1937928777

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG ĐỀ MƠN: TỐN Thời gian làm : 120 phút Câu (3 điểm) Tính A = − 11 − + 11  2x + x  x−4  − ÷ Cho biểu thức P =  ÷  x − x − ÷   x x +1 x − x +1   ( với x ≥ 0; x ≠ ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P 4−x < Câu 2.(2 điểm).Giải phương trình ( x + ) x + = 3x + x + Câu (3 điểm).Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d1): x − 3y + = (d2): x + 2y − = (d3): ( m − 1) x + 3y − − 2m = a) Tìm tọa độ giao điểm A (d1) (d2) b) Xác định m để ba đường thẳng đường thẳng phân biệt đồng quy Câu (8 điểm) Cho D ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kéo dài AO cắt đường tròn K Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành Kẻ OM ^ BC M Gọi G trọng tâm D ABC Chứng minh SAHG = 2SAGO Chứng minh AD BE CF + + ³ HD HE HF Câu 5.(2 điểm) Tìm tất cặp số (x; y) thỏa mãn  2 xy − y + x + y =10   y + − y + + 2 x − = -Hết - Họ tên thí sinh:……………………… .Chữ ký giám thị 1: ……………………… Số báo danh :…………………… … Chữ ký giám thị 2: …………………… ĐÁP ÁN VA HƯỚNG DẪN CHẤM THI Phần trắc nghiệm ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu (3 điểm) a) Tính A = − 11 − + 11 Nhận xét A < A = ( − 11 − + 11 ) = − 11 + + 11 − (6− )( 11 + 11 ) = 12 − 36 − 11 = 12 − 2.5 = Suy A = − (vì A < 0)  2x +  x x−4  − x − ÷  ÷ ( với x ≥ 0; x ≠ ) ÷ x x + x − x + x −    b) Rút gọn P =  = ( ( ) ) x +1   x − x +1 x − x +1   2x + − x x +1 )( ( )( x +1 ( )( ) x −2  ÷= ÷ x −2  x +2 ( x − x +1 )( ) x +1 x − x +1 ( x− x −2 ) ) x −2 = x −2  x < - P 4−x < ⇔  x −2  ( )  x < ⇔ ⇔x 0, y > 0, z > Chứng minh ( x + y + z) ỗỗỗ + + ữ ữ ữ x y z è ø Ta có: ỉ1 1ư ỉx ữ= + ỗ + ( x + y + z) ỗỗỗ + + ữ ỗ ữ ữ ỗy x y z è ø è = 3+ ỉz y yử x zử ữ+ ổ ữ ỗ ỗ ữ + ữ + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ố ỗz x ứ ữ ố ữ ỗy z ứ xø x + y2 x + z z2 + y2 + + xy xz zy = 3+ 2 ( x - y) + 2xy ( z - x ) + 2xz ( z - y) + 2yz + xy = 3+ + + + (Vì với x > 0, y > 0, z > ( x - y) ( x - y) xy zx + xy ³ 0; Cách 2: Sử dụng x + y + z ≥ 3 xyz ta có + ( z - x) ( z - x) zx zx ³ 0; + yz ( z - y) ( z - y) yz 0,25đ yz ³ 0,25đ ³ 0) 1 1 + + ³ 33 suy x y z xyz ỉ1 1 ÷³ ( x + y + z) ỗỗỗ + + ữ ÷ ÷ …… x y z è ø 0,25đ + Áp dụng kết tốn ta có ỉHD HE HF ưỉ AD BE CF HD HE HF ữ ữ ỗ + + ỗ + + M + + = (cmt) ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ çAD BE CF øè çHD HE HF ø è AD BE CF Do AD BE CF + + ³ HD HF HF Câu Tìm tất cặp số (x; y) thỏa mãn 0,75đ  2 xy − y + x + y =10 (1)   y + − y + + 2 x − = (2) Điều kiện: x ≥ (1) ⇔ ( ; y≥0 2x −1 + y ) 0.25 =9 ⇔ y =3 ⇔ 2x −1 + x − = − y (*) 0.25 Thay vào (2) y + − y + − 2( y − 2) − = ⇔ ( y + − 4) − ( y + − 3) − 2( y − 2) = 0.25 y + − 16 y +1− y−4 − − =0 ⇔ 3y +1 + y +1 + y +2  2  ⇔ (y-4)  − − =0 ÷  3y +1 + ÷ y + + y +   y − 4=0 ⇔  = +  y + + y +1 + (3) y +2 0.25 Với y=4 ta có x = Với y ≥ ta có 0.25 ≤ 3y +1 + Từ (*) suy y ≤ suy + y +1 + 0.25 > Vậy phương trình (3) y +2 0.25 vơ nghiệm Kết luận nghiệm hệ (x;y) = (1 ; ) 0.25