HSG VINHPHUC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11 - THPT CHUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (3,0 điểm) Cho dãy số thực  xn  xác định nxn2 với n  x0  1; x1  2017 xn1   (n  1) xn n xk k 1 xk 1 Với số nguyên dương n, đặt yn  nxn zn   a Chứng minh  yn  dãy số giảm b Tìm giới hạn dãy  zn  Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c  thỏa mãn điều kiện 1    a  b  c  a b c Chứng minh a  b  c    ab  bc  ca  Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Gọi D trung điểm cạnh AC M trung điểm cạnh BC Đoạn thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD điểm E Đường thẳng BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE điểm F khác B Đường thẳng AF cắt đường thẳng BE I, đường thẳng CI cắt đường thẳng BD K a Chứng minh DA  DF b Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK Câu (1,0 điểm) Một số nguyên dương a gọi số k- phương  k   , k   tồn số nguyên dương b cho a  bk Cho cấp số cộng  an n0 với số hạng số nguyên dương có công sai 2017 Biết có hai số hạng am an cấp số cộng tương ứng số i- phương số j- phương,  i, j   Chứng minh tồn số hạng cấp số cộng số ij- phương Câu (1,0 điểm) Cho S số nguyên dương cho S chia hết cho tất số nguyên dương từ đến 2017 Xét k số nguyên dương a1 , a2 , , ak (không thiết phân biệt) thuộc tập hợp 1,2, ,2017 thỏa mãn a1  a2   ak  2S Chứng minh ta chọn từ số a1 , a2 , , ak vài số cho tổng chúng S -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh:……………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 04 trang) KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016-2017 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11- THPT CHUYÊN I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học thí sinh không vẽ hình phần không cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Điểm Nội dung trình bày a (2,0 điểm) Ta thấy xn  0, n  0,5 Ta có yn  yn1  nxn  (n  1) xn 1  nxn  n(n  1) xn2 nxn   0, n  1  (n  1) xn  (n  1) xn Suy dãy  yn  giảm 1,0 0,5 b (1,0 điểm) Dãy  yn  giảm yn  0, n nên  yn  hội tụ Đặt lim yn  a  n  nxn nxn a  lim  Do a  n  n   ( n  1) x n  n 1  a n 1 (nxn ) n x Từ giả thiết suy xn1  (n  1) xn xn1  nxn2  n1  nxn  (n  1) xn 1 xn Ta có  lim  yn  yn 1   lim n xk x x x    k   x1  nxn  4034  yn , n  x0 k 2 xk 1 x0 k 1 xk 1 Vậy lim zn  4034 0,25 0,25 n Do zn   0,25 n  0,25 (2,0 điểm) Đặt x  a  b  c Ta có a  b  c   1 9     x 8  a b c abc x 0,5  x2  8x    x  Vậy bất đẳng thức thứ chứng minh Ta có x  16  0,5 2 a2 b2 c2       19  x (1) a b c a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwazt ta được:  x  6 a  b  c   a     b     c        2 (2) a b c a  a  2  b b  2  c  c  2 a  b  c  2x Từ (1) (2) suy 19  x   x  6  a b c a  b2  c  x 0,25 2  x  6  2x  19  x (3) BĐT thứ hai tương đương với ab  bc  ca  27   a  b  c    a  b2  c   54 0,25  a  b  c  x  54 2 2 0,25 Ta cần chứng minh  x  6 2x  19  x  x  54 (4) Thật (4)   x    x  x  59   0,25 BĐT x  Từ (3) (4) ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy hai BĐT a  b  c  (3,0 điểm) A E D' D I K F B M C 3a (1,5 điểm) Do tứ giác ABFE nội tiếp nên AFD  1800  AFB  1800  AEB  BEM (1) 0,5 Mặt khác AM trung trực BC tứ giác BEDC nội tiếp nên BEM  Từ (1) (2) suy AFD  1 BEC  BDC (2) 2 BDC  AFD  DAF Vậy tam giác DAF cân D, tức 0,5 0,5 DA  DF 3b (1,5 điểm) Dễ thấy tam giác ABC cân nên đường tròn ngoại tiếp BCD qua trung điểm D’ AB Từ hai cung ED ED ' nhau, suy BE phân giác góc ABD (3) 0,25 Áp dụng định lý Mênelaus cho tam giác ADF cát tuyến CIK ta được: CA KD IF 1 CD KF IA 0,5 Mà CA  2CD BI phân giác góc ABF nên  Suy IF BF  Từ ta IA BA KD BF KD BF KD BF   KF AB KF AD KF AD BF KF BD BF  FD BF KF DF AD    1  1   , AD KD AD AD AD KD DK DK 0,5 Từ suy hai tam giác ADK BDA đồng dạng, suy DAK  ABD Khi IAB  AFD  ABD  DAF  DAK  IAK , suy AI phân giác góc BAK (4) 0,25 Từ (3) (4) suy I tâm nội tiếp tam giác ABK (1,0 điểm) Theo giả thiết, ta có am  xi , an  y j (i, j  2) ; x, y nguyên dương Đặt p  2017 công sai cấp số cộng  an  , ta thấy p số nguyên tố 0,25 Ta có am  a0  mp  a0  am  xi  mod p  , tương tự a0  y j  mod p  Do  i, j   nên tồn u, v  cho ui  vj  Chọn số nguyên dương r,s cho r  u  mod p  1 , s  v  mod p  1 , ri  sj  ui  vj   mod p  1 Suy ri  sj   k  p  1 , k   x y    x   y  s r ij i sj j ri  0,25 Do đó:  a0sj a0ri  a0ri  sj  a0 a0  k p 1  Như tồn số nguyên dương h cho x s y r  ij  a0  mod p   a0  hp  ah 0,25 0,25 Vậy ah số ij - phương (đpcm) (1,0 điểm) Do S chia hết cho 2015,2016,2017 nên S  2015.2016.2017 Giả sử số nguyên 1,2,3,…,2017 xuất nhiều 2015 lần số a1 , a2 , , ak 2S  a1  a2   ak  2015 1     2017   2015.2016.2017 , mâu 0,25 thuẫn Do tồn số a 1, 2,3, , 2017 xuất 2016 lần số a1 , a2 , , ak Ta để 2016 số a vào tập A Xét k  2016 số lại, ta để số vào tập B Tổng số B a1  a2   ak  2016a  2S  2016a  2S  2016.2017  S Nếu k  2016  a k  2016  2017  a1  a2   ak   2016  2017  2017  2S , mâu thuẫn, suy k  2016  a Từ tập B ta chọn a số b1 , b2 , , ba - Nếu tồn i 1, 2, , a mà  b1  b2   bi  a ta chọn i số vào tập hợp T - Nếu ngược lại theo nguyên lý Đirichlet tồn i  r cho 0,25 b1  b2   bi  b1  b2   br  mod a  , suy  bi 1  bi 2   br  a Khi ta chọn  r  i  số vào tập T Như ta chọn số số vào tập T mà có tổng chia hết cho a Ta tiếp tục làm với số lại tập B để bổ sung thêm phần tử vào T tổng số T (kí hiệu Thật vậy,  T ) lớn S  2017a dừng lại T  S  2017a tổng số lại B lớn 0,25 2S  2016a   S  2017a   S  a  2017a ,tức a số để thực thao tác Như vậy, ta xây dựng tập hợp T thỏa mãn hai điều kiện:  T  a T  S  2017a Chú ý S a nên ta Do T  S  ma với T  S  2017a  a  T  S  2016a m0,1, 2, , 2016 Đến lúc ta cần bổ sung m số a từ tập A vào T ta tổng phần tử T S (đpcm) -Hết - 0,25 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 04 trang) KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016-2017 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11- THPT CHUYÊN I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn