Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)

Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN ĐẠI CÁC HÀM ♣ ☎ , W q -CHỈNH HÌNH VÀ ÁP DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VĂN ĐẠI CÁC HÀM ♣ ☎ , W q -CHỈNH HÌNH VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62.46.01.02 Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Phản biện 2: GS TS Đặng Đức Trọng Phản biện 3: PGS TS Đinh Huy Hoàng NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Thái Thuần Quang Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước Tác giả Nguyễn Văn Đại LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình đầy nhiệt tâm Thầy Thái Thuần Quang Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán quý thầy cô giáo giảng dạy lớp nghiên cứu sinh Toán giải tích khóa tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp gần xa giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả suốt trình làm luận án Xin cảm ơn Liên Vương Lâm, giảng viên Trường Đại học Phạm Văn Đồng, Quảng Ngãi, nhiệt tình tác giả học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân người bạn tác giả, người mong mỏi, động viên tiếp sức cho tác giả để hoàn thành luận án DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU H ♣D, F q HG ♣D, F q H ✽ ♣D, F q Hb ♣E, F q : Không gian hàm chỉnh hình D nhận giá trị F : Không gian hàm G-chỉnh hình D nhận giá trị F : Không gian tất hàm bị chặn H ♣D, F q : Không gian tất hàm chỉnh hình từ E vào F mà bị chặn tập bị chặn E Hub ♣E, F q HLB ♣D, F q : Không gian tất hàm chỉnh hình loại bị chặn : Không gian hàm chỉnh hình bị chặn địa phương D H W ♣D, F q : Không gian hàm ♣F, W q-chỉnh hình W Hloc ♣D, F q : Không gian hàm ♣F, W q-chỉnh hình địa phương H W,✽ ♣D, F q : Không gian hàm ♣F, W q-chỉnh hình bị chặn W,✽ Hloc ♣D, F q ♣ K H ♣X q ∆nr ♣z0 q : Không gian hàm ♣F, W q-chỉnh hình bị chặn địa phương : H ♣X q-bao K : tz € Cn : ⑥z ✁ z0⑥ ➔ r✉ ∆1r ♣z0 q ∆nr ♣0q ∆r ♣z0 q : ∆nr : ∆n : ∆n1 ∆ : ∆1 B ♣E q : Tập tất tập lồi, cân, đóng, bị chặn E K ♣E q Uk P SH ♣Ωq U ♣K, Ωq uK,Ω ♣z q u✝K,Ω : Tập tất tập compact, lồi, cân E : tx € E : ⑥x⑥k ➔ 1✉ : Tập hàm đa điều hòa Ω ✞ : tu € P SH ♣Ωq : u ↕ 1, u✞K : ↕ 0✉ Hàm cực trị tương đối cặp ♣K, Ωq : Hàm quy hóa nửa liên tục uK,Ω Ox : Vành mầm chỉnh hình x € X OX : Bó mầm chỉnh hình X Mục lục Danh mục ký hiệu ii Mở đầu Chương Tính chỉnh hình hàm ♣☎, W q-chỉnh hình 1.1 Một vài khái niệm 1.1.1 Không gian dãy K¨othe 1.1.2 Các bất biến tôpô tuyến tính 10 1.1.3 Các hàm chỉnh hình, mầm hàm chỉnh hình 12 1.1.4 Hàm đa điều hòa 13 1.1.5 Tập cực, tập đa cực, tập đa quy 13 1.2 Một số đặc trưng tính chất ♣Ωq 15 1.3 Hàm chỉnh hình bị chặn địa phương 20 1.4 Các hàm σ ♣☎, W q-chỉnh hình 26 Chương Thác triển chỉnh hình hàm ♣☎, W q-chỉnh hình 34 2.1 Thác triển từ bao tuyến tính tập bị chặn 34 2.2 Thác triển từ tập compact không đa cực 42 Chương Hàm ♣☎, W q-chỉnh hình phân biệt 3.1 52 Một số vấn đề không gian Stein 52 3.1.1 Không gian phức 52 3.1.2 Không gian Stein 55 i 3.2 Mở rộng Định lý Hartogs tích Descartes 56 3.3 Mở rộng Định lý Hartogs tập chữ thập 61 Chương Một số áp dụng 70 4.1 Bài toán Wrobel 70 4.2 Các định lý hội tụ kiểu Vitali 71 4.2.1 Định lý Vitali dãy hàm chỉnh hình bị chặn địa phương 4.2.2 72 Định lý Vitali dãy hàm chỉnh hình bị chặn tập bị chặn 74 Kết luận 77 Danh mục công trình tác giả 79 Tài liệu tham khảo 80 Chỉ mục 88 ii MỞ ĐẦU Các hàm chỉnh hình giá trị véctơ công cụ hữu ích việc nghiên cứu lĩnh vực toán học khác, ví dụ lý thuyết nửa nhóm tham số (xem chẳng hạn, Arendt cộng [9]) lý thuyết phổ tính toán giải tích hàm (xem chẳng hạn, Vasilescu [77]) Ngay để chứng minh định lý hàm chỉnh hình giá trị vô hướng, đôi lúc hữu ích ta xét hàm với giá trị không gian Banach Trong giải tích hàm, nói có hai cách tiếp cận với tính chất giải tích hàm giá trị véctơ thông qua khái niệm hàm chỉnh hình yếu chỉnh hình, khái niệm “yếu” dễ kiểm tra nhiều thực hành Ở đây, hàm f : D ÑF gọi chỉnh hình yếu u ✆ f chỉnh hình với u € F ✶ , E, F không gian lồi địa phương D miền (tập mở liên thông) E Ta biết rằng, hàm chỉnh hình chỉnh hình yếu Vì toán đặt cách tự nhiên “Khi tính chất chỉnh hình hàm f định chỉnh hình yếu?” Có thể nói người giải toán vào năm 1938 Dunford [18] Ông khẳng định điều xảy D ⑨ C F không gian Banach Sau Grothendieck [25] mở rộng kết F tựa đầy đủ Trong thực tế, điều E F không gian Hausdorff E khả mêtric [48, Théorème 1.2.10] Như vậy, trường hợp trên, nói chung người ta không kiểm tra tính chỉnh hình hàm giá trị véctơ việc kiểm tra tính chất định nghĩa, mà thuận lợi ta tiến hành kiểm tra thông qua tính chỉnh hình yếu Tuy nhiên, người ta cảm nhận làm bé tập thử F ✶ cho tính chất chỉnh hình hàm f Khi câu hỏi quan trọng đặt “xác định tập thử nhỏ W ⑨ F ✶” cho đủ để kiểm tra tính chất chỉnh hình f Vì số khái niệm chỉnh hình yếu khác (yếu khái niệm truyền thống) đề xuất nhận quan tâm nghiên cứu gần Đó hàm ♣F, W q-chỉnh hình, theo nghĩa, u ✆ f chỉnh hình với u € W ⑨ F ✶ Chính thế, gần số tác giả gọi hàm chỉnh hình “rất yếu” thay cho tên gọi “yếu” thông thường nhằm phân biệt với khái niệm yếu xuất Để trả lời câu hỏi đó, thập niên gần đây, hai toán sau dành quan tâm đặc biệt nhiều nhóm nghiên cứu giới Bài toán Tìm kiếm lớp F hàm ♣F, W q-chỉnh hình D ⑨E với giá trị F điều kiện không gian lồi địa phương E, F, tập xác định D ⑨ E, tập thử W ⑨ F ✶ cho f € F chỉnh hình Bài toán Tìm kiếm lớp F hàm f : M ÑF điều kiện không gian lồi địa phương E, F, tập xác định M ⑨ E, tập thử W ⑨ F ✶ cho u ✆ f có thác triển chỉnh hình đến lân cận D M f thác triển (duy nhất) chỉnh hình D với f € F Kết sớm Bài toán tìm thấy [40, p 139] cho trường hợp D ⑨ C, F Banach, W xác định chuẩn F lớp hàm bị chặn địa phương (cũng xem [8, Theorem 1.3]) Nó hệ trực tiếp công thức tích phân Cauchy Sau đó, luận án Tiến sĩ mình, Grosse-Erdmann [23] mở rộng kết cho trường hợp W tách điểm F với chứng minh phức tạp Năm 2000, [8] Arendt Nikolski cải thiện chứng minh GrosseErdmann cách sử dụng định lý Vitali Thậm chí họ khẳng định kết cho trường hợp F không gian Fréchet Cũng công trình này, tác giả rằng, W không xác định tính bị chặn kết luận không [8, Theorem 1.5] Ở ý rằng, W xác định tính bị chặn xác định chuẩn Tính chất bị chặn địa phương lớp hàm F chứng minh bỏ qua Tuy nhiên, [8], Arendt Nikolski chứng tỏ rằng, trường hợp W không gian hầu xác định chuẩn f €F chỉnh hình tập trù mật D0 D [8, Theorem 1.8] Sau đó, vào năm 2004, Grosse-Erdmann đạt kết tổng quát Bài toán với D miền không gian E lồi địa phương, F đầy đủ địa phương, F lớp hàm bị chặn khuếch đại W tách điểm [24, Theorem 3] Từ kết nói trên, [23] Grosse-Erdmann dễ dàng giải Bài toán cho trường hợp M ✏ D③K, với K tập compact miền D C, thác triển [23, Theorem 5.2] Năm 2004, tác giả giải toán cho tập M nhỏ so với kết trước Ở tập M giả thiết xác định hội tụ địa phương H ♣Dq với D miền Cn F lớp hàm bị chặn M ❳ K với tập compact K ⑨ D [24, Theorem 2] Trong công trình [8], Arendt Nikolski quan tâm đến Bài toán cho trường hợp M tập có điểm giới hạn miền D ⑨ C lớp hàm F tùy ý, W không gian đóng, hầu xác định chuẩn F ✶ [8, Theorem 3.5] Hầu hết tác giả kể sử dụng công cụ túy giải tích phức, cụ thể hàm chỉnh hình nhiều biến giá trị véctơ công cụ không gian véctơ tôpô Vào năm 2007, Bonet, Frerick Jordá [14, 21], thông qua công cụ giải tích hàm, lý thuyết bó nhờ kỹ thuật tuyến tính hóa không gian hàm chỉnh hình, giải Bài toán cho nhiều trường hợp Các tác giả chứng minh kết tổng quát sau: • Nếu F bó đóng lớp C ✽ hàm khả vi vô hạn miền D ❸ Rn , M tập F ♣Dq, W ⑨ F✶ không gian xác định tính bị chặn, F đầy đủ địa phương ánh xạ hạn chế RM,W : F ♣D, F q Ñ FG ♣M, F q toàn ánh [14, Theorem 9] ❸ D ✂ Nn0 xác định tôpô F ♣Dq W ❸ F ✶ tách điểm, ánh xạ hạn chế RM,W : F ♣Ω, E q Ñ FW ♣M, F qlb toàn ánh hai trường • Nếu M hợp sau: F không gian Br -đầy đủ [14, Theorem 17]; F đầy đủ địa phương W trù mật mạnh [21, Theorem and Theorem 3] Gần đây, vào năm 2009, [22], Frerick, Jordá Wengenroth dùng kỹ thuật nói giải Bài toán cho M tập gầy tập béo với số lớp hàm nhận giá trị không gian đầy đủ địa phương Cụ thể, tác giả khẳng định thác triển đến hàm chỉnh hình bị chặn D trường hợp: ⑨ Cn, M ⑨ D tập H ✽♣Dq, F không gian đầy đủ địa phương W ⑨ F ✶ không gian mà xác định tính bị chặn • D F [22, Theorem 2.2] xác định tôpô ✽ ♣N, F q ϕ ✆ prk ✆ f chỉnh hình với k ✏ ϕ ✆ prk ✆ ♣fiqi€N ✏ ϕ ✆ fk € N Vì F € ♣LB✽q nên dễ dàng kiểm tra ✽ ♣N, F q € ♣LB✽q Theo Định lý 1.4.6 Định lý 1.3.2(i) hàm f chỉnh hình bị chặn địa phương Suy dãy tfi ✉i€N bị chặn địa phương Theo Định lý 4.2.4 giả ✆ thiết (ii) ta suy khẳng định (i) Định lý chứng minh Hệ 4.2.6 Giả sử E, F không gian Fréchet-Schwartz tfi ✉i€N dãy hàm chỉnh hình từ miền D ⑨ E vào F cho tfi ✉i€N bị chặn tập bị chặn D Giả sử E có sở Schauder tuyệt đối, E € ♣Ωq, F € ♣LB✽q Khi tồn dãy hội tụ đến hàm chỉnh hình tất tập compact D tập D0 ✏ tz € D : tfi♣z q : i € N✉ compact tương đối F✉ không D Chứng minh Vì D0 không D nên tồn z0 € D dãy tzk ✉ ⑨ D0 Ñ z0 Khi phương pháp lập luận đường chéo ta tìm dãy cho tồn lim fn ♣zk q với k € N Từ Định lý 4.2.5 ta suy tfn ✉ hội mÑ✽ cho zk m m ✆ tụ tập compact D đến hàm chỉnh hình Tương tự, suy từ Định lý 1.4.8 kết Định lý 4.2.7 Cho tfi ✉i€N dãy hàm chỉnh hình từ miền D C ♣n n ➙ 1q vào không gian Fréchet F , cho tfi✉i€N ⑨ bị chặn tập bị chặn D Khi khẳng định sau tương đương: (i) Dãy tfi ✉i€N hội tụ tất tập compact D đến hàm chỉnh hình f : D Ñ F ; (ii) Tập D0 ✏ tz € D : ilim f ♣z q tồn tại✉ có điểm tụ D Ñ✽ i Từ Định lý 4.2.7, Hệ 4.2.6 ta có Hệ 4.2.8 Cho F không gian Fréchet tfi ✉i€N dãy hàm chỉnh hình từ miền D ⑨ Cn ♣n ➙ 1q vào F cho tfi ✉i€N bị chặn tập bị chặn D Khi tồn dãy hội tụ đến hàm chỉnh hình tất tập compact D tập D0 N✉ compact tương đối D✉ có điểm tụ D 75 ✏ tz € D : tfi♣z q : i € Như chương luận án dành cho ứng dụng kết chương việc nghiên cứu định lý kiểu Vitali miền không gian Fréchet Các kết Định lý 4.2.4 Định lý 4.2.5 76 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu luận án nghiên cứu hàm ♣☎, W q-chỉnh hình áp dụng Luận án đóng góp kết sau đây: • Đưa đặc trưng ♣Ω✽ q ♣ΩB q cho bất biến tôpô tuyến tính ♣Ωq Các kết khắc phục số khó khăn chưa vượt qua trước khảo sát hàm chỉnh hình lớp không gian Chú ý rằng, không gian có tính chất ♣Ωq thuộc lớp rộng không gian Fréchet theo phân loại bất biến tôpô tuyến tính Đây công cụ quan trọng chứng minh kết sau luận án hàm chỉnh hình lớp không gian • Khẳng định hàm chỉnh hình tập mở không gian Fréchet E nhận giá trị không gian Fréchet F bị chặn địa phương (Định lý 1.3.2) • Đưa điều kiện để đảm bảo cho tính chỉnh hình hàm σ ♣F, W qchỉnh hình, bị chặn tập bị chặn D (Định lý 1.4.6) • Chứng minh thác triển chỉnh hình hàm ♣☎, W q-chỉnh hình từ bao tuyến tính tập bị chặn (Định lý 2.1.2 Định lý 2.1.3), từ tập compact không đa cực (Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.4) r • Mở rộng Định lý Hartogs tích Descartes tập L-chính quy com- pact không gian Stein với không gian Stein đến lân cận (Định lý 3.2.6) Đồng thời mở rộng Định lý Hartogs tập chữ thập có kỳ dị đa cực, kỳ dị đa quy, kỳ dị (các Định lý 3.3.1, 3.3.3, 3.3.4, 3.3.6) • Áp dụng kết phía trước để giải toán Wrobel trường hợp tổng quát hơn, định lý kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình không gian Fréchet (các Định lý 4.1.1, 4.2.4, 4.2.5, 4.2.7) 77 Các kết đóng góp thực vào hướng nghiên cứu hàm ♣☎, W q-chỉnh hình áp dụng Chúng có ý nghĩa khoa học, mang tính thời quan tâm nhiều tác giả lĩnh vực nghiên cứu luận án Chúng dự định tương lai nghiên cứu vấn đề sau: • Nghiên cứu toán với tập thử W khác • Khảo sát toán trường hợp không gian Fréchet bất biến tôpô tuyến tính • Khảo sát toán không gian có trọng hàm chỉnh hình • Tìm kiếm số ứng dụng 78 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 1) T T Quang, L V Lam and N V Dai (2013), “On σ ♣☎, W q-holomorphic functions and theorems of Vitali-type”, Complex Anal Oper Theory, 7(1), 237-259 2) T T Quang and N V Dai (2014), “On Hartogs extension theorems for separately ♣☎, W q-holomorphic functions”, Int J Math., 25(12), 1450112 (15 pages) 3) T T Quang and N V Dai (2015), “On the holomorphic extension of vector valued functions”, Complex Anal Oper Theory, 9, 567-591 79 Tài liệu tham khảo [1] O Alehyane and A Zeriahi (2001), “Une nouvelle version du théorème d’extension de Hartogs pour les applications séparément entre espaces analytiques”, Ann Polon Math., 76, 245-278 [2] O Alehyane and H Amal (2003), “Separately holomorphic functions with pluripolar singularities”, Vietnam J Math., 31, 333-340 [3] N V Anh (2005), “A general version of the Hartogs extension theorem for separately holomorphic mappings between complex analytic spaces”, Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci., Ser 5, 4(2), 219-254 [4] N V Anh (2008), “A unified approach to the theory of separately holomorphic mappings”, Ann Sc Norm Super Pisa Cl Sci.,Ser 5, 7(2), 181-240 [5] N V Anh (2009), “Recent developments in the theory of separately holomorphic mappings”, Colloq Math., 117(2), 175-206 [6] N V Anh (2010), “Conical plurisubharmonic measure and new cross theorems”, J Math Anal Appl., 365, 429-434 [7] N V Anh and P Pflug (2009), “Boundary cross theorem in dimension with singularities”, Indiana Univ Math J., 58(1), 393-414 [8] W Arendt and N Nikolski (2000), “Vector-valued holomorphic functions revisited”, Math Z., 234, 777-805 [9] W Arendt, C J K Batty, M Hieber and F Neubrander (2001), Vectorvalued Laplace transforms and Cauchy problems, Monographs in Mathematics, Vol 96, Birkh¨auser Verlag, Basel-Boston-Berlin 80 [10] E Bedford and B A Taylor (1982), “A new capacity of plurisubharmonic functions”, Acta Math., 149, 1-40 [11] J Bochnak and J Siciak (1971), “Analytic functions in topological vector spaces”, Studia Math., 39, 77-112 [12] P Boland (1975), “Holomorphic functions on nuclear spaces”, Trans Amer Math Soc., 209, 275-281 [13] P Boland and S Dineen (1978), “Holomorphic functions on fully nuclear spaces”, Bull Soc Math France, 106, 311-336 [14] J Bonet, L Frerick and E Jordá (2007), “Extension of vector valued holomorphic and harmonic functions”, Studia Math., 183, 225-248 [15] S Dineen (1981), Complex Analysis in Locally Convex Spaces, NorthHolland Math Stud [16] S Dineen (1999), Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Springer Verlag [17] S Dineen, R Meise and D Vogt (1984), “Characterization of nuclear Fréchet spaces in which every bounded set is polar”, Bull Soc Math France, 112, 41-68 [18] N Dunford (1938), “Uniformity in linear spaces”, Trans Amer Math Soc., 42(2), 305-356 [19] G Fischer (1976), Complex Analytic Geometry, Lecture Notes in Math., Springer, 538 [20] F Forstneri˘c (2011), Stein Manifolds and Holomorphic Mappings, Springer Berlin [21] L Frerick and E Jordá (2007), “Extension of vector-valued functions”, Bull Belg Math Soc Simon Stevin, 14(3), 499-507 [22] L Frerick, E Jordá and J Wengenroth (2009), “Extension of vectorvalued functions”, Math Nachr., 282, 690-696 81 [23] K G Grosse-Erdmann (1992), The Borel-Okada Theorem Revisited, Habilitationsschrift Fernuniversit¨at Hagen, Hagen [24] K G Grosse-Erdmann (2004), “A weak criterion for vector-valued holomorphy”, Math Proc Cambridge Philos Soc., 136, 399-411 [25] A Grothendieck (1953), “Sur certains espaces de fonctions holomorphes I”, J Reine Angew Math., 192, 35-64 [26] A Grothendieck (1955), “Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires”, Mem Amer Math Soc., 16 [27] R Gunning and H Rossi (1966), Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N S [28] L M Hai (2002), “The property ♣LB✽ q and Frechet-valued holomorphic functions on compact sets”, Vietnam J Math., 31(3), 281-294 [29] L M Hai and T T Quang (1998), “Linear topological invariants and Frecchet valued holomorphic functions of uniformly bounded type on Fréchet spaces”, Publ of CFCA, 2, 23-41 [30] L M Hai and N V Khue (2000), “Some characterizations of the propr q”, Math Scand., 87, 240-250 erties ♣DN q and ♣Ω [31] L M Hai and T V Long (2002), “The non-pluripolarity of compact sets in complex spaces and the property ♣LB ✽ q for the space of germs of holomorphic functions”, Studia Math., 150(1), 1-12 [32] F Hartogs (1906), “Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrer unabh¨angiger Ver¨anderlichen, insbesondere¨ uber die Darstellung derselben durch Reihen, welche nach Potenzen einer Ver¨anderlichen fortschreiten”, Math Ann., 62, 1-88 [33] D H Hoang and T T Quang (1996), “The inheritance of the linear topological invariant ♣DN q”, Acta Math Vietnam., 21(1), 45-58 [34] M Jarnicki and P Pflug (2000), “Extension of holomorphic functions”, de Gruyter Exp Math., 34, de Gruyter 82 [35] M Jarnicki and P Pflug (2001), “Cross theorem”, Ann Polon Math., 77(3), 295-302 [36] M Jarnicki and P Pflug (2003), “An extension theorem for separately holomorphic functions with analytic singularities”, Ann Polon Math., 80, 143-161 [37] M Jarnicki and P Pflug (2003), “An extension theorem for separately holomorphic functions with pluripolar singularities”, Trans Amer Math Soc., 355(3), 1251-1267 [38] M Jarnicki and P Pflug (2011), “A remark on the identity principle for analytic sets”, Colloq Math., 123(1), 21-26 [39] H Junek (1983), Locally Convex Spaces and Operator Ideals, TeubnerTexte Zur Math., 56 [40] T Kato (1980), Perturbation Theory for Linear Operators, Springer Berlin [41] N V Khue and P T Danh (1997), “Structure of spaces of germs of holomorphic functions”, Publ Mat., 41, 467-480 [42] N V Khue and N H Thanh (1999), “Locally bounded holomorphic functions and the mixed Hartogs theorem”, Southeast Asian Bull Math., 23(4), 643-655 [43] M Klimek (1991), Pluripotential Theory, Clarendon Press, Oxford [44] N D Lan (2000), “LB ✽ - structure of space of germs of holomorphic functions”, Publ Mat., 44, 177-192 [45] R Meise and D Vogt (1984), “Extension of entire functions on nuclear locally convex spaces”, Proc Amer Math Soc., 92(4), 495-500 [46] R Meise and D Vogt (1986), “Holomorphic functions of uniformly bounded type on nuclear Frechet spaces”, Studia Math., 83, 147-166 83 [47] Ph Noverraz (1969), “Fonctions plurisousharmoniques et analytiques dans les espaces vectoriels topologiques”, Ann Inst Fourier, 19, 419493 [48] Ph Noverraz (1973), Pseudo-convexite, Convexite Polynomiale et Domaines d’Holomorphie en Dimension Infinie, North-Holland Math Stud [49] ¨ O Oktem (1998), “Extension of separately analytic functions and applications to range characterizations of the exponential Radon transform”, Ann Polon Math., 70, 195-213 [50] ¨ O Oktem (1999), Extending separately holomorphic functions in Cn m with singularities, in: Extension of separately analytic functions and applications to mathematical tomography, thesis, Dept Math Stockholm Uni [51] P Pflug and N V Anh (2004), “A boundary cross theorem for separately holomorphic functions”, Ann Polon Math., 84, 237-271 [52] P Pflug and N V Anh (2007), “Boundary cross theorem in dimension 1”, Ann Polon Math., 90(2), 149-192 [53] P Pflug and N V Anh (2007), “Generalization of a theorem of Gonchar”, Ark Mat., 45, 105-122 [54] P Pflug and N V Anh (2007), “Envelope of holomorphy for boundary cross sets”, Arch Math (Basel), 89, 326-338 [55] P Pflug and N V Anh (2010), “Cross theorems with singularities”, J Geom Anal., 20, 193-218 [56] A Pietsch (1971), Nuclear locally convex spaces, Ergeb Math Grenzgeb Springer Verlag [57] E A Poletsky (1991), “Plurisubharmonic functions as solutions of variational problems, Several complex variables and complex geometry”, Proc Summer Res Inst., Santa Cruz/CA (USA) 1989, Proc Symp Pure Math., 52(1), 163-171 84 [58] E A Poletsky (1993), “Holomorphic currents”, Indiana Univ Math J., 42(1), 85-144 [59] T T Quang (2003), “On holomorphic functions of uniformly bounded type on tensor products”, Southeast Asian Bul Math., 27, 675-696 [60] T T Quang (2006), “The regularity of the space of germs of Fréchet valued holomorphic functions and the mixed Hartog’s theorem”, Math Scand., 99, 119-135 [61] T T Quang, L V Lam and N V Dai (2013), “On σ ♣☎, W q-holomorphic functions and theorems of Vitali-type”, Complex Anal Oper Theory, 7(1), 237-259 [62] T T Quang and N V Dai (2014), “On Hartogs extension theorems for separately ♣☎, W q-holomorphic functions”, Int J Math., 25(12), 1450112 (15 pages) [63] T T Quang and N V Dai (2015), “On the holomorphic extension of vector valued functions”, Complex Anal Oper Theory, 9, 567-591 [64] H H Schaefer (1991), Topological Vector Spaces, Springer Berlin [65] J Siciak (1969), “Analyticity and separate analyticity of functions defined on lower dimensional subsets of Cn ”, Zeszyty Nauk Univ Jagiellon Prace Mat., 13, 53-70 [66] J Siciak (1970), “Separately analytic functions and envelopes of holomorphy of some lower dimensional subsets of Cn ”, Ann Polon Math., 22, 145-171 [67] J Siciak (1981), “Extremal plurisubharmonic functions in Cn ”, Ann Polon Math., 39, 175-211 [68] J Siciak (1990), “Singular sets of separately analytic functions”, Colloq Math., 60-61, 281-290 [69] J Siciak (2001), “Holomorphic functions with singularities on algebraic sets”, Uni Iagell Acta Math., 75, 9-16 85 [70] N T Son (1998), “Separately holomorphic functions on compact sets”, Acta Math Vietnam., 23(2), 207-216 [71] B D Tac, L M Hai and N Q Dieu (2004), “The linear invariants ♣DN q and ♣Ωq for spaces of germs of holomorphic functions on compact subset of Cn ”, Publ Mat., 48, 49-68 [72] N T Van (1997), “Note on doubly orthogonal system of Bergman”, Linear Topological Spaces and Complex Analysis, 3, 157-159 [73] N T Van (1997), “Separate analyticity and related subjects”, Vietnam J Math., 25, 81-90 [74] N T Van and A Zeriahi (1983), “Familles de polynômes presque partout bornées”, Bull Sci Math., 107(1), 81-91 [75] N T Van et A Zeriahi (1991), “Une extension du théorème de Hartogs sur les fonctions séparément analytiques”, Analyse Complexe Multivariable, Récents Développements, A Meril (ed.), EditEl, Rende, 183-194 [76] N T Van et A Zeriahi (1995), “Systèmes doublement orthogonaux de fonctions holomorphes et applications”, Banach Center Publ., Inst Math., Polish Acad Sci., 31, 281-297 [77] F-H Vasilescu (1974), “Funct¸ii analitice ¸si forme diferent¸ialeˆin spat¸ii Fréchet”, St Cerc Mat., 7(26), 1023-1049 [78] D Vogt (1977), “Charakterisierung der Unterr¨aume von s”, Math Z., 155, 109-117 [79] D Vogt (1977), “Subspaces and quotient spaces of s”, in Functional Analysis: Surveys and Recent Results III (ed K D Bierstedt, B Fuchssteiner), North-Holland Math Stud., 27, 167-187 [80] D Vogt (1982), “Eine Charakterisierung der Potenzeihenr¨aume von endlichem Typ und ihre Folgerungen”, Manuscripta Math., 37, 269-301 [81] D Vogt (1982), “Charakterisierung der Unterr¨aume eines nuklearen Stabilen Potenzeihenr¨aume von endlichem Typ”, Studia Math., 71, 251-270 86 [82] D Vogt (1983), “Frechetr¨aume zwischen denen jede stetige linear Abbildung beschraukt ist”, J Reine Angew Math., 345, 182-200 [83] D Vogt (1985), “On two classes of F -spaces”, Arc Math., 45, 255-266 [84] V Wrobel (1982), “Analytic functions into Banach spaces and a new characterization for isomorphic embeddings”, Proc Amer Math Soc., 85, 539-543 [85] V P Zahariuta (1980), “Isomorphism of spaces of analytic functions”, Soviet Math Dokl., 22, 631-634 [86] A Zeriahi (1991), “Fonction de Green pluricomplexe pôle l’infini sur un espace de Stein parabolique”, Math Scand., 69, 89-126 87 Chỉ mục H ♣Dq, 12 ω ♣☎, K, Ωq, 14 H ♣D, F q, 21 conv, 23 H ♣D, F q, 12 ♣ K H ♣X q , 55 H ♣X q-bao, 55 ánh xạ uK,Ω ♣z q, 14 H ♣K q, 13 H ♣X q-lồi, 55 chỉnh hình, 54 H W ♣D, F q, 57 chuẩn tắc hóa, 54 W Hloc ♣D, F q, 57 đa tạp Stein, 55 H ✽ ♣Dq, 13 điểm H ✽ ♣D, F q, 13 L-chính quy địa phương, 14 H W,✽ ♣D, F q, 57 đa quy địa phương, 14 W,✽ Hloc ♣D, F q, 57 HG ♣Dq, 12 HG ♣D, F q, 12 Hb ♣E, F q, 13 HLB ♣D, F q, 21 Hub ♣E q, 34 Hub ♣E, F q, 34 L♣E, F q, 21 LB ♣E, F q, 21 P SH ♣Ωq, 13 S ♣f q, 13 rf sx, 52 Λ✽ ♣αq, 10 Λr ♣αq, λ♣Aq, chuẩn tắc, 54 bó mầm chỉnh hình, 53 bao đa thức, 55 chỉnh hình, 55 hàm ♣F, W q-chỉnh hình, 57 địa phương, 57 bị chặn, 57 bị chặn địa phương, 57 σ ♣F, W q-chỉnh hình, 26, 27 đa điều hòa dưới, 13 chỉnh hình, 12 địa phương, 56 OX , 53 địa phương phân biệt, 56 Ox , 53 bị chặn địa phương, 21 U ♣K, Ωq, 14 chỉnh hình Gâteaux, 12 88 hàm chỉnh hình loại bị chặn đều, 34 không gian chuỗi lũy thừa, chuỗi lũy thừa loại hữu hạn, chuỗi lũy thừa loại vô hạn, 10 Stein, 57 bất khả quy, 53 bất khả quy địa phương, 53 chuẩn tắc, 54 khả quy, 53 lồi địa phương, 56 phức, 56 phức không quy gọn, 53 phức quy gọn, 53 miền chỉnh hình, 55 tập L-chính quy địa phương, 14 r L-chính quy, 14 đa quy địa phương, 14 cực (đa cực), 13 chữ thập, 56 nhất, 15, 42 lồi đa thức, 55 lồi chỉnh hình, 55 mở hữu hạn, 12 tách điểm, 26 xác định tính bị chặn, 26 xác định tôpô, 27 89 ... 15 1.3 Hàm chỉnh hình bị chặn địa phương 20 1.4 Các hàm σ ♣☎, W q -chỉnh hình 26 Chương Thác triển chỉnh hình hàm ♣☎, W q -chỉnh hình 34 2.1 Thác... liên thông) E Ta biết rằng, hàm chỉnh hình chỉnh hình yếu Vì toán đặt cách tự nhiên “Khi tính chất chỉnh hình hàm f định chỉnh hình yếu?” Có thể nói người giải toán vào năm 1938 Dunford [18] Ông... chất giải tích hàm giá trị véctơ thông qua khái niệm hàm chỉnh hình yếu chỉnh hình, khái niệm “yếu” dễ kiểm tra nhiều thực hành Ở đây, hàm f : D ÑF gọi chỉnh hình yếu u ✆ f chỉnh hình với u € F