3,4 = −b ± ∆ −3 ± = 2a Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: z1,2 = −1 ± i −3 ± z3,4 = 2  Bài tập làm thêm: Bài 1: Giải phương trình sau tập số phức: a z + (2 + i )(−1 + 3i ) = − 5i b (5 − 7i) + z = (2 − 5i)(1 + 3i) c − 2ix = (3 + 4i )(1 − 3i) d 3z (2 − i ) + = 2iz (1 + i ) + 3i Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức: a z + z + = b z + 3z + = c 3z + z + = Bài 3: Giải phương trình sau tập số phức: a z − 3z + = b z − 3z + z − z + = c z − z + 18 z − = d ( z − 1)( z + 5)( z − 3)( z + 7) = 297 Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức: a 3z − (1 + 3i) z + i = b (2i) z − (3 + 2i) z − + 2i = c iz − (1 + 2i) z + iz − = d z + 3iz + 3i = Chủ đề 5: Dạng lượng giác số phức, xác định acgumen số phức  Phương pháp: + Thực phép toán, đưa số phức dạng đại số z = a + bi + Tính môđun r = a + b2 a  cosϕ = r + Tìm ϕ cho:  acgumen z sin ϕ = b  r + Dạng lượng giác số phức z = a + bi là: z = r (cosϕ + i sin ϕ )  Bài tập áp dụng: Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 15 Bài 1: Tìm dạng lượng giác số phức sau: a z = − 3i Lời giải: Số phức z = + 3i có môđun r = a + b = 12 + ( 3)2 = có acgumen ϕ cho:  cosϕ = π π π ⇒ ϕ = => Vậy z = 2[cos( ) + i sin( )]  3 sin ϕ =  * Cách khác: 1  π π  z = + 3i =  + i÷ =  cos + i sin ÷ ÷ 3  2  b z = + i Lời giải: Số phức z = + i có môđun r = a + b = ( 3) + 12 = có acgumen ϕ cho:  cosϕ = π π ⇒ϕ = π  => Vậy z = 2[cos( ) + i sin( )] 6 sin ϕ =  * Cách khác: z = + i = 2( π π + i ) = 2(cos + i sin ) 2 6 c z = − i Lời giải: Số phức z = − i có môđun r = a + b = 12 + (− 3) = có acgumen ϕ cho:  cosϕ = π π π ⇒ ϕ = − => Vậy z = 2[cos(- ) + i sin( − )]  3 sin ϕ = −  * Cách khác: π π z = − i = 2( − i ) = 2[cos(− ) + i sin( − )] 2 3 Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 16 d z = − 3i +i Lời giải: Ta có: z = − 3i (1 − 3i)( − i ) −4i = = = −i 4 +i Số phức z = −i có môđun r = a + b = 02 + (−1) = có acgumen ϕ cho: cosϕ = π π π ⇒ ϕ = − => Vậy z = 1[cos(- ) + i sin(− )]  2 sin ϕ = −1 * Cách khác: π π z = −i = 1(0 − 1.i ) = 1[cos(- ) + i sin(− )] 2 e z = ( − 3i ) ( + i ) Lời giải: Ta có: z = ( − 3i ) ( + i ) = − 2i Số phức z = − 2i có môđun r = a + b = (2 3) + (−2) = có acgumen ϕ cho:  cosϕ = π π ⇒ϕ = −π => Vậy z = 4[cos(- ) + i sin( − )]  6 sin ϕ = −  * Cách khác: z = − 2i = 4( f z = ( − i ) π π − i ) = 4[cos(- ) + i sin (- )] 2 6 Lời giải: Ta có: z = ( − i ) = −2 − 3i Số phức z = −2 − 3i có môđun r = a + b = (−2) + (−2 3) = có acgumen ϕ cho: Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 17  cosϕ = − 4π 4π 4π ⇒ϕ = => Vậy z = 4[cos( ) + i sin( )]  3 sin ϕ = −  * Cách khác: 4π 4π z = −2 − 3i = 4(− − i) = 4[cos( ) + i sin( )] 2 3 Bài 2: Xác định môđun agumen số phức sau: a z = + 11i − 4i Lời giải: ( + 11i ) ( + 4i ) = 97 ( −1 + i ) = −1 + i Ta có: z = + 11i = 49 + 48 − 4i 97 + Môđun z là: r = a + b = (−1) + ( 3) =  cosϕ = − 2π ⇒ϕ = + Agumen z ϕ cho:  sin ϕ =  * Cách khác: 2π 2π   z = −1 + i = 2(− + i ) =  cos + i sin ÷ 2 3   + Môđun z là: r = + Agumen z : ϕ = π π 2π π π    b z =  cos + i sin ÷ cos + i sin ÷ 7 4    Lời giải: Ta có: π π  π π   π π π π  π π π π   z =  cos + i sin ÷ cos + i sin ÷ =  cos cos − sin sin ÷+ i  sin cos − cos sin ÷ 7  4   7 4  7   z = cos 11π 11π + i sin 28 28 + Môđun z là: r = Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 18 + Agumen z : ϕ = 11π 28 * Cách khác: π π  π π π π π π    z =  cos + i sin ÷ cos + i sin ÷ = 1.1 cos( + ) + i sin( + )  7  4 7    z = cos 11π 11π + i sin 28 28 + Môđun z là: r = + Agumen z : ϕ = 11π 28  Bài tập làm thêm: Bài 1: Tìm dạng lượng giác số phức sau: a z = − + i b z = ( − i ) ( − i ) c z = − +i 1+ i Bài 2: Xác định mô đun acgumen số phức sau: π π π π a z = −2(cos + i sin )(cos − i sin ) b z = + 6i 5i − III KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Năm học 2012-2013 tiến hành khảo sát 25 em học sinh lớp 12 hệ GDTX, với nội dung khảo sát kiểm tra cuối chương Số phức Kết sau: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 12 0% 8% 10 40% 13 52% Cuối năm học 2013-2014 chọn 25 em học sinh lớp 12 hệ GDTX để khảo sát với nội dung kiểm tra cuối chương Số phức Kết thu sau: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 12 28% 24% 10 40% 8% Từ kết cho thấy kết học tập học sinh học chương Số phức có phần tiến rõ rệt Tỉ lệ học sinh đạt Khá giỏi tăng lên tỉ lệ học sinh yếu giảm rõ nét Hy vọng việc bổ sung thêm phương pháp đề tài làm phong phú thêm kinh nghiệm giải toán cho học sinh, góp phần hình thành lòng đam mê, yêu thích môn, từ hướng em vòa việc nghiên cứu để tìm ứng dụng mới, không hài lòng với kiến thức biết mà có tinh thần tìm tòi sáng tạo để tự tìm kiến thức Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 19 Phần III: KẾT LUẬN I TÓM LƯỢC GIẢI PHÁP Việc viết sáng kiến kinh nghiệm vấn đề cấp thiết cho giai đoạn nay, giai đoạn công nghiệp hóa đại hóa đất nước, đất nước phát triển Việt Nam ta nói chung, riêng ngành giáo dục cần phải đổi nhanh chóng, song ở mỗi bộ môn đặc biệt các môn tự nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp kế thừa và áp dụng thì mỗi giáo viên chúng ta nên chỉ và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được Có vậy, tình trạng hỏng kiến thức bản mới hạn chế và dần khắc phục được Ví dụ SKKN em học sinh biết cách xác định phần thực, phần ảo, số phức liên hợp môđun số phức; biết thực phép toán số phức phép cộng hai số phức, phép trừ hai số phức, phép nhân hai số phức, phép chia hai số phức tìm nghịch đảo số phức; Các em học sinh biết tính bậc hai số phức; biết cách giải phương trình tập số phức biết dạng lượng giác số phức, biết cách đưa số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác, biết cách xác định acgumen số phức,… Hy vọng với đề tài giúp em có thêm nhiều kiến thức, biết tự học, tự tìm tòi sáng tạo giải toán Đặc biệt giúp em ham học thích học chương Số phức nói chung môn Toán nói riêng II PHẠM VI, ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG Phạm vi nghiên cứu đề tài bao gồm: Xác định phần thực, phần ảo, số phức liên hợp môđun số phức; Các phép toán số phức; Căn bậc hai số phức; Giải phương trình tập số phức dạng lượng giác số phức, xác định acgumen số phức Đề tài áp dụng cho em học sinh lớp 12 học chương Số phức, học sinh ôn tập thi tốt nghiệp THPT, luyện thi cao đẳng, đại học Ngoài để tài để giáo viên tham khảo giảng dạy chương Số phức III KIẾN NGHỊ Qua SKKN muốn chia với bạn đồng nghiệp số kinh nghiệm mà tích lũy trình giảng dạy môn Toán Hy vọng thầy cô giới thiệu rộng rãi cho học sinh đồng nghiệp dạy 12 Tuy nhiên vấn đề trình bày đề tài Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 20 gợi ý, ví dụ cần sưu tập thêm, phương pháp giải ví dụ chưa tối ưu, hy vọng quý đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu chắn đề tài đem lại nhiều lợi ích Hy vọng SKKN góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp giải toán chuyên đề tích phân số phức (Nguyễn Văn Nho & Lê Bảy – NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 2012) Phân dạng phương pháp giải dạng tập Giải Tích 12 (Nguyễn Đức Bằng & Dương Quang Hòa – NXB ĐHQG TPHCM năm 2011) Báo toán học tuổi trẻ Phân dạng phương pháp giải toán số phức (Lê Hoành Phò - NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 2008) Các đề thi đại học năm Bộ tài liệu ôn thi đại học (TS Vũ Thế Hựu - NXB ĐHSP TPHCM năm 2010) Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 21 MỤC LỤC Phần I: LỜI NÓI ĐẦU I Lý chọn đề tài -1 II Mục đích đề tài III Lịch sử đề tài -2 IV Phạm vi đề tài -2 Phần II: NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP I Thực trạng II Nội dung giải pháp III Kết -19 Phần III: KẾT LUẬN I Tóm lược giải pháp -20 II Phạm vi, đối tượng áp dụng 20 III Kiến nghị -20 IV Tài liệu tham khảo 21 V Mục lục -22 Võ Tô Hiệp – TT.GDTX&KTTH-HN Tân Hưng Trang 22 ... nước, đất nước phát triển Việt Nam ta nói chung, riêng ngành giáo dục cần phải đổi nhanh chóng, song ở mỗi bộ môn đặc biệt các môn tự nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp kế thừa