Bộ đề hệ phương trình giúp đỡ học sinh THCS ôn thi lớp 10 và HSG. Dành cho mọi đối tượng. Đây cũng chình là lần đầu mình đăng bài viêt mong các bạn góp ý về giá cả và hữu ích của của chúng cho mình biết với, mong các bạn đọc giả nhớ đón xem nhaMong giúp đỡ được cho mọi người nhiều
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A Phương pháp thế.
Giải các hệ phương trình
2
( 2 )( 3 ) 0
4 2 6 27 0
=
− +
=
=
− +
=
⇔
0 27 6 42 3
0 27 6 20 2
2
2
y y
y x
y y
y x
−
−
=
+
=
=
−
−
=
−
=
=
⇔
14
127 1
14
127 1
3
20
549 3
20
3 549
2
y
y
y
x
y
y
y
x
3 549 10
3 549 20
3 549 10
3 549 20
x y x y
− +
=
= − +
⇒ − − =
− −
=
Hoặc
3 3 127 14
1 127 14
3 3 127 14
1 127 14
x y x y
− +
=
=− +
− −
=
− −
=
b)
= +
+
+ +
= +
+
) 2 ( 3
) 1 ( 2004 2003
2003 2003
2 2
2
z y
x
zx yz xy z y
x
Ta có:
PT (1) ⇔2x2 +2y2 +2z2 −2xy−2yz−2zx=0⇔(x−y)2 +(y−z)2 +(z−x)2 =0
z y
⇔ Thế vào (2) ta có: 3x2003 = 3 2004 ⇔ x2003 = 3 2003 ⇔ x=3
Do đó x= y=z = 3
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (x;y;z) = (3;3;3)
B Phương pháp cộng, trừ, nhân, chia các vế
Giải các hệ phương trình
a) 5 3 2 2
6 2 2
=
−
= +
2 2 6
4 2 6
5
y x
y
5 3 2 2
x
+ =
−
=
= 2 1 6 1
y x
b)
+
=
+
=
1 2
1 2
3
3
x
y
y
3 3
2 1 2( ) 0
= +
⇔
− + − =
= + + +
−
+
=
⇔
0 ) 2 )(
(
1 2
2 2
3
y xy x y x
y x
=
+
=
⇔
y
x
y
(dox2 +xy+ y2 +2>0)
=
=
−
−
⇔
y x
x
=
=
−
− +
⇔
y x
x x
=
+
=
−
=
−
=
⇔
y
x
x
x
x
2
5 1
2
5 1
1
−
=
−
=
⇔
1
1
y
x
hoặc
−
=
−
= 2
5 1 2
5 1
y
x
hoặc
+
=
+
= 2
5 1 2
5 1
y x
Trang 2c)
4 9
x xy y
y yz z
z zx x
+ + =
+ + = ⇔
+ + =
= + +
= + +
= + +
10 ) 1 )(
1 (
5 ) 1 )(
1 (
2 ) 1 )(
1 (
x z
z y
y x
trong đó x y z, , > 0
= +
+
= + +
= + +
= + + +
⇔
10 ) 1 )(
1
(
5 ) 1 )(
1
(
2 ) 1 )(
1
(
100 )
1 )(
1 )(
1
x
z
z
y
y
x
z y
x
= + +
= + +
= + +
= + + +
⇔
10 ) 1 )(
1 (
5 ) 1 )(
1 (
2 ) 1 )(
1 (
10 ) 1 )(
1 )(
1 (
x z
z y
y x
z y x
= +
= +
= +
⇔
1 1
2 1
5 1
y x
z
=
=
=
⇔
4 0 1
z y x
Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x;y;z) = (1;0;4)
C Phương pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phương trình
a)
+ +
= +
+ +
= +
6
5
2 2
3 3
2 2
xy y x y x
y y x
x
Đặt: x – y = a; x + y = b
Hệ đã cho trở thành
=
= + ) 2 ( 6
) 1 ( 5
2b a
a ab
Từ PT (2) ta suy ra a ≠0 Do đó: 2
6
a
b= Thế vào (1) ta được:
5
6 +a =
2 − + =
⇔a a (Vì a ≠0)⇔ (a− 2 )(a− 3 ) = 0
=
=
⇔
3
2
a a
+)
2
3
2 ⇒ =
−
=
=
⇔
=
−
= +
4 1 4 7 2
2 3
y
x y
x
y x
+)
3
2
3 ⇒ =
−
=
=
⇔
=
−
= +
6 7 6 11 3
3 2
y
x y
x
y x
Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y) =
−
−
6
7
; 6
11
; 4
1
; 4 7
b)
= + +
= + +
5
17 3 3 3 3
y xy x
y y x x
Đặt x + y = a; xy = b
Hệ đã cho trở thành
= +
=
− +
5
17 3
3 3
b
a
ab b
a
= +
−
−
=
⇔
0 6 5
5
2 b b
b a
=
−
−
−
=
⇔
0 ) 3 )(
2 (
5
b b
b a
=
=
⇔
2
3
b
a
Hoặc
=
= 3
2
b a
+)
=
=
2
3
b
a
Ta có hệ
=
= + 2
3
xy
y x
= +
−
−
=
⇔
0 2 3
3
y
y x
=
−
−
−
=
⇔
0 ) 2 )(
1 (
3
y y
y x
⇔
=
= 1
2
y
x
V
=
= 2
1
y x
+)
=
=
3
2
b
a
Ta có hệ
=
= + 3
2
xy
y x
= +
−
−
=
⇔
0 3 2
2
y
y x
(Vô nghiệm) Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x;y) = (1;2); (2;1)
D Áp dụng bất đẳng thức
Giải các hệ phương trình
Trang 3a)
= + +
= + +
xyz z
y x
z y x
4 4 4
1
Nhận xét: Từ BĐT (a−b)2 +(b−c)2 +(c−a)2 ≥0
Ta suy ra: a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca(*)
áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta được
2 2 2 2 2 2 4 4
⇔ x4 + y4 +z4 ≥xyz
Đẳng thức xẩy ra khi:
3
1
=
=
= y z x
Vậy hệ đã cho có nghiệm là:
=
3
1
; 3
1
; 3
1 )
;
; (x y z
Bài 1: Giải hệ phương trình
x y – 2x 3y 0
x y x 2y 0
Nếu y=0 ⇒ x=0 Vậy x=0, y=0 là nghiệm của hệ phương trình
Với y≠0 hệ đã cho trở thành
x y – 2x 3y 0
x y y x 2y 0
2 2
2 0
Nhận thấy y= − 3 2 không thoả mãn hệ phương trình
Xét y≠ − 3 2 từ (1) ⇒
2 3
2 +
=
y
y
2 )
2
2 2 2 3
2
= + +
+
y y y
y
2 )
2
3 2
3
3
=
+
+
y y
y
3
3
3
2 3
= − ⇒ = − ⇒ =
−
= − ⇒ = ⇒ = −
Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0) (1;-1) (-2 3;
3 3
2
− )
Bài 2: Giải hệ phương trình
2 2
1
3 1
3
x x
x x
+ + =
+ + =
Đky≠0:
y
x y
x y
x y
x + 1 + =3⇔ + 1 =3+
2 2
y
x y
x y
x y
x+ 1 + =3⇔ + 1 −3=− (2) Cộng (1) và (2) vế với vế ta được: 1 1 6 0
2
=
−
+ +
+
y
x y
+ −
+ +
⇔
y
x y
x
⇔
=
−
+
= +
+
0 2
1
0 3
1
y
x
y
x
⇔
( ) ( )
= +
−
= +
4 2 1
3 3 1
y x
y x
Từ (3) và (2) ta có: ⇔
=
−
= + 6
3 1
y x y
x
=
= + +
y x
y y
6
(*) 0 1 3
6 2
(*) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm
Trang 4Từ (4) và (2) ta có ⇔
=
−
= + 1
3 1
y x y x
=
= +
−
y x
y
; 1
=
=
⇔ x y hệ có 1 nghiệm x=y=1;
Bài 3: Giải hệ phương trình
7
+ + = −
3 19
3 19
7 7
S P
⇔ + + = − ⇔ + = − (1) Giải hệ (1) ta được: (S = −1; P= −6), (S = −2; P= −5)
Giải các hệ phương trình 1
6
x y xy
+ = −
= −
2 5
x y xy
+ = −
= −
ta có các nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 3; 2 ; 1 6 ; 1 6
= − + = − −
Bài 4: Giải hệ phương trình:
3 3
1
+ =
Xét các trường hợp:
Trường hợp a:
1 0
x
y xy
=
+ = ⇔
0 1
y x
=
=
Trường hợp b:
0
+ = ⇔ + = ⇔− + = ⇔
Vậy nghiệm của hệ là: 0; 1
= =
Bài 5: Giải hệ phương trình:
+
= +
= + +
y x y x
xy y x
3
1 3
3
2 2
Từ (1) ta có (2) có dạng
3
3 y
x + =(x+3 ).1 (y = +x 3 )(y x2+y2+xy)
⇔ x3 +y3 =x3 +xy2 +x2y+3x2y +3y3+3xy2 ⇔ 4x2y +4x y2 +2y3 =0
0 ) 2
2
(
2 2 + + 2 =
= + +
=
0 ) (
0
2
2 x y x
y
⇔
−
=
=
=
x y x
o y
0 ⇔
0 0 0
y x y
=
=
=
+ Với y=0 thay vào (1) ta đợc x2=1⇔x± 1
+ Với x=0, y=0 thay vào (1) không thỏa mãn ⇒ x=0, y=0 loại
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x,y) là (1,0) và (-1,0)
Bái 6: Cho hệ phương trình:
ax+by =c bx+cy =a cx+ay =b
(a, b, c là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là: a3 + b3 + c3 = 3abc
Điều kiện cần : Giả sử HPT đã cho có nghiệm (x ; y) Khi đó
3 3 3 2 2 2
a + + =b c a a +b b +c c =(bx cy a+ ) 2 +(cx ay b+ ) 2 +(ax by c+ ) 2
Điều kiện đủ: Giả sử
Trang 53 3 3 3 ( )3 3 3 ( ) 3 0
1( ) ( ) ( ) ( ) 0
2
( ) ( ) ( ) 0
a b c
⇔ − + − + − = ⇔ = =
a+b+c=0 , nhận thấy HPT có nghịêm : x = y = -1
a=b=c, nhận thấy HPT có nghiệm : x = 0 ; y=1 (hoặc x = 1 ; y = 0)
Vậy nếu a3 + + =b3 c3 3abc thì HPT đã cho có nghiệm
Bài 7: Giải hệ phương trình: 2 ( ) ( 2 )
16 8 16 5 4
Viết lại phương trình thứ hai của hệ về dạng 2 ( ) ( 2)
4 8 16 16 5 0
Coi đây là phương trình bậc hai, ẩn y x, là tham số
' 2x 4 16 16x 5x 9x
Từ đó, tìm được y= −4 x y, =5x+4
Nếu y= −4 x, thay vào phương trình thứ nhất, giải được x=0,x= −2,x= −5
Với x=0 thì y= − =4 x 4 Với x= −2 thì y= − =4 x 6 Với x= −5 thì y= − =4 x 9
Nếu y=5x+4, thay vào phương trình thứ nhất, giải được x=0,x= −2,x=19
Với x=0 thì y=5x+ =4 4 Với x= −2 thì y=5x+ = −4 6 Với x=19thì y=5x+ =4 99 Vậy, các nghiệm của hệ là (x y; ) ( ) (= 0; 4 , 2;6 , 2; 6 , 5;9 , 19;99− ) (− − ) (− ) ( )
Bài 8: Giải hệ phương trình :
5 5
x y 11
1
x y
+ =
Ta có x5 + y5 = (x5 + x2y3 + x3y2 + y5 ) – ( x2y3 +x3y2) = (x3 + y3) (x2 +y2 ) – x2y2(x+y)
Vì x+ y = 1
⇒ x5+y5 = (x2 – xy +y2)(x2 + y2) – x2y2 = ( x2 + 2xy + y2 – 3xy)(x2 + y2 + 2xy –2xy) – x2y2
= (1- 3xy)(1-2xy) – x2y2
x5 + y5 = 5(xy)2 – 5(xy) + 1 ↔ 5(xy)2 – 5(xy) + 1 = 11
xy = 2↔(xy)2 – (xy) – 10 = 0 ↔ xy = -1
Với xy = -1 ta có hệ phtrình 1
1
x y xy
+ =
= −
↔ (x,y) = (1+2 5 ;1−2 5 );(1−2 5 ;1+2 5 ) Với xy = 2 ta có hệ phương trình x + y = 1 xy = 2 (vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (
2 5
2 5
1 − ) và (
2 5
2 5
Bài 9: Giải hệ phương trình:
−
= +
−
= +
78 ) (
215 6
) (
2 2
2 2 4
b a ab
b a b
a
Đặt (a+b)2 = x;a−b= y(x≥0)
=
−
−
= +
−
⇔
= +
−
= +
−
⇔
−
=
−
−
=
⇔
0 19 3
0 215 6
0 78 2
0 215 6
78 )
2 (
215 6
2
2 2
2
2 2
2 2
xy x
y x
y xy
y x
y x y
y x
−
=
=
∨
=
−
=
∨
=
−
=
∨
−
=
=
⇔
=
= +
⇔
−
=
=
⇔
−
=
=
−
+
⇔
−
=
= +
−
−
⇔
−
=
= +
−
⇔
2
3 3
2 2
3 3
2 6
1 ) ( 6 1
3 19
0 722 721
3 19
0 215 3
19 6
3 19
0 215 6
2
2
2 4
2
2 2
2
2 2
b
a b
a b
a b
a ab
b a y
x
x
x y
x x
x
x y
x
x x
x
x y
y x
Trang 6Bài 10: Giải hệ phương trình: 2 2 2 ( ) 2
1 2 5 2 0
y
+ + + − =
2 2
2 2
2 2 1 0
1 2 5 2 0
4 0
4 0
+ + + − =
2 2
2 2
2 0
4 0
2 1 0
4 0
x y
+ − =
+ + + − =
⇔ − + = + + + − =
1 1
1 4 / 5
1 13 / 5
x y
V
=
=
⇔ = = −
= = −
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1; 1); 4; -13
5 5
Bài 11: Giải hệ phuơng trình:
2
x y
+ =
Đặt ĐKXĐ của hệ
2
x y
+ =
là (x+2y) (x+y+1) ≠ 0
+ Biến đổi phương trình
(x y 1) (x 2 )y 2(x y 1)(x 2 )y
(x y 1) (x 2 )y 0 1 y 0 y 1
+ Thay y = 1 vào phương trình 3x + y = 4 ta tìm đợc x = 1
+ Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của hệ là (1; 1)
Bài 12: Giải hệ phương trình:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2 (1)
2 3 6 (2)
3 1 3 (3)
+ + =
+ + =
+ + =
(I)
Nhân (1) (2) và (3) ta có:[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36
(x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hoặc (x + 1)(y + 2)(z + 3) = -6
Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hệ (I) là:
0
3 3
0
1 1
0
2 2
z z
x x
y y
+ = =
+ = ⇔ =
+ = =
Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - 6 hệ (I) là:
6
2
4
z z
x x
y y
+ = − = −
+ = − ⇔ = −
+ = − = −
Vậy nghiệm của hệ là (0 ; 0 ; 0) và (-2 ; -4 ; -6)
Bài 13: Giải hệ phương trình:
1 1 9
2
1 5 2
x y
xy xy
+ + + =
+ =
Trang 7Điều kiện xy≠0 Hệ đã cho 2[ (2 ) ( )] 9 (1)
+ + + =
Giải PT(2) ta được:
2 (3) 1 (4) 2
xy xy
=
=
Từ (1)&(3) có:
1 2 3
1
x y
x y
y
=
= + =
Từ (1)&(4) có:
1 1 3
2 2
1
x y
x y
y
=
+ = =
= =
=
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ; ) (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1)x y =
Bài 14: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
= + .
Từ hệ ta có x3(2y x+ =) y3(2x y+ )⇔(x2−y2) 2( xy x+ +2 y2) =0 (x y) (3 x y) 0 x y
=
⇔ + − = ⇔ = −
* Với x = y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); ( 3; 3);(− 3;− 3)
* Với x = - y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); (1; 1− );(−1;1)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (0; 0); 3; 3);(− 3;− 3);(−1;1);(1; 1− )
Bài 15: GIẢI TẠI LỚP - GỬI SAU
Bài 16: GIẢI TẠI LỚP - GỬI SAU
Bài 17: Giải hệ phương trình:
( )
2
2
I
x y
x y
* Điều kiện xác định: ≠
2
y
x
Nếu =−
2
y
x thì ( )
2 2
0
1 2
2 2
y
y I
y y
y
−
: PTVN
Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm
Nếu ≠ ±
2
y
x Chia 2 vế phương trình (1) cho (2x y+ ) (2x y Ta có :− )
Trang 8Đặt 2
2
x y
t
x y
+
=
− thì ( )* ⇔ − − =8 10t 3 0
t
+ Với = 3
2
x y
x y
−
Thay vào (**) Ta có:
× −
5
2
y
y y
y x ( thỏa mãn ĐKXĐ)
4
t= − thì 2 1 3
−
x y
x y
x y Thay vào (**) Ta có :
3
10
−
y y
y y
2 8y 20y 25 0
⇒ − + = : Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: − −
5 1;
2 6 và
5 1;
4 2
Bài 18: Giải hệ phương trình:
2
1 1 1
2 (1) ( )
2 1
4 (2)
I
+ + =
ĐK x y z; ; ≠0
Từ (1) 2 2 2
1 1 1 2 2 2
4
⇒ + + + + + = Thế vào (2) ta được:
2 1 1 1 1 2 2 2
1 2 1 1 2 1
2 2
1 1 1 1
0
⇔ + ÷ + + ÷ =
1 1
0
1 1
0
+ =
+ =
Thay vào hệ (I) ta được: ( ; ; ) ( ; ;1 1 1) ( )
2 2 2
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (1; 1); 4; -13
5 5
Bài 19: Giải hệ phương trình
x
y
3
Trang 9
Đặt a = 2x; b = 3y (2) ⇔ + = =a b ab 1 3 Hệ đã cho có nghiệm: 3 4 5; 6 , 3 4 5; 6
Bài 20: GIẢI TẠI LỚP - GỬI SAU
Bài 21) Giải hệ phương trình :
3xy = 2 x+ y 5yz = 6 y + z 4zx = 3 z + x
+ Hiển nhiên hệ có nghiệm là x = y = z = 0
+ Với xyz ≠ 0 thì (I) được viết lại:
x y 3
xy 2
y z 5
yz 6
z x 4
zx 3
+
+
1 1 3
x y 2
1 1 5
y z 6
1 1 4
z x 3
+ =
+ =
+ =
Cộng ba phương trình của hệ (II) theo vế ta được:
1 1 1 11
2
1 1 1 11
Trừ phương trình (*) cho từng phương trình của hệ (II) theo vế ta lần lượt có : x = 1, y = 2, z = 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0; 0) và (1; 2; 3)
Câu 22 Giải hệ phương trình
50(1) 24(2) 0
x y z t
+ + + =
− + − = −
=
− + + =
Đặt xz yt a
= =
+ = − =
Từ (1); (2) ⇒
2 2
2 2
13 37
x z
y t
+ =
+ =
( )
2 2
13 2
37 2
+ = +
− = −
2 2
13 2
37 2
= +
= −
6 5
a b
=
= ±
Với b a=56
=
6 5
= =
+ = − =
6 5
xz
x z
=
+ =
2 3 3 2
x z x z
=
=
=
=
Xét yt y t=6 5
− =
1 6 6 1
y t y t
= −
= −
=
=
Với 6
5
a
b
=
= −
6 5
= =
+ = − = −
6 5
xz
x z
=
+ = −
2 3 3 2
x z x z
= −
= −
= −
= −
Xét 6
5
yt
y t
=
− = −
1 6 6 1
y t y t
=
=
= −
= −
Vậy các cặp nghiệm của hệ là: (2; -1; 3; -6); (2; 6; 3; 1); (3; -1; 2; -6); (3; 6; 2; 1);
(-2; 1; -3; 6); (-2; 1; -3; 6); (-2; -6; -3; -1); (-3; 1; -2; 6); (-3; -6; -2; -1)
Bài 23: Giải hệ phương trình:
x y z 16 2 (1)
x y z 8 (2)
x y z 2 2 (3)
+ + =
+ + =
+ Từ (3): x + y + z = 2 2 ( )3
x y z 16 2
Trang 10+ Từ (1) và (3) ta có: ( )3 ( 3 3 3)
Biến đổi tương đương ta đưa về được: 3(x + y)(y + z)(x + z) = 0
+ Xét x + y = 0 thay vào (3) ta được z = 2 2, thay vào (2) được x = 0; y = 0
Do đó ta được (x ; y; z) = (0 ; 0; 2 2)
Xét y + z = 0, giải tương tự ta được: (x ; y: z) = (2 2; 0; 0)
Xét z + x = 0, giải tương tự ta được: (x ; y: z) = (0; 2 2; 0)
+ Vậy hệ phương trình trên có 3 nghiệm: (x; y; z) = (0 ; 0; 2 2); (2 2; 0; 0);(0; 2 2; 0)
Bài 24: Giải hệ phương trình:
9 27 27 0
9 27 27 0
9 27 27 0
Cộng từng vế 3 phương trình ta được: (x + 3)2 + (y-3)2 + (z- 3)2 = 0 (4)
Mặt khác: (1) ⇒ 9x2- 27x + 27 = y3= 9 (
4
27 ) 2
3 2+
−
x >0⇒ y> 0; tương tự : x > 0; z > 0
Xét x ≥ 3 từ (3) ⇒ 9z2 – 27z = x3- 27 ≥ 0⇒ 9z (z – 3) ≥ 0 ⇒ z ≥ 3
Tương tự y ≥ 3 Từ (4) ⇒ x = y= z = 3
Xét 0 < x < 3 Từ (3) ⇒ 9z2- 27z = x3 – 27 < 0 ⇒ 9z (z-3) < 0 ⇒ z < 3
Từ (4) ⇒ hệ phương trình vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x= 3; y = 3; z = 3)
Câu 25 Giải hệ phương trình:
3 2
3 2 2
(13 ) (2 2 2 26) 5 7 7 30 0 (1) (17 ) (2 2 2 26) 3 2 0 (2)
− + ≤
+ Từ (3) ta có: 4≤ ≤x 7 (*)
+Đặt u y z
= +
=
thì (1) và (2) trở thành:
3 2
3 2
(13 ) (2 2 26) 5 7 30 0
(1 2 ) ( 2 3) 17 26 2 0
− − + − − + + − =
Suy ra y, z là nghiệm của phương trình: X2− +(x 5)X +5x+ =1 0
PT có nghiệm ⇔ ∆ = +(x 5)2−4(5x+ =1) x2−10x+21 0≥ 3
7
x x
≤
⇔ ≥ kết hợp với (*) ⇒ =x 7 Thay x=7vào phương trình trên ta được: X2 − 12X + 36 0 = ⇔(X −6)2 = ⇔0 X = ⇔ = =6 y z 6 Vậy nghiệm của hệ là:
7 6 6
x x z
=
=
=
Bài 26: Tìm x, y, z thỏa mãn hệ sau:
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
x z
z
z y
y
y x
x
3 6 2 3
2 4 2 3
2 2 3
3 3
3
2 2 2
( 2)( 1) 2 ( 2)( 1) 2(2 ) ( 2)( 1) 3(2 )
Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
⇔(x - 2)(y - 2) (z - 2)[(x+1)2(y+1)2(z+1)2 +6] = 0
⇔(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0.⇔x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta được x = y = z = 2
Trang 11Vậy: với x = y = z = 2 thỏa mãn hệ đã cho.
Bài 27: Giải hệ phương trình :
2 2
1
3 1
3
x x
y y x x
+ + =
+ + =
Điều kiện y≠0
y
x y
x y
x
y
x + 1 + =3⇔ + 1 =3+
2 2
2
(1)
y
x y
x y
x y
x+ 1 + =3⇔ + 1 −3=− (2) Cộng (1) và (2) vế với vế ta được: 1 1 6 0
2
=
−
+ +
+
y
x y
+ −
+ +
⇔
y
x y
x
=
−
+
= +
+
0 2 1
0 3 1
y
x
y
x
( )
= +
−
= +
4 2 1
3 3 1
y x
y x
Từ (3) và (2) ta có: ⇔
=
−
= +
6
3 1
y x y
x
=
= + +
y x
y y
6
(*) 0 1 3
6 2
vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm
Từ (4) và (2) ta có ⇔
=
−
= +
1
3 1
y x y x
=
= +
−
y x
y
y2 2 1 0
; 1
=
=
⇔x y hệ có 1 nghiệm x= y=1;
Bài 28: Giải hệ phương trình:
3 3
8
2 3
6 2
x y x
y
+ =
− =
Đặt 2 z
y = Hệ đã cho trở thành
3 3
2 3
2 3
x z
z x
+ =
⇒ 3 x z ( − = − ) z3 x3
( x z x) ( 2 xz z2 3) 0
⇔ − + + + = ⇔ = x z (vì x2 + xz z + + > ∀2 3 0, x z , )
Từ đó ta có phương trình: 3 1
3 2 0
2
x
x
= −
− − = ⇔ = Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: ( , ) ( 1; 2), 2,1 x y = − − ( )