HHKG-font-cambri

PHẦN PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG Để giải tốt toán khoảng cách, cần phải nắm vững toán gốc Cụ thể sau: Bài tốn Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  Phương pháp Ta có : SA   ABC   SA  BC S Trong  ABC  , hạ AH  BC  BC   SAH  K Trong  SAH  , Vẽ AK  AH  AK   SBC  A C Vậy d A; SBC  AK Áp dụng hệ thực lượng tam giác vuông SAH ,    H ta có : B 1 SA.AH  2  AK  2 AK SA AH SA  AH2 Nhận xét :   Như vậy, để có tốn, người ta gắn thêm vào ‘bài toán bản’ , yếu tố : Góc , cạnh, Để từ xác định cạnh SA, AH , từ suy khoảng cách cần tìm Tuy nhiên, muốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( ngồi chân đường cao ), làm ? Cách làm : Quy điểm chân đường cao thơng qua tính chất sau : - Nếu đường thẳng d   P  , khoảng cách từ điểm d đến  P  - Nếu đường thẳng AB cắt mặt phẳng  P  điểm M khác A , B d  A ; P   d  B ; P    MA MB - Nếu a,b hai đường thẳng chéo  P  mặt phẳng qua b song song với a d a;b  d a; P  d Ma; P        Trong trường hợp, việc dựng đường cao khó khăn, tính gián tiếp thơng qua thể 3V tích khối chóp : V  Bh  h  Trong , B diện tích đáy, h chiều cao.( Phần B trình bày phần Ứng dụng thể tích ) Thơng qua ví dụ cụ thể sau Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  trung điểm H OB , với O tâm đáy Biết góc  a Từ H đến  SCD b Từ B đến  SAD  SC mặt phẳng ABCD 600 Tính khoảng cách : Nhận xét :Đề thêm vào thông số cạnh đáy, góc nhằm mục đích cho ta tính chiều cao khối chóp cạnh liên quan Cụ thể : Từ giả thiết suy : SH   ABCD  Do S   SC;  ABCD   SCH  600   Trong tam giác vng ABC B, ta tính được: N 1 a BO  AC  AB2  BC2  a  BH  BO  2 2 T A D M O   CD   DBC   300 Ta có: tanDBC BC K H B C Trong HBC , tính   7a  HC  a HC2  BH2  BC2  2BH.BC.cosHBC   a  a 21 Trong tam giác vuông SHC H , ta có : SH  HC.tanSCH 2 a Khoảng cách từ H đến  SCD (Giống toán bản) Trong  ABCD  , hạ HK  CD  HK  BC  HK DH 3 3a    HK  BC  BC DB 4 Hạ HT  SK  HT  d H; SCD Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SHK tai H , ta có    SH.HK HT  SH  HK a 189 148 b Khoảng cách từ B đến  SAD Ta chuyển chân đường cao sau : Ta có : BH   SAD   D với BD 4   d B; SAD  d H; SAD Tương tự toán     HD 3    Hạ HM  AD  HM  AB  HM DH 3 3a    HM  AB  AB DB 4 Hạ HN  SM  HN  d H; SAD Trong tam giác vuông SHM , ta tính    HN  HM.SH HM2  SH2  3a 70 35 4a 70 Vậy d B; SAD  d H; SAD         35   BAD   900 , BA  BC  a, AD  2a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình thang với ABC Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc tạo SC mặt phẳng  SAD 30o Gọi G trọng tâm tam giác SAD Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SCD Lời giải Nhận xét Điểm G điểm bất kì, để tính khoảng cách dễ dàng, ta quy khoảng cách từ chân đường cao A S Từ giả thiết, suy SA   ABCD  G Gọi E trung điểm AD , suy ABCE hình   N E D vuông Nên CE  AD  CE  SAD     SC; SAD   CSE  300 T A M B C   a  SA  SE2  AE2  a  SE  CE.tanSCE Gọi M,N trung điểm AB, AE Ta có : GS 2   d G; SCD  d M; SCD  d N; SCD MN  BE  CD         MS 3    Lại có :   AD   d N; SCD  d A; SCD  d G; SCD  d A; SCD             ND    Nhận thấy EA  ED  EC  a  ACD  C Trong  SAC  , hạ AT  SC , suy AT  d A; SCD Trong tam giác vng SAC , ta có :    SA.AC AT  SA  AC  a a 2.a  a Vậy d G;SCD     2a Kết luận Từ hai ví dụ ta thấy : để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, ta quy điểm chân đường cao, sử dụng ‘bài toán bản’ Tiếp tục với ví dụ sau để có thêm nhìn rõ   450 , AC  2a 2,BC  a Hình chiếu Ví dụ 3.Cho hình chóp S.ABC , đáy tam giác ABC có ACB vng góc đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm BC Góc SA mặt phẳng  ABC  thõa mãn tan   15 Gọi M điểm thuộc cạnh AC cho MC  2MA Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SAB Lời giải Tương tự hai trên, hướng quy chân đường cao S Gọi H trung điểm BC , suy SH   ABC    Suy SA; ABC  SAH     T Trong tam giác AHC , ta tính : 2   8a  a  2.2a a cos45  25a AH2  AC2  HC2  2ACHC.cos ACH 4 5a  AH  M A C E H K B   5a  a Suy ra: SH  AH tanSAH Ta có: CA   d M; SAB  d C; SAB  d H; SAB CB  2HB         MA 3      Trong  ABC  , hạ HK  AB  AB   SHK  Trong  SHK  , hạ HT  SK  HT  d H; SAB      5a2  AB  a Trong tam giác ABC , tính : AB2  AC2  BC2  2AC.BC.cos ACB  2a 1 BC.CA.sinBCA d Ta có : dt  ABC   AB.dC;AB  BC.CA.sinBCA    C;AB 2 AB a Vì H trung điểm BC , nên HK  dC;AB  SH.HK Trong tam giác vuông SHK , tính HT  SH  HK  a 2a Vậy d M; SAB     Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.A 'B'C' , có đáy ABC tam giác vuông A , AB  a, AC  a Đỉnh   A ' cách đỉnh A,B,C Góc tạo AA' mặt phẳng A'BC 300 Gọi M trung điểm AA' Tính khoảng cách từ C' đến mặt phẳng  MBC  Lời giải Vì A ' cách đỉnh A,B,C nên chân đường cao hạ từ A ' lên  ABC  trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A' C' Gọi H trung điểm BC , suy A'H   ABC  B' M Trong  ABC  , hạ AK  BC  AK   A'BC  I    AA';  A'BC   AA'K  300   T A C E Xét tam giác ABC , tính : AK  AB.AC AB  AC  a B K F H   a tan60  3a suy A'H  AK tan A'AK 2 Gọi I  MC  AC' Khi : C'I CC'    d C'; MBC  2d A; MBC       AI MA Gọi E trung điểm AH , suy ME   ABC  d C'; MBC  2d A; MBC  4d E; MBC          Hạ EF  BC  F  BC   BC   MEF  Hạ ET  MF  ET  d E; MBC    a 3a Ta có: EF  AK, AE  EH  EF= AK  ; ME  A'H  4 Trong tam giác vng MEF , tính ET= ME.EH ME2  EH2  3a 3a Vậy d C'; MBC     Bài tập rèn luyện   BAD   900 , BA  BC  a, AD  2a Bài 1.Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình thang với ABC Cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  a Gọi H hình chiếu A lên SB Tính khoảng cách từ   H đến mặt phẳng SCD theo a a Đáp số : d H; SCD     BC  a Mặt phẳng  SAD vng góc với mặt phẳng đáy,  SBC  tạo với đáy góc 450 ; mặt phẳng  SCD tạo với đáy Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng tạị C, D AD  DC  góc  với tan   Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB Đáp số V  a3 ,d  a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vng S , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABCD  điểm H thuộc cạnh AD cho HA  3HD Gọi M trung điểm AB Biết SA  3a đường thẳng SC tạo với đáy góc 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SBC  Đáp số V  8a3 a 66 ,d  11   900 ,BC  2a, ACB   300 Mặt phẳng SAB vng góc Bài Cho hình chóp S.ABC , đáy ABC có BAC   với mặt phẳng  ABC  Biết tam giác SAB cân S tam giác SBC vuông S Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Đáp số V  a3 a 21 , d 12 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Góc tạo mặt phẳng SCD mặt phẳng  ABCD 45 Biết tam giác SBD cân S tam giác SAC vuông S Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD Đáp số V  4a3 ,d  a   600 Gọi M Bài Cho hình chóp S.ABC , đáy ABC tam giác vuông A , BC  2a, ABC trung điểm cạnh BC SA  SB  SM  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Đáp số V  a3 14 14 ,d  a 19   300 Hình chiếu vng Bài Cho hình chóp S.ABC , đáy ABC tam giác vng B , AC  2a , ACB góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  điểm H trung điểm cạnh AC SH  a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB Đáp số V  a3 2a 66 ,d  11   600 Các tam giác Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a BAD SAC , SBD cân S Gọi M , N trung điểm AB, BC Biết hai mặt phẳng  SDM  ,  SDN  vng góc với Tính thể tích khối chóp S.ABCD mặt phẳng  SMN  theo a khoảng cách từ điểm D đến Đáp số V  a3 a ,d  Bài Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A '   lên mặt phẳng  ABC  trùng với điểm H thõa mãn CH  2BH Cạnh bên AA '  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C' khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  ACC'A' Đáp số V  a3 15 15 ,d  a 23   DAB   900 Tam giác SAC cân S Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có AB  BC  a , AD  2a , ABC nằm mặt phẳng vng góc với đáy  ABCD  Cạnh bên SB tạo với mặt đáy góc 300 Gọi M điểm thuộc SA thõa mãn AM  2SM Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  SCD Đáp số V  a3 a ,d  12 Bài 11 Cho hình chóp S.ABC , đáy ABC tam giác vuông A , AB  AC  a , I trung điểm SC , hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H BC Mặt phẳng  SAB tạo với đáy góc 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ I đến mặt phẳng  SAB a3 a ,d  12 Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt Đáp số V  phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết SD  2a góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAC  Đáp số : V  4a3 2a 66 , d 11 Bài 13 Cho hình chóp S.ABC có góc mặt phẳng  SBC   ABC  600 Các tam giác ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng  SAC  Đáp số d  3a 13 13   600 Cạnh bên Bài 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B có AB  a , góc BAC   SA vng góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SB tạo với mặt phẳng SAC góc 300 Gọi M điểm nằm đoạn thẳng BC cho MB  2MC Mặt phẳng qua SM chia hình chóp S.ABC thành phần tích , cắt AB N Tính theo a thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SMN  Đáp số V  a3 12 ,d  a 31   1200 Gọi M Bài 15 Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có AB  a, AC  2a, AA '  2a góc BAC trung điểm cạnh CC' Chứng minh MB  MA' tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  A'MB  Đáp số d  a Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A,B có AB  BC  a, AD  2a ,   SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SB tạo với SAC góc 600 Gọi   O giao điểm AC BD Giả sử mặt phẳng P qua O song song với SC cắt SA M Tính thể tích khối chóp MBCD khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  SCD Đáp số V  a3 a ,d  54 Bài 17 Cho khối lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân C , cạnh huyền  a Mặt phẳng  A'AB  vng góc với đáy  ABC  , AA '  a , góc A 'AB góc nhọn Biết mặt bên  A'AC tạo với đáy  ABC góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C' theo a tính khoảng cách từ B' đến mặt phẳng  A'AC  Đáp số V  3a3 a ,d  10 Bài 18 Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' có cạnh a Gọi H tâm mặt ADD'A' , K hình chiếu D lên BD' Tính thể tích tứ diện D'.DHK khoảng cách từ H đến mặt phẳng  D'A'B Đáp số V  a3 a ,d  36 Bài 19 Cho hình hộp đứng ABCD.A 'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tam giác ABD tam giác Gọi M,N trung điểm BC,C'D' Biết MN vng góc với BD' Hãy tính thể tích khối chóp DAMN khoảng cách từ D đến mặt phẳng  AMN  Đáp số V  a3 a 22 ,d  24 11 Bài 20 Cho hình lăng trụ ABC.A 'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A , BC  a Cạnh bên AA '  2a Biết AA '  2a Đỉnh A ' cách đỉnh A , B, C Gọi M , N trung điểm AA ', AC Tính thể tích khối chóp C '.MNB khoảng cách từ C' đến  MNB  Đáp số V  a3 14 3a 14 ,d  16 71 Bài 21 Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân A , BC  2a Gọi M trung điểm BC Biết rằng, hai mặt phẳng  AB ' M   BA 'C ' vng góc với Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 'B'C' khoảng cách từ B' đến mặt phẳng  AC ' M  theo a Đáp số V  a3 , d  2a   600 , Bài 22 Cho lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD AC '  2a Gọi O tâm đáy ABCD , E giao A ' O AC' Tính thể tích khối chóp EABD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BDE  theo a Đáp số V  a3 a 21 ,d  36 Bài 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân C , cạnh huyền 3a Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  trọng tâm G tam giác ABC , cạnh bên SB  a 14 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  theo a Đáp số V  3a3 ,d  a Bài 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A với AB  AC  a Gọi M trung điểm cạnh AB Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC Góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABC  600 Tínhthể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB 10