giải bài tập toán 8 tập 1

PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC §1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Quy tắc nhân đơn thức với đa thức Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với số hạng đa thức cộng tích với Công thức: Cho A, B, C, D đơn thức, ta có: A(B+C-D) = AB + AC –AD Nhắc lại phép tính lũy thừa an = a.a….a n thừa số (a Q, n N*) a0 =1 (a an am = an+m an : am = a n-m ( nm) (am) n = a m.n B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Làm tính nhân: 2x3(3x2 – 5x +4) Giải 2x3(3x2 – 5x + 4) = 2x3.3x2 – 2x3.5x+ 2x3.4 = 6x5 – 10x4 + 8x3 Tính x, biết: 2x(3x +1) + (4 – 2x).3x =7 Giải 2x(3x +1) + (4 – 2x).3x =7 6x2 + 2x + 12x – 6x2 =7 14x = Vậy x = Bài tập Làm tính nhân : a) x2( 5x3 – x - ) c) (4x3 – 5xy + 2x)( - xy) b) (3xy – x2 + y)x2y Thực phép nhân, rút gọn tính giá trị biểu thức : a) x(x – y) + y(x + y) x= - y = b) x(x2 – y) – x2(x+y) + y(x2 – x) x = y = -100 Tim x, biết : a) 3x(12x – 4) – 9x(4x – 3) = 30 b) x(5 – 2x) + 2x(x-1)=15 Đố Đoán tuổi Bạn lấy tuổi mình: - Cộng thêm - Được đem nhân với - Lấy kết cộng với 10 - Nhân kết vừa tìm với - Đọc kết cuối sau trừ 100 Tồi đoán tuổi bạn Giải thích Rút gọn biểu thức: a) x(x – y) + y(x – y) b) x n -1(x + y) – y(x n – + y n – 1) Đánh dấu x vào ô mà em cho đáp số : Giá trị biểu thức ax(x – y) + y3(x + y) x= -1 y= ( a số) a -a +2 -2a 2a Giải a) x2(5x3 – x - ) = x2.5x3 + x2.(- x) + x2.(- ) = 5x5 – x3 - x2 b) (3xy – x2 + y)x2y = x2y.3xy + x2y.(- x2) + x2y.y = 2x3y2 - x4y + x2y2 c) (4x3 – 5xy + 2x)( - xy) = - xy.4x3 + (- xy).(-5xy) + (- xy).2x = - 2x4y + x2y2 – x2y a) x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + yx + y2 = x2 – xy + xy + y2 = x2 + y2 Với x = - 6, y = biểu thức có giá trị (-6)2 + 82 = 36 + 64 =100 b) x(x2 – y) – x2 (x + y) + y(x2 – x) = x3 – xy – x3 – x2y + yx2 – yx = -2xy Với x = , y = - 100 biểu thức có giá trị – (- 100) =100 a) 3x(12x – 4) – 9x(4x – 3) = 30 b) x( – 2x) + 2x(x – 1) = 15 36x2 – 12x – 36x2 + 27x = 30 5x – 2x2 + 2x2 – 2x = 15 15x = 30 3x = 15 Vậy x = x= Nếu gọi số tuổi x ta có kết cuối là: [ 2(x + 5) + 10].5 – 100 = (2x + 10 + 10) - 100 = ( 2x + 20) - 100 = 10x + 100 - 100 = 10x Thực chất kết cuối đọc lên 10 lần số tuổi bạn Vì vậy, đọc kết cuối cùng, việc bỏ chữ số tận số tuổi bạn Chẳng hạn bạn đọc 130 tuổi bạn 13 a) x( x – y) + y( x – y) = x2 – xy + yx – y2 = x2 – xy + xy – y2 = x2 – y2 b) x n – 1(x + y) – y( x n – + y n – ) = x n + x n – 1y – yx n – – y n = x n + x n – y – x n – 1y – y n = x n - y n Thay x = - 1, y = vào biểu thức, ta : a( - 1) ( - – 1) + 13 ( - + 1) = - a( - 2) + 1.0 = 2a Vậy đánh dấu x vào ô tương ứng với 2a Bài tập tương tự Làm tính nhân: a) 3x2 ( 5x2 – 2x + 3) b) ( - 2x3 + y – 4yz) 8xy2 Tìm x, biết : a) 3x( 12x – 4) – 2x(18x + 3) = 36 b) x( - 4x) + ( 2x + 5)x = - §2 NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với Công thức: Cho A, B, C, D đa thức ta có: ( A + B) ( C + D) = A( C + D) + B ( C + D) = AC + AD + BC + BD B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 1.Bài tập mẫu Làm tính nhân: (3x2 – 5y3)(2x3 + 3y2) Giải (3x2 - 5y3)(2x3 + 3y2) = 3x2(2x3 + 3y2) – 5y3(2x3 + 3y2) = 6x5 + 9x2y2 – 10x3y3 – 15y5 Tìm x, biết : 3x2 – ( x + 2)(3x – 1) = -7 Giải 3x2 – (x + 2)(3x – 1) = - 3x2 – (3x2 – x + 6x – 2) = -7 3x2 – 3x2 + x – 6x + = -7 - 5x = - x= Vậy x= Bài tập Làm tính nhân: a) (x2 – 2x + 1)(x – 1) b) (x3 – 2x2 + x – 1)(5- x) Từ câu b), suy kết phép nhân: (x3 – 2x2 + x – 1)(x – 5) Làm tính nhân: a) (x2y2 - xy + 2y)(x – 2y) b) (x2 – xy + y2)(x + y) Điền kết tính vào bảng : Giá trị x y Giá trị biểu thức (x – y)(x2 + xy + y2) x = - 10 ; y = x = -1 ; y = x = ; y = -1 x = -0,5 ; y = 1,25 (trường hợp dùng máy tính bỏ túi để tính) Giải a) (x2 – 2x + 1)( x – 1) = x2.x + x2.(- 1) + (- 2x).x + (-2x).(-1) + 1.x + 1.(-1) = x3 – x2 – 2x2 + 2x + x -1 = x3 – 3x2 + 3x – b) (x3 – 2x2 + x – 1)(5 – x) = x3.5 + x3(-x) + (- 2x2).5 + (- 2x2)(-x) + x.5+ x(- x) + (-1).5 + (-1).(-x) = 5x3 – x4 – 10x2 + 2x3 + 5x – x2 – + x = -x4 + 7x3 – 11x2 + 6x -5 Suy kết phép nhân (x3 – 2x2 + x – 1)( x - 5) = (x3 – 2x2 + x – 1)(-(5 – x)) = - (x3 – 2x2 + x – 1)(5 – x) = -(-x4 + 7x3 – 11x2 + 6x -5) = x4 – 7x3 + 11x2 – 6x + a) (x2y2 - xy + 2y)(x – 2y) = x2y2.x + x2y2(-2y) +(- xy).x + (- xy) (-2y) + 2y.x + 2y(- 2y) = x3y2 – 2x2y3 - x2y + xy2 + 2xy – 4y2 b) (x2 – xy + y2)(x + y) = x2.x+ x2.y + (-xy).x + (-xy).y + y2.x + y2.y = x3 + x2y – x2y – xy2 + xy2 + y3 = x3 + y3 Trước hết, ta làm tính nhân để rút gọn biểu thức, ta : ( x – y)( x2 + xy + y2) = x.x2 + x.xy + x.y2 + ( - y).x2 + (-y).xy + (-y).y2 = x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3 = x3 – y3 Sau tính giá trị biểu thức x3 – y3 Giá trị biểu thức x3 – y3 Giá trị x y x = - 10 ; y = -1008 x = -1 ; y = -1 x = ; y = -1 x = -0,5 ; y = 1,25 = -2, 078125 Bài tập tương tự Làm tính nhân : a) (x2 – 2xy + y2)(x – y) b) (x - y2)( x + y2) Tính giá trị biểu thức : (x2y + y3)(x2 + y2) – y(x4 – y4) với x = 0,5 ; y = -2 LUYỆN TẬP 10 Thực phép tính : a) (x2 – 2x + 3)( x – 5) b) (x2 – 2xy + y2)(x – y) 11 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến : (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 12 Tính giá trị biểu thức (x2 – 5)(x + 3) + (x + 4)(x – x2) trường hợp sau : a) x = b) x = 15 c) x = -15 d) x = 0,15 13 Tìm x, biết : (12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 – 16x) = 81 14 Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích hai số sau lớn tích hai số đầu 192 15 Làm tính nhân: a) ( x + y)( x + y) b) ( x- y)(x - y) Giải 10 a) (x2 – 2x + 3) ( x – 5) = x3 – 5x2 – x2 + 10x +x - 15 = x3 – 6x2 + x – 15 b) (x2 – 2xy + y2)( x – y) = x3 – x2y – 2x2y + xy2 – y3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 11 (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + = 2x2 + 3x – 10x – 15 – 2x2 + 6x + x + = 2x2 – 2x2 – 7x + 7x – 15 + = - Vậy sau rút gọn biểu thức ta số - nên giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến 12 Trước hết thực phép tính rút gọn, ta : (x2 – 5)(x + 3) + (x + 4)(x – x2) = x3 + 3x2 – 5x – 15 + x2 – x3 + 4x – 4x2 = x3 – x3 + x2 – 4x2 – 5x + 4x - 15 = - x – 15 a)với x = : - – 15 = -15 b) với x= 15: -15 – 15 = -30 c) với x = -15: -(-15) – 15 = 15 – 15 = d) với x= 0,15 : -0,15 – 15 = - 15,15 13 (12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 – 16x) = 81 48x2 – 12x – 20x + + 3x – 48x2 – + 112x = 81 83x – = 81 83x = 83 x=1 14 Gọi số chẵn liên tiếp a, a + 2, a + Ta có : (a + 2)( a + 4) – a(a + 2) = 192 a + 4a + 2a + – a2 – 2a = 192 4a = 192 – = 184 a = 46 Vậy số1 46, 48, 50 15 a) ( x + y)( x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x2 + xy + xy + y2 = x2 + xy + y2 b) (x - y)( x - y) = x.x + x( - y) + ( - y.x) + (-y)(- y) = x2 - xy - xy + y2 = x2 – xy + y2 §3 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Bình phương tổng (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Bình phương hiệu (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 Hiệu hai bình phương A2 – B2 = (A+ B)(A – B) B.HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu : a) Tính (2a + 3) ; (3a – 2)2 b) Viết biểu thức dạng bình phương tổng hiệu: x2 – 4x + 4; 9x2 + y2 + 6xy c) Tính nhanh: 1012 ; 2992 ; 110.150 Giải a) (2a + 3)2 = (2a)2 + 2.2a.3 + 32 = 4a2 + 12a + (3a – 2)2 = (3a)2 – 2.3a.2 + 22 = 9a2 – 12a + b) x2 – 4x + = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2 9x2 + y2 + 6xy = (3x)2 + 2.3.x.y + y2 = (3x + y) c) 1012 = ( 100 + 1)2 = 1002 + 2.100 + = 10101 2992 = (300 – 1) = 3002 – 300 + = 89401 110.150 = (130 – 20)( 130 + 20) = 1302 – 202 = 16900 – 400 = 16500 Bài tập 16 Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng hiệu : a) x2 + 2x + b) 9x2 + y2 + 6xy c) 25a2 + 4b2 – 20ab d) x2 – x + 17 Chứng minh rằng: (10a + 5)2 = 100a a(a + 1) + 25 Từ em nêu cách tính nhẩm bình phương số tự nhiên có tận chữ số Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752 18 Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại đẵng thức bị mực làm nhòe số chỗ: a) x2 + 6xy + … = ( … + 3y)2 b) … - 10xy + 25y2 = ( … - …)2 Hãy nêu đề tương tự 19 Đố Tính diện tích phần hình lại mà không cần đo Từ miếng tôn hình vuông có canh a + b, bác thợ cắt miếng hình vuông có cạnh a – b ( cho a > b) Diện tích phần hình lại bao nhiêu? Diện tích phần hình lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không? Giải 16 a) x2 + 2x + = x2 + 2.x.1+ 12 = ( x + 1)2 b) 9x2 + y2 + 6xy = (3x)2 + 2.3.x.y + y2 = (3x + y)2 c) 25a2 + 4b2 – 20ab = (5a)2 – 2.5.a.2b + (2b)2 = (5a – 2b)2 Hoặc 25a2 + 4b2 – 20ab = (2b)2 – 2.2b.5a + (5a)2 = (2b – 5a)2 d) x2 – x + = x2 – 2.x + ()2 = ( x - )2 x2 – x + = - x + x2 = ()2 – x + x2 = ( - x)2 Ta có : (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25 Cách tính nhẩm bình phương số có tận chữ số : Ta gọi a số chục số tự nhiên có tận số cho có dạng 10a + ta : (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25 Vậy để tính bình phương số tự nhiên có tận chữ số ta tính tích a(a + 1) viết 25 vào bên phải Áp dụng : • • • • Để tính 252 ta tính 2(2 + 1) = viết tiếp 25 vào bên phải ta 625 Để tính 352 ta tính 3(3 + 1) = 12 viết tiếp 25 vào bên phải ta 1225 652 = 4225 752 = 5625 18 a) x2 + 2.x.3y + … = (… + 3y)2 x2 + 2.x.3y + (3y)2 = ( x + 3y)2 Vậy : x2 + 6xy + 9y2 = ( x + 3y)2 b) … - 2.x.5y + (5y)2 = (… - …)2 x2 - 2.x.5y + (5y)2 = ( x – 5y)2 Vậy : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2 c) Đề tương tự : Chẳng hạn : 4x + 4xy + … = (… + y2) … - 8xy + y2 = ( … - ….)2 19 Diện tích miếng tôn (a + b)2 Diện tích miếng tôn phải cắt : (a – b)2 Phần diện tích lại (a + b)2 – (a – b)2 Ta có: (a + b)2 – (a – b)2= a2 + 2ab + b2 – ( a2 – 2ab + b2 ) = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab Vậy phần diện tích hình lại 4ab không phụ thuộc vào vị trí cắt Bài tập tương tự Điền vào chỗ dấu “?” sau để có đẳng thức đúng: a) ( ? + ? )2 = x2 + ? + 4y2 b) (? - ? )2 = a2 - 6ab + ? d) ? – 16y4 = (x + ?)(x - ?) e) 25a2 - ? = ( ? + b)( ? - b) c) ( ? + ?)2 = ? + m + LUYỆN TẬP 20 Nhận xét đúng, sai kết sau : x + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2 21 Viết đa thức sau dạng bình phương tổng hiệu : a) 9x2 – 6x + b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + Hãy tìm đề tương tự 22 Tính nhanh : a) 1012 b) 1992 c) 47.53 23 Chứng minh rằng: (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab Áp dụng: a) Tính (a – b)2, biết a + b = a.b = 12 b) Tính (a + b)2, biết a – b = 20 a.b=3 24 Tính giá trị biểu thức 49x2 – 70x + 25 trường hợp sau: a) x = b) x = 25 Tính: a) (a + b + c)2 b) (a + b – c)2 c) (a – b – c)2 Giải 20 Nhân xét đúng, sai: Ta có: (x + 2y)2 = x2 + 2.x.2y + 4y2 = x2 + 4xy + 4y2 Nền kết x2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2 sai 21 a) 9x2 – 6x + = (3x)2 – 2.3x.1 + 12 = (3x – 1)2 Hoặc 9x2 – 6x + = – 6x + 9x2 = (1 – 3x)2 Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh S = ah B.HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy AB = 5cm CD = 15cm, độ dài hai đường chéo AC = 16cm, BD = 12cm Tính diện tích hình thang ABCD Giải Vẽ AE // BD, AH DC (E DC, H DC) Tứ giác ABDE hình bình hành ED = AB = 5cm, AE = BD = 12cm EC = ED + DC = + 15 = 20cm ΔAEC vuông A AE2 + AC2 = EC2 AH.EC = AE.AC AH = cm Do SABCD = cm2 Bài tập 26 Tính diện tích mảnh đất hình thang ABED theo độ dài cho hình 140 biết diện tích hình chữ nhật ABCD 828m2 27 Vì hình chữ nhật ABCD hình bình hành ABEF (h.141) lại có diện tích? Suy cách vẽ hình chữ nhật có diện tích với hình bình hành cho trước 28 Xem hình 142 (IG // FU) Hãy đọc tên số hình có diện tích với hình bình hành FIGE 29 Khi nối trung điểm hai đáy hình thang, ta hình thang có diện tích nhau? 30 Trên hình 143 ta có hình thang ABCD với đường trung bình EF hình chữ nhật GHIK Hãy so sánh diện tích hai hình này, từ suy cách chứng minh khác công thức diện tích hình thang 31 Xem hình 144 Hãy hình có diện tích (lấy ô vuông làm đơn vị diện tích) Giải 26 Ta có: SABCD = AB.AD = 828 m2 Nên AD = = 36 m Do diện tích hình thang ABED SABED = 972 (m2) 27 Hình chữ nhật ABCD hình bình hành ABEF có đáy chung AB có chiều cao nhau, chúng có diện tích Suy cách vẽ hình chữ nhật có diện tích với hình bình hành cho trước: - Lấy cạnh hình bình hành ABEF làm cạnh hình chữ nhật cần vẽ, chẳng hạn cạnh AB – Vẽ đường thẳng EF – Từ A B vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF chúng cắt đường thẳng EF D, C Vẽ đoạn thẳng AD, BC ABCD hình chữ nhật có diện tích với hình bình hành ABEF cho 28 Ta có: IG // FU nên khoảng cách hai đường thẳng IG FU không đổi h Các hình bình hành FIGE, IGRE, IGUR có cạnh FE = ER = RU có chiều cao ứng với cạnh nên diện tích chúng Tức SFIGE = SIGRE = SIGUR (= h.FE) Mặt khác tam giác IFR, GEU có cạnh đáy FR EU nhau, hai lần cạnh hình bình hành FIGE có chiều cao với chiều cao hình bình hành FIGE nên diện tích chúng SIFR = SGEU = SFIGE Vậy SFIGE = SIGRE = SIGUR = SIFR = SGEU 29 Cho hình thang ABCD Gọi M, N trung điểm hai đáy AB, CD Ta có hai hình thang AMND BMNC có chiều cao, có đáy DN =NC Vậy chúng có diện tích 30 Ta có hình thang ABCD (AB // CD) với đường trung bình EF hình chữ nhật GHIK hình vẽ Dễ dàng chứng minh: ΔAEG = ΔDEK, ΔBFH = ΔCFI Do SABCD = SAEKIFB + SDEK + SCFI = SAEKIFB + SAEC + SBFH = SGHIK Nên SABCD = SGHIK = EF.AJ mà EF = Do SABCD = AJ Vậy ta gặp lại công thức tính diện tích hình thang học phương pháp chứng minh khác Mặt khác, ta phát công thức mới: Diện tích hình thang tích đường trung bình hình thang với đường cao 31 Các hình 2, 6, có diện tích ô vuông Các hình 1, 5, có diện tích ô vuông Các hình 3, có diện tích ô vuông Hình có diện tích ô vuông nên diện tích với hình cho Bài tập tương tự Từ công thức diện tích hình thang suy công thức diện tích tam giác, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông không? Suy nào? Tính diện tích hình thang vuông biết hai đáy có độ dài 4cm 8cm, góc tạo cạnh bên với đáy lớn có số đo 45° §5 DIỆN TÍCH HÌNH THOI A KIẾN THỨC CƠ BẢN Cách tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc nửa tích độ dài hai đường chéo SABCD = AC.BD Công thức tính diện tích hình thoi Diện tích hình thoi nửa tích độ dài hai đường chéo S = d1.d2 B.HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập mẫu Hai đường chéo hình thoi có độ dài 72cm 96cm.Tính: a) Diện tích hình thoi b) Độ dài cạnh hình thoi c) Độ dài đường cao hình thoi Giải a) SABCD = AC.BD = 72.96 = 3456 cm2 b) Trong tam giác vuông AOB ta có: AB = = 60 cm c) Giả sử AH đường cao hình thoi kẻ từ đỉnh A, ta có: SABCD = AH.CD Do đó: AH = = 57,6 cm Bài tập 32 a) Hãy vẽ tứ giác có độ dài hai đường chéo là: 3,6 cm, 6cm hai đường chéo vuông góc với Có thể vẽ tứ giác vậy? Hãy tính diện tích tứ giác vừa vẽ b) Hãy tính diện tích hình vuông có độ dài đường chéo d 33 Vẽ hình chữ nhật có cạnh đường chéo hình thoi cho trước có diện tích diện tích hình thoi Từ suy cách tính diện tích hình thoi 34 Cho hình chữ nhật Vẽ tứ giác có đỉnh trung điểm cạnh hình chữ nhật Vì tứ giác hình thoi? So sánh diện tích hình chữ nhật, từ suy cách tính diện tích hình thoi 35 Tính diện tích hình thoi có cạnh dài 6cm góc có số đo 60° 36 Cho hình thoi hình vuông có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn hơn? Vì sao? Giải 32 a) Học sinh tự vẽ tứ giác thõa mãn điều kiện đề Chẳng hạn tứ giác ABCD hình bên có Có thể vẽ vô số tứ giác theo yêu cầu từ đề bài: I với I điểm tùy ý thuộc đoạn AC BD Diện tích tứ giác vừa vẽ: SABCD = AC.BD = 6.3,6 = 10,8 cm2 b) Diện tích hình vuông có độ dài đường chéo d Hình vuông có hai đường chéo vuông góc với nhau, nên diện tích S = d.d = d2 33 Cho hình thoi MNPQ, vẽ hình chữ nhật có cạnh đường chéo MP, cạnh IN (IN = NQ) Khi diện tích hình chữ nhật MPBA diện tích hình thoi MNPQ Thật SMPBA = MP.IN = MP.NQ = MP.NQ = SMNPQ 34 Vẽ hình chữ nhật ABCD với trung điểm cạnh M, N, P, Q Vẽ tứ giác MNPQ Ta có: MN = PQ = BD NP = MQ = AC Mà AC = BD Nên tứ giác MNPQ hình thoi có bốn cạnh Dễ dàng chứng minh rằng: ΔAMN = ΔINM, ΔBPN = ΔNIP ΔPCQ = ΔIQP, ΔDMQ = ΔIQM Do SMNPQ = SABCD mà SABCD = AB.AD = MP.NQ Vậy SMNPQ = MP.NQ 35 Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 6cm, = 60° Khi ΔABC tam giác Từ B vẽ BH AD HA = HD Nên tam giác vuông AHB nửa tam giác đều, BH đường cao tam giác cạnh 6cm, nên BH = cm (*) Nên SABCD = BH.AD = = 18 (cm2) Cách khác: ΔABD tam giác nên BD = AB = 6cm, AI đường cao tam giác nên AI = cm AC = cm Nên SABCD = BD.AC = 6 = 18 cm2 Cách tính độ dài đường cao BH: Theo định lí Pitago, tam giác vuông ABH có: BH2 = AB2 – AH2 = AB2 - = AB2 - = Nên BH = = = cm Tổng quát: Đường cao tam giác cạnh a có độ dài là: = 36 Giả sử hình thoi ABCD hình vuông MNPQ có chu vi 4a Suy cạnh hình thoi cạnh hình vuông có độ dài a Ta có: SMNPQ = a2 Từ đỉnh góc tù A hình thoi ABCD vẽ đường cao AH có độ dài h Khi SABCD = ah Nhưng h a (đường vuông góc nhỏ đường xiên) Nên ah a2 Vậy SABCD SMNPQ Dấu “=” xảy h = a hay H trùng với D, nghĩa hình thoi ABCD trở thành hình vuông Bài tập tương tự Cho hình thoi ABCD Biết AB = 10cm, AI = 6cm (I giao điểm hai đường chéo) Tính diện tích hình thoi Tính diện tích hình thoi, biết cạnh dài 12,2cm góc có số đo 30° §6 DIỆN TÍCH ĐA GIÁC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp tính diện tích đa giác: Việc tính diện tích đa giác thường qui việc tính diện tích tam giác Ta chia đa giác thành tam giác tạo tam giác có chứa đa giác Trong số trường hợp, để việc tính toán thuận lợi ta chia đa giác thành nhiều tam giác vuông hình thang vuông 1.Bài tập mâu Tìm diện tích đất theo kích thước ghi hình bên (đơn vị m2) Giải S1 = 30.41 = 615 S2 = (30+20).50 = 1250 S3 = 49.20 = 190 S4 = 19.56 = 532 S5 = (19 + 16).34 = 595 S6 = 16.20 = 160 S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 = 3342 (m2) Bài tập 37 Thực phép đo cần thiết (chính xác đến mm) để tính diện tích ABCDE (h.152) 38 Một đường cắt đám đất hình chữ nhật với liệu cho hình 153 Hãy tính diện tích phần đường EBGHF (EF//BG) diện tích phần lại đám đât 39 Thực phép vẽ đo cần thiết để tính diện tích đám đất có dạng hình 154, AB// CE vẽ với tỉ lệ 40 Tính diện tích thực hồ nước có sơ đồ phần gạch sọc hình 155 (cạnh ô vuông 1cm, tỉ lệ ) Giải 37 Đa giác ABCDE chia thành tam giác ABC, hai tam giác vuông AHE, DKC hình thang vuông HKDE Thực phép đo xác đến mm ta BG = 19mm, AC = 48mm, AH = 8mm, HK = 18mm KC = 22mm, EH = 16mm, KD = 23mm Nên: SABC = BG.AC= 19.48 = 456 mm2 SAHE = AH.HE = 8.16 = 64 mm2 SDKC = KC.KD = 22.23 = 253 mm2 SHKDE = (HE + KD).HK = (16 + 23).18 = 351 mm2 Do SABCDE = SABC + SAHE + SDKC + SDKC = 456 + 64 + 253 + 351 = 1124 mm2 Vậy SABCDE =1124 mm2 38 Con đường hình bình hành EBGF có diện tích SEBGF = 50.120 = 6000 m2 Đám đất hình chữ nhật ABCD có diện tích SABCD = 150.120 = 18000 m2 Diện tích phần lại đám đất: S = SABCD - SEBGF = 18000 – 6000 = 12000 m2 39 Chia đám đất ABCDE thành hình thang ABCE tam giác ECD Cần vẽ đường cao CH hình thang đường cao DK tam giác Thực phép đo xác đến mm ta được: AB = 30mm, CE = 26mm, CH = 13mm, DK = 7mm Nên SABCE = (AB + EC).CH = (30 + 26).13 = 364 (mm2) SECD = EC.DK = 267 = 91 mm2 Do SABCDE = SABCE + SECD = 455 mm2 Vì đồ vẽ với tỉ lệ xích nên diện tích đám đất là: S = 455.5000 = 2275000 mm2 = 2,275 m2 40 Diện tích phần gạch sọc hình gồm diện tích hình chữ nhật ABCD trừ diện tích hình tam giác AEN, JKL, DMN hình thang BFGH, CIJK Ta có: Diện tích hình chữ nhật ABCD x ô vuông Diện tích tam giác AEN ô vuông Diện tích tam giác JKL 1,5 ô vuông Diện tích tam giác DMN ô vuông Diện tích hình thang BFGH ô vuông Diện tích hình thang CIJK ô vuông Do tổng diện tích hình phải trừ + 1,5 + + + = 14,5 ô vuông Nên diện tích phần gạch sọc hình x – 14,5 = 33,5 ô vuông Do tỉ lệ xích nên diện tích thực tế là: 33,5 x 10000 = 335000 cm2 = 33,5m2 Bài tập tương tự Tính diện tích phần tô đậm hình sau: ÔN TẬP CHƯƠNG II A CÂU HỎI (HỌC SINH TỰ TRẢ LỜI) Xem hình 156, 157, 158 trả lời câu hỏi sau: a) Vì hình năm cạnh GHIKL (h.156) đa giác lồi? b) Vì hình năm cạnh MNOPQ (h.157) đa giác lồi? c) Vì hình sáu cạnh RSTVXY (h.158) đa giác lồi? Hãy phát biểu định nghĩa đa giác lồi Điền vào chỗ trống câu sau: a) Biết tổng số đo góc đa giác n cạnh + +…+ =(n – 2).180° Vậy tổng số đo tứ giác cạnh … b) Đa giác đa giác có … c) Biết số đo góc đa giác n cạnh , vậy: Số đo góc ngũ giác … Số đo góc lục giác là… Hãy viết công thức tính diện tích hình khung sau: BÀI TẬP 41 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H, I, E, K trung điểm BC, HC, DC, EC (h.159) Tính a) Diện tích tam giác DBE b) Diện tích tứ giác EHIK 42 Trên hình 160 (AC//BF), tìm tam giác có diện tích diện tích tứ giác ABCD 43 Cho hình vuông ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a Một góc vuôn xOy có tia Ox cắt cạnh AB E, tia Oy cắt cạnh BC F (h.161) Tính diện tích tứ giác OEBF 44 Gọi O điểm nằm hình bình hành ABCD Chứng minh tổng diện tích hai tam giác BCO DAO 45 Hai cạnh hình bình hành có độ dài 6cm 4cm Một đường cao có độ dài 5cm Tính độ dài đường cao 46 Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm tương ứng AC, BC Chứng minh diện tích hình thang ABNM diện tích tam giác ABC 47 Vẽ ba đường trung tuyến tam giác (h.162) Chứng minh sáu tam giác 1,2,3,4,5,6 có diện tích Giải 41 a) Ta có DE = DC = cm Nên SDBE = DE.BC = 6.6,8 = 20,4 cm2 b) Ta có: HC = BC = 3,4 cm HI = HC = 1,7 cm EC = DE = cm EK = KC = EC = 3cm Do SEHIK = SEHK + SHKI = EK.HC + HI.KC = EK.HC + EK.HI = EK(HC + HI) = 7,65 cm2 Cách khác: SEHIK = SEHC – SKIC = EC.HC - KC.IC = 7,65 cm2 42 Nối AF ta tam giác ADF có diện tích diện tích tứ giác ABCD Thật vậy, AC// BF nên SABC = SAFC có đáy AC chiều cao khoảng cách hai đường thẳng song song AC, BF Suy diện tích ABO diện tích CFO Do SADF = SAOCD + SCFO = SAOCD + SABO Vậy SADF = SABCD Từ ta suy cách vẽ tam giác có diện tích diện tích tứ giác ABCD cho trước: Vẽ đường chéo AC Từ B vẽ BF // AC (F nằm đường thẳng DC) Nối AF Ta tam giác ADF tam giác có diện tích diện tích tứ giác ABCD 43 Nối OA, OB Hai tam giác AOE BOF có = (cùng phụ với BOE) OA = OB (O tâm đối xứng) = = 45° Nên ΔAOE = ΔBOF Do SOEBF = SOBE + SOBF = SOEB + SOAE = SOAB Vậy SOEBF = SABCD = q2 44 Từ O kẻ đường thẳng d vuông góc với AB cắt AB H1, cắt CD H2 Ta có OH1 AB Mà AB // CD Nên OH2 CD Do SABO + SCDO = OH1.AB + OH2.CD = AB(OH1+ OH2) = AB.H1H2 Nên SABO + SCDO = SABCD (1) Tương tự SBOC + SDAO = SABCD (2) Từ (1) (2) suy SABO + SCDO = SBOC + SDAO 45 Cho hình bình hành ABCD Gọi AH, AK đường cao kẻ từ A đến CD, BC Ta có: SABCD = AB.AH = AD.AK SABCD = 6.AH = 4.AK Một đường cao có độ dài 5cm AK AK < AB (5