Header Page of 16 MỘT VÀI DẠNG TÍCH PHÂN NÂNG CAO TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: = ∫ ( ) Giải: = Đặt ,− < < = Suy : Khi đó: = ∫ ( ( = ) )= + ( = ) = < < → ) = ( ) + √ Chú ý: Trong ví dụ ta có: (1 − − ( ) = (cost) = ( >0→ = vì: √ ) = 1−( ) = 1− Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: = ∫ Vì điều kiện | | > nên ta xét trường hợp: Với √ > 1, đặt =− =− ( ( − ( = √ , < < suy =− ) Khi đó: = − =− = ) ( + −∫ ) − − ln −√ ) ) ( ( ) ( ) + ( ( ( =− ) + )+∫ ) + ln| =− ( ) ( | + ( ) ( + ) = − [− ) + 2∫ = [( ( ( ( ) + )+ ( ) + ( ] ) ) −( ) ] − ln| |+ −1 + TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA Footer Page of 16 ) Header Page of 16 Với < 1, đề nghị học sinh tự làm Chú ý: Trong ví dụ ta có: ( ) −( ) =4 √ ( ) −( ) = = ( = = − ) ( ) ( −1=4 √ ) = ( ( − vì: ( ) ( ) ) ) =( ) ( ) ( ) −1 = ( = −1= ( = ) −√ ) −1 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: = ∫ ( ) Giải: = Đặt , − < < suy ra: Khi đó: = ∫ = + =( = Chú ý: Trong ví dụ ta có ) ) ( = = bởi: √ ( − < < → >0→ Phương pháp áp dụng cho = ∫ ( Ví dụ 4: Tính tích phân: = ∫ ( − ) Đặt = − (2 − = ( → = −6 = ) + √ √ ( = ) = = với ) ) = = √1 + ∈ (2 − ) = − = −2( −2 −2 ) Khi đó: = ∫( = ) (2 − −2 ) − = (2 − − → =1− = − + ) + Ví dụ 5: Tính tích phân bất định: = ∫ Đặt = √1 − + suy ra: √ = −2 √ = ( ) ( ) + 1) TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA Footer Page of 16 Header Page of 16 Khi đó: = −2 ∫( −2 + 1) = −2 − [3(1 − ) − 10(1 − ) + 15]√1 − + =− Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: = ∫ Đặt = √1 − = → ) − [5(1 − 320 (3 (3 =− − 10 + + 8)√1 − + 15) + + ) (1 − ) −8 ) + (1 − = ) ) − = − ) − 8(1 − ) )√ =− =− + = (1 − (5 = )] (1 − Ví dụ 7: Tính tích phân bất định: = ∫( Đặt = √ → = →2 =− = (1 − ( + ( − →2 = ( − Khi đó: = ∫( = = + (20 320 ) + = ( ) √ −4 − 3) (1 − ) + ) √ ) (−2 ) = 2( =( − ) −7 ) + = ) √ Khi đó: = ∫( − ) =2 − + Ví dụ 8: Tính tích phân bất định: = ∫ Đặt = =( → = −( ) ) [1 + ( ) ] (1 + = ∫( ( ) = (3 = ( [( ]√ ) −7 + ) ( ( ) ) ( = ) (1 + ) ) = ( ( ) ) ( ) =( ) ( ) ( ) Khi đó: =∫ 42( ) ) + 35( +2 + + + + = [15( ) + ) ]+ Ví dụ 9: Tính tích phân bất định: = ∫ ⁄ Giải: ⁄ Đặt = ⁄ = ( → ⁄ =− ⁄ = ) Khi đó: = ∫ + −2 ⁄ ⁄ ( ⁄ ) = = 2( + ln| |) + = ⁄ =2 1+ =2 ⁄ + ln( ⁄ + 1) + TRUY CẬP THAYQUANG.EDU.VN & KÊNH YOUTUBE : MẪN NGỌC QUANG ĐỂ XEM NHIỀU DẠNG TOÁN HƠN NỮA Footer Page of 16 Header Page of 16 ⁄ Chú ý: Bài toán dung tới kinh nghiệm để lựa chọn phép đổi biến = ⁄ đặt = nhiên với cách cungc thực toán với Ví dụ 10: Tính tích phân bất định: = ∫ ≠ Giải: Đặt = +√ + → = 1+ = ln| | + Khi đó: = ∫ = ln √ = √ +√ + Ví dụ 11: Tính tích phân bất định: = ∫ √ = √ + ( )( ) Giải: Ta xét trường hợp: +1>0 +2>0 Trường hợp 1: Với Đặt = √ + + √ + → ( ) = √ √ √ )( ( ) ( )( ) = = ln(√ + + √ + 2) + < −2 −( + 1) + −( + 2) → )( + √ +10 +2>0 Trường hợp. .. Tính tích phân bất định: = ∫ Giải: Đặt = = = → Khi đó: = = − ∫ = − Ví dụ 7: Tính tích phân bất định: = ∫ + ln(2 ) Giải: Đặt = = ln(2 ) → = Khí đó: = = ln(2 ) − ∫ = ln(2 ) − Ví dụ 8: Tính tích phân. .. Tính tích phân bất định: = ∫ Giải: + + √ Ta sử dụng hai phương pháp biến đổi tích phân phần: Đặt √ = = → =2 → √ =2 Khi đó: = ∫ = = Đặt → Khi đó: = 2(− =3 =− ) = −2 + 3∫ + 6∫ (1) Xét tích phân: