Các chuyên đề casio tư duy bấm máy giải nhanh trắc nghiệm toán

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để C có hai điểm cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị đó tạo với hai trục tọa độ mộttam giác vuông cân.. 1.4 Tối ưu bấm máy cho bài toán đơn

Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương

1.1 Khai thác Định lý Viet của phương tr 2

1.2 Tiếp cận nhanh phương tr 4

1.3 Ứng dụng t 9

1.4 Tối ưu bấm máy cho bài toán đơn điệu hàm số 13

1.4.1 Hàm nhất biến y = ax+b cx+d 13

1.4.2 Hàm bậc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d (a 6= 0) 15

1.5 Biểu diễn của số phức và vấn đề min, max 19

1.5.1 Một số công thức 19

1.5.2 Khai thác biểu diễn h 23

1.6 Kỹ thuật chọn trong trắc nghiệm t 26

1.7 Khai thác tỉ số trong h 31

1.8 Bán k 45

Một số chuyên đề trắc nghiệm chọn lọc

1.1 Khai thác Định lý Viet của phương trình bậc 3

Nếu phương trình bậc ba ax3+ bx2+ cx + d = 0 (a 6= 0) có ba nghiệmx1, x2, x3 thì ta luôn có

2 =

√ 34

2 .

Lưu ý, nếu M, N là hai điểm thuộc đường thẳng y = kx + l thì độ dài đoạn M N cho bởi

M N = |xM − xN|p1 + k 2 =

q (xM + xN) 2 − 4xMxNp1 + k 2

Ví dụ 2 Biết rằng đồ thị các hàm số y = x3+ 54x − 2 và y = x2+ x − 2 tiếp xúc nhau tạiđiểm M (x0; y0) Tìm x0

Giải Thấy phương trình x3+ 5

4x − 2 = x

2 + x − 2 có nghiệm x = 0 (không phải nghiệm kép,

vì không tách được nhân tử x2) Vậy có x0+ x0+ 0 = 1 ⇒ x0= 1

2.

Ví dụ 3 Giả sử đồ thị (C m ) : y = x3− 3mx2+ (m − 1)x + 3m cắt trục hoành tại ba điểmphân biệt có hoành độ x1, x2, x3 Giá trị nhỏ nhất của x21+ x22+ x23 là

 2 +17

9 .

Chọn C

Ví dụ 4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x3− 3x2+ m (Cm)

có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ

Giải Gọi M, N là hai điểm thuộc (C m ) đối xứng qua gốc tọa độ Khi đó đường thẳng M N

qua O có phương trình y = kx Xét phương trình hoành độ giao điểm

Từ xM + xN = 3 suy ra trung điểm của M N là P 32;52

Đường trung trực của đoạn M N qua

P và ⊥∆có phương trình d : y = 4 − x Bây giờ gọi I là tâm đường tròn đã cho thì ta có I ∈ d

1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR Trần Lê Quyền

suy ra I(x; 4 − x) Sử dụng giả thiết

 −3 + 1

√ 2

 2

= 252

∆(x) = f (x) − f

0 (x).f00(x) k

với k là số thực thích hợp làm cho hệ số bậc 3 trong ∆(x) bị triệt tiêu!

Đối với trường hợp có tham số, việc tìm ra dạng tường minh của∆(x) cũng gây ra nhữngkhó khăn nhất định Bạn đọc có thể tìm đọc các bài viết của thầy Phùng Quyết Thắngxung quanh vấn đề này, cũng như các kết quả mở rộng khác Còn trong bài viết này, chúng

ta cố gắng khai thác ∆(x) mà không cần biết đến dạng chính xác của nó

Ví dụ 1 Đường thẳng nối hai điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm sốy = x3−x+m

đi qua điểm M (3; −1) khi m bằng

Giải Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y = ∆(x) với

∆(x) = x3− x + m −(3x

2 − 1).6x k

tại x = 3, y = −1 Kết quả thu được m = 1, chọn A.

Ví dụ 2 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3− 3x + 5 có hệ sốgóc bằng

Giải Ta có

∆(x) = x3− 3x + 5 −(3x

2 − 3).6x 18

Vì rằng hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng −1, ta r biểu thức

6 −1, 00 Nhận, Chọn B

Ví dụ 4 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3− 3x 2 + mx + m có hai điểm cực trị và đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = 1 − 2x

1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR Trần Lê Quyền

Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc, r biểu thức ∆(x)

Ví dụ 5 Cho hàm số y = x3− 3mx2− 3m + 1 (C) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để

(C) có hai điểm cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị đó tạo với hai trục tọa độ mộttam giác vuông cân

Giả thiết cho biết đường thẳng ∆ : y = ∆(x) tạo với trục Ox một góc 45◦ hoặc 135◦, do đó hệ

số góc của ∆ bằng tan 45◦ hoặc tan 135◦ Vậy r biểu thức ∆(x)

Ví dụ 7 Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = 2x3− 3(m + 1)x2+ 6mx có hai cựctrị M, N, đồng thời tam giác OM N có diện tích bằng 12.

= |b

2 |

q (m + 1) 2 − 4m

Để tìm b, r ∆(x) tại x = 0, m = 100thu được b = 10100 = m2+ m Thay b vào phương trìnhtrên và thử đáp án, chọn B

Ví dụ 8 Cho hàm số f (x) = x3+ ax2 + bx + c và giả sử A, B là hai điểm cực trị của đồthị hàm số Giả sử đường thẳng AB cũng đi qua gốc tọa độ Tìm giá trị nhỏ nhất của

Giả sử ∆(x) : y = ax + b, vì ∆(x) đi qua O nên phải có b = 0 Kỹ thuật r 100 cho phép tìmđược b = c −ab9 Với c = ab9, ta có

1.2 TIẾP CẬN NHANH PHƯƠNG TR Trần Lê Quyền

BT 2 Cho hàm số y = x3− 3mx2+ m − 1 (C) và hai điểm I(−1; 2), J (0; 1) Tìm tất cả giátrị thực của tham số m để (C) có hai điểm cực trị và đường thẳng ∆ đi qua hai điểm cựctrị đó thỏa mãn d(I; ∆) = 4.d(J ; ∆)

BT 3 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm sốy = x3+ 3(m − 1)x2+ 6(m − 2)x − 1

có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = 1 − 4x

BT 4 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm sốy = 2x3− 3(m + 1)x 2 + 6mx có haiđiểm cực trị AB và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2

BT 5 Tìm tất cả giá trị thực của tham số mđể đồ thị hàm sốy = x3−3mx+2m 2 −4033m+1

có hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng y = 2017x + 2018

√ 5

√ 3 3

1.3 Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích trong mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho các vectơ −→a = (a1; a2; a3) và −→b = (b1; b2; b3), tích có hướng củahai vectơ −→a , − →

Nhận xét 1 • Nếu M, N là hai điểm thuộc đường thẳng d : y = ax + b thì diện tíchtam giác OM N bằng 12.|b(xM− xN)| Trong khi, độ dài đoạn M N là√a 2 + 1.|xM − xN|

• Nếu A ∈ Oy, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm bậc 4 trùng phương thì ta luôn có

Ví dụ 3 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2(1 − m2)x2+ m + 1 có

ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất?

1.3 ỨNG DỤNG T Trần Lê Quyền

Theo đó

SABC = |xB(yB − yA)| =p1 − m 2 2m2− m4− 1

Thử đáp án thấy ứng với phương án C, giá trị diện tích thu được là lớn nhất

Ví dụ 4 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2mx 2 + m − 1 có bađiểm cực trị cùng thuộc một đường tròn có bán kính bằng 1

solve phương trình này (hoặc thử đáp án) chọn B

Ví dụ 5 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2mx 2 + 2m + m4 có bađiểm cực trị tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

√

m + m 4 2 √

m

4 √ m.m 2 = 1 + m

3

2m .

Thay lần lượt các giá trị m > 0 của đáp án thấy R nhỏ nhất khi m = √31

2, chọn B

Ví dụ 6 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2(m − 3)x 2 + m − 1 có

ba điểm cực trị A, B, C lập thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1

A m = 4 hoặc m = 5 + 2 √

2

Giải Các điểm cực trị là A(0; m − 1), B( √

m − 3; −m2+ 7m − 10), C, bán kính nội tiếp cho bởi

Ví dụ 7 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3+ 3x2+ m có 2 điểmcực trị A, B sao cho góc [AOB = 60◦, trong đó O là gốc tọa độ.

thay đáp án, chọn D

Ví dụ 8 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng y = x + 4 cắt đồ thị hàm số

y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 tại 3 điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho SKBC = 8 √

√ 41 2

Giải Phương trình x3+ 2mx2+ (m + 3)x + 4 = x + 4 ⇔ x.g(x) = 0 với g(x) = x2+ 2mx + m + 2

có hai nghiệm phân biệt xB, xC khi m < −1 ∨ m > 2 Khi đó, diện tích tam giác KBC cho bởi

S = |xB− xC| =

q 4m 2 − 4(m + 2)

Ta có S = 8 √

2, thử đáp án chọn A

Bài tập

BT 1 Biết rằng đồ thị hàm số y = x4− 2mx 2 − m + 2 có 3 điểm cực trị Tìm tất cả giá trị

m để 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32

Ví dụ 9 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3− 3x2+ 3(1 − m)x + 1 + 3m

có hai cực trị, đồng thời hai điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác

có diện tích bằng 4

BT 5 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm sốy = x4− 2mx 2 + 2m

có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1

BT 12 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng y = −2 cắt đồ thị hàm số

y = (2 − m)x3−6mx2+ 9(2 − m)x − 2tại 3 điểm phân biệtA(0; −2), B, C sao choSOBC = 3 √

3

3 D m = ±2

BT 13 Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : mx − y + m = 0 cắt đường cong (C) : y =

x3− 3x 2 + 4 tại 3 điểm phân biệt A, B và C(−1; 0) sao cho tam giác AOB có diện tích bằng

5 √

5.

1.4 Tối ưu bấm máy cho bài toán đơn điệu hàm số

Phần này giới thiệu một số tiêu chuẩn rút gọn để kiểm tra tính đơn điệu của hàm số trongtrường hợp có tham số Thật ra, để xác định một giá trị của tham số m thỏa yêu cầu haykhông, ta chỉ cần kiểm tra dấu của đạo hàm tại một số điểm x nhất định

Các tiêu chuẩn sẽ được ‘hé lộ’ dần thông qua các ví dụ

 mx − 2 2x − m

 x=100

Ta dựa vào dấu của kết quả để nhận hoặc loại các giá trị m (kết quả > 0 thì nhận, ≤ 0 thìloại):

1.4 TỐI ƯU BẤM MÁY CHO BÀI TOÁN ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ Trần Lê Quyền

≤ 0 thì ta loại ngay m 0 Điều đáng lưu ý là, đối với hàm nhất biến, nếu kết quả đạo hàm

> 0 thì ta nhận m0 mà không cần thử tại giá nào khác của x

Đối với trường hợp nghiệm của mẫu phụ thuộc vào m và yêu cầu đơn điệu trên khoảng

(a; b) thì trước hết, cần chọn m để cho nghiệm đó không thuộc (a; b) Tuy đây chỉ là điềukiện cần nhưng cũng giúp loại bớt các phương án nhiễu

Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x

x − m nghịch biến trênnửa khoảng [1; +∞)

A 0 < m ≤ 1 B 0 < m < 1 C 0 ≤ m < 1 D m > 1

Giải • Điều kiện cần (nghiệm của mẫu) m 6∈ [1; +∞), tức là m < 1, loại A và D

• Rõ ràng m = 0 bị loại vì làm suy biến hàm thành hàm hằng (hàm hằng không tăng cũngkhông giảm) Vậy D bị loại

Chọn B

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để hàm sốy = (m + 1)x + 2m + 2

x + m nghịchbiến trên khoảng (−1; +∞)

C m ∈ (−∞; 1) ∪ (2; +∞) D −1 < m < 2

Giải • Điều kiện cần (nghiệm của mẫu) −m 6∈ (−1; +∞) ⇒ m ≥ 1, loại C và D

• Để kết thúc, chỉ cần thử với m ≥ 2 Đạo hàm của hàm số đã cho có dạng

y0= T(x + m) 2

với T = (m + 1)m − (2m + 2) chắc chắc > 0 khi x → +∞ nên ta loại A

Đáp án B

Ví dụ 4 Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm sốy = m ln x + m

ln x − m nghịch biến trên (1; e)

A m < −1 hoặc m ≥ 1 B m < −1 hoặc m > 0

0

Vì (tan x)0 > 0 trên 0;π4
nên y0 > 0 ⇔ ad − bc = 2 − m > 0 ⇔ m < 2

Kết hợp với điều kiện cần, chọn A

1.4.2 Hàm bậc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d (a 6= 0)

Đối với hàm số bậc 3, ta chỉ cần kiểm tra dấu của đạo hàm ứng với mỗi giá trị của tham

số tại không quá 2 giá trị của x

Ví dụ 6 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = x3+ 3x2+ mx + 2 đồng biến trênR

1.4 TỐI ƯU BẤM MÁY CHO BÀI TOÁN ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ Trần Lê Quyền

• Nếu a < 0 thì không tồn tại m thỏa yêu cầu

• Nếu a > 0 thì ta chỉ cần kiểm tra dấu đạo hàm tại đúng

một điểmx = −3ab là đủ Để ý rằngx = −b3a chính là nghiệm

củay00 Có thể lý giải việc này dựa vào hình dáng của đồ

thị hàm số bậc haiy0(x), đó là một Parabol mà điểm ‘thấp

Giải • TH1: m < 0 bị loại do làm cho hệ số bậc ba âm (vi phạm điều kiện cần)

• TH2: m = 0, hàm số có dạng −x − 3 = 0 giảm trên R nên loại m = 0 Đến đây loại cácphương án A,B

• Ta chỉ cần thử vớim = 32 để kết thúc, tính y0 tạix = −b3a = −13 thấyy0 = 0nên nhậnm = 32,chọn C

Xuất phát từ ý tưởng chỉ cần xác định dấu của y0 tại điểm thấp nhất của đồ thị trênmiền cần xét Ta thu được nhận xét sau:

Nhận xét 3 Đối với trường hợp a > 0 và yêu cầu

tìm m để hàm số bậc ba y = ax3+ bx2+ cx + d đồng

biến trên khoảng (a; b),

• Nếu −3ab ∈ (a; b) thì chỉ cần xét dấu y0 tại x =

A m ≤ −1 B m ≥ −1 C −1 < m < 0 D m < −1

Giải Ta có

y0 = x2− 2(m + 1)x + m2+ 2m, y00= 2x − 2(m + 1).

Vậy nghiệm của y00 là x 0 = m + 1 Ứng với mỗi giá trị của m, ta sẽ so sánh x 0 = m + 1 với 1

để chọn giá trị thử của x r y0 ứng với m và x như sau:

1.4 TỐI ƯU BẤM MÁY CHO BÀI TOÁN ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ Trần Lê Quyền



D



−∞;103



A 1 < m < √2

BT 4 Giá trị của tham số m để hàm số y = cos x − 2

cos x − m nghịch biến trên khoảng 0;π2
là:

A m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 B m ≤ 0

BT 5 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = cot x − 2

cot x − m đồng biến trên khoảng

nghịch biến trên [2; +∞).

BT 9 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y = m − sin x

cos 2 x nghịch biến trên

Ta kí hiệu Re(z) và Im(z) tương ứng là phần thực và phần ảo của một số phức z

Nhận xét 1 Cho số phức z thỏa mãn |z − z0| = r0 Khi đó, tập hợp các điểm biểu diễncủa số phức w = z1z + z2 là một đường tròn có tâm I(a; b) bán kính r với

Ví dụ 3 Cho số phức z thỏa mãn |2z − i| = |2 + iz| Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễncủa số phức w = (1 + i)z − i √

3 là một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó.Giải Đặt z = x + yi (x, y ∈R), từ điều kiện |2z − i| = |2 + iz| ta thu được x2+ y2= 1, tức là

|z| = 1 Đến đây, lại áp dụng (1.2), bán kính cần tìm là |1 + i| =√2

1.5 BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC VÀ VẤN ĐỀ MIN, MAX Trần Lê Quyền

Ví dụ 4 Cho số phức z thỏa mãn | − iz + 1| = 2 Biết rằng tập hợp các hợp các điểm biểudiễn của số phức w = √

3 + i
z + 2i là một đường tròn, tính bán kính của đường tròn đó

√

3 + i

−i .2

= 4.

Ví dụ 5 Cho số phức z thỏa mãn

c a

c a

2.

c a

1.6 Kỹ thuật chọn trong trắc nghiệm tích phân và số phức

Một nguyên tắc cơ bản khi xây dựng nên các bài toán đại số chính là: thiết lập sự cân bằnggiữa số ẩn số và số phương trình lập nên từ các dữ kiện

Lấy ý tưởng đó, bài viết này tổng hợp và giới thiệu vài cách xử lí nhanh một số bàitoán số phức và tích phân bằng một kiểu chọn đặc biệt Tôi cố tình không phân chia racác đề mục để tách biệt giữa số phức và tích phân vì xét dưới góc nhìn này, chúng hoàntoàn giống nhau!

Ví dụ 1 Cho hai số phức z1 = a1+ b1i và z2 = a2+ b2i (a1, b1.a2, b2∈R) thỏa mãn |z1+ z2| =

z1

 2

... AOB có diện tích

5 √

5.

1.4 Tối ưu bấm máy cho toán đơn điệu hàm số

Phần giới thiệu số tiêu chuẩn rút gọn để kiểm tra tính đơn... class="text_page_counter">Trang 15

1.4 TỐI ƯU BẤM MÁY CHO BÀI TOÁN ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ Trần Lê Quyền

≤ 0 ta loại m 0... class="text_page_counter">Trang 17

1.4 TỐI ƯU BẤM MÁY CHO BÀI TOÁN ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ Trần Lê Quyền

• Nếu a < 0