ChuyendeViEt

Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc Phòng giáo dục huyện Bình Xuyên *************************** chuyên đề một số phơng pháp giải phơng trình với nghiệm nguyên Ngời thực hiện:Ngụ Quc Hng Tổ : Toán - Lí Trờng THCS Thanh Lãng. Năm học 2007 - 2008. Chuyên đề: một số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình với nghiệm nguyên A. Đặt vấn đề Toán học là môn khoa học bổ trợ cho nhiều môn khoa học khác , trong nhà trờng, các môn nh: Lí, Hoá, Sinh ,Địa,đều dùng đến kiến thức toán. Nh vậy môn Toán rất quan trọng, có thể nói đó là điều kiện cần để học một số môn nh đã nêu. Một trong các công việc cần làm của ngời học toán là đi tìm lời giải cho các bài toán. Để giải các bài toán ngoài việc nắm vững các kiến thức học sinh còn cần phải có phơng pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân trong quá trình học tập. Trong môn toán ở trờng trung học cơ sở có rất nhiều bài toán cha có hoặc không có thuật toán để giải.Loại toán phơng trình với nghiệm nguyên là một trong những loại toán ấy. Thực tế giảng dạy cho thấy khi gặp loại toán phơng trình với nghiệm nguyên rất nhiều học sinh lúng túng , không có hớng suy nghĩ tìm lời giải. Một số đa ra đợc nghiệm đúng nhng chỉ là đoán nhận mà không giải thích đợc tại sao.Nhất là khi gặp một bài toán lạ.Các em cho biết mỗi bài có một cách giải hoàn toàn khác nhau, không thể tìm đợc một nguyên lí chung để giải. Xuất phát từ đó chúng tôi thấy rằng việc giúp các em nhanh chóng tìm ra cần phải sử dụng phần kiến thức nào, đa ra phơng án hợp lí để giải loại toán này là điều cần thiết.Đồng thời chuyên đề này có thể sử dụng bồi dỡng thêm cho đối tợng học sinh khá, học sinh yêu thích môn toán, phát hiện ra học sinh có triển vọng . Về nội dung: Phơng trình với nghiệm nguyên có rất nhiều dạng khác nhau, nhiều bài toán rất khó. Phần 1: Chúng tôi chỉ trình bày các dạng toán phơng trình với nghiệm nguyên thờng gặp trong chơng trình toán THCS cùng với phơng pháp hay dùng để giải chúng. Ngoài ra chuyên đề còn đề cập thêm một số phơng pháp khó, áp dụng cho một số bài tập nâng cao nhng chỉ mang tính chất tham khảo. Phần 2: Trình bày các dạng phơng trình với nghiệm nguyên cùng các ví dụ đi kèm. Do giới hạn chơng trình toán THCS nên chúng tôi không dùng các kiến thứcvề đồng d, phơng trình đồng d. Dạng toán phơng trình với nghiệm nguyên mà chúng tôi trình bày không thể đầy đủ mà chỉ là các phơng pháp thờng dùng, hay gặp. Chúng tôi không tránh khỏi những thiếu sót , mong các thầy cô cùng bạn đọc tham gia góp ý kiến để chuyên đề đợc hoàn thiện hơn. Tập thể giáo viên tổ Toán Lí trờng THCS Thanh Lãng xin chân thành cảm ơn! Thanh Lãng ,ngày 9 háng 5năm 2006 Tổ Toán Lí trờng THCS Thanh Lãng Ngời thực hiện viết chuyên đề 2 5125 55 x 57 y ( ) 15,7 = 5y )( 5 Zt ty = tx 725 = ty tx 5 725 = = ty tx 5 725 = = )( Zt x - 1 - 3 - 1 1 3 y - 1 - 1 - 3 3 1 x - 2 0 2 4 y 0 - 2 4 2 1 3 1 += y x Ngô Quc Hng B. Nội dung - Giải phơng trình chứa các ẩn x, y, z với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ sốnguyên (x, y, z ) thoả mãn phơng trình đó. - Số nghiệm của phơng trình với nghiệm nguyên có thể là: Hữu hạn nghiệm, vô số nghiệm, hoặc vô nghiệm. 1. Một số phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình với nghiệm nguyên 1). Ph ơng pháp dùng tính chia hết : a). Phát hiện tính chia hết của một ẩn. Cho a + b = c Nếu a m và b m c m (Với a, b, m thuộc Z) Ví dụ 1: Cho 5x + 7y = 125 . Hãy tìm các nghiệm nguyên của phơng trình trên. mà Nên Thay vào phơng trình đã cho đợc nghiệm đúng. Vậy phơng trình đã cho có vô số nghiệm nguyên cho bởi công thức b). Đ a về ph ơng trình ớc số Cho a.b.c = d a, b, c thuộc tập hợp các ớc của d (Với a, b, c, d là các số nguyên). Ví dụ 2: Cho xy x y = 2 (*) . Hãy tìm các nghiệm nguyên của phơng trình trên. (*) x(y - 1) - (y - 1) = 3 (y - 1)(x - 1) = 3 (PT ớc số) x 1, y 1 là ớc của 3, lập bảng tìm giá trị của x, y: Nghiệm nguyên của phơng trình(*) : (- 2; 0), (0; - 2), (2; 4), (4; 2) . c). Tách ra các giá trị nguyên Ví dụ 3: Cho xy x y = 2 (*) . Hãy tìm các nghiệm nguyên của phơng trình trên. (*) x(y - 1) - (y - 1) = 3 (y - 1)(x - 1) = 3 3 Zn 3)712( + x 9)712(3 + x Z y 1 3 Do x nên y 1 thuộc tập hợp ớc của 3, từ đó có thể lập bảng tìm đợc nghiệm của phơng trình đã cho nh ví dụ trên. 2). Ph ơng pháp dùng xét số d từng vế : Phơng pháp này là biến đổi phơng trình để dễ dàng nhìn ra số d của 1 trong 2 vế khi chia cho một số thích hợp, suy ra số d của vế còn lại. Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của các phơng trình sau : a) x 2 - y 2 = 1998 b) 9x = y 2 + y 2 c) x 2 + y 2 = 1999 a). Dễ chứng minh đợc x 2 ,y 2 khi chia cho 4 chỉ có số d là 0 hoặc 1 nên x 2 - y 2 khi chia cho 4 chỉ có số d là 0, 1 hoặc 3. Nhng 1998 khi chia cho 4 có số d là 2. Vậy phơngtrình đã cho không có nghiệm nguyên. b). Phơng trình đã cho 9x + 2 = y(y + 1) Ta thấy 9x + 2 khi chia cho 3 d 2 nên y(y + 1) khi chia cho 3 d 2. ( k nguyên). Nhìn bảng ta thấy chỉ có thể y = 3k + 1. Khi đó 9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2) 9x + 2 = 9(k 2 + k) + 2 x = k 2 + k Thử lại ( k nguyên) thoả mãn phơng trình đã cho. Vậy đó là nghiệm của phơng trình đã cho. c). Tơng tự nh phần a). 3). Ph ơng pháp dùng tính chất của số chính ph ơng : a). Sử dụng tính chất về chia hết của số chính ph ơng. Các tính chất thờng dùng: - Số chính phơng không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. - Số chính phơng chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p 2 . - Số chính phơng chia cho 3 có số d 0;1. - Số chính phơng chia cho 4 có số d 0; 1. - Số chính phơng chia cho 8 có số d 0; 1; 4. Ví dụ 5: Tìm các số nguyên x để 9x +5 là tích của 2 số nguyên liên tiếp. Giả sử 9x +5 = n(n + 1) với 36x + 20 +1 = 4n 2 + 4n + 1 3(12x + 7) = (2n +1) 2 Mặt khác 4 y 3k 3k + 1 3k + 2 y + 1 3k + 1 3k + 2 3k + 3 y(y +1) 3k(3k + 1) 9(k 2 + k) + 2 3(k +1)(3k + 2) x = k 2 + k y = 3k + 1 3)12( 2 + n 9)12( 2 + n Zn 1, xZk 2)7(3 2 y 27 2 y 2x 2 + 2x + 1 +2y = 11 2x 2 + 2x + 1 - 2y =- 1 2x 2 + 2x + 1 = 5 2y = 6 x = 1 hoặc x = - 2 y = 3 Vậy không tồn tại số nguyên x nào thoả mãn điều kiện 9x +5 là tích của 2 số nguyên liên tiếp. b). Tạo ra bình ph ơng đúng . Ví dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình sau : 2x 2 + 4x = 19 3y 2 2x 2 + 4x + 2 = 21 3y 2 2(x + 1) 2 = 3(7 y 2 ) Dễ thấy y lẻ. Mà 7 y 2 0 y = 1. Thay vào phơng trình đã cho ta có 2(x + 1) 2 = 18 x + 1 = 3 x 1 = 2; x 2 = - 4. Các cặp số (2;1), (- 4;1), (2;-1), (- 4; -1) thoả mãn phơng trình đã cho nên là nghiệm của phơng trình đã cho. c). Xét các số chính ph ơng liên tiếp Ví dụ 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trớc không tồn tại số nguyên dơng x sao cho: x(x + 1 ) = k(k + 2) Giả sử x(x + 1 ) = k(k + 2) với . Ta có : x(x + 1 ) = k(k + 2) x 2 + x +1 =( k + 1) 2 Do x dơng nên: x 2 < x 2 + x +1 < ( k + 1) 2 (1) Do x dơng nên: ( k + 1) 2 = x 2 + x +1 < (x + 1) 2 (2) Từ (1) và (2) x 2 < ( k + 1) 2 < (x + 1) 2 Điều này vô lí. Vậy không tồn tại số nguyên dơng x để : x(x + 1 ) = k(k + 2) Ví dụ 8: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phơng: x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 3 Giải Đặt y 2 = x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 3 4y 2 = 4x 4 + 8x 3 + 8x 2 + 4x + 1 + 11 4y 2 = (2x 2 + 2x + 1) 2 + 11 (2x 2 + 2x + 1 - 2y)( 2x 2 + 2x + 1 +2y) = - 11 Dễ thấy (2x 2 + 2x + 1 - 2y) < ( 2x 2 + 2x + 1 +2y) nên xảy ra 2 trờng hợp: TH1: 5 2x 2 + 2x + 1 +2y = 1 2x 2 + 2x + 1 - 2y = -11 2x 2 + 2x + 1 = - 5 2y = -6 x 2 + x + 3 = 0 y = 3 x = ta 2 y = tb 2 z = tab TH2: Vô nghiệm KL: Các số nguyên cần tìm : x 1 = 1, x 2 = - 2. d). Sử dụng tính chất : Nếu hai số nguyên dơng nguyên tố cùng nhau có tích là 1 số chính phơng thì mỗi số đều là số chính phơng CM: Giả sử ab = c 2 với a, b, c thuộc N * , (a, b) = 1. Giả sử trong a hoặc b có 1 số chứa thừa số nguyên tố p với số mũ lẻ , vì b không chứa thừa số p nên c 2 chứa thừa số p vơí số mũ lẻ , trái với giả thiết c 2 là 1 số chính ph- ơng. Ví dụ 9: Giải phơng trình với nghiệm nguyên dơng: xy = z 2 (1) Giải Không mất tính tổng quát giả sử (x,y,z) = 1 Thật vậy nếu bộ 3 số x 0 , y 0 ,z 0 thoả mãn (1) và (x 0 , y 0 ,z 0 ) = d , giả sử x 0 = x 1 d, y 0 = y 1 d, z 0 = z 1 d thì (x 1 ,y 1 ,z 1 ) cũng là nghiệm của (1). Với (x,y,z) = 1 thì x, y, z đôi một nguyên tố cùng nhau vì nếu 2 trong 3 số có ớc chung là d thì số còn lại cũng chia hết cho d. Ta có xy = z 2 và (x, y) = 1 nên x = a 2 , y = b 2 với a, b thuộc N * Suy ra : z 2 = (ab) 2 , nên z = ab. Nh vậy: với t là số nguyên dơng tuỳ ý. Đảo lại các số x, y, z nh trên thoả mãn (1). Công thức trên cho ta các nghiệm nguyên dơng của (1). e). Sử dụng tính chất: Nếu 2 số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phơng thì một trong 2 số nguyên liên tiếp đó bằng không. CM: Chứng minh bằng phản chứng . Giả sử a(a + 1) = k 2 (1) với a thuộc Z, k thuộc N Giả sử a và a+ 1 đều khác không k 2 khác không. Do k thuộc N nên k > 0 . Từ (1) a 2 + a = k 2 4a 2 + 4a = 4k 2 (2a + 1) 2 = 4k 2 + 1 Dễ thấy (2k) 2 < 4k 2 + 1 = (2a + 1) 2 (*) (2a + 1) 2 = 4k 2 + 1 < 4k 2 + 1 + 4k = (2k + 1) 2 . (**) Từ (*) và (**) (2k) 2 < (2a + 1) 2 < (2k + 1) 2 Vô lí. Vậy nếu a(a + 1) = k 2 thì tồn tại một trong 2 số a, a+ 1 bằng không. 6 2x 2y 2z Ví dụ 10 : Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình : x 2 + xy + y 2 = x 2 y 2 Giải Cộng thêm xy vào hai vế: x 2 + 2xy + y 2 = x 2 y 2 + xy (x + y) 2 = xy(xy + 1) xy = 0 hoặc xy + 1 = 0 Xét xy = 0 Thay vào phơng trình đã cho ta có x 2 + y 2 = 0 x = y = 0 Xét xy + 1 = 0 xy = - 1 (x, y) bằng (1;- 1) hoặc (- 1;1). Thử lại 3 cặp số (0;0),(1 ;- 1), (- 1; 1)đều là nghiệm của phơng trình đã cho. (Ta cũng có thể đa về phơng trình ớc số.) 4). Ph ơng pháp lùi vô hạn. Ví dụ 11: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình : x 3 + 2y 3 = 4z 3 (1) Giải Dễ thấy . Đặy x = 2x 1 với x 1 nguyên. Thay vào (1) rồi chia hai vế cho 2 đợc: 4x 1 3 + 2y 3 = 2z 3 (2) Do đó . Đặt y = 2y 1 với y 1 nguyên. Thay vào (2) rồi chia hai vế cho 2 đợc: 2x 1 3 + 4y 1 3 = z 3 (3) Do đó . Đặt z = 2z 1 với z 1 nguyên. Thay vào (3) rồi chia hai vế cho 2 đợc: x 1 3 + 2y 1 3 = 4z 1 3 (4) Nh vậy Nếu (x,y,z) là nghiệm của (1) thì (x 1 ,y 1 ,z 1 ) cũng là gnhiệm của (1) trong đó x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 Lập luận tơng tự nh trên (x 2 ,y 2 ,z 2 ) cũng là gnhiệm của (1) trong đó x 1 = 2x 2 , y 2 = 2y 2 , z 1 = 2z 2 . Cứ tiếp tục nh vậy ta đi đến : x,y,z chia hết cho 2 k với k là số tự nhiên tuỳ ý. Điều này chỉ xảy ra khi x = y = z = 0. Đó là nghiệm duy nhất của (1). * Nếu ví dụ trên cho dới dạng: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình : x 3 + 2y 3 = 4z 3 (1) Thì phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên dơng. 5). Phơng pháp dùng bất đẳng thức a). Ph ơng pháp sắp xếp thứ tự các ẩn Ví dụ 12: Tìm 3 số nguyên dơng sao cho tổng của chúng bằngtích của chúng. Giải Gọi các số gnuyên dơng phải tìm là x, y, z Ta có x + y + z = xyz (1) Các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng nên có thể sắp thứ tự các ẩn nh sau: 1 x y z. Do đó : xyz = x + y + z 3z 7 3 111 =+ yx 3 11 < y yx 11 yyyyx 21111 3 1 =++= 3 12 y 6 y 1 5 3 5 2 = + xx 1 5 3 5 2 5 3 5 2 =+< + xx xy 3 xy 1; 2; 3 Với xy = 1, ta có: x = 1, y = 1 . Thay vào (1) đợc 2 + z = z , loại. Với xy = 2, ta có x = 1, y = 2 . Thay vào (1) đợc z = 3. Với xy = 3, ta có x = 1, y = 3 . Thay vào (1) đợc z = 2, loại vì trái với sắp xếp 1 x y z. Vậy 3 số phải tìm là 1; 2; 3. b). Ph ơng pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn Ví dụ13: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình : (1) Giải Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x y . Hiển nhiên ta có nên y > 3 Mặt khác do x y 1 nên . Do đó : Ta xác định đợc khoảng giá trị của y là 3 < y 6 hay 4 y 6 Với y = 4 thay vào (1) ta đợc x = 12 Với y = 5 thay vào (1) ta đợc x = 15:2 loại Với y = 6 thay vào (1) ta đợc x = 6 Các nghiệm của phơng trình là : (4; 12),(12; 4),(6; 6) c). Ph ơng pháp chỉ ra nghiệm nguyê n Ta chỉ ra một vài số là nghiệm của phơng trình rồi chứng minh phơng trình không còn gnhiệm nào khác. Ví dụ 14: Tìm các số tự nhiên x sao cho : 2 x + 3 x = 5 x Giải Viết phơng trình dới dạng (1) Với x = 0 vế trái của (1) bằng 2, loại. Với x = 1 vế trái của (1) bằng 1 thỏa mãn. Với x >1 thì loại . Nghiệm duy nhất của phơng trình : x = 1. 8 d). Sử dụng điều kiện 0 để ph ơng trình bbậc hai có nghiệm . Ta viết phơng trình f(x,y) = 0 dới dạng phơng trình bậc hai đối với một ẩn, khi đó ẩn kia là tham số . Điều kiện cần để phơng trình có nghiệm là 0 ( Để có nghiệm nguyên còn cần là số chính phơng ). Ví dụ 15: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình : x + y + xy = x 2 + y 2 (1) Giải Viết (1) thành phơng trình bậc hai đối với x : x 2 - (y + 1) x + (y 2 y ) = 0 (2) Điều kiện để (2) có nghiệm nguyên là 0 . = - 3y 2 + 6y + 1 0 3(y - 1) 2 4 Do đó (y - 1) 2 1. Suy ra Với y = 0 thay vào (2) ta đợc x 2 x = 0. Ta có x 1 = 0; x 2 = 1. Với y = 1 thay vào (2) ta đợc x 2 2x = 0. Ta có x 3 = 0; x 4 = 2. Với y = 2 thay vào (2) ta đợc x 2 3x + 2 = 0. Ta có x 5 = 1; x 6 = 2. Thử lại các giá trị trên nghiệm đúng với phơng trình (1). Đáp số: (0;0), (1;0), (0;1), (2;1), (1;2), (2;2). 2. Các dạng phơng trình với nghiệm nguyên 1). Phơng trình bậc nhất 2 ẩn a). Ví dụ Ví dụ 16: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình 11x + 18y = 120 (1) Giải Ta thấy 11x chia hết cho 6 nên x chia hết cho 6. Đặt x = 6k với (k nguyên)thay và (1) và rút gọn ta đợc: 11k + 3y = 20 Biểu thị y qua k ( vì hệ số của y nhỏ hơn): y = (20 11k) : 3 y = 7 4k + (k - 1) : 3 (2) Lại đặt (k - 1) : 3 = t ( với t nguyên) => k = 3t + 1 thay vào (2) và rút gọn ta đợc y = 3 11t x = 6k = 18t + 6 Thay các biểu thức của x, y vào (1) phơng trìnhđợc nghiệm đúng. Vậy các nghiệm nguyên của (1) đợc biểuthị bởi công thức: y = 3 11t x = 18t + 6 ( Với t là số nguyên tuỳ ý) 9 y - 1 - 1 0 1 y 0 1 2 Chú ý : Có nhiều cách tách giá trị nguyên của biểu thức y = (20 11k) : 3 nhng ta nên chọn cách nào mà hệ số của k trongphân số là 1. Làm nh thế ta không cần đặt ẩn phụ thêm lần nào nữa. b). Cách giải phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c với nghiệm nguyên (a, b Z) - Rút gọn phơng trình , chú ý đến tính chia hết của các ẩn. - Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia . - Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x. - Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x bằng 1 số nguyên t 1 , tâ đợc một ph- ơng trình bậc nhất hai ẩn y và t 1 . - Cứ tiếp tục làm nh trên cho đến khi các ẩn đều đợc biểu thị dới dạng một đa thức với các hệ số nguyên. 2). Phơng trình bậc hai có hai ẩn. Ví dụ 17: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình 5x 3y = 2xy 11 (1) Giải (1) <=> (2x + 3)y = 5x +11 (2x + 3 khác 0 vì x nguyên) <=> y = (5x +11): (2x + 3) <=> y = 2 + (x + 5):(2x + 3) Để y Z phải có => => => Ta có: Thử lại các cặp giá trị trên của (x, y) đều thoả mãn phơng trình đã cho. Cách khác: đa phơng trình trên về phơng trình ớc số (2x + 3)(2y - 5) =7 Ví dụ 18: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 - 2x- 11 = y 2 Giải Cách 1: Đa về phơngtrình ớc số : x 2 2x + 1 12 = y 2 (x - 1) 2 y 2 = 12 10 )32()5( ++ xx )32()5(2 ++ xx )32(7)32( +++ xx )32(7 + x 2x + 3 1 - 1 7 - 7 x - 1 - 2 2 - 5 y 6 - 1 3 2