Logictoan

Chuyên đề I Mệnh đề và tập hợp 1 Mệnh đề và tập hợp -cơ sở của suy luận logíc I.Tập hợp: a) Khái niệm: Tập hợp là khái niệm cơ bản của Toán học! b) Phơng pháp xác định tập hợp +) Phơng pháp liệt kê: { } 0 1 2 3 4A ; ; ; ;= , { } 0 1 2 3N ; ; ; ;n= +)Chỉ ra phần tử đặc trng cho tập hợp: { } 2 9A x R x= c)Biểu diễn tập hợp +)Dùng biểu đồ Venz +)Với tập số ta có thể biểu diễn trên trục số. d)Phép toán: Cho hai tập hợp A & B . Khi ấy: i/Tập con kí hiệu: +)Điều kiện tơng đơng : x x<=> => Nhận xét: Tập là con của mọi tập hợp -Ví dụ: N Z Q R C +)Hai tập hợp bằng nhau: A B A B B A = <=> ii/Giao của hai tập hợp kí hiệu: +)Điều kiện tơng đơng: x x x <=> iii/Hợp của hai tập hợpkí hiệu: +)Điều kiện tơng đơng: x x x <=> iv/Hiệu của hai tập hợp kí hiệu: \ +)Điều kiện tơng đơng: x x \ x <=> Đặc biệt khi thì \ đợc gọi là phần bù của trong -Ví dụ: 1) Cho { } { } 2 1 0 1 2 5 1 2 3 4 5 6A ; ; ; ; ; ,B ; ; ; ; ;= = { } 1 2 5A B ; ;=> = , { } 2 1 0 1 2 3 4 5 6A B ; ; ; ; ; ; ; ; = , { } 2 1 0A\ B ; ;= 2.Tìm tập xác định của: a) 2 2 2 1 x x y x + + = b) 2 2 6 16y x x x= + + c) 2 4 x x y x + = , d) 2 2 2 1 4 x x x y x + + = e) 2 2 2 2 2 24 3 4 x x x x y x x + + = + 3.Tìm tập nghiệm của : a) 2 6 0x x+ = b) ( ) ( ) 2 1 6 0x x x = c) 3 2 2 3 6 0x x x+ + = d) 3 2 2 5 2 0x x x+ + = e) 2 2 3 0x x g) 2 6 0x x f) 3 5 6 0x x > h) 2 4 0 1 0 x x > i) 2 2 2 0 1 0 x x x + k) 2 2 3 4 0 4 0 x x x + = 4. Tìm tập nghiệm của các bất phơng trình sau: a) 2 2 0x x < b) 2 2 3 0x x > c) 2 2 0x x d) ( ) ( ) 2 2 0x x x 4.Tìm A B , A B và A\ B . Biết: a) { } 1A x R x= và { } 3B x R x= b) { } { } 2 2 0 3A x R x x & B x R x= > = Created by Hoàng nguyên Chuyên đề I Mệnh đề và tập hợp 2 II.Toán mệnh đề 1.Một mệnh đề là phát biểu một khẳng định nào đó , chỉ nhận một giá trị trân lý xác định Hoặc đúng, hoặc sai . Luật bài trung 2.Một mệnh đề không thể nhận đồng thời hai giá trị vừa đúng và vừa sai Luật phi mâu thuẫn 3.Mệnh đề phủ định: là mệnh đề đúng thì là phủ định của mệnh đề là sai, và ngợc lại! Mệnh đề đúng, nếu phần tử a đều đúng, sai nếu một phần tử a sai, hoặc a đúng. -Ví dụ:1)Cho mệnh đề A: x R để ( ) 2 1 1 0x S Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề của A? 2) Cho B: x R sao cho 2 4 0x = Đ Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề của B? 1) 2 4 0x > có tập nghiệm ( ) 2 4x ; S 2) 2 0A : x x có nghiệm [ ] 0 1x ; Đ 4.Phép toán cơ bản về mệnh đề Cho , là hai mệnh đề. Khi ấy ta có: i/ Phép kéo theo: => đglà mệnh đề kéo theo -Ví dụ: 1)Nếu HCN ABCDX có AC BD là hình vuông 2) Trong không gian d AB d BC d AC => Đ ii/Phép tơng đơng: <=> là tơng đơng với -Ví dụ: 1. ABC nhọn 0 0 0 90A,B,C<=> < < Đ 2. 0 0 0 90A< < => ABC nhọn S 2. ABC vuông tại A 2 2 2 AB AC BC<=> + = Đ Ký hiệu phổ biến: và ký hiệu tồn tại +) ( ) x A, p x : Mọi x thuộc A ta có tính chất P +) ( ) x A, p x :Tồn tại x thuộc A ta có tính chất P -Ví dụ: 1.Phủ định của mệnh đề mọi học sinh của lớp X đều gỏi toán là mệnh đề Có ít nhất một học sinh của lớp X không gỏi toán 2.Với , R ta luôn có: 2 2 = <=> = S 3. 2 f g f g= <=> = S Created by Hoàng nguyên 1 0 0 1 => 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 <=> 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Chuyên đề I Mệnh đề và tập hợp 3 4.Với 3 2 2 2 6 3 2 1 x x x x Z Z x + => + Đ 5.Với 3 3n N n n => M Đ 6.Cmr: Với * n N , a) ta luôn có 3 11 6n n+ M 7.Với n N ta có 13 1 6 n M 8.Tìm nghiệm của: a) 2 1 2x x = b) 2 2x x+ = c) ( ) 2 1 1x x x + = 9.Tìm tập nghiệm của: a) 2 1 6 x x > b) 2 2 2 0 2 3 0 x x x x < c) 2 2 2 0 2 0 x x x x + < III.Tổng quan về suy diễn cơ bản trong toán học -Ta đã biết: Định lý toán học là những mệnh đề đúng có dạng A B=> . Trong đó A là giả thiết, còn B là kết luận, Chính bản thân A và B cũng là các mệnh đề đúng. -Đkiện cần-Đkiện đủ +)Trong định lý A B=> , thì B điều kiện cần để có A , còn A đkiện đủ để có B . -Ví dụ:Xác định để pt ( ) 1 2 2 2 0x x m + = có nghiệm duy nhất? Bài gải: -Đkiện cần: Nhận thấy với x R ta có ( ) 2 2 2f x x x m= + là hàm chẵn Do đó nếu pt ( ) 1 có nghiệm thì cũng là nghiệm. Nên pt ( ) 1 có nghiệm duy nhất => = 0 => = thay 0 = vào pt ( ) 1 2m=> = -Đkiện đủ: Với 2m = thì pt ( ) 1 trở thành: 2 2 0x x = 0 2 x x = => = (ko tm) Vậy không có giá trị m nào để pt ( ) 1 có nghiệm duy nhất. +) Nếu A B=> là một định lý, thì B A=> là định lý đảo. Khi ấy A B=> gọi là định lý thuận. +)Nếu tồn tại đồng thời A B=> và B A=> đúng. Thì ta có A B<=> Ta nói: A là điều kiện cần và đủ để có B và ngợc lại B là điều kiện cần và đủ để có A . -Ví dụ: ABC đều khi và chỉ khi A B C= = . 1.Chứng minh trực tiếp Giải sử ta cần chứng minh mệnh đề A B=> đúng. b1/ Từ giả thiết A là đúng b2/ Dùng suy diễn logic suy ra B đúng. b3/ Kết luận A B=> đúng. -Ngoài cách chứng minh trực tiếp nh trên ta có thể chứng minh một cách gián tiếp bằng: 2.Phơng pháp phản chứng b1/ Giải sử: B sai b2/ dùng suy diễn logic => => A sai (Trái gt !) b3/ Kết luận A B=> đúng.(đpcm !) -Ví dụ: 1)Xác định các giá trị của để ( ) 1 2 0x x m + = có nghiệm? 2)Với m Z . Cmr nếu 2 3m M thì 3mM Bài giải G/sử m không 3M khi ấy m có dạng hoặc 3 1m k= + , hoặc 3 2m k= + với k Z +) Nếu 3 1m k = + thì ta có ( ) 2 2 3 3 2 1m k k= + + không 3M (Trái giải thiết!) +) Nếu 3 2m k= + thì ta có ( ) 2 2 3 3 4 1 1m k k= + + + không 3M (Trái giải thiết!) Vậy điều giải sử sai. Do đó nếu 2 3m M thì 3mM =>đpcm. 3.Phơng pháp chứng minh quy nạp Created by Hoàng nguyên Chuyên đề I Mệnh đề và tập hợp 4 Để chứng minh mệnh đề ( ) P n ( ) đúng với 0 n n b1/Kiểm tra mệnh đề ( ) với 0 n n= b2/ Giải sử mệnh đề ( ) đúng với ( ) P k ,với 0 k n (gt quy nạp) b3/Ta đi chứng minh ( ) 1P k + đúng . Kết luận: ( ) P n đúng với 0 n n -Ví dụ Cmr:Với * n N ta luôn có ( ) 2 1 3 5 2 1 n n+ + + + = IV.Bài tập đề nghị: 1.Điều kiện cần để số nguyên 3n > là số nguyên tố là 2 1 24n M 2. Với * n N Chứng minh rằng: ( ) 2 11 6n n + M 3.Nếu ABCDY có tổng hai góc đối diện bằng 0 180 thì ABCDY nội tiếp đờng tròn 4. Với 2 số 0x, y > ta luôn có: ( ) 2x y x y x y+ = + <=> = 5. Với * n N Chứng minh rằng: ( ) 1 1 2 3 2 n n . n + + + + + = 6. Với * n N Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 6 n n n . n + + + + + + = 7.Tính tổng: a) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1 . . . . n n = + + + + + 8.Cho các tập hợp A,B,C Cmr: i/ ( ) ( ) A B C A B C = ii/ ( ) ( ) A B C A B C = 9. Với A,B,C là các tập hợp. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau: a) ( ) A B A b) ( ) A B A c) A\ B B\ A= d) { } 0 = 10.Chứng minh rằng: nếu A B A B C A C => 11.Nếu A B A B C B C => 12.Cho các tập hợp: { } { } { } 1 2 3 4 5 1 3 5 2 4 5A ; ; ; ; ,B ; ; ,C ; ;= = = Cmr: i/ ( ) ( ) ( ) A\ B C A\ B A\ C = ii/ ( ) ( ) ( ) A B\ C A B \ A C = ? 13.Tìm tập nghiệm của a) ( ) ( ) 2 2 3 5 0x x x b) 2 4 0 1 x x > c) 2 6 0 2 x x x 14.Tìm tập xác định của: a) 2 2 3 2 x x y x = b) 2 2 9 2y x x x= + + c) 2 3 3 4 1y x x x= + + d) 1 2 5 3 x y x x + = + e) 4 3 4 4y x x= + g) 2 2 2 0 2 0 x x x x + > h) 2 2 2 3 0 2 0 x x x x > + < k) 2 2 4 12 0 0 x x x x + + > 15.Cho ( ) ( ) 1 2 2 2 1 3 0x m x m + + = a) giải pt ( ) 1 với 0m = b)Xác định m để pt ( ) 1 có hai nghiệm dơng phân biệt Created by Hoàng nguyên Chuyên đề I Mệnh đề và tập hợp 5 c)Xác định m để pt ( ) 1 có hai nghiệm âm phân biệt d)Trờng hợp pt ( ) 1 có hai nghiệm 1 2 x ,x phân biệt. Tìm các giá trị của m để: 1 2 1 1 2 x x + = 16.Tìm tập nghiệm của: a) 3 5 0 2 x x > b) ( ) ( ) 2 5 0 1 3 x x x + c) 2 2 2 1 0 9 x x 17.Giải bất phơng trình: a) 6 10 5 7 10 12 9 21 x x x x + + + + b) 7 5 4 5 9 4 2 x x x x + > + + c) 7 5 3 4 2 6 5 2 1 4 x x x x > + + 18.Tìm tập nghiệm của a) 3 4 3x x + b) 3 2 4 5x x > + c) 2 3 1x x+ > Created by Hoàng nguyên