Điểm 10

Điểm 10Điểm 10Điểm 10Điểm 10Điểm 10Điểm 10Điểm 10Điểm 10Điểm 10Điểm 10Điểm 10Điểm 10Điểm 1010Điểm 10Điểm 10Điểm 1010Điểm 10Điểm 10Điểm 1010Điểm 10Điểm 10Điểm 1010Điểm 10Điểm 10Điểm 1010Điểm 10Điểm 10Điểm 10

Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ GIỚI THIỆU VÀ TUYỂN CHỌN BẤT ĐẲNG THỨC TRỌNG TÂM CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CẦN CHÚ Ý (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)= a2+b2+c2+a(b+c)+b(a+c)+c(a+b) (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2bc-2ca (a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ca ( x  y )  ( y  z )  ( z  x)  x  y  z  ( x  y  z ) a2+b2+c2  ab+bc+ca a  b  c2  a  b2  c2  a(b  c)  b(a  c)  c(a  b) (1) với a= x  y ; b= y  z ; c= z  x Áp dụng bất đẳng thức A  B  A  B x  y + y  z  x  y  y  z = x  z = z  x  a+b  c Tương tự a+c  b; a+c  b (1) a  b  c   a  b2  c  a.a  b.b  c.c  a  b  c  2(a  b2  c )  a  b  c  2(a  b  c ) a4+b4+c4  a2b2+b2c2+c2a2  abc(a+b+c) (a+b+c)2= [( a  b)  (b  c)  (c  a ) ]  3(ab  bc  ca ) 2  (a+b+c)  3(ab  bc  ca )  ab + bc + ca ≤ a  b  c 2 ( ab  bc  ca )  a b  b 2c2  c2a  2abc( a  b  c ) 10 Nếu a, b   ;    (   a )(  b)   ab   (a  b)    Đặt S=a+b; P=a.b  P  S     P  S   Ta có a2+b2=S2-2P  S  2( S   )  a2+b2  S  2S  2 2 Tổng đài tư vấn : 2 +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ S2 Mặt khác ab  (a  b)  P  4 S2 Ta lại có: a3+b3= S  3PS  S  S  a3+b3  S 4 (a   )(b   )(c   )  11 Nếu a, b, c   ;    (   a)(  b)(  c)    ab   (a  b)   (c   )      ab   (a  b)   (   c)   (1) abc   (ab  bc  ca )   (a  b  c)       (2)  abc   (ab  bc  ca )   (a  b  c)    Lấy (1)+(2) ta     (ab  bc  ca )  (   )(a  b  c)          Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki   (x1y1+x2y2+x3y3+…xnyn)2  x12  x22  x32   xn2 y12  y22  y32   yn2 Dấu “=” xảy  12 a  b 2  x x1 x2 x3     n y1 y2 y3 yn  a  b  2  a  b2  4 13 a +b   a  b 2 a  b   a  b4  4 14   a +b   a2  b2   4 a  b  ( a  b) 3 3 15 a +b =(a+b) -3ab(a+b)  (a+b) -3 (a+b)= (a+b)3 4 Áp dụng bất đẳng thức côsi a1+a2+a3+…+an  n n a1.a2 a3 an 16 a+b  ab ab 17 ab  18 ab  (a  b) Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ Với a1, a2, a3, …, an không âm Với a,b không âm Với a,b không âm - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ 1 19   a b ab 20 2ab  a  b a  b2 21 ab  22 a+b+c  3.3 abc Với a,b,c không âm 23 (a  b  c)  27abc Với a,b,c không âm (a  b  c)3 27 3 25 a +b +c  3abc 24 abc  26 a+b+c  a(b  c)  Với a,b,c không âm a 2a  bc abc Với a,b,c không âm x y 27 ax+ay  a x a y  a x  y  2.a 28 a t  t  , t  a  Chứng minh Đặt f(t)=at-t-1 f’(t)=at.lna-1>0 t  a   hàm số đồng biến t   f(t)  f(0) at-t-1  0 a t  t  1   29 Với a,b>0 ab  1  a  b  ab 30 A  B  A  B 31 x  y + y  z  x  y  y  z = x  z = z  x 32 P=f(x); x  a; b Nếu f’(x)>0 hàm số f(x) đồng biến f(a)  P  f(b) Nếu f’(x)0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức b c a  P= + a  c 2a  b bc Giải: Cách Từ điều kiện ta có c > a + b > a b a/c b/c x y với x   0, y   P      b a a b c c y 1 x  2(x  y) 1     c c c c x 2x Ta có Dấu “=” xảy x = hay x = y +  y 1 x  y 1 y 2y Dấu “=” xảy y = hay y = x +  x 1 x  y 1 2(x  y) 2t P    với t  x  y  (x  y)  2(x  y) t  2t 2t  , f (t)   Xét f (t)  t  2t (t  1) 2t  t   (loai)  2 f (t)   4t  (t  1)    t   f (1)   Từ bảng biến thiên ta có f (t)  f (1)   a   x  x  b  c Vậy P có giá trị nhỏ     b  y  y    a  c Cách 2: a 2a  Ta có: a+b+c  a(b  c)  bc abc Ta có Tương tự: b 2b  ac abc Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 10 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ 2(a  b) c 2(a  b) a  b  c      P a  b  c 2(a  b) a  b  c 2(a  b)  P  = 2 Khi a=0, b=c, b>0 P=  Pmin= 5) Đại học khối D_năm 2014 Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện  x  2;  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x  2y y  2x   P= x  3y  y  3x  4(x  y  1) Giải: x  2y y  2x   P= x  3y  y  3x  4(x  y  1)  1  x  (x  1)(x  2)  x  3x        1  y  (y  1)(y  2)   y  3y  x  2y y  2x   3(x  y)  3(x  y)  4(x  y  1) xy t    = x  y  4(x  y  1) t  4(t 1) Đặt t = x + y, đk  t  t  f(t) = , t  [2; 4] t  4(t  1) 1  f’(t) = (t  1) 4(t  1) f’(t) =  2(t – 1) =  (t + 1)  2t – = t + hay 2t – = -t –  t = hay t = 1/3 (loại) Ta có f(3) = x  x   x   x  x   y  Khi t =   y   y    Vậy Pmin =  hay  x  y  y  x  y      y  6) Đại học khối A_năm 2013 Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện (a+c)(b+c)=4c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 32a 32b3 a  b2 P=   (b  3c) (a  3c) c Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 11 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ Giải: a b Đặt x  ; y  (x>0, y>0); đk trở thành (x+1)(y+1)=4  xy+x+y=3 c c Đặt S=x+y; T=xy (S>0, T>0) Đk trở thành: T+S=3  T=3-S 1 Ta có: xy  ( x  y )  T  S  3-S  S  S2+4S-12  4 S  6 giao với đk S>0  S   (S-2)(S+6)    S  32x 32 y   x2  y2 ( y  3) ( x  3) y x Đặt u= ; v= x3 y3  P= Ta có: u3+v3=(u+v)3-3uv(u+v)  (u+v)3-3 (u  v) (u+v)= (u+v)3 4 x3 y3 1 x y        3 ( y  3) ( x  3)  y  x    x 32x 32 y y      8  3 ( y  3) ( x  3)  y  x  3 3  x  y  3( x  y )   S  2T  3S  32x 32 y   8    8  ( y  3) ( x  3)  xy  3( x  y )    T  3S   Thay T=3-S  S  2(3  S )  3S  32x 32 y      ( y  3) ( x  3)   S  3S   3  S  5S   32x 32 y 2    x  y   x  y   S  12 ( y  3) ( x  3)    ( S  1)(S  6)    S  2T  P  8  2( S  6)  (Với T=3-S)  ( S  1)   P  8   S  2(3  S )    P  ( S  1)  S  2S  Đặt f(S)= ( S  1)  S  2S  S 1 f’(S)=3(S-1)2  S  2S  Với S  ta có 3(S-1)2  Tổng đài tư vấn : với (S  2) (1) +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 12 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ S 1 S  2S  S  2S  7  1  1 S  2S  S  2S  ( S  1)   S 1  S  2S  S 1  1 = (2  1)  (2) S  2S  Lấy (1)+(2) vế theo vế, ta S 1 3(S-1)   3 S  2S  >0 f(S) đồng biến [2;+∞)  f’(S)   S  2 f(S)  f(2)=1-  P  1- Khi a=b=c P=1- Do giá trị nhỏ P 1- 7) Đại học khối B_năm 2013 Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức:  P  a b c 4 2  (a  b) (a  2c)(b  2c) Giải: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki   (x1y1+x2y2+x3y3+…xnyn)2  x12  x22  x32   xn2 y12  y22  y32   yn2 x x x x Dấu “=” xảy      n 2 y2  y3  yn12  12 a  b  c  22 Ta có: a + b + c + = 1.a +1 b +1.y1c + 1.2      a + b + c +  4(a  b2  c2  4)  a + b + c +  a  b2  c2  4   a  b2  c2  a  b  c  Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số dương x,y xy  x y Mặt khác: 3(a  b) (a  2c)(b  2c)  (3a  3b)  3(a  b) (a  2c)(b  2c)  Tổng đài tư vấn : a  2c  b  2c (3a  3b).(a  b  4c) +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 13 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ (*)  3(a  b) (a  2c)(b  2c)  (3a  3b).(a  b  4c) Áp dụng bất đẳng thức xy  ( x  y) 3a  3b  a  b  4c  (*)  3(a  b) (a  2c)(b  2c)  4a  4b  4c   3(a  b) (a  2c)(b  2c)   3(a  b) (a  2c)(b  2c)  2a  b  c  27 27   g (t )  Vậy P  Đặt t = a + b + c, t > 0; P  t  2t a  b  c  2(a  b  c) 27  g’(t) =  (t  2) t g’(t) =  27(t + 2)2 – 8t3 =  t = t + g’(t) + g(t) 5 P  g(t)  ; maxP = xảy a = b = c = 8 Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 14 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ Cách 2: Tìm giá trị lớn P a  b2  c   (a  b) (a  2c)(b  2c) Áp dụng bất đẳng thức: xy  x y (a  b) (a  2c)(b  2c)  a  b  a  2c  b  2c  (a  b) (a  2c)(b  2c)  a  b  a  b  4c  (a  b) (a  2c)(b  2c)  a  b  2ab  4ac  4bc Áp dụng bất đẳng thức: xy  x2  y2 2ab  a2+b2 (1) 4ac  2(a2+c2) (2) 4bc  2(b2+c2) (3) (*) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta 2ab+4ac+4bc  3a2+3b2+4c2  a2+b2+c2+ 2ab+4ac+4bc  4a2+4b2+4c2 a  b  2ab  4ac  4bc   2(a2+b2+c2) (**) Từ (*) (**)  (a  b) (a  2c)(b  2c)  2(a  b  c )  1  2 (a  b) (a  2c)(b  2c) 2(a  b  c )  9  2 (a  b) (a  2c)(b  2c) 2(a  b  c )  9 9  2 (a  b) (a  2c)(b  2c) 2(a  b  c ) Ta có: P  a  b2  c  Tổng đài tư vấn :  (a  b) (a  2c)(b  2c) +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 15 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/  P  2 2 2 a  b  c  2(a  b  c ) Đặt t= a  b  c  (t>2)  t2 = a  b  c   a2  b2  c2  t   P  t 2(t  4) Xét f(t)=  t 2(t  4) (t>2) 5 t=4 PMax= a=b=c=2 8 8) Đại học khối D_năm 2013 HS tự làm Max f(t)= Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  y  Tìm giá trị lớn biểu thức x y x  2y P  2 6 x  y x  xy  y Giải: 1 1 1 x 1 xy  y            y y y  y 2 4 Ta có: x x 1 2 x y x  2y y y P    x  x  xy  y 6( x  y ) x x  y  1  y   y 3     x Đặt t  , điều kiện  t  y t 1 t 2 P  t  t  6(t  1) t 1 t 2 Xét f  t   với  t   t  t  6(t  1) 3t  f (t )    t  t  3  t  1 Với 01 Do Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 16 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/  3t  (t  t  3)  33  1   2(t  1) 2  >0 2  1  1    10  f '(t )  t   0;   f đồng biến  0;   f (t )  f    30  4  4 4  10 Vậy Pmax  x  , y  2 30 9) Đại học khối A_năm 2012 Cho số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0.Tìm giá trị nhỏ biểu thức  f’(t)> P= x y 3 y z 3 zx  6x2  y  6z Hướng dẫn Cách Đặt a= x  y ; b= y  z ; c= z  x  P= 3a  3b  3c  x  y  z Chứng minh bất đẳng thức phụ: 3t  t  , t   3a  3b  3c   a  b  c (*) 2 2 chứng minh: a  b  c  a  b  c  a(b  c)  b(a  c)  c(a  b) với a= x  y ; b= y  z ; c= z  x (1) Áp dụng bất đẳng thức A  B  A  B x  y + y  z  x  y  y  z = x  z = z  x  a+b  c Tương tự a+c  b; a+c  b (1) a  b  c   a  b2  c  a.a  b.b  c.c  a  b  c  2(a  b2  c )  a  b  c  2(a  b  c ) (2) Ta có: a  b  c = ( x  y )  ( y  z )  ( z  x)  3x  y  3z  ( x  y  z )  a  b  c = 3x  y  3z -02 (vì x+y+z=0)  a  b  c = 3x  y  3z 2 2 Từ (2) a  b  c  x  y  z (**) Từ (*) (**) 3a  3b  3c   x  y  z  3a  3b  3c  x  y  z   P3 ĐS: giá trị nhỏ P=3 Dấu “=” xảy x=y=z=0 Cách 2: x + y + z =  z = -(x + y) có số không âm không dương Do tính chất đối xứng ta giả sử xy  Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 17 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ Ta có P  x  y  y  x  x  y  12( x  y  xy) y  x  x y P 3 x y 3  x  y  2.3 yx 3 x y  12[( x  y)  xy]  x y  2.3  12[( x  y)  xy] x y  x  y Đặt t = x  y  , xét f(t) = 2.( 3)3t  3t f’(t) = 2.3( 3)3t ln   3( 3.( 3)3t ln 1)   f đồng biến [0; +)  f(t)  f(0) = Mà x  y  30 = Vậy P  30 + = 3, dấu “=” xảy  x = y = z = Vậy P = Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 18 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ 10) Đại học khối B_năm 2012 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0 x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x5  y  z Giải: Đặt S=x+y; P=x.y S   z x  y  z  S   z S  z       2z  2 2 x ( S   z )  y  2 P  P  z  z z    1 P       Tìm điều kiện z Ta có: xy  S  2P x2  y2  P  S2  4P 2  2z  1 6   3z2     (-z)2   z 3   x  y  S  2P Ta có: x  y  S  5.S P+5S.P 5 x  y  S  3P.S  2z    2z      x  y  ( z )  5( z )    5.(  z ).      5  2z  1  4z  4z     5.z.   x  y   z  z      2 x  y  S  4.S2.P+2P2 x  y  S  5.S3.P+5S.P2 x  y  S  6.S4.P+9S2.P2-2P3 x  y  S  7.S5.P+14S3.P2-7SP3  2z  1  4z  4z       x  y   z  z    5.z.     5  x5  y5   z  5 z  z  P= x  y  y   z   P= x  y  y  Xét hàm: P= f(z)= 5 z  z  z5 5 z  z  5 6 z  z  ;   3  HS tự làm  PMax= 36 Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 19 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ 11) Đại học khối D_năm 2012 Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) Giải: Đặt S=x+y; P=x.y Ta có: ( x  4)  ( y  4)  xy  32  x2+y2-8(x+y)+32+2xy  32  S  P  8S  32  P  32  S  8S    S  A = x3  y  3( xy  1)( x  y  2) = S  3PS  3( P  1)(S  2) =S3-6P-3S+6 Mặt khác: xy  ( x  y )  P  S  P  S2  6 P   S  A  S  S  3S  xét f(S) =  S  S  3S   f’(t) = 3S  3S  f’(S) = S= 17  5 1 1 ; f(0) = 6, f(8) = 398, f( )= 2 Vậy giá trị nhỏ f(S) 17  5 1 xảy S= 17  5 1 1 Dấu xảy x = y x + y = hay x = y = 4 12) Đại học khối A_năm 2011 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] x  y, x  z x y z   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x  3y y  z z  x Hướng dẫn: 1   Áp dụng Với a,b>0 ab  1  a  b  ab A  f(S)  Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 20 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ x 1 y P=   x z x  1 1 y y z x x z Áp dụng a= ; b= ; a.b=  z y y x x y   P đặt t= với t  1;2 x y x  1 y y t2   P 2t   t t2  Đặt f(t)= 2t   t HS tự làm f(t)= P  với t  1;2 Với t  1;2 34 33 34 33 34 x=4; y=1; z=2 33 13) Đại học khối B_năm 2011  Min P= Cho a b số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ  a b3   a b  biểu thức P =        a  b a  b Giải: Theo giả thiết ta có  a  b2   ab   a  b  ab   Từ suy : 2 a b a b 1 1          ab         a   b  b a b a b a a b Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có : a 2 a  a  2 b b b (1) b 2 b  b  2 a a a (2)  a 2 b Cộng (1) (2) ta a   b   2    b a a   b a b Đặt t =  , ta suy : 2t +  2 t   4t2 – 4t – 15   t  b a Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 21 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/  a b3   a b  Mặt khác: P =        = 4(t3 – 3t) – 9(t2 – 2) = 4t3 – 9t2 – 12t + 18 a  b a  b Đặt f(t) = 4t – 9t – 12t + 18 f’(t) = 12t2 – 18t – 12, f’(t) =  t =  hay t = 2 23  Min f(t) =  t = 23 Vậy P =  a = b = hay a = b = Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 22 - ...  3)  33  1   2(t  1) 2  >0 2  1  1    10  f '(t )  t   0;   f đồng biến  0;   f (t )  f    30  4  4 4  10 Vậy Pmax  x  , y  2 30 9) Đại học khối A_năm 2012... Ta có Tương tự: b 2b  ac abc Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 -CTV : Lê Đức Thọ - Trang | 10 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/... Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai/ 10) Đại học khối B_năm 2012 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0 x  y  z  Tìm giá trị