PHẦN MỘT : ĐẶT VẤN ĐỀ
Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế mơn tốn đóng một vai trị quan trọng trong nhà trường Thơng qua mơn tốn, học sinh
nắm vững các kiến thức tốn học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng
dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học Kĩ thuật, ứng dụng trong lao động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa học Để giúp HS học tốt mơn tốn địi hỏi người thày giáo phải có sự lao động sáng tạo nghiêm túc
Một vấn đề lớn trong chương trình tốn THCS là vấn đề chia hết Vấn đề này
được đưa vào từ lớp 5, phát triển ở lớp 6, lớp 7 và được đề cập trong những bài toán nâng cao đành cho học sinh giỏi ở lớp 8, lớp 9 Trong các kì thi học sinh giỏi các
cấp, đặc biệt là ở lớp 6 thì vấn đề chia hết là một nội dung hay đề cập đến và thường là những bài khó Các bài tốn về chia hết nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập
như SGK thì rất dễ nhưng các bài toán nâng cao thì rất khó, đa dạng và khơng có
một quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các phương pháp khác nhau một cách
linh hoạt, sáng tạo Trong khi năng lực tư duy, khả năng phân tích tổng hợp của HS còn hạn chế nên HS thường bế tắc trong việc tìm ra cách giải cho loại toán này
Vấn đề đặt ra trong việc giải toán là phải biết nhận dạng bài toán và lựa chọn
phương pháp thích hợp để giải Hơn nữa để giải được các bài tập nâng cao về tính chia hết thì ngồi việc nắm kiến thức cơ bản có trong chương trình, HS còn phai nắm vững một số kiến thức bổ sung mở rộng, những kiến thức này không được phân phối trong các tiết học nên HS ít được vận dụng và rèn luyện trừ khi gặp những bài tập khó Vì thế kỹ năng vận dụng các kiến thức đó chưa được thành thạo,
nhạy bén, HS thường mắc sai lầm như : Khi thấy một tổng chia hết cho m thì vội vã
kết luận các số hạng chia hết cho m ; hoặc khi thấy a : m và a : n thì kết luận ngay là a : mn mà không xem xét xem m,n có nguyên tố cùng nhau hay không
Để giúp HS gải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến
thức về tính chia hết, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dưỡng HS giỏi, góp
phần vào việc “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài” Tôi xin trình bày kinh nghiệm
“Hướng dần HS lớp 6 giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trong N”
Đây là sự đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho HS phương pháp nhận dạng các bài tốn về tính chia hết và hướng dẫn phương pháp phân tích để có lời giải hợp lý
PHẦN HAI : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A VẤN ĐỀ CẦN GIẢI QUYẾT :
Để làm được các bài tập nâng cao về tính chia hêt HS phải nắm được định nghĩa, các tính chất cơ bản về số nguyên tố, hợp số, các em phải nắm được tính
chất chia hết có liên quan đến số nguyên tố như thế nào Các em còn cần được mở
rộng một ssó dấu hiệu chia hết, bổ sung một số kiến thức về ƯCLN, BCNN Từ đó các em phải nấm được phương pháp cơ bản để giải bài tốn về tính chất chia hết và
Trang 3Ngoài ra HS cần nắm được một số dạng tốn điển hình về chia hết và có
phương pháp giải quyết phù hợp đối với mỗi dạng Có được kỹ năng này các em sẽ làm được các bài tập một cách nhanh gọn linh hoạt
Để giải quyết được những vấn nêu trên HS cần phải phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo Còn giáo viên là người thiết kế, hướng dấn các em, khơi dậy tư duy, tạo hứng thú học tập Có như vậy chương trình dạy và học mới đạt hiệu quả
cao
B CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH :
1L Hê thống lai các kiến thức cần ghi nhớ :
Để HS thuận lợi trong việc giải tốn về tính chất chia hết cần củng cố cho
các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có liên quan, đó
la:
I/ Dinh nghia :
cho hai số tự nhiên a và b (b # 0) Ta nói a chia hế cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q Ta cịn nói a là bội của b hoặc b là ước của a, hoặc a chia
hết cho b
2/ Các tính chất về chia hết : * Tính chất chung :
a) Số 0 chia hết cho mọi số b #£ 0
b) Mọi số a £ 0 đều chia hết cho chính nó
c) Tính chất bác cầu : Nếu a : b, b: c thì a : c + Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu
đ) Nếu a :m, b : m thì tổng a + b : m, a- b: m, + Hệ quả : - Nếu (a + b) : m (hoặc a - b : m) và a : m thì b : m - Nếu (a + b) : m (hoặc a - b : m) và b : m thì a : m e) Nếu a : m, bZm thì a + bZm, a - b#m ; Nếu a#m, b : m thì a + bZm, a - b#m
?) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m + Hệ quả: Nếu a : m thì a* : m (n là số tự nhiên # O)
ø) Nếu a :m, b : n thì ab : mn + Hệ quả : nếu a : b thì a? : b°
h) Nếu A : Bthì mA +nB : B,mA -nB: B
ïj_ Nếu một tích chia hết cho một số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p
+ Hệ quả: nếu a? : p (p là số nguyên tố) thì a : p j) Nếu ab : m, b và m,n guyên tố cùng nhau thì a : m k) Nếu a : m, a: n thì a: BCNN(mm)
+ Hệ quả :
- Nếu a: m, a: n, (mm) = 1 thì a : mn
Trang 42
Trang 53/ Bổ sung một số dấu hiệu chia hết :
Ngoài các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 mà HS đã được học
trong chương trình SGK, cần bổ sung thêm một số dấu hiệu sau: a) Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 :
Một số chia hết cho 4 (hoặc cho25) khi và chỉ khi số đó có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 ( hoặc cho 25)
b) Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 :
Một số chia hết cho 8 (hoặc cho125) khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 ( hoặc cho 125)
e) Dấu hiệu chia hết cho 10:
Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0 đ) Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các số đứng ở vị trí lẻ
và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẩn (kể từ phải sang trái) chia hết chia 11 4/ Bổ sung kiến thức về UCLN và BCNN :
a) Thuật toán Ơclit :
+ Nếu a : b tì ƯCLN(a,b) = b
+ Nếu a : b th ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b.r)
(r là số dư trong phép chia a cho b)
b) UCLN(a,b) BCNN(a,b) = ab
5/ S6 nguyén to, hợp số, số nguyên tố càng nhau :
+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, có hai ước là 1 và chính nó Số 2 là số nguyên tố chắn duy nhất
+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước
+ Hai hay nhiều số được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng bằng 1
IL Phân loại một số dang tốn điển hình và cách giải:
Bài tập về tính chia hết rất phong phú và đa dạng Trong phần này tôi chỉ đề
cập đến một số dạng tốn điển hình, có thể phân loại như sau :
1/ Các bài toán áp dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết :
* Dang 1:
Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số: Để chứng minh một biểu
thức chia hết cho một số nào đó, ngồi việc sử dụng các tính chất chia hết và các
dấu hiệu chia hết đã biết rồi còn phải tuỳ theo từng trường hợp cụ thể để kết hợp
với một số kiến thức khác như :Các tính chất của các phép toán, phép luỹ thừa, tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa, phép chia có dư, cấu tạo số, số nguyên tố cùng nhau
Cụ thể là :
a) Kết hợp với các kiến thức về luỹ thừa và tìm chữ số tận cùng của luỹ
thừa :
Ví dụ 1:
Trang 63
Trang 7- Phương pháp : Chia tổng A thành từng nhóm thích hợp để biến đổi về dạng A = 31.Q rồi áp dụng tính chất : Giải: A=(2+22+23+2!+2)+(2°+27+2$+29+2!1)+ + 2% + 29 + 298 + 2% + 2190) =21+2+2?+23+2*)+2%I+2+22+2*+2#)+ +2⁄(1+2+22+23+2) =2.31+ 25.31 + +2?5.31 = 31(2 + 25 + + 25) Vay A: 31 Ví dụ 2:
Ching minh rang 3*“^*! + 2 :5 với mọi n
- Phương pháp : Tìm chữ số tận cùng của 3“^+! + 2 rồi sử dụng dấu hiệu chia
hết cho Š Giải :
3m?1+2=(39",3+2=§1I°.3+2
Những số có chữ số tận cùng là 1 thì khi nâng lên bất kỳ luỳ thừa nào khác 0
cũng vẫn có tận cùng là 1, do đó §1" có tận cùng là 1 => 8§1^.3 có tận cùng là 3 = §1*.3 + 2 có tận cùng là 5 vậy 81*.3+2 : 5 hay 3“+!+2 :5., Ví dụ 3: Chứng minh rằng 1033 + § : 2 và 9 Giải : 103+8§= 1 33 chữ số 0 32 chữ số 0 S61 Ø8 có chữ số tận cùng là § nên : 2, có tổng các chữ số 33 chữ số 0 là 9 nên : 9
b) Kết hợp với kiến thức về phép chỉa có dư :
Ví dụ 4:
Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên a và b khi chia cho số tự nhiên c# có cùng số đư thì hiệu của chúng chia hết cho c
-_Phương pháp: Sử dụng kiến thức về phép chia có dư để biểu diễn a, b rồi
tìm hiệu của chúng
Giải :
Tacó a=cqi+r (0<r<c) b=cq tr (O<r<c)
Gia sta >b, a—b =(cqi +1) - (cqQo +1) = eq) t+r—Cqo - TF =Cqi- Cqo = = c(q¡- q)
Vậya—b:c
Trang 84
Trang 9Ta biết rằng số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3, cho 9 (theo cách chứng minh dấu hiệu chia hết cho 3, cho9) Từ đó rút ra nhận Xét :
Hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó chia hết cho 3, cho9 (Yêu cầu HS ghi nhớ nhận xét này để vận dụng giải bài tập)
Ví dụ 5:
Cho neN Chứng minh rằng : nín + 1)(2n + 1) :6 Giải :
+ Trong 2 số tự nhiên liên tiếp ln có một số là bội của 2
Dod6 nín + 1)(2n + 1) :2
+ Ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) : 3 thìn(n + 1)(2n + 1) :6
(Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau) Xét hai trường hợp :
- Nếun : 3 > ní(n + 1)(2n + 1) : 3 > ní(n + 1)(2n + l) :6 - Nếun 73 > n=3k+1 hoacn=3k+2 (keN)
Khin = 3k + 1 thi 2n+1=2(3k+1)+1=6k +3:3
> nín + 1)(2n + 1): 3> nín + 1)(2n + 1): 6
Khin = 3k +2 thi n+1=(k+2)+1=3k +3:3
> nín + 1)(2n + 1): 3> nín + 1)(2n + 1): 6
Vay :Trong mọi trường hợp ta ln có n(n + 1)(2n + 1) : 6 e) Sử dụng cấu tạo số để biến đổi:
Ví dụ 6:
Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + e chia hết cho 7
- Phương pháp: Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích abe thành tổng
của hai số hạng: một số hạng là bội của 7, một số hạng là 2a + 3b + c Giải:
Ta c6 abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c
= (98a + 7b) + (2a + 3b +c) = 7(14a + b) + (2a + 3b + c) Mà 7(14a + b) chia hết cho 7
Do đó (2a + 3b +c) chia hết cho 7 Ví dụ 7:
Với a, b là những chữ số # 0 Hãy chứng minh: a) _ aaabbb chia hết cho 37
b) (abab — baba) chia hết cho 9 và 101 (a >b)
- Phương pháp: Dùng cấu tạo số để biến đổi về dạng A = BQ Giải: a, aaabbb = 1000 aaa + bbb = 1000.111a + 111b
= 111(1000a + 6) = 337 (1000a +b)
Vậy aaabbb chia hết cho 37
d Tốn về chia hết có liên quan đến hai số nguyên tố cùng nhau:
Trang 105
Trang 11Cho biết 3a + 2b chia hết cho 17 (a,b € N), chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 17
Giải: Đặt 3a + 2b = X, 10a +b= Y
Ta có: 2Y ~ X = 2 (10a + b) — (3a +2b)
= 20a + 2b - 3a - 2b = 17a
Do đó 2Y - X chia hết cho 17, ma X chia hết cho 17 nên 2Y chia hết
cho 17 (hệ quả của tính chất 4) Mặt khác 2 và 17 nguyên tố cùng nhau nên Y chia hết cho 17 (tính chất 10) hay 10a + 6 chia hết cho 17
Ví dụ 9;
Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số Chứng minh rằng nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta vẫn được số chia hết cho 7
Giải: Gọi số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số là: X = abcdeg
Nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta được số: Y = gabcde Đặt abcde = n thì X = lŨn + g, Y = 100000g +n
Ta cé: LOY — X = 10(100000g +n) — (10n + g)
= 1000000g + 10n — 10n — g = 999999g :7 10 Y - X chia hết cho 7, X chia hét cho 7 nén 10Y : 7
Mà 10 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên Y : 7 hay abcdeg : 7
e Sử dụng một số tính chất khác: Ví dụ 10:
Chứng minh rằng 10° + 1§n - 1 chia hết cho 27
-_ Phương pháp: biến đổi 10" + l8n - 1 thành tổng các số hạng đều chia hết cho 27
Giải: Ta có 10° + 1§n — 1 = 10°— 1 — 9n + 27n
= 99 9 — 9n + 27n aS
n
Dựa vào nhận xét ở vi du 4 ta có :
Số L1 1 và tổng các chữ số của nó (bằng n) có cùng số dư trong
n
Hay 10° + lần — 1 chia hết cho 27 Ví dụ 11:
Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thi chia hết cho 27
- Phuong pháp: biến đổi số đó thành tích của hai thừa số, một thừa số chia hết cho 9, một thừa số chia hết cho 3 rồi áp dụng tính chất 7
Trang 126
Trang 13Lấy A chia B được thương là: 100 § chữ số 0 § chữ số 0 Ta viết được A = B.C Tổng các chữ số của C bằng 3 nên C : 3 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra B.C : 27 hay A : 7 * Dạng 2:
Tìm các chữ số theo điều kiện về chia hết
Ví dụ 12:
Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để A = 52*2* chia hết cho 36 - Phương pháp : Xét điều kiện để A : 4 và cho 9 từ đó tìm ra các chữ số
Giải :
Để A : 34 thì A : 4 và 9 => hai chữ số tận cùng của A tạo thành số chia hết cho 4,
nghĩa là 2*: 4 => 2*€ {20; 24; 28}
- Trường hợp 1 : A = 52*20 Để A : 9 thì 5 + 2 + * + 2 + 0 phải chia hết cho 9, tức là 9 + * phải chia hết cho 9, đo đó * e{ 0; 9 }
- Trường hợp 2: A = 52*24 Lập luận tương tự như trên ta có * = 5
- Trường hợp 3: A = 52*2§, ta có # = 1
Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp vừa tìm ở trên, ta tìm được các số :52020 ; 52920 ; 52524 ; 52128 đều chia hết cho 36
Ví dụ 13 :
Tìm các chữ số a va b sao cho a — b = 4 và 7aSbl : 3
Giải : Vì 13: 3dư1 >a+b:3dư2(1) Do a, b là chữ số và a — b = 4 nên : 4<a<9và0<b<Š >4<a+b<14(2) Do a - b là số chắn nên a + b cũng là số chắn (3) Từ (1),(2),(3) > a+b € {8; 14} Vớia+b=8§,a-b=4>a=6,b=2 Với a+b=14.a-b=4>a=9,b=Š§S Ta được các số 76521 ; 79551 : 3 Ví dụ 14: Tìm chữ số a để Taaal : 11 Giải : Tổng chữ số hàng lẻ là 1 + a + 1=a+ 2 Tổng chữ số hàng chẩn là a + a = 2a
- Nếu 2a > a + 2,ta có 2a—(a+2)=a- 2
để Taaal : 11 thì a- 2: 11,mà2-a<22-a=0>a=2 - Nếu 2a < a + 2, ta có a+ 2— 2a=2-a
để Taaal: 1Ithì2-a: 1Imà2-a<2=2-a=0>a=2
Vậy với a = 2 thì ta được số 12221 : 11 Ví dụ 1Š :
Tìm chữ số a, biết rằng 20a20a20a : 7
Trang 14
7
Trang 15Giải :
Ta có 20a20a20a = 20a.20a 1000 + 20a
= (20a.1000 + 20a).1000 + 20a
= 1001.20a.1000 + 20a
= 7.143.20a.1000 + 20a : 7 mà 7.143.20a.1000 : 7=20a : 7
20a = 200 + a= 196 + 4+ a= 196 + (4 + a) ‡ 7
mà 196 : 7 => 4+a:7 Vì a là chữ số > a = 3 Ta được số 203203203 : 7
* Dạng 3: Tìm số tư nhiên theo điều kiện cho trước
Ví dụ 16:
Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:
(2x + 1)(y - 3) = 10
- Phương pháp : Xét các ước của 10 Giải :
x và y là các số tự nhiên nên 2x + 1 và y — 3 là các ước của 10 (y>3) Các ước của
10là 1; 2; Š ; 10 Vì 2x + 1 là số lẻ nên 2x + 1 € {1; 5} Ta có bảng sau : 2x+1 y-3 x y 10 0 13 5 2 2 5 Vidu 17:
Tìm số tự nhiên n sao chon +6 ¡ 2n—1
Giải : n+6 : 2n—-1 © [2(n+6)-(2n- 1)] :2n-— 1 => (2n+12—2n+1) : 2n-1 => 13:2n-1 > 2n- 1 làước của 13 > 2n-1 € {1; 13} Ta có bảng sau: 2n-1 1 13 n 1 7 Ví dụ 18:
Tìm số tự nhiên n lớn nhất có hai chữ số sao cho n° — n chia hết cho 5
Giải:
Ta có n—n =n(n -1)
n’ —n chia hét cho 5 > n(n -1) : 5 đo đó n: 5 hoặc n - 1 : 5
Nếu n: Š >n có chữ số tận cùng là 0 hoặc Š
Nếu n - 1:5 = n có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6 Do đó n có thể có chữ số tận
cùng là 0; 1 ; 5 ; 6 Để n là lớn nhất có hai chữ số sao cho n? — n : 5 ta chọn n = 96
Ví dụ 19:
Tìm số tự nhiên n sao cho l§n + 3 : 7
Trang 168
Trang 17l§n +3 7= 2In-(I§n + 3) ¡7 = 2In- I§n - 3:7 = 3n-3:7 = 3n—1):7 Vì 3, 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên n— 1 : 7
=n=7k + 1 (ke N) Ví dụ 20 :
Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó
Giải :
Gọi số có hai chữ số phải tìm là ab, theo bài ra ta có ab : ab ab = 10a +b: ab (1)
> 10a+b :amà l0a :a=>b:a = b=ka (2) (KeN; k<10)
Thay (2) vào (1) ta có: 10a + ka : aka
> 10a + ka : ka > 10a : ka > 10: ka > k€ {1;2; 5} (vì k< 10) + Nếu K= l ta có b= a Thay vào (1) được :
10a+a: a2 > 11:a => a=1,do đób = 1 Vậy ab = 11
+ Nếu k =2 ta có b= 2a
Lần lượt xét các số có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục là:
12; 24; 36; 48 ta thấy các số 12; 24; 36 thoả mãn đầu bài
+ Nếu k = Š ta có b = 5a Ta thấy số 15 thoả mãn dau bai Vậy có Š số thoả mãn là: 11; 12; 15; 24; 36
Ví dụ 21:
Tìm số có ba chữ số như nhau biết rằng số đó có thể viết được dưới dạng tổng các
số tự nhiên liên tiếp từ 1
Giải:
Goi s6 can tim 1a aaa Theo bai ra ta có:
aaa =1+2+3+ +n- Gein
(n+ 1)n -
=>—z— =l111a = nœ + 1)=2.111.a = nứ + 1) = 2.3.37a
Vì n (n+1) : 37 nên tồn tại một trong hai thừa số : 37 Mà: anu là số có 3 chữ số nên (n + 1) và n đều nhỏ hơn 74
>n=37 hoặc n + l = 37 Nếu n= 37 => n +1= 38, ta có aaa = 82 28 _ STS 36.37 = 703(loai) = 666 (thoả mãn) Nếu n + 1= 37 —= n = 36, ta có aaa = Vậy số phải tìm là 666
2/ Các bài toán về số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau :
Trang 189
Trang 19Chứng mình một số là số nguyên tố, hợp số
Ví dụ 22 :
Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n # O thì số
11 1211 L là hợp số
a "
- Phương pháp : Phân tích số đã cho thành tích của hai thừa số lớn hơn 1
Giải :
Ta có : LI J2I1 =1I1 Q0 0 +11 J = đe (108 +1) là tích của
n n n+l1 n n+l
hai thừa số lớn hơn 1
Vậy tích đã cho là hợp số Ví dụ 23:
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số
- Phương pháp: Xét các khả năng có thể xảy ra của p rồi thay vào 4p + 1 Giải:
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p : 3 Do đó p có đạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
Với p= 3k + 1 > 2p + 1= 2(3k + 1) + 1= 6k + 3 : 3 nên là hợp số, trái với đề bài cho 2p + 1 là số nguyên tố
Do đó p = 3k + 2, khi đó 4p + 1 = 4(3p + 2) + 1= 12k+9 :9 và 12k + 9 >3 Vậy 4p + 1 là số nguyên tố
* Dạng 2:
Tìm số nguyên tố theo các điều kiện của nó Ví dụ 24:
Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2, p + 4 cũng là số nguyên tố
Giải :
Xét các trường hợp :
Với p = 2 thì p + 2, p + 4 đều là hợp số, không thoả mãn
Với p = 3 thì p + 2 = 5, p + 4= 7 đều là các số nguyên tố, thoả mãn
Với p > 3, do p là số nguyên tố nên p : 3 > p có đạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 Nếu p= 3k + 1 >p+2= 3k + 3 là hợp số, không thoả man
Nếu p= 3k + 2 > p+ 4= 3k + 6 là hợp số, không thoả mãn Vậy p = 3 là giá trị duy nhất phải tìm
* Dang 3:
Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau Ví dụ 25:
Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 (neN) là hai số nguyên tố cùng nhau
Giải:
Gọi đ là ước chung của 2n + 1 và 3n + 1 Ta có: 2n+l : d;3n+1:d
=[3(2n+1)~ 2(3n + L)]:d > 6n+3-6n-2:id
Trang 2010
Trang 21Vậy 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau Ví dụ 26 :
Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, chứng minh rằng ab và a + b cũng là hai Số nguyên tố cùng nhau
- Phương pháp : Chứng minh bằng phản chứng
Giải :
Giả sử ab và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d = tồn tại một thừa số a hoặc b chia hết cho đ
Giả sử a : d mà a +b: d > b:d d là ước chung của a và b nhưng (a,b) = 1 nên
điều đó trái với đề bài Vậy ab và a + b là hai sốnguyên tố cùng nhau
* Dang 4:
Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau Ví dụ 27:
Tìm số tự nhiên n để 4n + 3 và 2n + 3 nguyên tố cùng nhau
- Phương pháp: ta tìm ỨC (4n + 3; 2n + 3) rồi xét điều kiện để ƯCLN của chúng bằng nhau Giải: Giả sử d € ỨC (4n + 3; 2n + 3), ta có 4n + 3: đ và 2n +3:d > [20n +3) - (4n + 3)]=> 3:d=>đ€ {1;:3) Để ƯCLN(®n + 3: 2n + 3) = 1 thì 2n + 3: 3 hay 2n : 3 >n: 3 >n= 3k + I hoặc n = 3k + 2
Vậy với n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 thì 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng
nhau
3/ Các bài toán về ƯCLN, BCNN :
* Dang 1:
Tìm ƯCLN_ của hai số bằng thuật toán Ởclit : nếu « = bq + r (0 <r <b) thi
ƯCUN(a,b) = ƯCLN(b.r) Từ đó có cách tìm ƯCLN của hai số như sau :
Lấy a chia cho b dư r, Lấy b chia cho r dư r¡ Lấy r chia cho r; dư r Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi được số dư bằng 0 thì số dư cuối cùng khác 0 là ƯCLN phải
tìm Ví dụ 28 : Tìm ƯCLN(A:B) biết rằng A gồm 1991 chữ số 2, B gồm § chữ số 2 Giải : A=22 › 1991 chữ số 2 8 chữ số 2
Ta có 1991 chia cho 8 du 7; 8 chia 7 dư 1 nên khi chia A cho B ta được dư là
Tiếp tục phép chia B cho số dư trên ta được số dư là 2
Trang 2211
Trang 23
7 chữ số 2
* Dang 2:
Tim ƯCLN, BCNN của các biểu thức Ví dụ 28:
Tìm ƯCLN của 2n + 1 và 9n + 4(neNÑ)
Giải :
Gọi đ là ước chung của 2n — 1 và 9n + 4
= 2(9n +4)~9(2n—1):d= 17:d>de€(1:17}
Ta có 2n - I : 17 © 2n- 18: 17 © 2(n-9):17n—-9:17 = n=17k+9(keN)
- Nếu n= 17k + 9 thi 2n- 1: 17 va 9n + 4 = 9(17k + 9 + 4) = bội của 17 + §Š : 17
Do đó ƯCLN (2n - 1; 9n +4) = 17
- Nếu n # 17k + 9 thì 2n — 1 không chia hết cho 17 Do đó ƯCLN (2n - 1; 9n + 4) = 1
Vi du 29:
Tìm BCNN của ba số tự nhiên liên tiếp n, n + 1,n + 2 (n+ 0) Giải:
Ta có [n,n + 1,n + 2] = [(n,n + 1),n + 2]= [nín + 1),n + 2] vì [n,n + 1]= n(n +1)
ab nên [n(n + 1), n + 2]= _hứ + 1n + 2) + 1@ + 2) Mat khac :[a, b] =
(a, b) [nén + 1), n + 2] Ta có : (n + 1,n + 2) = 1 nên [n(n + 1),n + 2]=(n,n + 2) =(n, 2) n(n +1)(n + 2) 2 - Nếu n lẻ thì (n,2) = 1 Do đó [n,n + 1,n + 2] = nín + 1)(n + 2) - Nếu n chẩn thì (n,2) = 2 Do đó [n,n +1,n + 2]= * Dang 3:
Tìm hai số trong đó biết ƯCLN, BCNN
Khi giải các bài toán về tìm hai số trong đó biết ƯCLN, BCNN ta thường sử dụng các kiến thức sau:
a=da
(1) UCLN (a,b) =d © [ =db: (a,b) =1 (2) UCLN (a, b) BCNN (a, b) = ab
ab _ da’.db’
Trang 2412
Trang 25Ví dụ 30:
Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b), biết rằng ƯCLN (a, b) = 12 ;BCNN (a, b) = 72
Giải :
a=12a
UCLN (a,b) = 12 = { = 12b (a,b) =1
a.b = UCLN (a, b).BCNN (a, b) = 12.72 > 12a 12b = 12.72 > a.b =6 Doa > bnén a > b Chon hai s6 cé tich bang 6, nguyén t6 cing nhau va a > b,
ta được a 6 3 a 72 36 b 1 2 Do đó b 12 24 Ví dụ 31:
Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN và BCNN của chúng có tổng bằng 55 Giải :
Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a < b) và d là ƯCLN (a, b) Ta có :
ab _ da.db
U CLN(a, b) d
Theo dé bai UCLN(a, b) + BCNN(a, b) = 55 nén da'b' +d =55 > d(ab' + 1) = 55
Do đó ab: + 1 là ước của 5Š và ab: + 1> 2 Vìa <b=>&<b
a=da= =da'.b Ta có bảng sau: d ab +1 ab a b a b 1 55 54 1 54 1 54 2 27 2 27 5 11 10 1 10 5 50 2 5 10 25 11 5 4 1 4 11 44 Vậy có Š cặp số thoả mãn là (1:54) ; (2:27) : (S:50) ; (10:25) ; (11:44)
II Giúp đỡ học sinh tìm tịi một số lời giải bài toán
Ở phần II đã nêu một số đạng tốn điển hình, cách giải các dạng tốn đó Song các bài toán về chia hết rất phong phú, đa dạng và khơng có một quy tắc chung nào
để giải, có những bài cùng nằm trong những dạng đã nêu trên nhưng khi giải tương tự thì lại gặp bế tac Vi vậy khi hướng dẫn học sinh cần phân tích kỹ đầu bài để lựa
chọn phương pháp thích hợp, đi đến lời giải hợp lý Sau đây là một số bài toán cụ
thể: Bai 1:
ChoB= 3 + 3Ÿ+ 3° + + 31991
Trang 2613
Trang 271, Phản tích đề bài:
Đề bài cho B là tổng các lũy thừa cùng cơ số nhưng lưu ý các số mũ là số lẻ liên tiếp
2, Hướng dân cách tìm lời giải:
Qua phân tích đề bài học sinh thấy ngay được bài này thuộc dạng chứng minh
một biểu thức chia hết cho một số Từ đó, về phương pháp giải cần hướng cho các
em là phải biến đổi B = 13P, B = 13Q bằng cách nhóm các số hạng thích hợp rồi sử
dụng các phép biến đổi để xuất hiện các số là bội của 13, bội của 41 Việc chia nhóm các số hạng cũng không phải là đơn giản, giáo viên cần hướng dẫn học sinh
xem xét tổng B có m số hạng và chia B thành từng nhóm, mỗi nhóm có n số hạng
sao chon € Ư (m) Từ đó chọn cách chia nào xuất hiện bội của 13, bội của 41 Để
tạo cho học sinh “phản xạ” khi gặp dạng toán này, giáo viên có thể đặt ra một số
câu hỏi phân tích, dẫn dắt:
? Biến đổi B thành tổng các nhóm có bao nhiêu số hạng? (học sinh có thể dùng
phương pháp thử tính tổng các số hạng tìm ra cách chia đúng, chẳng hạn chia B thành tổng các nhóm, mỗi nhóm có n số hạng)
? Nếu các số hạng không chia hết cho n thì sao? (sẽ tìm ra một hoặc vài số hạng
mà tổng của chúng chưa chấc là bội của 13, 41)
? Như vậy để đảm bảo không bị rơi vào trường hợp nêu trên, học sinh sẽ kiểm tra ở tổng B có:
(1991 — 1): 2 + 1 = 996 (s6 hang)
996 chia hết cho 2, 3, 4, 6 nhưng khi chia B thành các nhóm 3 số hạng, 4 số hạng sẽ xuất hiện bội của 13, bội của 41
3, Lời giải vắn tắt:
a, B= (3 + 39 + 3) + (37+ 39+ 34) toe +(31987 4 31989 + 31991) = 3(1 + 32 + 34) + 31+ 32+ 39) + + 38/1 + 32+ 39)
=91(3 + 3? + + 31987) = 13.7.(3+ 37+ + 31987)
Vậy B:13
b, Tương tự biến đổi :
B=(3+3*+39+37)+(3° + 31! + 3) + +( 31985 4 31987 + 31989 4 31991) = 820.13 + 3° + +3!83) = 41.20.(3 + 3° + .+3!83) Vậy B: 41 Bài 2 : Chứng minh rằng : 10°— 36n - 1 : 27 1) Phân tích:
Đề bài cho biểu thức ở dạng tổng quát và trong biểu thức có 10° — 1 để có thể đưa
về ấp dụng nhận xét ở ví dụ 4 (hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 và cho 9)
2) Hướng dân cách tìm lời giải:
Dé chứng minh 10° — 36n — 1 ta khơng thể dùng cách tính kết quả cụ thể, biến đổi
10° — 36n — 1 vé dạng 27Q cũng rất khó khăn Giáo viên nên gợi ý cho học sinh
Trang 2814
Trang 29Nhận thấy 36n có thể tách thành 27n + 9n, nên dẫn dắt học sinh biến đổi
10* — 1 — 0n thành bội của 27 bằng cách khai thác 10" — 1 và vận dụng nhận xét đã
Tiêu trên
3, Lời giải vắn tắt:
Theo nhận xét nêu trên :
(I1 1—n) :3 > 9(11 1 —n) : 27 =9(11 1—n)— 27n : 27
4, Khai thác bài toán :
Có thể thay đổi biểu thức hoặc thay đổi 27 bằng các số khác nhau như: 9; 36; 72
ta sẽ được các bài toán cùng đạng để học sinh luyện tập
Bài 3:
Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b € N) Chứng minh rằng 10a + b : 13
1, Phân tích đề bài:
Đề bài cho biết a + 4b : 13 và phải chứng minh 10a + b : 13 Do đó cần nghĩ ngay đến việc sử dụng giả thiết này bằng cách làm xuất hiện tổng hoặc hiệu của hai số,
một số chứa a + 4b, một số chứa 10a + b rồi xét tổng hoặc hiệu của chúng 2, Hướng dân cách tìm lời giải:
Để cho gọn ta đặt a + 4b = X, 10a + b = Y Học sinh để dàng thấy được khi xét tổng hoặc hiệu của X và Y thì khơng thấy xuất hiện bội của 13 Vì vậy có thể nhân X hoặc Y lên một số lần để sao cho khi cộng hay trừ hai biểu thức thì xuất hiện bội
của 13
Vậy cần nhân X và Y với bao nhiêu để khử đi số hạng a (hoặc b)? làm thế nào để
xuất hiện hệ số của a (hoặc b) là 13?
Giáo viên gợi ý cho học sinh thấy hệ số của a ở X là 1, ở Y là 10 nên có thể nhân X với 10 rồi xết hiệu 10X - Y nhằm khử a hoặc nhân X với 3 rồi xét tổng 3X + Y,
nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13 Nếu xét hệ số của b ta cũng làm tương tự như vậy,
từ đó hướng dẫn học sinh tìm được nhiều cách giải bài toán 3, Lời giải vắn tắt:
Đặt a + 4b =X, 10a+b= Y Cách 1 :
X:13nên 10X : 13
10X — Y = 10(a + 4b) - (10a + b) = 39b ; 13
Như vậy 10X-— Y : 13,mà 10X : 13 > Y: 13 hay 10a+b: 13 Cách 2 :
X:13nên 3X: 13
Xét 3X + Y = 3(a + 4b) + (10a + b) = 13a + 13b
Như vậy 3X+Y : 13màX: 13 => Y: 13hay 10a+b : 13 Cách 3 :
Trang 3015
Trang 31Như vậy X +9Y : 13màX: 13 > 9Y: 13 Do (9; 13) = I nên Y : 13 hay 10a +b :13 Cách 4:
Xét 4Y ~ X = 4(10a + b) ~ (a + 4b) = 39a
Như vậy 1Y—X :13màX: 13 => 4Y: 13 Do (4; 13) = 1 nên Y : 13 hay 10a +b: 13 Bài 4:
Tìm số tự nhiên n sao cho 4n — Š chia hết cho 13
1, Phản tích đề bài:
Khác với 3 bài trên, bài này yêu cầu tìm số tự nhiên n sao cho 4n — 5 chia hết cho 13 chứ không yêu cầu chứng minh 4n - 5 : 13 Mặt khác, tập hợp các bội là vô hạn
nên khơng thể tìm được các giá trị cụ thể của n mà chỉ tìm được dạng tổng quát của n
2, Hướng dân cách tìm lời giải:
Giáo viên gợi ý cho học sinh: để tìm dạng tổng quát của n thì phải làm cho hệ số của n bằng 1, ta thấy hệ số n của biểu thức đã cho là 4 nên phải tìm cách đưa 4 ra
ngoài ngoặc Do đó đặt ra câu hỏi cho học sinh phải thêm bớt hoặc tách các số hạng như thế nào để xuất hiện thừa số chung là 4 Từ đó học sinh sẽ tìm được các cách giải như sau:
3, Lời giải vắn tắt: - Cách 1 : 4n—5 $13 > 4n+8-13 $13 > 4n+8 :13= 4(n+2): 13 Do(4;13)=1=n+2 :13=>n=13k-2(keN') - Cách 2 : 4n—5 ¡13=> 4n-5+13:13= 4n+8§ :13
Từ đó giải tương tự cách 1 sẽ có n = 13k - 2 (keNÑ”) Bài Š :
Tìm số tự nhiên n sao cho n? — 4 chia hết cho n? + 2
1, Phan tich dé bai :
Khác với mọi bài cùng dạng toán, bài này cho số mũ của n là 2 nên yêu câu phải suy nghĩ sáng tạo hơn
2, Hướng dân cách tìm lời giải :
Giáo viên có thể gợi ý học sinh suy nghĩ theo hướng sau: ? Số mũ của n là 2 nên muốn khử n? ta làm như thế nào?
(nhân (n + 2) với n rồi trừ hai biểu thức cho nhau)
? Sau khi khử n? vẫn cịn lại thì làm như thế nào?
(khử tiếp n như cách vẫn thường làm (ví dụ 17) Hoặc:
? Hãy viết n? + 4 thành tổng (hoặc hiệu) các bội của n + 2 và một số cụ thể Với hướng này, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách biến đổi:
Trang 3216
Trang 33Chẳng hạn: Muốn có thừa số n + 2 từ nŸ thì phải thêm, bớt 2n, từ số 2n bớt ra muốn có n + 2 thì phải bớt, thêm 4 Từ đó có các cách giải: 3, Lời giải vắn tắt: - Cách 1 : n#" +4: n+2>[(+4)-n(n+2)] : n+2 >4-2n :n+2>[4-2n+2(n+2)]: n+2 >8 int+2hayn+2€ {2;4;8} (vin+2 > 2) Ta có bảng sau : n+2 2 4 n 0 2 6 œ - Cách 2 : nˆ+4=nˆ-2n- 2n— 4+ § =n(n +2)— 2(n+2)—§ m+4in+2>8:in+2 (phần cịn lại giải như cách 1)
* Yêu cầu học sinh ghi nhớ dạng này để sang phần phân số vận dụng vào dạng bài
tập tìm điều kiện để phân số là số tự nhiên, số nguyên Bài 6:
Giả sử p¡ > p; là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp, chứng minh rằng noe là hợp số
1, Phân tích đề bài:
Dé bai cho p; và p> đều là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên ta thấy ngay được
Pi + Po
2
Pi + p› là số chẩn nên : 2 và eNÑ;p¡)p;)2
2, Hướng dân cách tìm lời giải :
Giáo viên cần nhắc lại cho HS : Giữa hai số lẻ bao giờ cũng có ít nhất một số chan Ma py, p› là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên giữa p¡ và p› phải có ít nhất một
Pi + Po 2
nằm giữa hai số p¡ và p› trên tia số Nghĩa là chứngtỏ P;)
hợp số Từ đó HS thấy được muốn chứng minh là hợp số ta chứng tỏ Pi FP
Pi +P 2
)P2
Với bài này vì HS chưa được học các kiến thức về bất đẳng thức nên giáo viên cần
Pi +P
hướng dan cụ thể Muốn chứng minh p, ) cần chứng minh 2p, ) p, + P;
Pi +P2
Muốn chứng tỏ ) p; cần chứng minh p, + p; ) 2p; Muốn có hai
điều này đều phải xuất phát điều kiện bài toán là p¡ > p›
Trang 3417
Trang 35Pi + Po
là số tự nhiên
Vì p¡, pa là hai số nguyên tố lẻ nên (p¡ + p›) : 2, do đó
Mặt khác, vì p¡ > p› nên p + p› >2p›, do đó Ps +P2 )p > 5 › Vì p¡ >p› nên 2p¡ > p¡ + p›, do đó p,) 2
Như vậy : p; (PL TẾ: (p,, nên PL —Ế: là hợp số,
Bài 7:
Cho a = 123456789; b = 987654321 Tìm ƯCLN (a, b) 1, Phản tích đề bài:
Đề bài yêu cầu tìm ƯCLN của hai số rất lớn nên không thể làm theo quy tắc thông thường Ta để ý rằng tuy a, b là hai số khác nhau nhưng tổng các chữ số của chúng lại như nhau
2, Hướng dân cách tìm lời giải:
Khi đọc đề bài học sinh cũng đễ đàng nhận thấy khơng thể tìm ƯCLN (a, b) theo quy tắc thông thường mà có thể tìm ƯCLN (a,b) theo thuật toán ỞƠclit, đòi hỏi các em thật cẩn thận, chính xác trong các phép tốn thì mới tìm được kết quả Do vậy giáo viên nên khai thác đề bài để hướng dẫn học sinh ngoài cách dùng thuật tốn Ơclit cịn có thể tìm ra cách giải khác
Trước hết, yêu cầu các em nhận xét về hai số a, b, học sinh thấy ngay a và b đều chia hết cho 9 Vậy chỉ cần chứng minh mọi ỨC của a, b đều là ước của 9 Bằng
cách xét hiệu b — 8a, từ đó suy ra được ƯCLN (a, b)
3, Lời giải vắn tắt:
Vì a và b gồm các chữ số giống nhau nên tổng các chữ số như nhau và bằng 1+2+ 3 + 9 = 45 chia hết cho 9 nên a và b cùng chia hết cho 9
Ta lại có b— 8a =9 : 9 nên nếu ỨC (a, b) = d thì 9: đ
Như vậy mọi ước chung của a và b đều là ước của 9 hay ƯCLN (a, b) = 9 Bai 8:
1, Phan tich dé bai:
Đề bài yêu cầu tìm số nhỏ nhất gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 33 3 180 chứ không đơn thuần là tìm số gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 33 3
100 2, Hướng dân cách tìm lời giải:
Trang 3618
Trang 37- Muốn tìm n để {1 chia hết cho 83 3/thì cần đưa 33 3 về dạng tích hai
100 100 ae
thừa số nguyên tố cùng nhau, mà có thể tìm điều kiện của n để
hai thừa số đó
Từ gợi ý này học sinh sẽ biến đổi 33 3 thành tích của 3.11
180 160
3, Lời giải :
Gọi số phải tìm là 1I .]
Ta có : ]1 ¡33 .3 tức là 11 1 : 3.11 =11 1:3=n:3 UT ——- (1)
n 100 n 1
h 180
Mà n là số nhỏ nhất thoả mãn điều kiện (1)và(2) Do đó n = BCNN(3 ;100) = 300
Vậy số phải tìm là số gồm 300 chữ số I1 : ( 1J ) 360
C KET QUA:
Trên đây là một bài toán nâng cao điển hình về tính chất chia hết trong N duoc phân ra từng dạng, giúp HS dễ dàng trong việc tìm lời giải bài toán và giúp giáo
viên làm tài liệu bồi dưỡng HS khá, giỏi Qua thực tế bồi dưỡng HS tôi thấy rằng
khi chưa áp dụng chuyên đề này thì HS tiếp thu bài còn khó khăn, sau một thời gian gặp lại bài đã làm lại quên cách giải Khi áp dụng kinh nghiệm này dưới hình hiểu sâu sắc bản chất từng vấn đề nên khi gặp các bài toán khác nhau các em đã
nhận dạng và vận dụng cách giải linh hoạt với mỗi dạng Số còn lại cũng làm tốt các đạng cơ bản hay gặp
Sau đây là một vài số liệu so sánh cụ thể :
Kỹ năng Trước khi | Sau khi
áp dụng | áp dụng Nhận dạng và giải quyết được các bài toán áp dụng tính 40% 80% chat chia hét
Nhận dạng và giải quyết được các bài toán về số nguyên 30% 75%
tố, hợp số
Nhận dạng và giải quyết được các bài toán về ƯCLN, 30% 75% BCNN
Nhận dạng bài toán và vận dụng cách giải linh hoạt với 32% 80% mỗi bai
Tìm được lời giải các bài toán đặc biệt, có nội dung 10% 50% phức hợp
D BÀI HỌC KINH NGHIỆM :
Qua những năm bồi dưỡng HS giỏi, nhất là với HS giỏi lớp 6, tôi thấy rang dé giúp HS hiểu sâu sắc từng vấn đề thì ngồi việc nghiên cứu kỹ các dạng bài tập,
Trang 3819
Trang 39Phương pháp giảng dạy hợp lý Kinh nghiệm cho thấy, với bài tập nâng cao về tính
chia hết cho HS lớp 6 cân phải hướng dẫn các em một cách dần dần, đi từ những vấn đề đơn giản, cơ bản, sau đó thay đổi một vài chi tiết để nâng dần đến bài tập
phức tạp hơn Sau mỗi bài giáo viên cần củng cố phương pháp giải quyết và có thể
khai thác thành bài toán mới bằng cách thay đổi đữ kiện để HS tự mình vân dụng Việc bồi dưỡng chuyên đề này sẽ giúp HS có thêm kiến thức cơ bản và kỹ năng
giải quyết bài tập trong các kỳ thi HS giỏi, góp phần nâng cao chất lượng mũi nhọn trong nhà trường
E ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG:
Để hướng dẫn HS lớp 6 giải một số dạng bài tập nâng cao về tính chia hết trong
N có hiệu quả, thì nên thực hiện một số điều kiện sau đây :
1/ Đối với học sinh: Các em cần phải nắm được các kiến thức về tình chia hết,
các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại toán chia hết
và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình
2/ Đối với giáo viên : Người thây giáo phải có trách nhiệm đem lại niềm say mê hứng thú với môn học, hướng dẫn các em cách khai thác, vận dụng từng vấn đề trong mảng kiến thức mà các em đã có Để đạt hiệu quả cao khi áp dụng chuyên đề
này giáo viên nên dành thời gian bồi dưỡng từ 3 - 4 buổi /tuần cho HS khá giỏi Còn đối với HS đại trà thì tuỳ theo từng đối tượng (có thể chỉ giới thiệu các dạng cơ
bản, lấy ví dụ minh hoạ đơn giản )
F VẤN DE CON HẠN CHẾ, BỎ NGỎ, HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU :
Trên đây chỉ là một vấn đề về toán nâng cao đối với tính chất chia hết trong N, là
một trong những mảng kiến thức mà HS khá giỏi lớp 6 cần nắm chắc Kinh nghiệm
đưa ra mới chỉ đề cập đến đối tượng HS khá giỏi, chứ chưa đề cập nhiều đến các đối tượng khác, nội dung của chuyên đề cũng chưa đề cập đến mảng kiến thức về
tính chất chia hết trong Z„ các bài tập có liên quan đến dãy, phân số Đó là định hướng cho việc tiếp tục nghiên cứu sau này
PHẦN BA : KẾT LUẬN
Sau một thời gian tự nghiên cứu với phương pháp tìm đọc tài liệu tham khảo sưu
tầm các bài tập, ví dụ, kết hợp với thực tế giảng dạy, với kiến thức, lý luận đã tích
luỹ Tơi cố gắng hệ thống một số vấn đề xung quanh tính chất chia hết trong NÑ từ đơn giản đến phức tạp, đặc biệt là các kiến thức, bài tập nâng cao đành cho HS giỏi
Tuy nhiên với năng lực và thời gian có hạn, trong tài liệu này cách nhìn nhận về các vấn đề và phương pháp giảng dạy cũng như cách trình bày chắc chấn không tránh khỏi thiếu sót
Trang 4020