SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ VĂN LINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT MƠN : TỐN - LỚP 12 NĂM HỌC : 2014 - 2015 ( Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề ) Quy định : - Kết tốn lấy gần , xác đến chữ số thập phân - Từ đến 10 thí sinh phải trình bày lời giải - Khi viết quy trình bấm phím phải rõ sử dụng loại máy Bài 1(2 điểm): Bài 2(2 điểm): Tìm nghiệm gần (theo độ, phút, giây) phương trình 4sin2x + 4sin2x - 2cos2x = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x + + −2 x − x + Bài 3(2 điểm):Cho tam giác ABC có A = 56o 21’,AB = 4,7cm, AC = 5,8cm Trên BC lấy điểm D cho BD = DC Tính BC AD Bài 4(2 điểm):Một hộp đựng 11 viên bi đánh số từ đến 11 Lấy ngẫu nhiên viên bi cộng số viên bi lại với Tính xác suất để kết thu số lẻ Bài 5(2 điểm): Tìm giá trị nguyên dương x biết : A13x + C23x − Px + − x x − − (2 x + 3)6 = 33772562 Bài 6(2 điểm): Cho dãy số (un) có u1= 1,u2 = -1, un+2 = un+1 - un a) Viết quy trình bấm phím liên tục tính u15 , u18 b) Tính giá trị (u2014 + 3)2014 x3 + y = + xy Bài 7(2 điểm): Tính gần nghiệm hệ phương trình 2 x + y + x + y = Bài 8(2 điểm): Cho hàm số y = x4 +2mx2 +2m2 +m Tìm m để hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120o Bài 9(2 điểm): Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình mx + 4y = đường trịn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x -2my + m2 - 26 = 0.Gọi I tâm đường trịn (C).Tìm m để đường thẳng d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB 10 Bài 10(2 điểm):Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a = 12,54cm, cạnh bên tạo với đáy góc α = 72o a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD b) Tính diện tích xung quanh hình chóp S.ABCD HẾT SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ VĂN LINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG GIẢI TỐN TRÊN MTCT MƠN : TỐN - LỚP 12 NĂM HỌC : 2014 - 2015 BÀI ĐÁP ÁN x = -77o20’1” + k180o x = 24o12’12” + k180o Max f(x) = 5,78661 Minf(x) = -2 BC = 5,05168 AD = 5,09584 • Mỗi lần lấy viên bi cho ta tổ hợp chập 11 phần tử Do n( Ω ) = C 11 = 330 • Trong 11 viên bi có viên bi đánh số lẻ , viên bi đánh số chẵn Để tổng số ghi viên lấy số lẻ có trường hợp xảy : TH1: Lấy bi đánh số lẻ, bi đánh số chẵn.Tất có : C × C = 100 cách lấy TH2 : Lấy bi đánh số lẻ, bi đánh số chẵn.Tất có : C × C = 60 cách lấy Gọi A biến cố : “Lấy viên bi có tổng số ghi bi số lẻ” ⇒ n(A) = 100 + 60 = 160 n( A) 16 • Vậy P(A) = n(Ω) = 33 ≈ 0, 48485 6a • Điều kiện : ≤ x ≤ 13 ,x∈ N • Sử dụng máy tính casiofx-570ES PLUS nhập: x x x = x+1: A13 + C 23 − ( x + 1)!− x x −2 − (2 x + 3)6 − 33772562 CALC, máy X? nhập 0= Lặp dấu “=” , giá trị x nhận từ đến 13 biểu thức có giá trị x =11 Vậy x = 11 • Quy trình bấm phím tính u15,u18 máy tính casio fx-570ES PLUS ALPHA X ALPHA = ALPHA X + ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B - ALPHA A ALPHA : ALPHA X ALPHA = ALPHA X + ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA A - ALPHA B Ấn CALC , máy X? ấn 2=, máy B? ấn -1=, máy A? ấn 1= sau ấn = liên tiếp x= 15 A= -2, THANG ĐIỂM 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0,5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 6b x=18 B = Vậy u15 = -2, u18= Nhận xét : dãy số tuần hoàn với chu kỳ Mà 2014 ≡ 4(mod 6) nên u2014 = u4 = -1 Vậy (u2014 + 3)2014 = 22014 0.5 0.25 0.25 S − 3PS = + P • Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ S + S − P = S2 + S − S2 + S − = 6+ ⇔ S + 4S − 14S + = 2 S ≈ − 6,37022; S ≈ 1,73795; S3 ≈ 0, 632275 Giải được: Ba nghiệm tương ứng P là: P1 ≈ 14, 60474 , P2 ≈ −0,12079; P3 ≈ −1,983977 0.5 ⇒ S − 3S • Giải phương trình t − St + P = ứng với cặp ( S j ; Pj ) ta 0.5 0.5 nghiệm hệ x ≈ 1,80487 x ≈ −0, 06692 x ≈ −1,12744 x ≈ 1, 75972 ; ; ; y ≈ −0, 06692 y ≈ 1,80487 y ≈ 1,75972 y ≈ −1,12744 0.5 y = x + 2mx + 2m2 + m x = Ta có : y’ = 4x3 +4mx , y’ = ⇔ x = −m • Hàm số có điểm cực trị phương trình y’ = có nghiệm phân biệt ⇔ m < Khi đó, tọa độ điểm cực trị là: A(0 ; 2m2+m), B( −m ;m2 + m), C(- −m ;m2 + m) • Nhận thấy : AB = AC = m − m nên tam giác ABC cân A Do tam giác ABC có góc 120o · BAC = 120o · • Ta có : BC2 = AB2 +AC2 - 2AB.AC cos BAC ⇔ 3m4 + m = ⇔ m = m = Vì m < nên m ≈ -0,69336 0.5 0.5 0.5 −1 ≈ -0,69336 3 0.5 d: mx + 4y = , (C ) :x2 + y2 - 2x -2my + m2 - 26 = +) Đường tròn (C ) có tâm I(1;m), bán kính R = 3 d(I,d) = 5m m + 16