MÔ PHỎNG QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN VẬT CHẤT Ô NHIỄM DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA CÁC YẾU TỐ ĐỘNG LỰC TẠI VỊNH CAM RANH BẰNG MÔ HÌNH SỐ

Ngày nay, với sự tiến bộ vượt bậc của ngành khoa học máy tính và các phương pháp mô phỏng các quá trình vật chất trong plasma bằng máy tính, thì việc xây dựng thành công một công cụ thí

ðẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ HOÀNG NAM

MÔ PHỎNG PLASMA PHÓNG ðIỆN KHÍ ARGON TRONG HỆ PHÚN XẠ MAGNETRON DC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PIC/MCC

Chuyên ngành: Vật Lý Vô Tuyến và ðiện Tử

Mã số: 60 44 03 1

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS LÊ VĂN HIẾU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

sẽ nhớ mãi những lần học nhóm và ñi chơi xa cùng các bạn

Cảm ơn ñến cô Phượng, chị Trang, các em Loan, Hưng và An Không có những chiếc máy tính của cô, chị và các em thì ñề tài này không thể thực hiện ñược

Mục lục

Mở ñầu 1

Chương 1 TỔNG QUAN 3

1.1 Plasma phóng ñiện sáng DC và hệ phún xạ magnetron 3

1.1.1 Khái niệm về plasma 3

1.1.2 Phóng ñiện sáng DC 5

1.1.3 Hệ phún xạ magnetron 7

1.2 Các bước xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo 8

1.2.1 Từ trường 9

1.2.2 Phóng ñiện magnetron 9

1.2.3 Tương tác hạt – bia 9

1.2.4 Vận chuyển hạt trong pha khí 10

1.2.5 Phát triển màng tại ñế 10

1.3 Các mô hình mô phỏng phóng ñiện magnetron 10

1.3.1 Mô hình giải tích 11

1.3.2 Mô hình chất lưu 11

1.3.3 Mô hình hạt 12

1.3.4 Mô hình lai 14

Chương 2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH MÔ PHỎNG PHÓNG ðIỆN MAGNETRON KHÍ ARGON 15

2.1 Từ trường tĩnh của hệ magnetron phẳng tròn ñối xứng trục 15

2.2 Mô phỏng PIC/MCC và áp dụng nó cho mô phỏng phóng ñiện magnetron 18

2.2.1 Mô phỏng PIC 18

2.2.1.1 Phân chia ñiện tích của siêu hạt cho nút lưới 19

2.2.1.2 Giải phương trình Poisson trên lưới 20

2.2.1.3 Kết hợp mạch ñiện ngoài 22

2.2.1.4 Nội suy các trường trên lưới ñến vị trí các siêu hạt 26

2.2.1.5 Giải phương trình Newton – Lorentz 26

2.2.1.6 Kết hợp tương tác plasma – bề mặt 29

2.2.1.7 ðộ ổn ñịnh và chính xác của PIC 30

2.2.2 Mô phỏng MCC 31

2.2.2.1 Phương pháp không va chạm 32

2.2.2.2 Các loại va chạm trong mô hình 34

2.2.2.3 Vận tốc sau va chạm 36

2.3 Các phương pháp làm tăng tốc ñộ tính toán 39

2.3.1 Các phương pháp tăng tốc cho máy tính ñơn xử lý 40

2.3.1.1 Sự thay thế chu kỳ 40

2.3.1.2 Cải tiến không gian pha ban ñầu 41

2.3.2 Phương pháp tính toán hạt song song 41

2.3.2.1 Mô tả tính toán hạt song song 42

2.3.2.2 Thư viện lập trình song song MPI 42

2.3.2.3 Ước lượng ñộ lợi của tính toán hạt song song 44

2.4 Cấu trúc của chương trình mô phỏng 45

2.4.1 Mã tuần tự 46

2.4.2 Mã tính toán hạt song song 47

Chương 3 KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 49

3.1 Sự phân bố từ trường của hệ magnetron 49

3.2 ðộ lợi của tính toán hạt song song 51

3.3 Trạng thái dừng của mô hình 54

3.4 Bức tranh của phóng ñiện khí argon trong hệ magnetron 59

3.4.1 Sự phân bố ñiện thế và ñiện trường 59

3.4.2 Sự phân bố theo tọa ñộ của electron và ion 63

3.4.3 Sự phân bố các tốc ñộ va chạm 67

3.4.4 Hàm xác suất năng lượng electron 72

3.4.5 Sự phân bố của ion argon tại bề mặt cathode 73

Kết luận 78

Danh mục các công trình của tác giả 80

Tài liệu tham khảo 81

Phụ lục A 88

Phụ lục B 94

Danh mục các hình vẽ và bảng

Hình 1.1 Phân loại plasma trong phòng thí nghiệm và trong không gian dựa trên giản ñồ log n theo log T 4 e

Hình 1.2 Các ñại lượng ñặc trưng của phóng ñiện sáng DC 6

Hình 1.3 Magnetron phẳng (a) tròn và (b) chữ nhật Các ñường cong trên bề mặt cathode là các ñường sức từ 8

Hình 1.4 Các bước xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo trên máy tính 9

Hình 2.1 Sơ ñồ cấu tạo magnetron phẳng tròn ñối xứng trục Hai nam châm vĩnh cửu S và N tạo từ trường có các ñường sức cong trên bề mặt cathode .15

Hình 2.2 Chu kì tính toán của mô phỏng PIC trong một bước nhảy thời gian t ∆ 18

Hình 2.3 Phân chia ñiện tích theo thể tích trong hệ tọa ñộ trụ của một siêu hạt tại tọa ñộ (r k , z k ) cho những nút lưới gần nó nhất là A, B, C và D Ví dụ ñiện tích ñược phân chia cho ñiểm C thì bằng ñiện tích q k nhân với phần thể tích ñược tạo ra từ phần diện tích ñược bôi mờ quay xung quanh trục z, chia cho thể tích của vòng vằn khăn ABCD .19

Hình 2.4 ðịnh lý Gauss trên các hộp bao quanh các nút lưới (0, 0), (0, j) và (0, Nr1) trên bề mặt cathode .23

Hình 2.5 Sơ ñồ của phương pháp nhảy cóc hiện Vị trí của một hạt ñược ñẩy từ thời ñiểm t ñến thời ñiểm t+ ∆t, nhưng vận tốc chỉ biết ở thời ñiểm 2 t+ ∆t 27

Hình 2.6 Giản ñồ giải phương trình chuyển ñộng của phương pháp Boris .27

Hình 2.7 Chu kỳ tính toán của PIC/MCC trong một bước nhảy thời gian t∆ 32

Hình 2.8 Tiết diện va chạm electron – nguyên tử argon 35

Hình 2.9 Tiết diện va chạm ion argon – nguyên tử argon 35

Hình 2.10 Sơ ñồ truyền dữ liệu từ xử lý có rank = ñến 8 xử lý trong nhóm 0 (a) trao ñổi thông tin ñiểm – ñiểm và (b) trao ñổi thông tin tập hợp 43

Hình 2.11 Sơ ñồ cấu trúc và vòng lặp vật lý của chương trình 45

Hình 3.1 Sự phân bố thành phần từ trường theo hướng bán kính, B r, của magnetron .49

Hình 3.2 Sự phân bố thành phần từ trường theo hướng trục z, B z, của

magnetron .50

Hình 3.3 Từ trường B r tại hai vị trí z = 3 mm và z = 12 mm ðường liền nét là kết quả tính toán của ñề tài này, ñường ñứt nét là kết quả của phần mềm FEMM 50

Hình 3.4 Từ trường B z tại hai vị trí r = 13.5 mm và r = 25 mm ðường liền nét là kết quả tính toán của ñề tài này, ñường ñứt nét là kết quả của phần mềm FEMM 51

Hình 3.5 Sự phụ thuộc của thời gian chạy theo số xử lý N proc trong các trường hợp số siêu hạt ban ñầu thay ñổi từ 500,000 ñến 2,000,000 hạt 52

Hình 3.6 Sự phụ thuộc của ñộ lợi Gain theo số xử lý N proc trong các trường hợp số siêu hạt ban ñầu thay ñổi từ 500,000 ñến 2,000,000 hạt 53

Hình 3.7 Sự biến thiên của năng lượng trung bình (KE) và mật ñộ hạt trong suốt thời gian mô phỏng Khoảng thời gian giả dừng của mô hình là từ 2 3 s− µ 54

Hình 3.8 Sự thay ñổi của tổng số siêu hạt ion (ñường liền nét) và electron (ñường ñứt nét) theo thời gian trong ba trường hợp I, II và III 57

Hình 3.9 Sự thay ñổi năng lượng trung bình của tổng số siêu hạt ion (ñường liền nét) và electron (ñường ñứt nét) theo thời gian trong ba trường hợp I, II và III .58

Hình 3.10 Sự thay ñổi thế phóng ñiện tại cathode theo thời gian trong ba trường hợp I, II và III .58

Hình 3.11 Sự phân bố thế (a) trong toàn vùng mô phỏng và (b) tại ba vị trí 8.05 , r = mm 13.56 mm và 19.25 mm .60

Hình 3.12 Các thành phần của ñiện trường E là (a) E z theo hướng trục z và (b) E r theo hướng bán kính r .62

Hình 3.13 Không gian pha (r, z) của (a) electron và (b) ion .63

Hình 3.14 Không gian pha (z, u z) của (a) electron và (b) ion 64

Hình 3.15 Sự phân bố mật ñộ của (a) electron và (b) ion .65

Hình 3.16 Sự phân bố mật ñộ của ion (ñường liền nét) và của electron (ñường ñứt nét) tại vị trí r=13.65mm dọc theo trục z .66

Hình 3.17 Mật ñộ ñiện tích không gian 67

Hình 3.18 Sự phân bố tốc ñộ va chạm ñàn hồi của electron với nguyên tử

argon .68

Hình 3.19 Sự phân bố tốc ñộ va chạm kích thích của electron với nguyên tử argon .68

Hình 3.20 Sự phân bố tốc ñộ va chạm ion hóa của electron với nguyên tử argon .69

Hình 3.21 Sự phân bố tốc ñộ va chạm kích thích (ñường liền nét) và va chạm ion hóa (ñường ñứt nét) của electron với nguyên tử argon tại vị trí 13.65 r = mm dọc theo trục z .70

Hình 3.22 Sự phân bố tốc ñộ va chạm ñàn hồi của ion argon với nguyên tử argon .71

Hình 3.23 Sự phân bố tốc ñộ va chạm chuyển ñiện tích của ion argon với nguyên tử argon .71

Hình 3.24 Hàm xác suất năng lượng electron (EEPF) trong vùng 10 mm≤ ≤r 17 mm và 15 mm≤ ≤z 20 mm Một dạng xấp xỉ của EEPF là phân bố hai Maxwell với hai nhiệt ñộ k T B c =1.25eV và k T B h =4.5eV .72

Hình 3.25 Sự phân bố ion argon theo năng lượng và tọa ñộ tại bề mặt cathode (a) trong toàn miền, (b) tại ba vị trí r=12mm , 14 mm và 16 mm IDFC bị chia thành hai vùng, vùng một có 210eV <energy<275eV, vùng hai có 200 energy≈ eV 74

Hình 3.26 Sự phân bố ion argon theo năng lượng và góc tới bề mặt cathode (a) trong toàn miền, (b) tại bốn góc tới theta = 900, 88.50, 82.50 và 78.50 .75

Hình 3.27 Kết quả tính toán thông lượng ion argon ñến bề mặt bia .77

Hình A Một phần tử hữu hạn hình chữ nhật .91

Bảng B Hệ số nhân của bước nhảy thời gian giả .97

Mở ñầu

Hơn nửa thế kỷ qua, vật liệu và linh kiện màng mỏng ñã ñược chế tạo nhằm ứng dụng trong thực tiễn và ngày nay nó ñang ñóng vai trò trung tâm trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật cũng như ñời sống Phương pháp phún xạ magnetron xuất hiện

từ rất sớm và thông dụng ñể lắng ñọng các loại màng mỏng kim loại, bán dẫn hoặc ñiện môi ðây là các vật liệu ñược sử dụng nhiều trong các thiết bị vi ñiện tử, quang – ñiện

và cơ ðể hiểu và ñiều khiển ñược các quá trình phức tạp xảy ra trong quá trình tạo màng trong buồng phóng ñiện magnetron, cần phải có những nghiên cứu cả về lý thuyết và thực nghiệm ñối với các quá trình vật chất xảy ra trong môi trường phóng ñiện magnetron

Một mô hình giải tích ñơn giản khó có thể mô tả thỏa ñáng môi trường phóng ñiện trong hệ magnetron do ñiện trường và từ trường trong nó là ña chiều và không ñồng nhất Các thực nghiệm chỉ cho thấy một số ñặc trưng của phóng ñiện và không cung cấp một bức tranh toàn diện về các quá trình vật chất trong hệ magnetron Một ví

dụ là phương pháp ño ñạc bằng ñầu dò ñiện Langmuir Phương pháp này cung cấp các thông tin về các ñặc trưng ñiện ñộng của plasma như mật ñộ và nhiệt ñộ của electron trong thể tích plasma Tuy nhiên, ñầu dò có thể gây ảnh hưởng trở lại môi trường plasma Hơn nữa, ñầu dò không thể ño ñạc ở vùng sát bề mặt cathode, mà tại ñó hầu hết các quá trình quan trọng trong phún xạ xảy ra Thêm vào ñó, các thực nghiệm thường rất phức tạp và tốn kém Ngược lại, các mô hình số ñược xây dựng trên máy tính, không những không ảnh hưởng mà còn cung cấp cho ta một bức tranh toàn diện về các quá trình xảy ra trong buồng phóng ñiện magnetron

Ngày nay, với sự tiến bộ vượt bậc của ngành khoa học máy tính và các phương pháp mô phỏng các quá trình vật chất trong plasma bằng máy tính, thì việc xây dựng thành công một công cụ thí nghiệm ảo trên máy tính cho hệ phún xạ magnetron ngày càng hiện thực hơn

Trong luận văn này, chúng tôi thực hiện hai module là mô phỏng từ trường và

Module từ trường ñược thực hiện bằng phương pháp phần tử hữu hạn và ñược viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB Module phóng ñiện magnetron ñược thực hiện bằng phương pháp mô phỏng particle-in-cell/Monte Carlo collisions (PIC/MCC) và

ñược viết bằng ngôn ngữ lập trình FORTRAN dưới dạng mã tuần tự và mã tính toán

hạt song song Mã tính toán hạt song song ñược thực hiện bởi thư viện lập trình song

song MPI (message passing interface) Một hệ thống cluster ñược thiết lập ñể ñánh giá

ñộ lợi song song của mô hình

Sau khi xác ñịnh trạng thái dừng của mô hình, chúng tôi thu ñược một bức

tranh toàn ñiện của phóng ñiện magnetron khí argon, gồm có: sự phân bố ñiện thế và

ñiện trường, hàm xác suất năng lượng của electron trong vùng thể tích plasma, sự phân

bố của ion argon tại bề mặt cathode

Chương 1 TỔNG QUAN

1.1 Plasma phóng ñiện sáng DC và hệ phún xạ magnetron

1.1.1 Khái niệm về plasma

Từ “plasma” ñược giới thiệu lần ñầu tiên bởi Langmuir vào năm 1928 Ngoài

ba trạng thái rắn, lỏng và khí, thì plasma là trạng thái thứ tư của vật chất, chiếm 99% lượng vật chất trong vũ trụ, là môi trường dẫn ñiện gồm các hạt mang ñiện và các hạt trung hòa

Nhìn chung có hai quá trình cơ bản xảy ra trong môi trường plasma là quá trình không tập hợp và quá trình tập hợp [1] Quá trình không tập hợp liên quan tới tương tác gần giữa các hạt với nhau (gọi là va chạm cặp - binary collision) và tương tác giữa hạt với thành bình Quá trình tập hợp liên quan tới tương tác xa giữa các hạt mang ñiện với nhau, giữa các hạt mang ñiện với trường do chính chúng sinh ra (gọi là trường

tự hợp) và với ñiện trường và từ trường ngoài Khi hạt mang ñiện chuyển ñộng, nó gây

ra sự tích tụ cục bộ ñiện tích âm hoặc dương, mà làm thay ñổi ñiện trường bao quanh

nó Thêm vào ñó, khi chuyển ñộng thành dòng, các hạt mang ñiện sinh ra từ trường Các trường này ảnh hưởng lên sự chuyển ñộng của toàn bộ các hạt mang ñiện trong hệ

Một ñại lượng ñặc trưng cho quá trình tập hợp là bán kính Debye

nhiệt ñộ electron và ion, q là ñiện tích Bán kính Debye của hạt cho biết hạt tác dụng

mạnh hay yếu với các hạt khác xung quang nó Một ñại lượng khác ñặc trương về thời gian của quá trình tập hợp là tần số dao ñộng plasmaωp[1, 21]

0

, , ,

ở ñây m e,i tương ứng là khối lượng electron và ion Do m i ≫m e nên ωp ≃ωe

Hình 1.1 Phân loại plasma trong phòng thí nghiệm và trong không gian dựa trên giản

ñồ log n theo log T [ e 54]

Si rắn tại nhiệt ñộ phòng

Plasma laser

Ống sóng xung kích Hiệu ứng

thắt theta

Phóng ñiện hồ quang

Áp suất thấp

Phóng ñiện sáng

Thí nghiệm nhiệt hạch

Phản ứng nhiệt hạch

Lửa Tầng ñiện ly Trái ñất

Plasma kim loại kiềm

Nhật hoa

Giữa các hành tinh Gió Mặt

trời

Dựa vào ñộ ion hóa β =n n( g +n), n g là mật ñộ khí trung hòa, và nhiệt ñộ

của các loại hạt trong plasma, người ta chia plasma ra làm hai loại là plasma nhiệt ñộ

cao và plasma nhiệt ñộ thấp Plasma nhiệt ñộ cao : nhiệt ñộ của các loại hạt trong

plasma là bằng nhau T e ≃ và có ñộ ion hóa cao (T i β ≥10−2) Ví dụ là plasma trong các

vì sao và trong lò phản ứng nhiệt hạch Plasma nhiệt ñộ thấp: nhiệt ñộ của các loại hạt trong plasma là không bằng nhau T e ≫T i, T e >T i >T g, T là nhiệt ñộ hạt trung hòa, và g

có ñộ ion hóa thấp ( 3

10

β < − ) Ví dụ là plasma trong ñèn huỳnh quang và plasma trong

hệ phún xạ magnetron Từ hình 1.1, ta có thể phân loại plasma chi tiết hơn dựa vào mật

ñộ và nhiệt ñộ của nó Thông thường, hệ phún xạ magnetron hoạt ñộng ở áp suất

là số electron ñược tạo ra trên một ñơn vị ñộ dài bởi một electron sơ cấp trong suốt quá trình ion hóa Hệ số α là một hàm của áp suất khí p, ñiện trường E theo công thức bán

thực nghiệm sau [1, 54, 61]

với A và B ñược xác ñịnh bằng thực nghiệm và phụ thuôc vào loại khí

Nếu các quá trình va chạm ion hóa làm cho ñộ ion hóa của môi trường khí ñủ cao, thì môi trường khí bị ñánh thủng và plasma ñược hình thành giữa hai bản ñiện cực Tuy nhiên, khi ñã ñược hình thành và tiến tới trạng thái ổn ñịnh, plasma không chiếm hết toàn bộ thể tích vùng phóng ñiện mà còn xuất hiện các miền ñặc trưng khác trong vùng phóng ñiện, như ñược minh họa ở hình 1.2

Hình 1.2 Các ñại lượng ñặc trưng của phóng ñiện sáng DC [54]

Tổng ñiện tích không gian

tổng ðiện tích âm

ðiện tích dương

Phần quan trọng nhất cho sự tồn tại của phóng ñiện sáng DC là miền cathode,

ở ñó tập trung hầu hết ñiện thế của khoảng phóng ñiện Sụt thế cathode là khá lớn và ñược tạo nên bởi ion dương sinh ra từ cột dương Những ion dương này phải ñược gia tốc mạnh về phía cathode, bắn phá lên bề mặt ñiện cực Chúng không những gây phát

xạ electron thứ cấp giúp hình thành và duy trì plasma, mà còn gây phún xạ vật liệu cathode ðây là cơ chế rất quan trọng ñược sử dụng trong phún xạ magnetron ñể lắng ñọng màng mỏng Một thảo luận chi tiết hơn cho các miền của phóng ñiện sáng có thể ñược tham khảo ở [61]

1.1.3 Hệ phún xạ magnetron

Trong phương pháp chế tạo màng mỏng bằng phún xạ cathode, lượng vật chất

từ bia ñến ñược ñế phụ thuộc vào mật ñộ dòng ion bắn phá lên bề mặt cathode và áp suất khí Các phương pháp phún xạ cathode thông thường (không có từ trường ngoài) ñược thực hiện ở áp suất cao và thế phóng ñiện cao Ở áp suất thấp, lượng vật chất bị phún xạ ở cathode bay ñược ñến ñế sẽ tăng do chúng ít va chạm với các hạt khí Tuy nhiên, từ (1.4) cho thấy việc giảm p dẫn ñến α giảm, nên mật ñộ dòng phóng ñiện sẽ không cao ðể khắc phục nhược ñiểm này, người ta ñã thiết kế hệ phún xạ magnetron trong ñó kết hợp từ trường ngang trực giao với ñiện trường, tích hợp với bề mặt cathode (bia) ñể bẫy các electron và tăng cường plasma ở gần bề mặt cathode Từ trường có nhiệm vụ kéo dài quãng ñường chuyển ñộng của electron, tức là tăng số lần

va chạm ion hóa của một electron Như vậy, với áp suất và thế phóng ñiện vừa phải, mật ñộ dòng phóng sẽ tăng lên, tương ñương với mật ñộ dòng phóng ở áp suất cao khi không có từ trường

Có hai dạng magnetron phẳng ñược minh họa ở hình 1.3 Dạnh có cathode (bia) là ñĩa tròn ñược gọi là magnetron phẳng tròn (hình 1.3(a)) Dạng có bia chữ nhật ñược gọi là magnetron phẳng chữ nhật (hình 1.3(b))

Hình 1.3 Magnetron phẳng (a) tròn và (b) chữ nhật Các ñường cong trên bề mặt

cathode là các ñường sức từ

Từ trường ñược tạo ra bởi nam châm (thường là nam châm vĩnh cửu) ñược ñặt dưới cathode Các nam châm ñược bố trí sao cho các ñường sức từ tập chung chủ yếu

trên bề mặt cathode Từ trường lớn nhất trên bề mặt cathode có thể ñạt tới 1000 Gauss

Khó khăn trong việc chế tạo hệ magnetron phẳng là khó tạo ñược từ trường ñồng nhất trên bề mặt cathode Từ trường không ñồng nhất sẽ tạo ra plasma không ñồng nhất, có nghĩa là mật ñộ dòng ion bắn phá nên bề mặt cathode là không ñồng nhất, dẫn ñến các hạt bị phún xạ lắng ñọng không ñồng nhất trên ñế, nên màng thu ñược có ñộ ñồng ñều không cao

1.2 Các bước xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo

Các module cơ bản ñể xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo (hình 1.4) [19]:

Mô phỏng từ trường

Mô phỏng phóng ñiện magnetron

Mô phỏng tương tác hạt – bia, phún xạ

Mô phỏng vận chuyển các hạt phún xạ qua pha khí

Mô phỏng lắng ñọng và tăng trưởng màng tại ñế

Hình 1.4 Các bước xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo trên máy tính [19]

1.2.1 Từ trường

Phóng ñiện magnetron là phóng ñiện ñược tăng cường bởi từ trường Do ñó, từ trường trong hệ magnetron cần ñược xác ñịnh với ñộ chính xác cao ðiều này có thể ñạt ñược cho những dạng từ trường phức tạp bằng việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Một số phần mềm phân tích từ trường bằng phương pháp phần tử hữu hạn ñược cung cấp miễn phí như Poisson Superfish [30], FEMM [34] và Magnet [36] Hơn nữa, một phần mềm phân tích từ trường là cần thiết ñể giúp cho việc xác ñịnh dạng từ trường tối ưu cho hoạt ñộng của magnetron

1.2.2 Phóng ñiện magnetron

Mô phỏng phóng ñiện magnetron ñược dựa trên từ trường, áp suất khí và công suất nguồn ñiện Các mức vi mô của các quá trình vật lý trong phóng ñiện ñược mô tả, như chuyển ñộng của các hạt mang ñiện trong ñiện trường và từ trường, các tương tác giữa các hạt mang ñiện với nhau và với các hạt khí trung hòa

1.2.3 Tương tác hạt – bia

Quá trình phún xạ dựa trên việc tách rời các nguyên tử bia bởi sự bắn phá của các ion Các mô phỏng sự bắn phá ion lên bề mặt chất rắn không chỉ cho phép xác ñịnh hiệu suất phún xạ mà còn cho biết sự phân bố góc và năng lượng của các nguyên tử

Hệ thống:

công suất ñiện, …

Phún xạ magnetron ảo

Các tính chất màng:

Vật lý: ñộ dính, ñộ dẫn, ñộ cứng,…

Từ trường

Phóng ñiện magnetron

Tương tác hạt – bia

Vận chuyển hạt trong pha khí

Phát triển màng

tách rời khỏi bề mặt chất rắn Một số gói phần mềm miễn phí dựa trên mã Monte Carlo như KALYPSO [32] , TRIDYN [35] và SRIM [40]ñã ñược phát triển Hơn nữa, có rất nhiều các kết quả thực nghiệm về sự phún xạ của nhiều loại vật liệu bia ñã ñược công

bố, như ở[6, 7, 60]

1.2.4 Vận chuyển hạt trong pha khí

Khi các hạt ñược phún xạ từ bia, chúng sẽ lan rộng ra trong buồng chân không Trước khi ñến lắng ñọng trên ñế, chúng chịu va chạm với các loại hạt khác trong buồng phóng ñiện Các va chạm này ảnh hưởng lên sự phân bố góc và năng lượng của các nguyên tử lắng ñọng tại ñế, cũng như ñộ dày và ñồng ñều của màng mỏng Một số công trình mô phỏng sự vận chuyển hạt phún xạ trong buồng magnetron

dựa trên phương pháp va chạm Monte Carlo (Monte Carlo collision - MCC) [19, 52], cho thấy có sự phù hợp tốt với thực nghiệm

1.2.5 Phát triển màng tại ñế

Trong phần này, các tham số ñưa vào mô hình là sự phân bố góc và năng lượng của những loại hạt tới ñế Việc tìm mối liên qua giữa các tham số này với các tính chất màng là vấn ñề khó khi mô phỏng quá trình tạo màng mỏng trong hệ magnetron Phép mô phỏng dựa trên ñộng lực học phân tử có khả năng xác ñịnh vi cấu trúc của vật liệu lắng ñọng [19]

1.3 Các mô hình mô phỏng phóng ñiện magnetron

Có nhiều loại mô hình khác nhau ñược ñề nghị khi mô phỏng plasma Nhìn

chung, có thể chia chúng thành bốn mô hình: mô hình giải tích, mô hình chất lưu, mô

hình hạt và mô hình lai Sau ñây là tổng hợp về các mô hình trên và việc sử dụng chúng

trong mô phỏng phóng ñiện magnetron

1.3.1 Mô hình giải tích

Mô hình giải tích dựa trên các công thức giải tích ñơn giản ñể mô tả các ñặc trưng vĩ mô của plasma, như dòng phóng ñiện, thế phóng ñiện, áp suất và từ trường Lợi thế của mô hình này là thời gian tính toán ngắn Tuy nhiên, do sử dụng nhiều phép gần ñúng nên ñộ chính xác không cao Nên mô hình giải tích chỉ ñược áp dụng cho một

số ñiều kiện rất giới hạn trong phóng ñiện [54]

Với phóng ñiện magnetron, mô hình giải tích chỉ ñược dùng ñể xác ñịnh các mối liên quan giữa các ñặc trưng vĩ mô của plasma Các bài toán thường ñược xấp xỉ thành một chiều hoặc không chiều tọa ñộ [16, 17, 54] Tuy nhiên, ñiện và từ trường trong phóng ñiện magnetron là rất không ñồng nhất, thêm vào ñó, chuyển ñộng của các hạt có thể theo nhiều hướng do va chạm và khuyếch tán Do ñó, mô hình giải tích khó

có thể mô tả hết ñược các quá trình phức tạp xảy ra trong phóng ñiện magnetron

1.3.2 Mô hình chất lưu

Mô hình chất lưu dựa trên các phương trình liên tục, phương trình bảo toàn momen và năng lượng trung bình, nhận ñược bằng việc lấy tích phân phương trình ñộng học Boltzmann, với giả thuyết cụ thể về dạng hàm phân bố của các hạt trong plasma Bằng việc kết hợp các phương trình trên với phương trình Poisson hoặc hệ phương trình Maxwell thì mô hình chất lưu là tự hợp [55]

Mô hình chất lưu ñược sử dụng rất phổ biến trong mô phỏng plasma Tuy nhiên, mô hình chất lưu không ñược sử dụng rộng rãi trong mô phỏng phóng ñiện magnetron [19] Vì phóng ñiện ở áp suất thấp, như trong hệ magnetron (khoảng vài

mTorr), các giả thuyết chính của lý thuyết chất lưu không còn giá trị Thật vậy, các giả

thuyết của chất lưu có hiệu lực khi số Knudsen K n thỏa mãn hệ thức [8]:

B g n

k T K

λπ

ở ñây, λ là quãng ñường tự do trung bình của electron, L là kích thước ñặc trưng của

hệ, k B là hằng số Boltzmann, T g là nhiệt ñộ khí, a là bán kính nguyên tử và p là áp suất

khí Trong ñiều kiện hoạt ñộng thông thường của hệ phún xạ magnetron là

mô phỏng hạt ñược chia làm hai dạng: mô phỏng MCC và mô phỏng

particle-in-cell/Monte Carlo collisions (PIC/MCC)

Mô phỏng MCC mô phỏng sự va chạm cặp giữa các hạt trong plasma, xác ñịnh va chạm dựa vào tiết diện va chạm và số ngẫu nhiên, và tính toán chuyển ñộng của các hạt mang ñiện với một ñiện trường và từ trường cho trước Mô phỏng MCC ñã ñược dùng trong mô phỏng phóng ñiện magnetron [25, 26, 42, 56, 64] Trong một số trường hợp, nó cho thấy khá hiệu quả, như xác ñịnh hình dạng vùng ăn mòn bia Mô phỏng MCC là khá ñơn giản và tính toán nhanh Tuy nhiên, ñiểm hạn chế của nó là không tính toán ñược trường tự hợp trong plasma Do ñó, dữ liệu ban ñầu phải ñưa vào

mô hình là ñiện trường

Một mô hình hạt khác là mô phỏng particle–in–cell (PIC) [9, 10, 29] Phương pháp PIC dùng ñể mô phỏng plasma không có va chạm và tính toán trường tự hợp của các hạt mang ñiện Mô phỏng MCC ñược kết hợp với mô phỏng PIC ñể trở thành mô phỏng PIC/MCC [9, 57, 74] Nếu việc tính toán ñiện trường gây ra bởi nguồn ñiện ngoài và sự phân bố trong không gian của các hạt mang ñiện ñược kết hợp với sự va chạm giữa các hạt trong plasma thì toàn bộ mô phỏng PIC/MCC là tự hợp Mô phỏng PIC/MCC là công cụ số hữu hiệu cho việc nghiên cứu sự phóng ñiện magnetron, ở ñó

áp suất thấp làm việc là thấp và có sự phân bố không ựồng nhất cao về các trường và

mật ựộ hạt Hơn thế, mô phỏng PIC/MCC còn ựược kết hợp với phương pháp Monte

Carlo mô phỏng trực tiếp (direct simulation Monte Carlo Ờ DSMC) [8, 57] ựể tắnh toán phản ứng của các hạt trung hòa trong plasma điểm hạn chế chắnh của mô phỏng PIC/MCC là thời gian tắnh toán dài Do ựó, ở công trình này, chúng tôi chọn phương pháp mô phỏng PIC/MCC ựể xây dựng mô hình mô phỏng phóng ựiện magnetron điểm hạn chế về thời gian tắnh toán của mô hình này ựược khắc phục bằng phương pháp tắnh toán hạt song song Các chi tiết của việc xây dựng mô hình của chúng tôi ựược cho ở chương 2

đã có nhiều công trình sử dụng mô phỏng PIC/MCC ựể mô phỏng phóng ựiện magnetron Một số mô hình cho phóng ựiện magnetron phẳng chữ nhật DC ựã ựược công bố, như ở [58, 59] là mô hình ba chiều, ở [52, 68, 69] sử dụng gói phần mềm Poisson Superfish [30], XOOPIC [31] và OOPIC [41] xây dựng mô hình hai chiều, ở [51] sử dụng PEGASUS là sự kết hợp PIC/MCC với hàm làm khớp Gaussian ựể nghiên cứu sự ăn mòn bia Một mô phỏng PIC/MCC ba chiều cho magnetron phẳng tròn DC cũng ựã ựược thực hiện [50], các kết quả mô phỏng cho thấy có tắnh ựối xứng trục cao

Vì vậy, việc xây dựng mô hình ba chiều là không cần thiết, mà chúng ta chỉ cần chú ý

ựến mô hình hai chiều trong hệ tọa ựộ trụ ựối xứng trục (r, z).

Các mô hình trong các công trình trên ựều không xét ựến sự phản xạ electron tại cathode Các electron phát xạ thứ cấp từ cathode có thể bị quay trở lại do từ trường Khi ựó, chúng có thể bị bắt trên bề mặt cathode hoặc bị phản xạ trở lại môi trường phóng ựiện Một thiếu sót nữa là các mô hình trên ựều bỏ qua các yếu tố mạch ngoài, như ựiện trở và nguồn thế, mà ấn ựịnh trước giá trị thế phóng ựiện tại cathode Tuy nhiên, gần ựây công trình [49] cho thấy sự phản xạ electron tại cathode ảnh hưởng rất mạnh lên các ựặc trưng của phóng ựiện magnetron Thêm vào ựó, công trình [14] ựã cho thấy vai trò rất quan trọng của mạch ngoài Khi có mạch ngoài, một số kết quả mô phỏng về dòng và thế phóng ựiện có sự phù hợp tốt với các kết quả thắ nghiệm [12, 14]

Các công trình gần ựây ựã bắt ựầu tắch hợp các quá trình vật lý khác vào mô phỏng PIC/MCC, mà cụ thể là áp dụng cho hệ phún xạ magetron Vắ dụ: [48] tắnh toán

sự phân bố của các nguyên tử Cu bị phún xạ từ cathode, [52] tắnh toán sự lắng ựọng của các nguyên tử Al tại ựế, [76] ựưa khắ O2 vào mô hình Gần ựây nhất, [13, 15] ựã ựưa vào mô hình các khắ phản ứng N2, O2 và có tắnh ựến các tương tác của plasma với bề mặt bia Ti, sự ựầu ựộc bia và sự tương tác của nguyên tử phún xạ Ti với các khắ phản ứng v.v

1.3.4 Mô hình lai

Mô hình lai (hybrid model) là sự kết hợp một hoặc nhiều các mô hình ựã ựề

cập ở trên điều ựó có nghĩa là các lợi thế của các mô hình ựược kết hợp với nhau Thông dụng nhất là sự kết hợp mô phỏng MCC hoặc PIC/MCC (dùng ựể mô tả các hạt nhanh) với mô hình chất lưu (dùng ựể mô tả các hạt chậm) Do ựó, mô hình lai có thời gian tắnh toán ngắn hơn so với mô phỏng PIC/MCC đã có một số công trình áp dụng

mô hình lai cho phóng ựiện magnetron ở [55, 66, 67] Tuy nhiên, việc sử dụng mô hình lai cho phóng ựiện magnetron là không phổ biến Như ựã giới thiệu ở phần trên, ở áp suất thấp, mô hình chất lưu áp dụng cho các hạt mang ựiện là không hợp lý và mô hình lai sẽ không còn phù hợp nếu hệ magnetron có từ trường mạnh và phức tạp [19]

Chương 2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH MÔ PHỎNG PHÓNG ðIỆN

MAGNETRON KHÍ ARGON 2.1 Từ trường tĩnh của hệ magnetron phẳng tròn ñối xứng trục

Hình 2.1 Sơ ñồ cấu tạo magnetron phẳng tròn ñối xứng trục Hai nam châm vĩnh cửu S

và N tạo từ trường có các ñường sức cong trên bề mặt cathode

Trong luận văn này, hệ magnetron ñược mô phỏng có dạng phẳng tròn và ñối xứng trục, nên mô hình mô phỏng của chúng tôi ñược xây dựng trong hai chiều không

gian (r, z) của hệ tọa ñộ trụ (r, z, φ) Hình 2.1 là sơ ñồ cấu tạo hệ magnetron ñược mô phỏng Dạng cấu tạo này dựa theo một hệ magnetron thực ñã ñược xây dựng ở [15, 20]

Các nam châm vĩnh cửu NdFeB có ñộ từ dư 13500 Gauss ñược ñặt dưới cathode (bia)

ñể tạo ra từ trường Nam châm ngoài có bán kính ngoài là 23.5 mm, bán kính trong là

17 mm, và nam châm trong có bán kính 10 mm Cathode (bia) có bán kính 25 mm, ñược ñặt trên các nam châm và ñược nối với mạch ñiện ngoài gồm ñiện trở ngoài R ext và

nguồn thế V ext DC Các tường bao và ñế ñược nối ñất và ñóng vai trò là anode Khoảng

trống nhỏ nhất giữa cathode và anode là 2 mm, khoảng cách bia – ñế là 24 mm Một ñĩa

sắt ñược ñặt dưới các nam châm ñể khép kín các ñường sức từ

Từ trường ñược sinh ra từ các nam châm vĩnh cửu ñược mô phỏng bằng việc giải phương trình Maxwell tĩnh từ

( )

m

rA A

j

ϕ ϕ

Từ phương trình (2.2), các thành phần B r và B z là

( )

1

r z

A B

(bia) theo phương song song với trục z

2.2 Mô phỏng PIC/MCC và áp dụng nó cho mô phỏng phóng

ñiện magnetron 2.2.1 Mô phỏng PIC

Hình 2.2 Chu kì tính toán của mô phỏng PIC trong một bước nhảy thời gian t∆ [9, 10]

Trong plasma chứa một số lượng rất lớn các hạt mang ñiện, ta không thể xác ñịnh phương trình chuyển ñộng cho toàn bộ các hạt này Do ñó, phương pháp mô phỏng PIC quan niệm một hạt mô phỏng tương ứng với một số lượng rất lớn các hạt thực (khoảng 6 9

10 − 10 hạt thực) Một hạt mô phỏng như thế ñược gọi là một siêu hạt

Các siêu hạt khác với hạt thực là chúng có kích thước hữu hạn và hình dạng của mỗi

siêu hạt ñược ñặc trưng bởi một hệ số hình dạng hạt [10] Chu kỳ tính toán của mô phỏng PIC ñược cho ở hình 2.2 và các bước thực hiện nó ñể áp dụng cho mô hình của chúng tôi ñươc cho dưới ñây

Tích phân phương trình chuyển ñộng, dịch chuyển hạt

xạ thứ cấp …)

2.2.1.1 Phân chia ñiện tích của siêu hạt cho nút lưới

Việc xác ñịnh ñiện tích tại các nút lưới từ tọa ñộ và hệ số hình dạng của siêu

hạt ñược gọi là phân chia trọng số hay gắn trọng số siêu hạt cho nút lưới [10] Tùy thuộc vào hệ tọa ñộ của mô hình, mà có thể thực hiện phân chia theo diện tích hoặc theo thể tích Hình 2.3 minh họa cho sự phân chia ñiện tích theo thể tích cho mô hình

của chúng tôi ðiện tích của một siêu hạt, q k , có tọa ñộ (r k , z k), ñược phân chia cho các

với z ∆ là kích thước của ô lưới theo hướng z

Hình 2.3 Phân chia ñiện tích theo thể tích trong hệ tọa ñộ trụ của một siêu hạt tại tọa

ñộ (r k , z k ) cho những nút lưới gần nó nhất là A, B, C và D Ví dụ ñiện tích ñược phân chia cho ñiểm C thì bằng ñiện tích q k nhân với phần thể tích ñược tạo ra từ phần diện

tích ñược bôi mờ quay xung quanh trục z, chia cho thể tích của vòng vằn khăn ABCD

Mật ñộ ñiện tích trên mỗi nút lưới là tổng của các mật ñộ ñiện tích ñã ñược phân

chia từ các siêu hạt gần nút lưới ñó nhất, ví dụ tại nút A là

( 2 2 )

A k A

2.2.1.2 Giải phương trình Poisson trên lưới

ðiện tích phân bố trên các nút lưới gây ra ñiện thế V cho bởi phương trình

Poisson Bên cạnh ñó, ñiện thế còn ñược xác ñịnh bởi các ñiều kiện biên tại cathode và anode Do ñó, ñể ñơn giản cho việc giải phương trình Poisson, chúng tôi sử dụng

nguyên lý chồng chập và phân rã trường ðiện thế là tổng của thế Poisson V P, gây ra

bởi các ñiện tích không gian trong hệ magnetron, với thế Laplace V L, gây ra bởi thế áp

vào bề mặt ñiện cực cathode U 0 là [73]

V = =V = = , tại bề mặt cathode V L z=0 = , và trong khoảng trống nhỏ nhất 1

giữa cathode và anode, thế V L ñược giả sử giảm tuyến tính từ cathode ñến anode [73]

∫ E Si

với S là bề mặt hộp bao quanh nút lưới thứ i, j, và sử dụng công thức sai phân hữu i j,

hạn của các thành phần của ñiện trường

ở ñây ( )2 2

1 2 0

j j j

∆ = − Kết hợp các phương trình (2.21) và (2.22) với các ñiều kiện biên (2.17) thì nghiệm của phương trình Poisson ñược xác ñịnh

Có nhiều phương pháp giải phương trình elliptic, mà phương trình Poisson là một dạng của nó, bằng sai phân hữu hạn và ñã ñược so sánh trong [29] Có thể chia các phương pháp thành hai lớp: phương pháp lặp và phương pháp trực tiếp Phương pháp nhanh nhất trong số chúng, mà có thể áp dụng cho mô hình của chúng tôi, là phương

pháp trực tiếp giản lược tuần hoàn (cyclic reduction) [72] Tuy nhiên, ñây là phương pháp khá phức tạp cho lập trình Trong luận văn này, chúng tôi chọn phương pháp lặp

luân hướng ẩn ñộng lực (dynamic alternating direction implicit – DADI) [22, 28] ðây

là phương pháp ñơn giản và khả thi cho ứng dụng tính toán

Phương pháp DADI là sự mở rộng của phương pháp luân hướng ẩn

(alternating direction implicit – ADI) [3, 29] Một sự giả phụ thuộc thời gian 't ñược

thêm vào phương trình Poisson ñể biến nó thành phương trình parabolic [22, 28]

t Trong quá trình giải lặp, bước nhảy thời gian giả ñược ñiều chỉnh ñể tăng tốc ñộ hội

tụ về lời giải của phương trình elliptic gốc Sự hội tụ xảy ra khi giá trị thặng dư của phương trình elliptic nhỏ hơn một sai số chọn trước Chi tiết của các bước giải phương trình (2.23) bằng phương pháp DADI ñược cho ở phụ lục B

2.2.1.3 Kết hợp mạch ñiện ngoài

Cấu tạo thực tế của magnetron DC luôn cần có mạch ñiện ngoài, gồm nguồn

thế cao áp V ext DC và ñiện trở trấn lưu R ext dùng ñể giới hạn dòng phóng ñiện, ñược mắc nối tiếp nhau vào ñiện cực cathode, các ñiện cực anode thì ñược nối ñất, như ñã minh họa ở hình 2.1 Trong thực tế, thế phóng ñiện tại bề mặt cathode U 0 ñược thay ñổi

bằng cách ñiều chỉnh các giá trị V ext và R ext Như ñã ñề cập, tầm quan trọng của mạch ñiện ngoài ñối với mô hình PIC/MCC cho phóng ñiện magnetron DC ñã ñược [14]minh chứng rõ ràng Các nguyên lý cơ bản kết hợp mạch ngoài vào mô hình PIC/MCC

có thể tham khỏa ở [75] cho mô hình một chiều, và ở [73] cho mô hình hai chiều trong

hệ tọa ñộ Cartesian Cách kết hợp mạch ñiện ngoài vào mô hình của chúng tôi ñược

thực hiện trong hệ tọa ñộ trụ ñối xứng trục (r, z) và dựa theo [73], chi tiết như sau

Dòng phóng ñiện I ext ảnh hưởng lên sự sụt giảm thế phóng ñiện giữa các ñiện cực tuân theo ñịnh luật mạch thế Kirchoff

U0 =V ext −R I ext ext (2.24)

Việc kết hợp giữa mạch ngoài với môi trường phóng ñiện ñược duy trì thông qua

sự thỏa mãn bảo toàn ñiện tích trên bề mặt các ñiện cực Theo ñịnh luật mạch dòng Kirchoff thì

ở ñây, σT là mật ñộ ñiện tích mặt trên bề mặt ñiện cực cathode, S C là diện tích của bề

mặt ñiện cực và J dis là mật ñộ dòng ñến ñiện cực do các hạt mang ñiện của plasma trong

suốt khoảng thời gian dt Mặt khác, mật ñộ ñiện tích mặt σT còn ñược xác ñịnh ñộc lập với phương trình (2.25) bằng cách áp dụng ñịnh lý Gauss trên các hộp bao quanh bề mặt cathode như minh họa ở hình 2.4

Hình 2.4 ðịnh lý Gauss trên các hộp bao quanh các nút lưới (0, 0), (0, j) và (0, Nr1)

Vol =π ∆r ∆ Chúng tôi xem cathode là vật liệu dẫn ñiện lý tưởng, z

do ñó không có thành phần E r trên bề mặt cathode Ngoại trừ tại góc cạnh của cathode

là nút thứ (0, Nr1) Sử dụng công thức sai phân hữu hạn trung tâm

1 1

thay vào phương trình (2.26) thì ta nhận ñược các mật ñộ ñiện tích mặt tại các nút lưới trên bề mặt cathode là

0

1

t t ext

t C

Biểu thức (2.35) cho thấy thế phóng ñiện tại bề mặt cathode U0 phụ thuộc vào

các yếu tố mạch ngoài, bao gồm V ext , R ext và S C, và ñiện thế cũng như dòng trong môi

trường phóng ñiện thông qua các giá trị J dish , C1 và C2 Do ñó, việc bỏ qua các yếu tố mạch ngoài và áp ñặt trước lên mô hình một giá trị thế phóng ñiện trên bề mặt cathode

là không hợp lý Vì vậy, việc kết hợp với các tham số vĩ mô mạch ngoài làm cho mô hình gần với thực tế hơn

Chú ý rằng, vì các hệ số C1 và C2 phụ thuộc vào thế Poisson V P và Laplace V L,

nên chúng phải ñược xác ñịnh trước khi tính thế phóng ñiện tại bề mặt cathode U 0 Thế Laplace chỉ cần tính duy nhất một lần khi chương trình mô phỏng bắt ñầu chạy, nhưng thế Poisson phải ñược giải sau mỗi chu kỳ tính toán ∆t của mô hình

Sau cùng, ñiện trường trên các nút lưới ñược tính từ hệ thức

,2

2.2.1.4 Nội suy các trường trên lưới ñến vị trí các siêu hạt

Sau khi xác ñịnh ñược từ trường ngoài gây ra bởi các nam châm và ñiện trường gây ra bởi phân bố của các hạt mang ñiện và mạch ngoài tại các nút lưới, các siêu hạt bị di chuyển bởi sự tác dụng của các trường này Nên các trường này phải ñược nội suy ñến vị trí của các siêu hạt Cách thực hiện cũng tương tự như phân chia ñiện tích của siêu hạt Ví dụ ở hình 2.3, ñiện trường tác dụng lên siêu hạt tại vị trí (r k , z k) là

với EA, EB, EC và ED tương ứng là ñiện trường tại các nút lưới A, B, C và D Cách áp

dụng cũng tương tự cho từ trường B

2.2.1.5 Giải phương trình Newton – Lorentz

Các siêu hạt có cùng ñiểm chung với các hạt thực là tỉ lệ ñiện tích trên khối lượng của chúng là như nhau Do ñó, khi các siêu hạt chịu tác dụng của ñiện trường và

từ trường, phương trình chuyển ñộng của chúng cũng giống như phương trình chuyển ñộng của hạt thực nghĩa là thỏa phương trình chuyển ñộng Newton – Lorentz

Sơ ñồ của phương pháp này ñược minh họa ở hình 2.5 Cần chú ý rằng, trong

phương pháp này do u và r không ñược biết tại cùng một thời ñiểm, nên khi lấy giá trị

của chúng tại thời ñiểm t = 0, ta phải ñẩy lùi 0

u thành −∆t2

u

Hình 2.5 Sơ ñồ của phương pháp nhảy cóc hiện Vị trí của một hạt ñược ñẩy từ thời

ñiểm t ñến thời ñiểm t+ ∆t, nhưng vận tốc chỉ biết ở thời ñiểm t+ ∆t 2 [10]

Trong mô hình của chúng tôi, phương trình (2.42a) ñược giải bằng phương pháp Boris [10] Vế phải của phương trình (2.42a) chứa hai số hạng gồm số hạng gia tốc dọc theo ñiện trường và số hạng quay quanh ñường sức từ Do số hạng thứ nhất ảnh hưởng lên ñộ lớn của vận tốc, trong khi số hạng thứ hai chỉ ảnh hưởng lên hướng của

nó, nên hai số hạng này có thể giải riêng biệt với nhau Tại thời ñiểm t, việc quay vận

tốc ñược thực hiện giữa hai lần gia tốc một nửa Giản ñồ ñược cho ở hình 2.6, với u −

và u + là hai vận tốc trung gian giả ñịnh

Hình 2.6 Giản ñồ giải phương trình chuyển ñộng của phương pháp Boris

Trước tiên, vận tốc trung gian u là kết quả tác dụng của ñiện trường trong −

khoảng thời gian ∆t 2

t + ∆ cần ñược xác ñịnh Vì hệ tọa ñộ luôn bị quay theo hướng φ, nên từ phương trình t

y=uϕ+∆ ∆ Sau khi tọa ñộ t t+∆t

r ñược biết, vận tốc phải ñược

biến ñổi về hệ tọa ñộ mới bằng phép toán quay hệ tọa ñộ theo hướng φ một góc α

Trong mô hình, ion gây phát xạ electron thứ cấp ñược mô tả bằng xác suất phát xạ Với ion argon gây phát xạ electron thứ cấp và cathode là vật liệu kim loại ñơn chất, như Cu, Al hoặc Ti, thì hệ số phát xạ electron thứ cấp (secondary electron emission cofficient – SEEC) của chúng thường nhỏ hơn 1.0 [1, 2, 20, 61] Nên khi một ion argon ñến va vào bề mặt cathode, nó bị loại khỏi vùng phóng ñiện, ñồng thời một

số ngẫu nhiên phân bố ñồng nhất trong khoảng (0, 1) ñược khởi tạo Nếu số ngẫu nhiên này nhỏ hơn hoặc bằng SEEC, một electron thứ cấp ñược bắn vào mô hình từ vị trí của

ion ñến, với năng lượng ban ñầu E e = 4 eV [12].Hướng vận tốc ban ñầu trong tọa ñộ trụ của electron thứ cấp tuân theo ñịnh luật phân bố cosin [12, 27]

x y

e

qE u

m

ππ

Từ ñây ñến hết luận văn, nếu không có sự thay ñổi, chúng ta quy ước R là số ngẫu nhiên phân bố

ñồng nhất trong khoảng (0, 1) Trong trình biên dịch Intel Fortran Compiler, chúng tôi dùng thủ tục tạo

số ngẫu nhiên random_number(R) có chu kỳ 1018-1.

Khi một electron va vào bề mặt cathode, nó có thể bị phản xạ hoặc hấp thụ Khả năng phản xạ ñược ñặc trưng bởi hệ số phản xạ RC (reflection coefficient) Theo [49], chưa có công trình thực nghiệm xác ñịnh RC trong phóng ñiện magnetron Do ñó,

RC ñược dùng làm tham số hiệu chỉnh ñể kết quả của mô phỏng phù hợp với thực nghiệm [12] Trong mô hình của chúng tôi, tương tự sự phát xạ electron thứ cấp, sự phản xạ của electron tại cathode ñược mô tả bằng xác suất phản xạ Khi một electron ñến va vào bề mặt cathode, một số ngẫu nhiên phân bố ñồng nhất trong khoảng (0, 1) ñược khởi tạo Nếu số ngẫu nhiên này nhỏ hơn hoặc bằng RC, electron bị phản xạ trở

lại vùng phóng ñiện với ñộng năng E e = 4 eV [12]và hướng vận tốc tuân theo ñịnh luật phân bố cosin, như công thức (2.79) Ngược lại, nếu số ngẫu nhiên lớn hơn RC thì electron này bị hấp thụ và loại khỏi vùng phóng ñiện

2.2.1.7 ðộ ổn ñịnh và chính xác của PIC

Mô hình PIC là sự xấp xỉ rời rạc hóa môi trường vật lý liên tục, nên nó dẫn ñến sự nhiễu số Ba dạng xấp xỉ rời rạc của mô hình là giới hạn số siêu hạt, bước nhảy thời gian và kích thước ô lưới Nếu số siêu hạt gần với số hạt thực, và nếu bước nhảy thời gian và kích thước ô lưới tiến về không, thì sự nhiễu số có thể ñược khử

Số siêu hạt cần ñủ nhỏ ñể có thể tính toán trong thời gian hợp lý, nhưng cũng

phải ñủ lớn ñể tăng tính thống kê Mỗi siêu hạt tương ứng với W hạt thực (W ñược gọi

là trọng số của siêu hạt) Tùy thuộc vào môi trường phóng ñiện cụ thể, hệ số W ñược chọn tối ưu cho môi trường ấy Trong mô hình tính toán của chúng tôi, hệ số W có giá

trị trong khoảng 106 – 108

Bước nhảy thời gian phải ñủ lớn ñể giới hạn thời gian tính toán, nhưng cũng phải ñủ nhỏ ñể khử nhiễu số Phương pháp PIC sử dụng giản ñồ sai phân hữu hạn nhảy cóc hiện ñể giải phương trình Newton – Lorentz ðộ ổn ñịnh và chính xác của giản ñồ này ñược kiểm tra bởi phương trình dao ñộng tử ñiều hòa mô tả sự dao ñộng của plasma ðiều kiện ổn ñịnh tối ưu là [10]

0 t 0.2

với ω0 là tần số lớn nhất của các dao ñộng trong môi trường plasma Trong phóng ñiện magnetron DC, ω0 ñược thay bởi tần số dao ñộng cao nhất, là tần số dao ñộng plasma của electron ωe(công thức 1.3)

chúng tôi, là hướng z, ở vùng sụt thế cathode Theo [44] giới hạn dưới cho kích thước ô

lưới z∆ thỏa ñiều kiện Courant

Hình 2.7 Chu kỳ tính toán của PIC/MCC trong một bước nhảy thời gian t∆ [9, 74]

Chu kỳ tính toán của phương pháp PIC/MCC trong một bước nhảy thời gian

t

∆ ñược thể hiện ở hình 2.7 Các bước của phương pháp PIC ñã ñược thực hiện ở phần trên Thủ tục MCC ñược gọi sau khi các hạt ñược kiểm tra ñiều kiện biên Trong thủ tục MCC, tất cả các va chạm của các hạt có thể xảy ra trong một bước nhảy thời gian ñược xét ñến Nếu có va chạm xảy ra, vận tốc của hạt sau va chạm ñược tính toán Một

số hạt mới có thể ñược sinh ra do va chạm ion hóa, hoặc có thể mất ñi do tái hợp

Tích phân phương trình chuyển ñộng, dịch chuyển hạt

Va chạm Monte Carlo

'

k → k

Tuy nhiên, phương pháp MCC truyền thống tốn nhiều thời gian tính toán ñể

xác ñịnh thời ñiểm va chạm cho tất cả các hạt, thêm vào ñó, v không phải là hằng số

Hơn nữa, nó khó kết hợp với phương pháp PIC có bước nhảy thời gian của các hạt chuyển ñộng là như nhau ðể khắc phục các khó khăn này, chúng tôi ñã sử dụng

phương pháp Monte Carlo không va chạm (null collision) kết hợp với PIC [9, 74]

Như ñã ñề cập ở phần trên, trong phương pháp PIC, các siêu hạt có cùng một

bước nhảy thời gian t∆ rất nhỏ Khi kết hợp PIC với MCC, ta có xác suất va chạm của

phương pháp không va chạm trong khoảng thời gian t∆ là [74]

1 exp

null max

Nếu N part là tổng số hạt của một loại hạt thì số hạt lớn nhất của loại hạt ñó tham gia va

chạm N coll ñược cho bởi

1 exp

coll part null part max

N =N P =N  − −v ∆t  (2.65) Hạt tham gia va chạm ñược chọn ngẫu nhiên Mỗi hạt ñược kiểm tra cho một loại va chạm như sau