MÔ PHỎNG QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN VẬT CHẤT Ô NHIỄM DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA CÁC YẾU TỐ ĐỘNG LỰC TẠI VỊNH CAM RANH BẰNG MÔ HÌNH SỐ

Header Page of 16 ðẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ HOÀNG NAM MÔ PHỎNG PLASMA PHÓNG ðIỆN KHÍ ARGON TRONG HỆ PHÚN XẠ MAGNETRON DC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PIC/MCC Chuyên ngành: Vật Lý Vô Tuyến ðiện Tử Mã số: 60 44 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ VĂN HIẾU Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 Footer Page of 16 Header Page of 16 Lời cảm ơn Tôi biết ơn sâu sắc ñến thầy Lê Văn Hiếu, người ñã tận tình dạy hướng dẫn từ sinh viên cho ñến thực luận văn Tôi biết ơn Thầy, Cô Bộ môn Vật lý Ứng dụng ñã truyền ñạt kiến thức quý báu cho năm học qua Cảm ơn bạn Nguyễn ðức Hảo ñã giúp có hiểu biết hệ phún xạ magnetron thực thế, nữa, bạn ñã ñọc chỉnh sửa luận cho Cảm ơn bạn học viên cao học khóa 17 hai lớp Quang học Vật lý Vô tuyến ðiện tử, ñã ñồng hành suốt ba năm học vừa qua Minh nhớ lần học nhóm ñi chơi xa bạn Cảm ơn ñến cô Phượng, chị Trang, em Loan, Hưng An Không có máy tính cô, chị em ñề tài thực ñược Footer Page of 16 i Header Page of 16 Mục lục Mở ñầu Chương TỔNG QUAN 1.1 Plasma phóng ñiện sáng DC hệ phún xạ magnetron 1.1.1 Khái niệm plasma 1.1.2 Phóng ñiện sáng DC 1.1.3 Hệ phún xạ magnetron 1.2 Các bước xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo 1.2.1 Từ trường 1.2.2 Phóng ñiện magnetron 1.2.3 Tương tác hạt – bia 1.2.4 Vận chuyển hạt pha khí 10 1.2.5 Phát triển màng ñế 10 1.3 Các mô hình mô phóng ñiện magnetron 10 1.3.1 Mô hình giải tích 11 1.3.2 Mô hình chất lưu 11 1.3.3 Mô hình hạt 12 1.3.4 Mô hình lai 14 Chương XÂY DỰNG MÔ HÌNH MÔ PHỎNG PHÓNG ðIỆN MAGNETRON KHÍ ARGON 15 2.1 Từ trường tĩnh hệ magnetron phẳng tròn ñối xứng trục 15 2.2 Mô PIC/MCC áp dụng cho mô phóng ñiện magnetron 18 2.2.1 Mô PIC 18 2.2.1.1 Phân chia ñiện tích siêu hạt cho nút lưới 19 2.2.1.2 Giải phương trình Poisson lưới 20 2.2.1.3 Kết hợp mạch ñiện 22 2.2.1.4 Nội suy trường lưới ñến vị trí siêu hạt 26 2.2.1.5 Giải phương trình Newton – Lorentz 26 2.2.1.6 Kết hợp tương tác plasma – bề mặt 29 2.2.1.7 ðộ ổn ñịnh xác PIC 30 2.2.2 Mô MCC 31 2.2.2.1 Phương pháp không va chạm 32 2.2.2.2 Các loại va chạm mô hình 34 2.2.2.3 Vận tốc sau va chạm 36 Footer Page of 16 v Header Page of 16 2.3 Các phương pháp làm tăng tốc ñộ tính toán 39 2.3.1 Các phương pháp tăng tốc cho máy tính ñơn xử lý 40 2.3.1.1 Sự thay chu kỳ 40 2.3.1.2 Cải tiến không gian pha ban ñầu 41 2.3.2 Phương pháp tính toán hạt song song 41 2.3.2.1 Mô tả tính toán hạt song song 42 2.3.2.2 Thư viện lập trình song song MPI 42 2.3.2.3 Ước lượng ñộ lợi tính toán hạt song song 44 2.4 Cấu trúc chương trình mô 45 2.4.1 Mã 46 2.4.2 Mã tính toán hạt song song 47 Chương KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 49 3.1 Sự phân bố từ trường hệ magnetron 49 3.2 ðộ lợi tính toán hạt song song 51 3.3 Trạng thái dừng mô hình 54 3.4 Bức tranh phóng ñiện khí argon hệ magnetron 59 3.4.1 Sự phân bố ñiện ñiện trường 59 3.4.2 Sự phân bố theo tọa ñộ electron ion 63 3.4.3 Sự phân bố tốc ñộ va chạm 67 3.4.4 Hàm xác suất lượng electron 72 3.4.5 Sự phân bố ion argon bề mặt cathode 73 Kết luận 78 Danh mục công trình tác giả 80 Tài liệu tham khảo 81 Phụ lục A 88 Phụ lục B 94 Footer Page of 16 vi Header Page of 16 Danh mục hình vẽ bảng Hình 1.1 Phân loại plasma phòng thí nghiệm không gian dựa giản ñồ log n theo log Te Hình 1.2 Các ñại lượng ñặc trưng phóng ñiện sáng DC .6 Hình 1.3 Magnetron phẳng (a) tròn (b) chữ nhật Các ñường cong bề mặt cathode ñường sức từ .8 Hình 1.4 Các bước xây dựng hệ phún xạ magnetron ảo máy tính .9 Hình 2.1 Sơ ñồ cấu tạo magnetron phẳng tròn ñối xứng trục Hai nam châm vĩnh cửu S N tạo từ trường có ñường sức cong bề mặt cathode .15 Hình 2.2 Chu kì tính toán mô PIC bước nhảy thời gian ∆t 18 Hình 2.3 Phân chia ñiện tích theo thể tích hệ tọa ñộ trụ siêu hạt tọa ñộ (rk, zk) cho nút lưới gần A, B, C D Ví dụ ñiện tích ñược phân chia cho ñiểm C ñiện tích qk nhân với phần thể tích ñược tạo từ phần diện tích ñược bôi mờ quay xung quanh trục z, chia cho thể tích vòng vằn khăn ABCD .19 Hình 2.4 ðịnh lý Gauss hộp bao quanh nút lưới (0, 0), (0, j) (0, Nr1) bề mặt cathode 23 Hình 2.5 Sơ ñồ phương pháp nhảy cóc Vị trí hạt ñược ñẩy từ thời ñiểm t ñến thời ñiểm t + ∆t , vận tốc biết thời ñiểm t + ∆t 27 Hình 2.6 Giản ñồ giải phương trình chuyển ñộng phương pháp Boris 27 Hình 2.7 Chu kỳ tính toán PIC/MCC bước nhảy thời gian ∆t 32 Hình 2.8 Tiết diện va chạm electron – nguyên tử argon .35 Hình 2.9 Tiết diện va chạm ion argon – nguyên tử argon 35 Hình 2.10 Sơ ñồ truyền liệu từ xử lý có rank = ñến xử lý nhóm (a) trao ñổi thông tin ñiểm – ñiểm (b) trao ñổi thông tin tập hợp 43 Hình 2.11 Sơ ñồ cấu trúc vòng lặp vật lý chương trình 45 Hình 3.1 Sự phân bố thành phần từ trường theo hướng bán kính, Br, magnetron 49 Footer Page of 16 ii Header Page of 16 Hình 3.2 Sự phân bố thành phần từ trường theo hướng trục z, Bz, magnetron 50 Hình 3.3 Từ trường Br hai vị trí z = mm z = 12 mm ðường liền nét kết tính toán ñề tài này, ñường ñứt nét kết phần mềm FEMM 50 Hình 3.4 Từ trường Bz hai vị trí r = 13.5 mm r = 25 mm ðường liền nét kết tính toán ñề tài này, ñường ñứt nét kết phần mềm FEMM 51 Hình 3.5 Sự phụ thuộc thời gian chạy theo số xử lý Nproc trường hợp số siêu hạt ban ñầu thay ñổi từ 500,000 ñến 2,000,000 hạt 52 Hình 3.6 Sự phụ thuộc ñộ lợi Gain theo số xử lý Nproc trường hợp số siêu hạt ban ñầu thay ñổi từ 500,000 ñến 2,000,000 hạt 53 Hình 3.7 Sự biến thiên lượng trung bình (KE) mật ñộ hạt suốt thời gian mô Khoảng thời gian giả dừng mô hình từ − µ s 54 Hình 3.8 Sự thay ñổi tổng số siêu hạt ion (ñường liền nét) electron (ñường ñứt nét) theo thời gian ba trường hợp I, II III 57 Hình 3.9 Sự thay ñổi lượng trung bình tổng số siêu hạt ion (ñường liền nét) electron (ñường ñứt nét) theo thời gian ba trường hợp I, II III 58 Hình 3.10 Sự thay ñổi phóng ñiện cathode theo thời gian ba trường hợp I, II III .58 Hình 3.11 Sự phân bố (a) toàn vùng mô (b) ba vị trí r = 8.05 mm, 13.56 mm 19.25 mm .60 Hình 3.12 Các thành phần ñiện trường E (a) Ez theo hướng trục z (b) Er theo hướng bán kính r 62 Hình 3.13 Không gian pha (r, z) (a) electron (b) ion 63 Hình 3.14 Không gian pha (z, uz) (a) electron (b) ion 64 Hình 3.15 Sự phân bố mật ñộ (a) electron (b) ion 65 Hình 3.16 Sự phân bố mật ñộ ion (ñường liền nét) electron (ñường ñứt nét) vị trí r = 13.65 mm dọc theo trục z 66 Hình 3.17 Mật ñộ ñiện tích không gian .67 Footer Page of 16 iii Header Page of 16 Hình 3.18 Sự phân bố tốc ñộ va chạm ñàn hồi electron với nguyên tử argon 68 Hình 3.19 Sự phân bố tốc ñộ va chạm kích thích electron với nguyên tử argon 68 Hình 3.20 Sự phân bố tốc ñộ va chạm ion hóa electron với nguyên tử argon 69 Hình 3.21 Sự phân bố tốc ñộ va chạm kích thích (ñường liền nét) va chạm ion hóa (ñường ñứt nét) electron với nguyên tử argon vị trí r = 13.65 mm dọc theo trục z .70 Hình 3.22 Sự phân bố tốc ñộ va chạm ñàn hồi ion argon với nguyên tử argon 71 Hình 3.23 Sự phân bố tốc ñộ va chạm chuyển ñiện tích ion argon với nguyên tử argon 71 Hình 3.24 Hàm xác suất lượng electron (EEPF) vùng 10 mm ≤ r ≤ 17 mm 15 mm ≤ z ≤ 20 mm Một dạng xấp xỉ EEPF phân bố hai Maxwell với hai nhiệt ñộ k BTc = 1.25 eV k BTh = 4.5 eV .72 Hình 3.25 Sự phân bố ion argon theo lượng tọa ñộ bề mặt cathode (a) toàn miền, (b) ba vị trí r = 12 mm , 14 mm 16 mm IDFC bị chia thành hai vùng, vùng có 210eV < energy < 275eV , vùng hai có energy ≈ 200eV 74 Hình 3.26 Sự phân bố ion argon theo lượng góc tới bề mặt cathode (a) toàn miền, (b) bốn góc tới theta = 900, 88.50, 82.50 78.50 .75 Hình 3.27 Kết tính toán thông lượng ion argon ñến bề mặt bia 77 Hình A Một phần tử hữu hạn hình chữ nhật 91 Bảng B Hệ số nhân bước nhảy thời gian giả 97 Footer Page of 16 iv Header Page of 16 Mở ñầu Hơn nửa kỷ qua, vật liệu linh kiện màng mỏng ñã ñược chế tạo nhằm ứng dụng thực tiễn ngày ñang ñóng vai trò trung tâm nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật ñời sống Phương pháp phún xạ magnetron xuất từ sớm thông dụng ñể lắng ñọng loại màng mỏng kim loại, bán dẫn ñiện môi ðây vật liệu ñược sử dụng nhiều thiết bị vi ñiện tử, quang – ñiện ðể hiểu ñiều khiển ñược trình phức tạp xảy trình tạo màng buồng phóng ñiện magnetron, cần phải có nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm ñối với trình vật chất xảy môi trường phóng ñiện magnetron Một mô hình giải tích ñơn giản khó mô tả thỏa ñáng môi trường phóng ñiện hệ magnetron ñiện trường từ trường ña chiều không ñồng Các thực nghiệm cho thấy số ñặc trưng phóng ñiện không cung cấp tranh toàn diện trình vật chất hệ magnetron Một ví dụ phương pháp ño ñạc ñầu dò ñiện Langmuir Phương pháp cung cấp thông tin ñặc trưng ñiện ñộng plasma mật ñộ nhiệt ñộ electron thể tích plasma Tuy nhiên, ñầu dò gây ảnh hưởng trở lại môi trường plasma Hơn nữa, ñầu dò ño ñạc vùng sát bề mặt cathode, mà ñó hầu hết trình quan trọng phún xạ xảy Thêm vào ñó, thực nghiệm thường phức tạp tốn Ngược lại, mô hình số ñược xây dựng máy tính, không ảnh hưởng mà cung cấp cho ta tranh toàn diện trình xảy buồng phóng ñiện magnetron Ngày nay, với tiến vượt bậc ngành khoa học máy tính phương pháp mô trình vật chất plasma máy tính, việc xây dựng thành công công cụ thí nghiệm ảo máy tính cho hệ phún xạ magnetron ngày thực Footer Page of 16 Header Page of 16 Trong luận văn này, thực hai module mô từ trường mô plasma phóng ñiện khí argon hệ phún xạ magnetron phẳng tròn DC Module từ trường ñược thực phương pháp phần tử hữu hạn ñược viết ngôn ngữ lập trình MATLAB Module phóng ñiện magnetron ñược thực phương pháp mô particle-in-cell/Monte Carlo collisions (PIC/MCC) ñược viết ngôn ngữ lập trình FORTRAN dạng mã mã tính toán hạt song song Mã tính toán hạt song song ñược thực thư viện lập trình song song MPI (message passing interface) Một hệ thống cluster ñược thiết lập ñể ñánh giá ñộ lợi song song mô hình Sau xác ñịnh trạng thái dừng mô hình, thu ñược tranh toàn ñiện phóng ñiện magnetron khí argon, gồm có: phân bố ñiện ñiện trường, hàm xác suất lượng electron vùng thể tích plasma, phân bố ion argon bề mặt cathode Footer Page of 16 Header Page 10 of 16 Chương TỔNG QUAN 1.1 Plasma phóng ñiện sáng DC hệ phún xạ magnetron 1.1.1 Khái niệm plasma Từ “plasma” ñược giới thiệu lần ñầu tiên Langmuir vào năm 1928 Ngoài ba trạng thái rắn, lỏng khí, plasma trạng thái thứ tư vật chất, chiếm 99% lượng vật chất vũ trụ, môi trường dẫn ñiện gồm hạt mang ñiện hạt trung hòa Nhìn chung có hai trình xảy môi trường plasma trình không tập hợp trình tập hợp [1] Quá trình không tập hợp liên quan tới tương tác gần hạt với (gọi va chạm cặp - binary collision) tương tác hạt với thành bình Quá trình tập hợp liên quan tới tương tác xa hạt mang ñiện với nhau, hạt mang ñiện với trường chúng sinh (gọi trường tự hợp) với ñiện trường từ trường Khi hạt mang ñiện chuyển ñộng, gây tích tụ cục ñiện tích âm dương, mà làm thay ñổi ñiện trường bao quanh Thêm vào ñó, chuyển ñộng thành dòng, hạt mang ñiện sinh từ trường Các trường ảnh hưởng lên chuyển ñộng toàn hạt mang ñiện hệ Một ñại lượng ñặc trưng cho trình tập hợp bán kính Debye λDe ,i [1, 21] 12 λDe ,i  ε k T  =  B e ,i  ,  qe,i ne ,i  (1.1) ñây, ε số ñiện môi chân không, k B số Boltzmann, ni ne tương ứng mật ñộ hạt mang ñiện dương (ion) âm (electron), Te Ti tương ứng nhiệt ñộ electron ion, q ñiện tích Bán kính Debye hạt cho biết hạt tác dụng Footer Page 10 of 16 Header Page 90 of 16 [32] http://sites.google.com/site/kalypsosimulation/Home [33] http://software.intel.com/en-us/articles/non-commercial-software-evelopment/ [34] http://www.femm.info/wiki/HomePage [35] http://www.fzd.de/db/Cms?pOid=21578&pNid=0&pLang=de [36] http://www.infolytica.com/en/products/trial/magnet.aspx [37] http://www.mcs.anl.gov/mpi/mpi-report-1.1/mpi-report.html [38] http://www.mcs.anl.gov/research/projects/mpi/mpich1/download.html [39] http://www.mpi-forum.org/docs/mpi-11-html/mpi-report.html [40] http://www.srim.org/ [41] http://www.txcorp.com/downloads/index.php [42] Ido S and Nakamura K (1996), “Computational simulations on electron orbits in the magnetron sputtering plasmas”, Vacuum., 47(6-8), pp 1035-1038 [43] Jin J (2002), The Finite Element Method in Electromagnetics, Second edition, Wiley-IEEE Press [44] Kawamura E, Birdsall C K and Vahedi V (2000), “Physical and numerical methods of speeding up particle codes and paralleling as applied to rf discharges”, Plasma Sources Sci Technol., 9(3), pp 413-428 [45] Kolev I (2007), Particle-in-cell-Monte-Carlo collisions simulations for a direct current planar magnetron discharge Ph.D thesis, University of Antwerp, Belgium [46] Kolev I and Bogaerts A (2006), “Detailed numerical investigation of a DC sputter magnetron”, IEEE Trans Plasma Science., 34, pp 886-894 [47] Kolev I and Bogaerts A (2006), “PIC-MCC numerical simulation of a DC planar magnetron”, Plasma Process Polym., 3, pp.127-134 [48] Kolev I and Bogaerts A (2009), “Numerical study of the sputtering in a dc magnetron”, J Vac Sci Technol., A, 27, pp 20-28 Footer Page 90 of 16 84 Header Page 91 of 16 [49] Kolev I, Bogaerts A and Gijbels R (2005), “Influence of electron recapture by the cathode upon the discharge characteristics in dc planar magnetrons”, Phys Rev E., 72, 056402 [50] Kondo S and Nanbu K (1999), “A self-consistent numerical analysis of a planar dc magnetron discharge by the particle-in-cell/Monte Carlo method”, J Phys D: Appl Phys., 32, pp.1142-1152 [51] Kusumoto Y and Iwata K (2004), “Numerical study of the characteristics of erosion in magnetron sputtering”, Vacuum., 74(3-4), pp 359-365 [52] Kwon U H, Choi S H, Park Y H and Lee W J (2005), “Multi-scale simulation of plasma generation and film deposition in a circular type DC magnetron sputtering system”, Thin Solid Films., 475, pp 17–23 [53] Kwon Y W and Bang H (1996), The Finite Element Method Using MATLAB, Second edition, CRC-Press [54] Lieberman M A and Lichtenberg A J (2005), Principles of Plasma Discharges and Materials Processing, Second edition , John Wiley & Sons Inc [55] Makabe T and Petrovic Z (2006), Plasma Electronics: Applications in Microelectronic Device Fabrication, Taylor & Francis Group [56] Miranda J E, Goeckner M J, Goree J and Sheridan T E (1990), “Monte Carlo simulation of ionization in a magnetron plasma”, J Vac Sci Technol., A8, pp 1627-1631 [57] Nanbu K (2000), “Probability theory of electron-molecule, ion-molecule, molecule-molecule, and Coulomb collisions for particle modeling of materials processing plasmas and gases”, IEEE Trans on Plasma Science., 28(3), pp 971990 [58] Nanbu K and Kondo S (1997), “Analysis of 3-D DC magnetron discharge by the particle-in-cell/Monte Carlo method”, Jpn J Appl Phys., 36(7B), pp 4808– 4814 Footer Page 91 of 16 85 Header Page 92 of 16 [59] Nanbu K, Segawa S and Kondo S (1996), “Self-consistent particle simulation of three-dimensional dc magnetron discharge”, Vacuum., 47(6-8), pp 1013-1016 [60] Nastasi M, Hirvonen J K, and Mayer J W (1996), Ion-Solid Interactions: Fundamentals and Applications, Cambridge University Press [61] Raizer Y R (1991), Gas Discharge Physics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [62] Seo S H, In J H and Chang H Y (2005), “Time evolution of electron energy distribution function and plasma parameters in pulsed and unbalanced magnetron argon discharge”, J Appl Phys., 98, 043301(1-7) [63] Seo S H, In J H and Chang H Y (2004), “Effects of substrate bias on electron energy distribution in magnetron sputtering system”, Phys Plasmas., 11, pp 4796-4800 [64] Sheridan T E, Goeckner M J and Goree J (1990), “Electron and ion transport in magnetron plasmas”, J Vac Sci Technol., A8, pp 1623-1626 [65] Sheridan T E, Goeckner M J and Goree J (1991), “Observation of twotemperature electrons in a sputtering magnetron plasma”, J Vac Sci Technol., A9, pp 688-690 [66] Shidoji E and Makabe T (2003), “Magnetron plasma structure with strong magnetic field”, Thin Solid Films., 442, p 27–31 [67] Shidoji E, Ness K and Makabe T (2001), ”Influence of gas pressure and magnetic field upon dc magnetron discharge”, Vacuum., 60, pp 299-306 [68] Shon C H, Lee J K, Lee H J, Yang Y and Chung T H (1998), “Velocity distributions in magnetron sputter”, IEEE Trans Plasma Science, 26(6), pp 1635-1644 [69] Shon C H, Park J S, Kang B K and Lee J K (1999), “Kinetic and steady-state properties of magnetron sputter with three-dimensional magnetic field” , Jpn J Appl Phys 38, pp 4440-4449 Footer Page 92 of 16 86 Header Page 93 of 16 [70] Sigurjonsson P and Gudmundsson J T (2008), “Plasma parameters in a planar dc magnetron sputtering discharge of argon and krypton”, Journal of Physics: Conference Series.,100, 062018 [71] Spolaore M, Antoni V, Bagatin M, Buffa A, Cavazzana R, Desideri D, Martines E, Pomaro N, Serianni G and Tramontin L (1999), “Automatic Langmuir probe measurement in a magnetron sputtering system”, Surf Coat Technol., 116–119, pp 1083–1088 [72] Swarztrauber P N (1974), “ A direct method for the discrete solution of separable elliptic equations”, SIAM Journal on Numerical Analysis., 11, pp 1136-1150 [73] Vahedi V and DiPeso G (1997), “Simultaneous potential and circuit solution for two-dimensional bounded plasma simulation codes”, Journal of Computational Physics., 131, pp.149-163 [74] Vahedi V and Surendra M (1995), “A Monte Carlo collision model for the particle-in-cell method: applications to argon and oxygen discharges”, Comput Phys Commun., 87, pp 179-198 [75] Verboncoeur J P, Alves M V, Vahedi V and Birdsall C K (1993), “Simultaneous potential and circuit solution for 1d bounded plasma particle simulation codes”, Journal of Computational Physics., 104, pp 321-328 [76] Yonemura S and Nanbu K (2003), “Self-consistent particle-in-cell/Monte Carlo simulation of RF magnetron discharges of oxygen/argon mixture: effects of partial pressure ratio”, IEEE Trans Plasma Science., 31(4), pp 479-487 Footer Page 93 of 16 87 Header Page 94 of 16 Phụ lục A Phân tích từ trường tĩnh ñối xứng trục phương pháp phần tử hữu hạn Nếu ta ñặt ψ ' = rAϕ , phương trình (2.5) ñược viết lại f (ψ ') = ∂  ∂ψ '  ∂  ∂ψ '  + + jmϕ = ∂z  µ r ∂z  ∂r  µ r ∂r  (A.1) Nếu ta gọi ψ xấp xỉ ψ ' f (ψ ) = R ≠ , R ñược gọi giá trị thặng dư Bởi ψ lệch khỏi lời giải xác ψ ' , nên thặng dư R không ñược bỏ ñi toàn miền không gian toán ðể thu ñược lời giải tốt nhất, phải nhận ñược tích phân R toàn miền S toán nhỏ 2π ∫∫S Rrdrdz → (A.2) Nếu ta chọn ñược hàm trọng số (hàm kiểm tra) w cho giá trị trung bình toàn miền toán không, ∫∫ S wRrdrdz = (A.3) Hàm trọng số w ñược chọn hàm nội suy N Thay hàm nội suy N giá trị thặng dư R vào (A.3), ta thu ñược ∫∫ S  ∂  ∂ψ  ∂  ∂ψ   Nr   +    drdz + ∫∫S Njmϕ rdrdz =  ∂z  µ r ∂z  ∂r  µ r ∂r   (A.4) Sử dụng tích phân phần cho số hạng thứ  ∂  ∂ψ   ∂  ∂ψ  ∂ψ ∂ ( Nr ) Nr drdz Nr drdz = −   ∫∫S ∂z  µ r ∂z  ∫∫S ∂z  µ r ∂z  ∫∫S µ r ∂z ∂z drdz , (A.5)   số hạng thứ hai  ∂  ∂ψ   ∂  ∂ψ  ∂ψ ∂ ( Nr ) Nr drdz Nr drdz drdz (A.6) = −     ∫∫ ∫∫   S S S µ µ µ r r r r r r r r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂      ∫∫ Footer Page 94 of 16 88 Header Page 95 of 16 Cộng hai số hạng với nhau, ñược ∫∫ S  ∂  N ∂ψ  ∂  N ∂ψ     +    drdz  ∂z  µ ∂z  ∂r  µ ∂r    ∂ψ ∂ ( Nr ) ∂ψ ∂ ( Nr )  − ∫∫S  + drdz µ r ∂r ∂r   µ r ∂z ∂z (A.7) Chúng ta ñặt Gr = − N ∂ψ N ∂ψ , Gz = , µ ∂z µ ∂r (A.8) áp dụng ñịnh lý Green mặt phẳng, hai số hạng ñầu (A.7)  ∂Gz ∂Gr  −  drdz = ∫ L ( Gz dr + Gr dz ) S ∂r ∂z  ,  ∂ψ dr ∂ψ dz  = ∫L N  − ds r r ds r z ds µ µ ∂ ∂   ∫∫  (A.9) với L ñường cong kín nằm dọc theo biên mặt S, ds ñơn vị ñộ dài L Gọi n pháp vector hướng L, n = ( dr , −dz ) ds = ( nr , nz ) Công thức (A.9) ñược viết lại  ∂Gz ∂Gr − S ∂r ∂z ∫∫   ∂ψ  ∂ψ   drdz = ∫ L N  µ r ∂r nr + µ r ∂z nz ds    (A.10) Sử dụng ñiều kiện biên tự nhiên (2.9) với việc ñặt ψ = rAϕ , biểu thức (A.10) không, ñó phương trình (A.4) ñược giản lược thành  ∂ψ ∂N ∂ψ ∂N ∂ψ r N + + S ∂r ∂r ∂r µ r  ∂z ∂z ∫∫   drdz = ∫∫S Njmϕ rdrdz (A.11) Mật ñộ dòng jmϕ vector từ hóa M m có mối quan hệ jmϕ = ( ∇ × M m )ϕ Thay phương trình (A.12) vào vế phải (A.11), ta nhận ñược Footer Page 95 of 16 89 (A.12) Header Page 96 of 16  ∂M r ∂M z Nj rdrdz Nr M drdz Nr = ∇ × = ( )  ∂z − ∂r ∫∫ ∫∫ m m ϕ ϕ S S S  ∫∫   drdz  (A.13) Sử dụng phương trình ∂M r ∂ ∂N , NrM r ) = M r r + Nr ( ∂z ∂z ∂z (A.14) ∂M z ∂ ∂N NrM z ) = M z r + M z N + Nr ( ∂r ∂r ∂r (A.15) Thay hai phương trình vào (A.13) ∫∫ S ∂ ∂  Njmϕ rdrdz = ∫∫S  ( NrM r ) − ( NrM z ) drdz ∂r  ∂z  ∂N ∂N   + ∫∫S M z Ndrdz − ∫∫S  M r r − M zr drdz ∂z ∂r   (A.16) Áp dụng lại ñịnh lý Green lên hai số hạng ñầu bên vế phải phương trình trên, sau ∂ ∂   ∂z ( NrM r ) − ∂r ( NrM z ) drdz = ∫ L Nr ( M r dr + M z dz ) (A.17) dr dz   = ∫ L Nr  M r + M z ds = ∫ L Nr ( M r nr − M z nz )ds = ∫ L Nr ( M × n ) ds ϕ ds ds   ∫∫ S Ta biết với vật liệu từ ñẳng hướng, vector từ hóa M cường ñộ từ trường H có mối quan hệ M = χH (A.18) với χ ñộ từ cảm Nên tương tự H, M thỏa ñiều kiện biên tự nhiên, có nghĩa M ×n = 0, (A.19) nên phương trình (A.16) ñược giản lược hai số hạng ñầu bên vế phải Từ ñó phương trình (A.13) ñược rút gọn thành Footer Page 96 of 16 90 Header Page 97 of 16  ∂ψ ∂N ∂ψ ∂N ∂ψ +r +N  µ r  ∂z ∂z ∂r ∂r ∂r   drdz ∂N ∂N   drdz = ∫∫S M z Ndrdz − ∫∫S  M r r − M zr ∂z ∂r   ∫∫ S (A.20) ðể kết toán dễ dàng ñược sử dụng cho phương pháp PIC, thực rời rạc hóa miền không gian toán thành phần tử hữu hạn hình chữ nhật ñồng nhất, có ñộ dài cạnh 2a 2b thấy hình A Hàm ψ ( e ) phần tử hữu hạn chữ nhật thứ e ñược nội suy qua giá trị bốn nút lưới ψ 1( e ) (r1 , z1 ), ψ 2( e ) ( r2 , z2 ), ψ 3( e ) (r3 , z3 ) ψ 4( e ) (r4 , z4 ) , hàm nội suy N ψ ( e ) = ∑ N iψ i( e ) ( ri , zi ) , (A.21) 1 ( a − r )( b − z ) , N = ( a + r )( b − z ) , 4ab 4ab 1 N3 = ( a + r )( b + z ) , N = ( a − r )( b + z ) 4ab 4ab (A.22) i =1 với N1 = z ψ (r4 , z4 ) ( e) ψ 3( e) (r3 , z3 ) b a -a r ψ 1( e ) (r1 , z1 ) -b ψ 2( e) (r2 , z2 ) Hình A Một phần tử hữu hạn hình chữ nhật Footer Page 97 of 16 91 Header Page 98 of 16 Khi ñó, phương trình (A.20) ñược viết cho phần tử hữu hạn thứ e rc( e )  ∂N i ( e )   ∂N j ψ ∑  ∑ µ ( e )  i =1 ∂z i   j =1 ∂z ∫∫ S(e)  ( e )  ∂N i ( e )   ∂N j  ψ i  ∑  + rc  ∑  r ∂ i =    j =1 ∂r       ∂N +  ∑ N j   ∑ i ψ i( e )   drdz  j =1  i =1 ∂r  = ∫∫S M z (e) (e) (A.23)  ( e )  ∂N j   ∂N j     (e) (e)  ∑ N j  drdz − rc ∫∫S  M r  ∑ ∂z  − M z  ∑ ∂z  drdz ,  j =1   j =1   j =1    (e) với rc( e ) S ( e ) tương ứng tọa ñộ tâm miền phần tử thứ e, µ ( e ) M r(,ez) tương ứng ñộ từ thẩm ñộ từ hóa phần tử thứ e Hoặc viết dạng ma trận, ví dụ cho số hạng ñầu bên vế trái phương trình (A.23) rc( e ) ∫∫ S(e)    =  (e)  rc    ∂N i ( e )   ∂N j ψ ∑  ∑ µ ( e )  i =1 ∂z i   j =1 ∂z  ∂N1  a b  ∂N ∫ ∫ ( e)  ∂N − a −b µ   ∂N ∂z   ∂z   ∂N1 ∂z   ∂z  ∂z    drdz   ∂N ∂z ∂N ∂z  ψ 1( e )     (e)   ∂N    ψ   drdz  ψ ( e )  ∂z      ψ ( e )     (A.24) Ta làm tương tự cho số hạng lại Sau cộng số hạng ñược viết dạng ma trận hai vế (A.23), ta nhận ñược phương trình ma trận có dạng  k11 k  21  k31   k41 k12 k22 k32 k13 k23 k33 k42 k43 k14  ψ 1( e )   f1( e )      k24  ψ 2( e )   f 2( e )   = k34  ψ 3( e )   f 3( e )     k44  ψ 4( e )   f 4( e )  (A.25) ñược gọi phương trình ma trận ñịa phương phần tử thứ e ðể thu ñược phương trình ma trận hệ thống toàn miền S, ta sử dụng ñiều kiện biên (2.10) – (2.12) lắp ráp phương trình ma trận ñịa phương với [53] Footer Page 98 of 16 92 Header Page 99 of 16 Chú ý rằng, với sắt vật liệu từ phi tuyến hệ phương trình (A.25) số hạng nguồn f i ( e ) phụ thuộc vào ψ i( e ) qua ñộ từ thẩm µ ( Fe ) sắt, nên hệ phương trình ma trận hệ thống phi tuyến Ta thực việc tuyến tính hóa hệ phương trình giải lặp chúng cho ñến kết ñược hội tụ Sau bước giải lặp hệ phương trình hệ thống, thành phần cảm ứng từ trường B ( e ) phần tử e ñược tính từ phương trình (2.6) Bz( e ) ∂Aϕ( e ) ∂ (e)   ∑ N iψ i  (e) ∂z rc ∂z  i =1  ∂ ∂   = ( e ) ( rAϕ( e ) ) = ( e )  ∑ N iψ i( e )  rc ∂r rc ∂r  i =1  Br = − (e) =− (A.26) cường ñộ từ trường H ñược xác ñịnh H (e) = B(e) µ0 µ r( e ) , (A.27) với µr( e ) ñộ từ thẩm tỉ ñối phần tử thứ e Từ ñường cong từ trễ sắt, ta nội suy cảm ứng từ trường B ( Fe ) sắt, xác ñịnh lại ñộ từ thẩm tỉ ñối sắt µ ( Fe ) r ( Fe ) B = µ0 H ( Fe ) (A.28) Sau cùng, từ phương trình (A.18), ta có vector từ hóa sắt M ( Fe ) = χ ( Fe ) H ( Fe ) = ( µr( Fe ) − 1) H ( Fe ) (A.29) Thay vector từ hóa vào phương trình (A.23) ñể thực bước giải lặp tiếp theo, cho ñến lời giải ñược hội tụ Footer Page 99 of 16 93 Header Page 100 of 16 Phụ lục B Phương pháp luân hướng ẩn (ADI) Phương pháp luân hướng ẩn (alternating direction implicit – ADI) [3, 29] phương pháp tách ñược sử dụng ñể giải toán truyền nhiệt không dừng hai chiều Phương pháp có lợi biến toán ma trận thưa kích thước lớn thành toán ma trận ba ñường chéo Các phương trình Laplace Poisson ñược giải phương pháp ADI cách thêm vào phương trình ñạo hàm theo thời gian giả tạo Phương trình (2.23) ñược viết lại ∂VP = ∇ ( ε 0VP ) + ρ ∂t ( (B.1) ) Toán tử Laplace ∇ ε 0V p ñược viết lại từ hai phương trình (2.21) (2.22) ( ) ∇ ε 0V p = az ;iVP ;i −1, j + bz ;iVP ;i , j + cz ;iVP ;i +1, j + ar ; jVP ;i , j −1 + br ; jVP ;i , j + cr ; jVP ;i , j +1 , (B.2) Sử dụng ô lưới có kích thước ñồng theo hai hướng z r tương ứng ∆z ∆r hệ số biểu thức az ;i = ( ∆z ) ; bz ;i = −2az ;i ; cz ;i = az ;i ; 2ε ε    ; cr ; j =  +  ; 1 −  ; br ; j = − ( ∆r )  j  ( ∆r ) ( ∆r )  j  4ε ; cr ;0 = −br ;0 = 0; br ;0 = − ∆ r ( ) ar ; j = ar ;0 ε0 ε0  (B.3) Thay (B.2) vào (B.1) thực sai phân hữu hạn lên số hạng phụ thuộc thời gian, ta nhận ñược Footer Page 100 of 16 94 Header Page 101 of 16 VPk;+i ,1j − VPk;i , j ∆t = az ;iVP ;i −1, j + bz ;iVP ;i , j + cz ;iVP ;i +1, j (B.4) + ar ; jVP ;i , j −1 + br ; jVP ;i , j + cr ; jVP ;i , j +1 + ρi , j ñây ∆t kích thước bước nhảy thời gian giả, VPk;i , j VPk;+i ,1j tương ứng thời ñiểm t t + ∆t Nếu biết trước giá trị VPk;i , j tất nút lưới, phương pháp ADI thực hai bước quét ñể giải phương trình (B.4) là: Bước 1: quét theo hướng z với nửa bước nhảy thời gian ∆t VPk;+i ,1j − VPk;i , j ∆t = az ;iVPk;+i −11,2j + bz ;iVPk;+i ,1j + cz ;iVPk;+i +11,2j + ar ; jV k P ;i , j −1 + br ; jV k P ;i , j + cr ; jV k P ;i , j +1 (B.5) + ρi , j Gom số hạng thời ñiểm hai vế phương trình trên, ta có ( ) 0.5∆taz ;iVPk;+i −11,2j + 0.5∆tbz ;i − VPk;+i ,1j + 0.5∆tcz ;iVPk;+i +11,2j ( ) = −0.5∆t ar ; jVPk;i , j −1 + br ; jVPk;i , j + cr ; jVPk;i , j +1 + ρi , j − VPk;i , j (B.6) Phương trình (B.6) hệ phương trình ba ñường chéo cho cột thứ j nút lưới Do ñó ñược giải thuật toán ba ñường chéo Thomas [29] Bước 2: quét theo hướng r với nửa bước nhảy thời gian ∆t lại VPk;+i ,1j − VPk;+i ,1j ∆t = az ;iVPk;+i −11,2j + bz ;iVPk;+i ,1j + cz ;iVPk;+i +11,2j , (B.7) + ar ; jVPk;+i ,1j −1 + br ; jVPk;+i ,1j + cr ; jVPk;+i ,1j +1 + ρi , j viết dạng ( ) 0.5∆tar ; jVPk;+i ,1j −1 + 0.5∆tbr ; j − VPk;+i ,1j + 0.5∆tcr ; jVPk;+i ,1j +1 ( ) = −0.5∆t az ;iVP ;i −1, j + bz ;iVP ;i , j + cz ;iVP ;i +1, j + ρi , j − VP ;i , j Footer Page 101 of 16 k +1 k +1 95 k +1 k +1 , (B.8) Header Page 102 of 16 Hệ hệ phương trình ba ñường chéo cho dòng thứ i nút lưới, ñược giải thuật toán ba ñường chéo Thomas [29] Hai bước bước quét lần giải lặp phương pháp ADI Các bước lặp ñược lặp lại cho ñến lời giải tiến tới trạng thái dừng Phương pháp luân hướng ẩn ñộng lực (DADI) Phương pháp luân hướng ẩn ñộng lực (dynamic alternating direction implicit – DADI) [22, 28] mở rộng phương pháp ADI, với kích thước bước nhảy thời gian ñược ñiều chỉnh từ lần lặp ñến lần lặp khác ñể tăng tốc ñộ hội tụ lời giải Ở lần lặp ñầu tiên, bước nhảy thời gian giả tạo ñược chọn [22] 2 ∆t = 0.1 ( ∆z ) + ( ∆r )  ε   (B.9) Các bước lặp DADI ñược cho sau: Chỉ số lặp k ñược ñặt không Hai lần giải lặp ADI ñược thực với kích thước bước nhảy thời gian giả ∆t k , ñể thu ñược lời giải từ VPk thành VPk +1 ðể kiểm tra trạng thái dừng lời giải, giá trị thặng dư r k ñược xác ñịnh rk = N z −1 N r −1 i =1 j =0 ∑ ∑ ( ) (ρ ) ∇ ε V k +1 + ρ  P ;i , j i, j   N z −1 N r −1 i =1 j =0 ∑ ∑ 2 , (B.10) i, j với N z N r tương ứng số nút lưới theo hướng z r ðối với phương trình Laplace, mẫu số (B.10) ñược ñặt Giá trị thặng dư ñược so sánh với giá trị sai số, tol, ñược ấn ñịnh trước người dùng Nếu r k ≤ tol lời giải hội tụ, ngược lại, thực tiếp bước DADI Footer Page 102 of 16 96 Header Page 103 of 16 Nếu lời giải chưa hội tụ, bước lặp ADI ñược thực với kích thước bước nhảy thời gian giả ñược tăng lên gấp ñôi, 2∆t k , ñể thu ñược lời giải từ VPk thành V k +1 P Sau ñó, kích thước bước nhảy thời gian giả ñược ñiều chỉnh sau Hai chuẩn Ldiff Lerror ñược xác ñịnh Ldiff = VPk;+i ,1j − V k +1 P ;i , j , (B.11) Lerror = VPk;+i ,1j − VPk;i , j (B.12) Bảng B Hệ số nhân bước nhảy thời gian giả TP fω < 0.02 8.0 0.02 – 0.05 4.0 0.05 – 0.1 2.0 0.1 – 0.3 0.80 0.3 – 0.4 0.50 0.4 – 0.6 0.25 > 0.6 0.125 Một tham số kiểm tra ñược tính toán từ hai chuẩn TP = Ldiff Lerror (B.13) Tham số TP ñược sử dụng ñể tìm hệ số nhân fω với ∆t k Bảng B cho thấy giá thị hệ số nhân cho tham số kiểm tra khác Sau ñó, kích thước bước nhảy thời gian ñược ñiều chỉnh Footer Page 103 of 16 97 Header Page 104 of 16 ∆t k +1 = fω ∆t k , (B.14) mà ñược dùng cho lần lặp Nếu TP > 0.6 kích thước bước nhảy thời gian ñược giảm ñi lần lời giải thu ñược lần lặp tại, VPk;i , j , ñược thay VP0;i , j giá trị thời ñiểm bắt ñầu lặp Chỉ số lặp ñược tăng lên một, k = k + lặp lại bước ñến bước cho ñến lời giả ñược hội tụ mong muốn Cho việc gọi lời giải phương trình Poisson tiếp theo, kích thước bước nhảy thời gian giả ñược giảm ñi 16 lần so với bước nhảy thời gian lần gọi trước ñó Footer Page 104 of 16 98 ... trúc vật liệu lắng ñọng [19] 1.3 Các mô hình mô phóng ñiện magnetron Có nhiều loại mô hình khác ñược ñề nghị mô plasma Nhìn chung, chia chúng thành bốn mô hình: mô hình giải tích, mô hình chất. .. 10 1.3 Các mô hình mô phóng ñiện magnetron 10 1.3.1 Mô hình giải tích 11 1.3.2 Mô hình chất lưu 11 1.3.3 Mô hình hạt 12 1.3.4 Mô hình lai ... plasma Bằng việc kết hợp phương trình với phương trình Poisson hệ phương trình Maxwell mô hình chất lưu tự hợp [55] Mô hình chất lưu ñược sử dụng phổ biến mô plasma Tuy nhiên, mô hình chất lưu không