Thông tin tài liệu
CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐẠO HÀM THƯỜNG GẶP CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP : Tìm đạo hàm theo định nghĩa 1.1.Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có cách sau : Cách : Theo quy tắc o Bước : Cho tỉ số o x số gia x tìm số gia y tìm y f x x f x y x Bước : Tìm giới hạn y x x lim Cách : Áp dụng công thức: f ' x0 lim x x0 f x f x0 x x0 1.2.Các ví dụ minh họa : Ví dụ a) f x x3 x Ví dụ a) x0 ; b) f x 2x 1 x2 x0 Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa điểm ra: f x 3x Ví dụ a) Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa điểm ra: x0 ; b) x3 x f x 10 x 16 x x x0 Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa : y x3 x ; b) y f x x 3x Lập 1.3.Bài tập áp dụng : Bài 1.Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa điểm : a) f x x 3x x0 ; b) f x 2x x2 c) x 3x f x x2 x0 ; d) f x cos x tại x0 x0 ; ; Bài 2.Xét tính liên tục tồn đạo hàm tính đạo hàm hàm số sau a) ¡ x2 x x f x x 1 3x x c) f x ; b) x 3x x a x f x x bx x ; d) f x x ; Bài 3.Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa : a) f x x3 3x x c) f x x 1 x 1 ; b) ; f x x d) ; sin x f x ; Bài 4.Tìm đạo hàm hàm số sau theo định nghĩa : sin x cos x x x 2x 1 a) f x x3 x ; b) f x c) f x x 3x ; d) f x tan x 1 ; Bài 5.Có tiếp tuyến C : y x3 3x x có hệ số góc âm ? 1.4.Các ví dụ minh họa : Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau : y 2x4 x3 x a) Ví dụ Tìm a) y 2x 1 3x ; y 1 x x2 1 x x2 a x b1x c1 ; ( a , b , c , a1 , b1 , c1 số) ; ( a , b , c , a1 , b1 số) ; b) y (x 1)2 (x 1)3 ; c) y (x 2x 5)2 đạo hàm hàm số sau : y 2x2 5x Ví dụ Tìm đạo hàm hàm số sau : y (x2 x 1)4 Ví dụ Tìm c) a b a c b c x 2 x a1 b1 a1 c1 b1 c1 b c a.a1x 2a.b1x a1 b1 ax bx c a1x b1 a1x b1 Ví dụ Tìm a) x2 3x y x1 y (x3 2)(1 x2) minh công thức tổng quát sau a x b x c 1 1 a) b) b) a) ; ax bx c b) đạo hàm hàm số sau : Ví dụ Chứng a) ; ; b) y (x 2) x2 ; c) y 1 1 2x đạo hàm hàm số sau : y sin x cos x ; b) y sin x cos x sin x cos x ; c) y tan x tan x Chú ý : Khi gặp hàm số phức tạp ta rút gọn hàm số tính đạo hàm , đặc biệt hàm số có chứa hàm số lượng giác Tìm đạo hàm hàm số sau : Ví dụ 10 a) y (sin x cos x) ; b) c) y tan2x tan3 2x tan5 2x a) f x x ¡ c) f x , x 0; a) ; f x Cho hàm số : Ví dụ 12 f x , x ¡ y tan sin cos3 x d) ; ; b) d) ; tan x cot x y f x x3 x mx Cho hàm số : Ví dụ 11 ; y Tìm m để : f x , x 0; b) f x , x ; ; m m x x m x 5m Tìm m để f x : có hai nghiệm dấu Bài 6.Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y c) y e) y x x 4 x x x 3 x x 4x ; b) y x x 0,5 x ; 2 x x b a2 c x b a x ; d) ( a , b , c số) y x 4x 2x x ; Bài 7.Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y (2 x 3)( x x) d) y ; 2x y x (2 x 1)(3 x 2) ; x 1 x x 1 b) e) ; c) y x 1 1 x ; f) 2x y y x 1 g) y y ; x2 x ; 2x h) y x x 1 ; i) y 5x x x 1 ; k) x2 x x2 x Bài 8.Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y (2 x x x 1) ( x x 1) 2 c) y ( x x 1) ( x x 1) ; b) y ; d) y 1 x ; x e) y x x ; f) y x x ; g) y x x x ; h) i) x 1 x 3 ; y3 y x3 3x ; k) y x x2 Bài 9.Tìm đạo hàm hàm số sau : a) y sin x x x sin x ; b) y sin x cos3 x sin x cos x ; ; c) y e) y sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x g) y tan i) y ; d) y 4sin x cos x.sin x ; ; f) y x 1 ; tan x sin x x cos x cos x x sin x h) ; y tan x cot x ; ; k) y cot x ; l) y cos x sin x ; m) n) y sin x cos x ; o) y sin cos3 x p) y sin cos cos3 x q) x 3 y cot cos x 2 tan x 2 Bài 10 a) Cho hàm số b) Cho hàm số Bài 11 ; cos x f x sin x cos x y f x sin x Tính b) y cos x 2cos x 3 sin x 2sin x c) y sin x cos8 x cos x 2sin x 6sin x d) y sin x 3cos x sin x cos6 x 3cos x ; ; 2 2 f ' ; f ' ; f ' ; f ' 2 4 Tìm đạo hàm hàm số sau : y sin x cos x sin x cos x ; Chứng minh: a) y (sin x cos x) ; ; ; 3f 4 f ' 2 2 x cos 2 x e) y cos x cos g) y sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos3x cos x Bài 12 Cho hàm số y x sin x ; xy y ' sin x x 2cos x y b) y' x tan x cos x Bài 14 ; y 2cos x , x ; 2 ; a) Cho hàm số b) Cho hàm số Bài 15 y x 1 x2 y cot x y sin x cos x c) y 3sin x cos x 10 x Bài 16 y' b) y' c) y ' , x ¡ d) y ' , x ; e) y ' , x ; d) x y' y y ' y : ; b) Cho hàm số a) Chứng minh : Chứng minh : y ' biết Giải phương trình a) a) y Cho hàm số : f x sin x cos x , g x sin x cos x Chứng minh : f ' x g ' x 0 Bài 17 h) f) chứng minh : a) Bài 13 ; x sin x 2 sin x tan y cos x sin x ; y m 1 sin x 2cos x 2mx y x3 2m 1 x mx Tìm m để : có hai nghiệm phân biệt ; viết thành bình phương nhị thức ; ; ; Cho hàm số y ' , x ¡ y mx m 1 x mx Xác định m để : b) y' có hai nghiệm phân biệt âm ; c) y' có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x12 x22 mx x y x2 Bài 18 Cho hàm số Bài 19 Tìm giá trị tham số có y' Bài 20 có m m để để hàm số: hàm số có y ' 0, x ; y x x mx m đoạn có độ dài Cho hàm số y' Xác định y mx4 m2 x2 10 1 m làtham số Xác định m để M x0 ; y0 , có phương hàm số có nghiệm phân biệt Viết phương trình tiếp tuyến đường cong 2.1.Phương pháp : Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến đồ thị C : y f x trình : y f ' x0 x x0 y0 (1) Khi biết hệ số góc tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến đồ thị C : y f x có hệ số góc k ta gọi M x0 ; y0 Giải phương trình (1) tìm tiếp điểm x0 suy f ' x0 k y0 f x0 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : (1) y k x x0 y0 Chú ý : Hệ số góc tiếp tuyến M x0 , y0 C k f x0 tan Trong góc chiều dương trục hoành tiếp tuyến Hai đường thẳng song song với hệ số góc chúng Hai đường thẳng vng góc tích hệ số góc chúng 1 Biết tiếp tuyến qua điểm A x1 ; y1 : Viết phương trình tiếp tuyến y f ' x0 x x0 y0 y f x M x0 ; y0 : 1 Vì tiếp tuyến qua A x1 ; y1 y1 Giải phương trình(*) tìm x0 f ' x0 x1 x0 f x0 * vào (1) suy phương trình tiếp tuyến 2.2.Các ví dụ minh họa : Ví dụ 13 Cho đường cong C : y f x x3 3x Viết phương trình tiếp tuyến C trường hợp sau : a) Tại điểm M ; 2 ; b) Tại điểm thuộc C có hồnh độ x0 1 ; c) Tại giao điểm C với trục hoành d) Biết tiếp tuyến qua điểm A 1 ; Ví dụ 14 Cho đường cong C : y 3x 1 x a) Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y 21 ; b) Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 2x y ; c) Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : x 2y góc 300 Ví dụ 15 Cho hàm số y x3 3x x C Trong tất tiếp tuyến đồ thị C , tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Ví dụ 16 Cho hàm số y x2 2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O (Khối A – 2009) Ví dụ 17 Cho hàm số y x 3x C Tìm điểm thuộc đồ thị C mà qua kẻ tiếp tuyến với đồ thị C (Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, 1999) Ví dụ 18 Cho C đồ thị hàm số y 6x x2 Chứng minh tiếp tuyến điểm C cắt trục tung điểm cách gốc tọa độ tiếp điểm 2.3.Bài tập áp dụng: Bài 21 Cho hàm số C : y x x Viết phương trình tiếp với C : a) Tại điểm có hồnh độ x0 ; b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : c) Vng góc với đường thẳng : 4x y x y 2011 ; ; d) Biết tiếp tuyến qua điểm A ; Bài 22 Cho hàm số : y 3x 1 x C a) Viết phương trình tiếp tuyến C điểm M 1 ; 1 ; b) Vết phương trình tiếp tuyến C giao điểm C với trục hồnh; c) Viết phương trình tiếp tuyến C giao điểm C với trục tung ; d) Viết phương trình tiếp tuyến C bết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4x y ; e) Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 4x y Bài 23 Cho hàm số : y x3 3x C a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C điểm I ; 2 b) Chứng minh tiếp tuyến khác đồ thị C không qua Bài 24 Cho hàm số y x x2 x0 a) Tại điểm có hồnh độ I C Tìm phương trình tiếp tuyến với C : ; b) Song song với đường thẳng : d : x y Bài 25 Cho hàm số Tìm giá trị x 1 y x 3mx m 1 x m để 1 , m tham số thực tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hồnh độ qua điểm A ; (Dự bị A1 - 2008) Bài 26 Cho hàm số y 3x x 1 1 Tính diện tích tam giác tạo trục tọa độ tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm M 2 ; (Dự bị D1 - 2008) Bài 27 Cho hàm số y x C Viết biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : phương trình tiếp tuyến đồ thị C 3y x góc 300 Bài 28 Cho hàm số y x 3x x C Trong tất tiếp tuyến đồ thị C , tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn Bài 29 Cho hàm số tuyến C M y 2x x 1 C Gọi I ; 2 vng góc với đường thẳng Tìm điểm IM M C cho tiếp (Dự bị B2 - 2003) Bài 30 M y (*) Cho hàm số cắt hai trục tọa độ 2x C x 1 Tìm điểm tam giác A, B OAB M C , biết tiếp tuyến C có diện tích (Khối D - 2007) Bài 31 (*) Cho hàm số : y x x 1 C Viết phương trình tiếp tuyến C cho hai đường d1 : x ; d : y cắt tạo thành tam giác cân (Dự bị D2 - 2007) Bài 32 Cho hàm số y x C x 1 Chứng minh qua điểm A 1; 1 kẻ hai tiếp tuyến với C hai tiếp tuyến vng góc với Bài 33 (*) Cho hàm số y x x 3x C Qua điểm 4 ; 3 A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến Bài 34 (*) Cho hàm số x2 2x y (C ) x 1 tiếp tuyến C qua điểm I Gọi I 1 ; Chứng minh khơng có (Dự bị B2 - 2005) Bài 35 (*) Cho hàm số y x4 2x2 1 C Tìm tất điểm thuộc trục tung cho từ kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị C Tìm vi phân hàm số tính gần nhờ vi phân 3.1.Phương pháp : Dựa theo định nghĩa công thức sau : Cho hàm số hàm số Kí hiệu : y f x y f x f x có đạo hàm tích f x x gọi vi phân df x f x x f x dx hay dy y.dx f x0 x f x0 f x0 x 3.2.Các ví dụ minh họa : Tìm vi phân hàm số sau : Ví dụ 19 a) x 3x y x 1 y sin x x x sin x Ví dụ 21 a) b) y x 1 x 3x Tìm vi phân hàm số sau : Ví dụ 20 a) ; 8,99 ; b) y tan x cot x Tính gần giá trị sau (lấy chữ số thập phân kết quả) : ; b) cos 460 ; c) tan 590 45' 3.3.Bài tập áp dụng: Bài 36 a) y Tìm vi phân hàm số sau : 2x x 5x c) y e) x2 x y cot (2 x ) Bài 37 Cho hàm số y ; b) y ( x x )32 ; ; cos x d) y cos x ; f) y sin(cos x) cos(sin x) sin x cos3 x sin x.cos x ; Chứng minh đẳng thức : y.dy cos x.dx Bài 38 a) Tính gần giá trị sau (lấy chữ số thập phân kết quả) : 4,02 ; b) tan 44030' ; c) 7,97 Đạo hàm cấp cao 4.1.Phương pháp : Dựa theo định nghĩa sau : Đạo hàm cấp : f x f x Đạo hàm cấp cao : Chú ý : n n 1 f x f x , n ¥ , n Để tìm cơng thức tính đạo hàm cấp n hàm số ta tìm đạo hàm cấp , , … sau dự đốn cơng thức tính đạo hàm cấp n chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp 4.2.Các ví dụ minh họa : Tìm đạo hàm cấp hàm số sau : Ví dụ 22 a) y b) x x 5x2 4x y Ví dụ 23 x x Tìm Tìm y , y y , y , y ; y y y x x b) x y x y y y x.tan x c) ax b Ví dụ 25 a) y Ví dụ 26 a) y 3x x3 Tìm y ; Chứng minh quy nạp công thức sau sinax a) c) Chứng minh hệ thức sau với hàm số ra: a) Ví dụ 24 ; n n an sin ax 2 n ; b) n ¥ * : cosax n n cos ax 2 1 ann! n1 ax b n Tìm đạo hàm cấp n hàm số sau : 4x 1 2x 1 Tìm đạo hàm cấp y sin x cos x ; n x 3x x 1 y 8sin x.cos3 x.cos x b) y hàm số sau : ; b) ; Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n hàm số , ta biến đổi hàm số cho thành tổng hàm số có dạng : ; sinax ; cosax ax b áp dụng công thức ví dụ , dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n hàm số cho chứng minh lại quy nạp (nếu cần) 4.3.Bài tập áp dụng: Bài 39 a) c) Tìm đạo hàm cấp hàm số sau : y x.cos x y x 1 tìm Bài 40 a) tìm y ; y b) ; d) y b) 18 y 1 y" 0 c) y"y 0 y sin x cos x sin x cos x d) y 4 xy y 40 e) y ' y 1 y" y x sin x ; ; y cos x ; y x2 y x x4 ; ; f) x y"4 x y ' y 0 y x 1 x2 g) x y x y " xy ' k y Tìm đạo hàm cấp n x2 1 ; , k ¥ k hàm số sau : x tìm y ; x 3x tìm y x2 Chứng minh đẳng thức sau : xy y ' sin x xy " 0 Bài 41 y sin a) d) y 2x x2 c) y y x2 x2 2x x 3x f) Cho b) y ; d) y 8sin x.sin x.sin x ; x2 x ; x2 5x y sin x cos x ; ; e) ; y cos3 x Chứng minh n 2n y 1 32 n y Dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn 5.1.Phương pháp : Ta sử dụng định nghĩa đạo hàm : f ' x0 lim x x0 f x f 0 x x0 để tính giới hạn có dạng vơ định Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng : lim x x0 f x f 0 x x0 , sau tính đạo hàm hàm định nghĩa đạo hàm suy kết giới hạn 5.2.Các ví dụ minh họa : f x điểm x0 áp dụng Tìm giới hạn sau : Ví dụ 27 a) lim x 4x x ; b) lim x x3 x2 x2 Tìm giới hạn sau : Ví dụ 28 a) x x2 L xn n lim x1 x1 b) x x n nx n ( x 1) lim tan x tan x x 4 ; b) sin x 4 lim x sin x 5.3.Bài tập áp dụng: Bài 42 a) lim x 1 Tìm giới hạn sau : x8 3 ; x 2x 1 2x sin x lim x Bài 43 3x 2 x d) b) x1 lim 3x x 1 x 1 ; 3 x3 24 x x x 2 x2 lim ; 2x 1 3x ; 2x x sin x ; f) n lim m x 0 ; Tìm giới hạn sau : x , ( a 0) ; 2a cos5 x cos3x x 0 x.sin x lim ; x1 a x)tan a) lim( x a c) x c) lim x e) Tìm giới hạn sau : Ví dụ 29 a) ; lim b) lim x ; d) lim x x 2x tan( x 1) ; e) g) i) cos x x x sin x ; lim lim x 0 lim x2 x2 1 cos x ; h) x2 2x2 4x 19 3x2 46 x2 x1 f) lim x lim x cos x sin x sin x tan x sin x x3 ; Tính tổng có chứa tổ hợp 6.1.Phương pháp : Trong phần đại số tổ hợp áp dụng nhị thức Newton để tính tổng có chứa cơng thức tổ hợp ta phải biết áp dụng khéo léo việc lấy đạo hàm cấp vế ta tính tổng cần tính 6.2.Các ví dụ minh họa : Ví dụ 30 a) Tính tổng sau : S1 Cn1 2Cn2 3Cn3 52 L nCnn 5n1 ; b) S 2.1.Cn2 2n2 3.2.Cn3 2n3 L 1 n n 1 Cnn c) S3 12.Cn1 22.Cn2 32.Cn3 L n Cnn n 6.3.Bài tập áp dụng: ; d) S 2Cn0 5Cn1 8Cn2 3n Cnn Bài 44 Rút gọn tổng sau : a) S1 Cn1 2Cn2 L (n 1)Cnn 1 nCnn ; b) S2 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn 1 (n 1)Cnn ; c) S3 2Cn0 5Cn1 8Cn2 3n Cnn Bài 45 (*) Rút gọn tổng sau : 1 a) S1 100C100 2 99 1 101C100 100 99 L L 199C100 b) 17 S 2.1.C202 218 3.2.C20 L 380.C2020 c) 2009 S3 12.C2009 22.C2009 32.C2009 L 20092.C2009 d) 2010 S 3Cn0 5Cn1 7Cn2 4023C2010 Bài 46 198 Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức S 22.Cn2 32.Cn3 L 1 n Cnn n 100 200C100 199 An3 Cn3 35, n 3 Tính n 1 n tổng : (Dự bị B1 – 2008) Bài 47 Chứng minh với n số nguyên dương , ta ln có : n.2n.Cnn n 1 2n1.Cn1 n 2n2.Cn2 L 2.Cnn 1 2n.3n1 (Dự bị D1 – 2008) Bài 48 Tìm số nguyên dương n cho : C21n1 2.2C22n1 3.22C23n1 4.23C24n1 2n 1 22nC22nn11 2011 ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử )
Ngày đăng: 30/03/2017, 20:06
Xem thêm:
