Bộ đề hệ phương trình giúp đỡ học sinh THCS ôn thi lớp 10 và HSG. Dành cho mọi đối tượng. Đây cũng chình là lần đầu mình đăng bài viêt mong các bạn góp ý về giá cả và hữu ích của của chúng cho mình biết với, mong các bạn đọc giả nhớ đón xem nhaMong giúp đỡ được cho mọi người nhiều
HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Phương pháp Giải hệ phương trình x = y 2 ( x − y)( x − y) = x − xy + y = 20 y + y − 27 = ⇔ ⇔ x = 3y 4 x + xy + y − 27 = x + xy + y − 27 = 42 y + y − 27 = x = y 549 − −3 + 549 −3 + 127 x = x = y = 20 10 14 − − 549 −3 + 549 −1 + 127 y = y = y = 20 20 14 ⇔ ⇒ Hoặc x = y −3 − 549 −3 − 127 x = x = 10 14 y = + 127 −1 − 127 14 y = −3 − 549 y= 14 20 y = − − 127 14 x + y + z = xy + yz + zx(1) b) 2003 x + y 2003 + z 2003 = 32004 (2) Ta có: PT (1) ⇔ x + y + z − xy − yz − zx = ⇔ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) = ⇔x= y=z Thế vào (2) ta có: x 2003 = 32004 ⇔ x 2003 = 32003 ⇔ x = Do x= y=z = Vậy nghiệm hệ cho là: (x;y;z) = (3;3;3) B Phương pháp cộng, trừ, nhân, chia vế Giải hệ phương trình 5 x + y = 2 ⇔ a) x − y = 6 x = 5 x + y = ⇔ ⇔ x − y = 5 x + y = 2 x= y = −1 3 x = y + x = y +1 x = y + ⇔ ⇔ b) 3 2 x − y + 2( x − y ) = y = 2x + ( x − y )( x + xy + y + 2) = x = y + x − 2x − = ( x + 1)( x − x − 1) = 2 ⇔ ⇔ (do x + xy + y + > ) ⇔ x = y x = y x = y x = −1 1− 1+ 1− x= x = x = x = − 2 ⇔ ⇔ y = −1 y = 1− y = 1+ 1+ x= 2 x = y ( x + xy + y = c) y + yz + z = ⇔ z + zx + x = ( x + 1)( y + 1) = ( y + 1)( z + 1) = x, y, z > ( z + 1)( x + 1) = 10 [ ( x + 1)( y + 1)( z + 1)] = 100 ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = 10 z + = x = ( x + 1)( y + 1) = ( x + 1)( y + 1) = ⇔ ⇔ ⇔ x + = ⇔ y = ( y + 1)( z + 1) = ( y + 1)( z + 1) = y +1 = z = ( z + 1)( x + 1) = 10 ( z + )( x + ) = 10 Vậy hệ cho có nghiệm (x;y;z) = (1;0;4) C Phương pháp đặt ẩn phụ Giải hệ phương trình 2 x + x = + y + y a) Đặt: x – y = a; 2 x + y = x y + xy + ab + a = 5(1) Hệ cho trở thành a b = 6( 2) Từ PT (2) ta suy a ≠ Do đó: b = a x+y=b Thế vào (1) ta được: a = + a = ⇔ a − 5a + = (Vì a ≠ ) ⇔ (a − 2)(a − 3) = ⇔ a a = +) a = ⇒ b = +) a = ⇒ b = x= x + y = 2⇔ Hay x − y = y = −1 11 x= x + y = 3⇔ Hay x − y = y = − − 11 − ; ; 4 6 Tóm lại hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ; x + x y + y = 17 b) x + xy + y = Đặt x + y = a; xy = b Hệ cho trở thành a + b − 3ab = 17 a + b = a = ⇔ b = a = − b a = − b ⇔ ⇔ (b − 2)(b − 3) = b − 5b + = a = Hoặc b = x = − y a = x + y = x = − y x = x = ⇔ ⇔ ⇔ Ta có hệ V b = xy = ( y − 1)( y − 2) = y = y = y − 3y + = x = − y a = x + y = ⇔ +) Ta có hệ (Vô nghiệm) b = xy = y − 2y + = +) Vậy nghiệm hệ cho (x;y) = (1;2); (2;1) D Áp dụng bất đẳng thức Giải hệ phương trình x + y + z = a) 4 x + y + z = xyz Nhận xét: Từ BĐT (a − b) + (b − c) + (c − a) ≥ Ta suy ra: a + b + c ≥ ab + bc + ca(*) áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta x + y + z ≥ x y + y z + z x ≥ xyz ( x + y + z ) ⇔ x + y + z ≥ xyz Đẳng thức xẩy khi: x = y = z = 1 1 ( x; y; z ) = ; ; Vậy hệ cho có nghiệm là: 3 3 x y – 2x + 3y = Bài 1: Giải hệ phương trình 2 x + y x + 2y = Nếu y=0 ⇒ x=0 Vậy x=0, y=0 nghiệm hệ phương trình Với y ≠ hệ cho trở thành x y – 2x + 3y = ⇔ x y + y x + 2y = y x + 2x − y = 2 x + y x + y = Nhận thấy y = −3 không thoả mãn hệ phương trình Xét y ≠ −3 từ (1) ⇒ x = y2 y2 y2 ( ) + y + 2y = thay vào (2) ta có y3 + y3 + y3 + y3 y3 ⇔ y + + 2 = y +2 ( y + 2) Vậy hệ có nghiệm (0;0) (1;-1) ⇔ y + 11 y + = ⇔ (-2 ; −2 3 y = −1 ⇒ y = −1 ⇒ x = −2 y = − ⇒ y = ⇒ x = −2 3 ) x x + y2 + y = Bài 2: Giải hệ phương trình x + + x = y y Đk y ≠ : x 1 x x + + = ⇔ x + = + (1) y y y y x+ x 1 x + = ⇔ x + − = − y y y y (2) 1 1 1 Cộng (1) (2) vế với vế ta được: x + + x + − = ⇔ x + + x + − = y y y y x + ⇔ x + 1 +3=0 x + = −3( 3) y y ⇔ 1 −2=0 x + = 2( ) y y x + y = −3 6 y + y + = 0(*) ⇔ Từ (3) (2) ta có: (*) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm x x = 6y y =6 x + y = −3 y − 2y + = ⇔ ⇔ x = y = 1; hệ có nghiệm x = y = 1; Từ (4) (2) ta có x x = y =1 y ( x + y ) − xy = 19 x + y − xy = 19 S − 3P = 19 ⇔ ⇔ Bài 3: Giải hệ phương trình x + y + xy = −7 S + P = −7 x + y + xy = −7 Giải hệ (1) ta được: ( S = −1; P = −6), ( S = −2; P = −5) x + y = −1 x + y = −2 Giải hệ phương trình xy = −6 xy = −5 (1) x = −1 − x = −1 + ; y = −1 + y = −1 − x + y = x + y = x + y = ⇔ ⇔ Bài 4: Giải hệ phương trình: 5 2 2 2 3 x + y = x + y x + y = ( x + y )( x + y ) x y ( x + y ) = x = −3 ; ta có nghiệm hệ phương trình cho là: y=2 x=2 ; y = −3 Xét trường hợp: x3 + y = x = y = ⇔ Trường hợp a: y =1 x = xy = x + y = x + y = − y + y = ⇔ ⇔ ⇔ hệ vô nghiệm Trường hợp b: x + y = x = − y x = − y x = x = ; Vậy nghiệm hệ là: y =1 y = x + y + xy = Bài 5: Giải hệ phương trình: 3 x + y = x + y Từ (1) ta có (2) có dạng x + y = ( x + y ).1 = ( x + y )( x + y + xy ) ⇔ x + y = x + xy + x y + x y + y + xy ⇔ x y + x y + y = y=0 y=o y = 2 x = ⇔ x = ⇔ ⇔ y (2 x + xy + y ) = ⇔ 2 x + ( x + y) = y = y = − x + Với y=0 thay vào (1) ta đợc x2=1 ⇔ x ± + Với x=0, y=0 thay vào (1) không thỏa mãn ⇒ x=0, y=0 loại Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) (1,0) (-1,0) ax+by =c Bái 6: Cho hệ phương trình: bx+cy =a cx+ay = b (a, b, c tham số) Chứng minh điều kiện cần đủ để hệ phương trình có nghiệm là: a3 + b3 + c3 = 3abc Điều kiện cần : Giả sử HPT cho có nghiệm (x ; y) Khi 2 a + b3 + c = a.a + b.b + c.c = (bx + cy )a + (cx + ay )b + (ax + by )c = (a 2bx + ab y ) + (ac x + ca y ) + (b 2cx + bc y ) = ab(ax + by ) + ca (cx + ay ) + bc (bx + cy ) = abc + cab + bca = 3abc Điều kiện đủ: Giả sử a + b3 + c = 3abc ⇔ (a + b)3 + c − 3ab(a + b) − 3abc = ⇔ (a + b + c ) (a + b) − c (a + b) + c − 3ab(a + b + c ) = (a + b + c) ( a − b) + (b − c) + (c − a) = a + b + c = a + b + c = ⇔ ⇔ a = b = c 2 (a − b) + (b − c) + (c − a) = a+b+c=0 , nhận thấy HPT có nghịêm : x = y = -1 a=b=c, nhận thấy HPT có nghiệm : x = ; y=1 (hoặc x = ; y = 0) Vậy a + b3 + c = 3abc HPT cho có nghiệm y = ( x + ) ( x + ) Bài 7: Giải hệ phương trình: 2 16 x − y + 16 = x + xy − y ⇔ Viết lại phương trình thứ hai của hệ về dạng y − ( x + ) y + ( 16 + 16 x − x ) = Coi là phương trình bậc hai, ẩn y, x là tham số Có ∆ ' = ( x + ) − ( 16 + 16 x − x ) = x Từ đó, tìm được y = − x, y = x + Nếu y = − x , thay vào phương trình thứ nhất, giải được x = 0, x = −2, x = −5 Với x = thì y = − x = Với x = −2 thì y = − x = Với x = −5 thì y = − x = Nếu y = x + , thay vào phương trình thứ nhất, giải được x = 0, x = −2, x = 19 Với x = thì y = x + = Với x = −2 thì y = x + = −6 Với x = 19 thì y = x + = 99 Vậy, các nghiệm của hệ là ( x; y ) = ( 0; ) , ( −2;6 ) , ( −2; −6 ) , ( −5;9 ) , ( 19;99 ) 2 x + y5 = 11 Bài 8: Giải hệ phương trình : x + y = Ta có x5 + y5 = (x5 + x2y3 + x3y2 + y5 ) – ( x2y3 +x3y2) = (x3 + y3) (x2 +y2 ) – x2y2(x+y) Vì x+ y = ⇒ x5+y5 = (x2 – xy +y2)(x2 + y2) – x2y2 = ( x2 + 2xy + y2 – 3xy)(x2 + y2 + 2xy –2xy) – x2y2 = (1- 3xy)(1-2xy) – x2y2 x5 + y5 = 5(xy)2 – 5(xy) + ↔ 5(xy)2 – 5(xy) + = 11 xy = ↔ (xy)2 – (xy) – 10 = ↔ xy = -1 x + y = ↔ (x,y) = ( + ; − );( − ; + ) 2 2 xy = −1 Với xy = -1 ta có hệ phtrình Với xy = ta có hệ phương trình x + y = xy = (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( + ; − ) ( − ; + ) 2 (a + b) = 6a b − 215 2 ab(a + b ) = −78 Bài 9: Giải hệ phương trình: 2 2 Đặt (a + b) = x; a − b = y ( x ≥ 0) 2 2 x = y −215 x −6 y +215 = x −6 y +215 = ⇔ ⇔ Hpt ⇔ y ( x −2 y ) = −78 xy −2 y +78 = x −3 xy −19 = x −19 x − x − y + 215 = x + 721x − 722 = 3x + 215 = ⇔ ⇔ ⇔ x −19 x −19 x −19 y = y = 3x 3x y= 3x (a + b) = x = a = a = −3 a = −2 a = ⇔ ⇔ ⇔ ∨ ∨ ∨ y = −6 b = −3 b = b = b = −2 ab = y − ( x + 1) y − x + x − = x + xy − y − x + y + = ⇔ Bài 10: Giải hệ phương trình: 2 y x + y + x + y − = x + y + x+ y−4=0 y − ( x + 1) y − x + x − = ( y + x − ) ( y − x + 1) = ⇔ ⇔ 2 2 x + y + x + y − = x + y + x + y − = x + y − = x = y =1 x + y + x + y − = ⇔ ⇔ x = x = −4 / y − 2x + = V x + y + x + y − = y = y = −13 / Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1; 1); − ; - 13 ÷ 5 x + y +1 x + y + =2 Bài 11: Giải hệ phuơng trình: x + y x + y + 3 x + y = x + y +1 x + y + =2 Đặt ĐKXĐ hệ x + y x + y +1 (x+2y) (x+y+1) ≠ 3 x + y = x + y +1 x + y ( x + y + 1) + ( x + y ) + =2⇔ =2 x + y x + y +1 ( x + y + 1)( x + y ) ⇔ ( x + y + 1) + ( x + y ) = 2( x + y + 1)( x + y ) + Biến đổi phương trình ⇔ [ ( x + y + 1) − ( x + y ) ] = ⇔ ( − y ) = ⇔ y = 2 + Thay y = vào phương trình 3x + y = ta tìm đợc x = + Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm hệ (1; 1) ( x + 1) ( y + ) = (1) Bài 12: Giải hệ phương trình: ( y + ) ( z + 3) = (2) (I) ( z + 3) ( x + 1) = (3) Nhân (1) (2) (3) ta có:[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36 (x + 1)(y + 2)(z + 3) = (x + 1)(y + 2)(z + 3) = -6 z +3 = z = Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = hệ (I) là: x + = ⇔ x = y + = y = z + = −3 z = −6 Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - hệ (I) là: x + = −1 ⇔ x = −2 y + = −2 y = −4 Vậy nghiệm hệ (0 ; ; 0) (-2 ; -4 ; -6) 1 x + y + + = x y Bài 13: Giải hệ phương trình: xy + = xy Điều kiện xy ≠ Hệ cho Giải PT(2) ta được: Từ (1)&(4) 2[xy ( x + y ) + ( x + y )] = xy (1) (2) 2( xy ) −5 xy + = xy = (3) xy = (4) Từ (1)&(3) x =1 x + y = y = ⇔ có: xy = x = y =1 x =1 y = x+y = 2 ⇔ có: 1 xy = x = y =1 Vậy hệ cho có nghiệm là: ( x; y ) = (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1) x3 = x + y Bài 14: Giải hệ phương trình y = y + x x = y x = − y 3 2 2 Từ hệ ta có x (2 y + x) = y (2 x + y ) ⇔ ( x − y ) ( xy + x + y ) = ⇔ ( x + y ) ( x − y ) = ⇔ * Với x = y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 3; );( − 3; − ) * Với x = - y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 1; −1 );( −1;1 ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (0; 0); 3; );( − 3; − );( −1;1 );( 1; −1 ) Bài 15: GIẢI TẠI LỚP - GỬI SAU Bài 16: GIẢI TẠI LỚP - GỬI SAU 8 ( x + y ) − 10 ( x − y ) − ( x − y ) = ( I) Bài 17: Giải hệ phương trình: 2 x + y − = 2x − y y 2 − y 2 − y −3 − y÷ = −10 ÷÷ ÷ ÷ y =0 −y ⇔ Nếu x = ( I ) ⇔ : PTVN y = − = −y 2 − y ÷ Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm ±y Nếu x ≠ Chia vế phương trình (1) cho ( x + y ) ( x − y ) Ta có : 2x − y 2x + y 8 ( x + y ) − 10 ( x − y ) − ( x − y ) = − 10 − = (*) 2x − y 2x + y ⇔ 2 x + y − = 2x + y − = (**) x − y 2x − y * Điều kiện xác định: x ≠ Đặt t = 2x + y −1 ( *) ⇔ 8t − 10 − = ⇒ t − ÷ t + ÷ = ⇔ t = Ê; t= 2x − y t 2x + y = ⇒x= y 2x − y 2 Thay vào (**) Ta có: 2× y + y − = ⇔ 6y − =2 2y 2× y − y 1 −1 ⇒ 12y − y − = ⇔ y − ÷ y + ÷ = ⇔ y = ; y = 6 + Với t = 5 ⇒x= × = ( thỏa mãn ĐKXĐ) 2 −1 −1 −5 ⇒x= × = • Với y = ( thỏa mãn ĐKXĐ) 6 12 x + y −1 −3 −1 = ⇒x= y Thay vào (**) Ta có : + Với t = 2x − y 10 −3 2× y + y − =2 −3 ⇒ 8y − 20 y + 25 = : Phương trình vô nghiệm 10 2× y − y 10 −5 −1 5 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm: ; ÷ ; ÷ 4 2 • Với y = Bài 18: Giải hệ phương trình: Từ (1) ⇒ 1 1 x + y + z = (1) (I ) ĐK x; y; z ≠ − = (2) xy z 1 2 + 2+ 2+ + + = Thế vào (2) ta được: x y z xy xz yz 1 1 2 1 2 − = 2+ 2+ 2+ + + ⇔ 2+ 2+ 2+ + =0 xy z x y z xy xz yz x y z xz yz 1 x + z = 1 1 1 ⇔ ( + + 2)+( + + 2) = ⇔ + ÷ + + ÷ = ⇔ x xz z y yz z x z y z 1 + = y z 1 Thay vào hệ (I) ta được: ( x; y; z ) = ( ; ; − ) (TM ) 2 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1; 1); − ; - ⇔ x = y = −z 13 ÷ 5 (2 x )3 + ÷ = 18 8 x3 y + 27 = 18 y y Bài 19: Giải hệ phương trình (2) ⇔ 4 x y + x = y 3 2 x x + ÷= y y Đặt a = 2x; b = 3− 3+ a + b = ; ÷, ÷ (2) ⇔ ab = Hệ cho có nghiệm: ; y 3+ ÷ 3− ÷ Bài 20: GIẢI TẠI LỚP - GỬI SAU 3xy = ( x + y ) Bài 21) Giải hệ phương trình : 5yz = ( y + z ) 4zx = ( z + x ) + Hiển nhiên hệ có nghiệm x = y = z = x + y 1 xy = x + y = y + z 1 = ⇔ (II) + = + Với xyz ≠ (I) viết lại: yz y z z + x 1 = + = zx z x Cộng ba phương trình hệ (II) theo vế ta được: 1 11 1 11 ⇔ + + = 2 + + ÷= (*) x y z x y z Trừ phương trình (*) cho phương trình hệ (II) theo vế ta có : x = 1, y = 2, z = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0; 0) (1; 2; 3) x + y + z + t = 50(1) x − y + z − t = −24(2) Câu 22 Giải hệ phương trình xz = yt x − y + z + t = xz = yt = a x + z = y − t = b Đặt 2 ( x + z ) = 13 + xz a = x + z = 13 b = 13 + 2a ⇔ ⇔ ⇔ Từ (1); (2) ⇒ 2 b = ±5 y + t = 37 b = 37 − 2a ( y − t ) = 37 − yt x = a = xz = yt = xz = yt = z = ⇒ ⇒ ⇒ Với Xét Xét x = b = x + z = y − t = x + z = y −t = z = a = xz = yt = ⇒ b = −5 x + z = y − t = −5 Với y = −1 t = −6 y = t = x = −2 xz = yt = z = −3 ⇒ ⇒ Xét Xét x = −3 x + z = −5 y − t = −5 z = −2 y = t = y = −6 t = −1 Vậy cặp nghiệm hệ là: (2; -1; 3; -6); (2; 6; 3; 1); (3; -1; 2; -6); (3; 6; 2; 1); (-2; 1; -3; 6); (-2; 1; -3; 6); (-2; -6; -3; -1); (-3; 1; -2; 6); (-3; -6; -2; -1) Bài 23: Giải hệ phương trình: + Từ (3): x + y + z = 2 x + y3 + z = 16 2 x + y + z = x + y + z = 2 ⇔( x + y + z ) =16 (1) (2) (3) + Từ (1) (3) ta có: ( +y + z ) − ( x + y3 + z ) = Biến đổi tương đương ta đưa được: 3(x + y)(y + z)(x + z) = + Xét x + y = thay vào (3) ta z = 2 , thay vào (2) x = 0; y = Do ta (x ; y; z) = (0 ; 0; 2 ) Xét y + z = 0, giải tương tự ta được: (x ; y: z) = (2 ; 0; 0) Xét z + x = 0, giải tương tự ta được: (x ; y: z) = (0; 2 ; 0) + Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y; z) = (0 ; 0; 2 ); (2 ; 0; 0);(0; 2 ; 0) y − x + 27 x − 27 = Bài 24: Giải hệ phương trình: z − y + 27 y − 27 = x − z + 27 z − 27 = Cộng vế phương trình ta được: (x + 3)2 + (y-3)2 + (z- 3)2 = (4) 27 >0⇒ y> 0; tương tự : x > 0; z > Mặt khác: (1) ⇒ 9x2- 27x + 27 = y3= ( x − ) + Xét x ≥ từ (3) ⇒ 9z2 – 27z = x3- 27 ≥ 0⇒ 9z (z – 3) ≥ ⇒ z ≥ Tương tự y ≥ Từ (4) ⇒ x = y= z = Xét < x < Từ (3) ⇒ 9z2- 27z = x3 – 27 < ⇒ 9z (z-3) < ⇒ z < Từ (4) ⇒ hệ phương trình vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm (x= 3; y = 3; z = 3) x + x (13 − y − z ) + x(2 y + z − yz − 26) + yz − y − z + 30 = (1) (2) Câu 25 Giải hệ phương trình: x + x (17 − y − z ) − x(2 y + z + yz − 26) − yz + y + z − = x − 11x + 28 ≤ (3) + Từ (3) ta có: ≤ x ≤ (*) x + x (13 − u ) + x(2u − 2v − 26) + 5v − 7u + 30 = u = y + z +Đặt (1) (2) trở thành: v = yz x + x (17 − u ) − x(2u + 2v − 26) − 3v + u − = u (2 x − x − 7) + v (5 − x ) + x + 13 x − 26 x + 30 = u = x + y + z = x + ⇔ ⇔ ⇔ 2 u (1 − x − x ) + v (−2 x − 3) + 17 x + 26 x − = v = x + yz = x + Suy y, z nghiệm phương trình: X − ( x + 5) X + x + = x ≤ kết hợp với (*) ⇒ x = x ≥ PT có nghiệm ⇔ ∆ = ( x + 5) − 4(5 x + 1) = x − 10 x + 21 ≥ ⇔ Thay x = vào phương trình ta được: X − 12 X + 36 = ⇔ ( X − 6) = ⇔ X = ⇔ y = z = x = Vậy nghiệm hệ là: x = z = ( x − 2)( x + 1) = − y x − 3x − = − y Bài 26: Tìm x, y, z thỏa mãn hệ sau: y − 3y − = − 2z ⇔ ( y − 2)( y + 1) = 2(2 − z ) ( z − 2)( z + 1) = 3(2 − x) z − 3z − = − 3x Nhân vế phương trình với ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) (x + 1) (y + 1) (z + 1) + = ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) = ⇔ x = y = z = Với x = y = z = thay vào hệ ta x = y = z = [ ] Vậy: với x = y = z = thỏa mãn hệ cho x + Bài 27: Giải hệ phương trình : x+ Điều kiện y ≠ x + =3 y2 y x + =3 y y x 1 x x + + = ⇔ x + = + (1) y y y y x+ x 1 x + = ⇔ x + − = − y y y y (2) 1 1 1 Cộng (1) (2) vế với vế ta được: x + + x + − = ⇔ x + + x + − = y y y y x + x + Từ 1 +3 =0 x + y = −3( 3) y ⇔ 1 −2 =0 x + = 2( ) y y x + y = −3 ⇔ (3) (2) ta có: x = y 6 y + y + = 0(*) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm x = y x + y = −3 y − y + = ⇔ ⇔ x = y = 1; hệ có nghiệm x = y = 1; Từ (4) (2) ta có x =1 x = y y 2 + 3x = y Bài 28: Giải hệ phương trình: x3 − = y 2 + x = z ⇒ ( x − z ) = z − x3 2 + z = x ⇔ ( x − z ) x + xz + z + = ⇔ x = z (vì x + xz + z + > 0, ∀x, z ) Đặt = z Hệ cho trở thành y ( ) x = −1 x = Từ ta có phương trình: x − 3x − = ⇔ Vậy hệ cho có nghiệm: ( x, y ) = (−1; −2), ( 2,1)