11 giao trinh toan ung dung

BỘ LAO ĐỘNG - THƯƠNG BINHVÀ XÃ HỘI TỔNG CỤC DẠY NGHỀ GIÁO TRÌNH Môn học: TOÁN ỨNG DỤNG NGHỀ: QUẢN TRỊ MẠNG MÁY TÍNH TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG NGHỀ ( Ban hành kèm theo Quyết định số:120/QĐ-TCDN ngày 25 tháng 02 năm 2013 Tổng cục trưởng Tổng cục dạy nghề) Hà Nội, năm 2013 TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN: Tài liệu thuộc loại sách giáo trình nên nguồn thông tin phép dùng nguyên trích dùng cho mục đích đào tạo tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh bị nghiêm cấm MÃ TÀI LIỆU: MH 11 LỜI GIỚI THIỆU Trong năm qua, dạy nghề có bước tiến vượt bậc số lượng chất lượng, nhằm thực nhiệm vụ đào tạo nguồn nhân lực kỹ thuật trực tiếp đáp ứng nhu cầu xã hội Cùng với phát triển khoa học công nghệ giới, lĩnh vực Công nghệ thông tin nói chung ngành Quản trị mạng Việt Nam nói riêng có bước phát triển đáng kể Chương trình dạy nghề Quản trị mạng xây dựng sở phân tích nghề, phần kỹ nghề kết cấu theo môđun Để tạo điều kiện thuận lợi cho sở dạy nghề trình thực hiện, việc biên soạn giáo trình theo môđun đào tạo nghề cấp thiết Môn học 11: Toán ứng dụng mônhọc đào tạo nghề biên soạn theo hình thức tích hợp lý thuyết thực hành Trong trình thực hiện, nhóm biên soạn tham khảo nhiều tài liệu liên quan, kết hợp với kinh nghiệm thực tế Mặc dầu có nhiều cố gắng, không tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến độc giả để giáo trình hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 02 năm 2013 Tham gia biên soạn Chủ biên ThS Nguyễn Như Thành ThS Ngô Thị Thanh Trang MỤC LỤC TOÁN ỨNG DỤNG Mã môn học: MH11 I VỊ TRÍ, TÍNH CHẤT, Ý NGHĨA VÀ VAI TRÒ CỦA MÔN HỌC: - Vị trí: Môn học bố trí sau sinh viên học xong môn học chung - Tính chất: Là môn học sở nghề - Ý nghĩa: Đây mô đun đào tạo chuyên môn nghề, cung cấp cho sinh viên kỹ nghề Quản trị mạng II MỤC TIÊU MÔN HỌC: - Vận dụng kiến thức sinh viên viên xây dựng thuật toán tính : tổ hợp, hoán vị, giải hệ phương trình, phương trình, tính tích phân; - Sử dụng kiến thức sinh viên viên xây dựng thuật toán quay lại, toán tối ưu, toán tồn tại; - Là tảng để sinh viên học môn cấu trúc liệu giải thuật, cài đặt thuật toán tin học; - Bố trí làm việc khoa học đảm bảo an toàn cho người phương tiện học tập III NỘI DUNG CỦA MÔN HỌC: Thời gian Số Tên chương, mục Thực Kiểm tra* Tổng Lý TT hành LT số thuyết Bài tập TH I Quan hệ - Suy luận toán học Quan hệ hai Suy luận toán học II Ma trận thuật toán 12 Ma trận Thuật toán III Tính toán xác suất 18 13 Tính toán Xác suất IV Phương pháp tính 24 18 Số xấp xỉ sai số Giải gần phương trình Giải hệ thống phương trình đại số tuyến tính Nội suy phương pháp bình phương cực tiểu Cộng 60 45 12 Chương QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC Mã chương: MH11-01 Mục tiêu: - Trình bày phép toán quan hệ hai ngôi; - Trình bày thứ tự phép toán biểu thức; - Biến đổi xác quan hệ tương đương toán theo dạng quan hệ; - Trả lời xác bảng trắc nghiệm quan hệ hai suy luận toán học; - Kiểm tra tính chương trình cụ thể; - Áp dụng giải thuật quy nạp đệ qui; - Thực thao tác an toàn với máy tính Nội dung: Quan hệ hai Mục tiêu: - Trình bày phép toán quan hệ hai ngôi; - Trình bày thứ tự phép toán biểu thức; - Biến đổi xác quan hệ tương đương toán theo dạng quan hệ 1.1 Khái niệm quan hệ hai Giả sử cho tập X khác rỗng tính chất ℜ thoả mãnvới sốcặp phần tử a, b X Khi ta nói a có quan hệ ℜ với bvà viết a ℜ b, ℜ gọi quan hệ hai X Ví dụ 1.1: 1) Trong tập R số thực, quan hệ “a = b” quan hệ “a ≤ b” quan hệ hai 2) Trong tập đường thẳng mặt phẳng, quan hệ vuông góc hai đường thẳng quan hệ hai 3) Trên tập N* số nguyên dương, “ a ước số b” quan hệ hai 4) Trên tập P(E) phân tập tập E quan hệ bao hàm A ⊂ B quan hệ hai 1.2 Các tính chất có quan hệ tập hợp Quan hệ tập X (tức X2) có tính chất sau: - Tính phản xạ : a a ∀ a ∈ X (tức (a, a) ∀ a X ) - Tính đối xứng : a b ⇒ b a (tức (a, b) (b, a) ) - Tính phản đối xứng : (ab ba ) ⇒ a = b - Tính bắc cầu : (ab) (bc) ⇒ ac Ví dụ 1.2: Trong tập hợp P(X) phân tập tập hợp X quan hệ bao hàm A B có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu mà tính đối xứng Trong tập hợp đa thức biến số thực, quan hệ có tính phản xạ, đối xứng bắc cầu 1.3 Quan hệ tương đương Quan hệ tập X gọi quan hệ tương đương có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu Trong trường hợp này, ta viết a ~ b thay ab Ví dụ1.3: Quan hệ song song đường thẳng tập đường thẳng không gian (coi đường thẳng trùng song song); quan hệ đồng dạng tam giác; quan hệ tỉnh tập hợp dân thành phố ví dụ trực quan quan hệ tương đương Các lớp tương đương : Giả sử ~ quan hệ tương đương X Với phần tử aX, ta ký hiệu C(a) tập hợp phần tử thuộc X tương đương với a gọi lớp tương đương chứa a C(a) = {xX / x ~ a} Do tính phản xạ a ≈ a nên tập C(a) không rỗng Hơn C(a)C(b)Ø c(a) = c(b) Thật vậy, giả sử cC(a)C(b), ta có : cC(a) cC(b) Tức c ~ a c ~ b, hay b ~ c ~ a Từ tính chất bắc cầu, suy b ~ a, bC(a) Lập luận tương tự ta có aC(b), tức C(a) = C(b) Từ rút định lý : Một quan hệ tương đương X xác định phân hoạch X, phần tử phân hoạch lớp tương đương Họ lớp tương đương gọi tập thương, ký hiệu X/~ Ví dụ 1.4: Trong tập số nguyên Z Xét quan hệ R : aba – b = 2p a, b, p ∈ Z Ta có : (a a) a – a = 2p (p = 0) phản xạ (a b) a – b = 2p (b – a) = -2p (b a) đối xứng a – b = 2p, b – c = 2q (a – c) = (a – b) + (b – c) = 2(p + q) bắc cầu Vậy quan hệ tương đương Ta có : a = b + 2p - Lớp tương đương ứng với b = số chẳn - Lớp tương đương ứng với b = số lẻ 1.4 Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1.1:Quan hệ X gọi quan hệ thứ tự (hay quan hệ phận) có tính phản đối xứng bắc cầu Nếu với hai phần tử xX, y Y có xy yx thìgọi quan hệ thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tính) Khilà quan hệ thứ tự X ta nói X xếp thứ tự bởivà thayvìxy ta viết x y đọc “x bé y” “x trước y” Ta viết y ≥ x đọc “y lớn x” “y sau x” Nếu x y x y ta viết x < y (hay y > x) Ví dụ 1.5: Quan hệ < hoặcthông thường tập hợp số thực quan hệ thứ tự toàn phần, R tập thứ tự Quan hệ bao hàm tập P(X) tập tập X quan hệ thứ tự phận Tuy nhiên không thứ tự toàn phần Quan hệ “a b” tức a bội số b N* quan hệ thứ tự phận Tập X xác định quan hệ thứ tự gọi tập đựoc xếp Suy luận toán học Mục tiêu: - Trình bày xác quy nạp toán học đệ quy; - Kiểm tra tính chương trình cụ thể; - Áp dụng giải thuật quy nạp đệ quy 2.1 Quy nạp toán học Nhiều định lý phát biểu P(n) với n nguyên dương, P(n) hàm mệnh đề Quy nạp toán học kỹ thuật chứng minh định lý thuộc loại Nói cách khác quy nạp toán học thường sử dụng để chứng minh mệnh đề ∀P(n), n số nguyên dương tuỳ ý Qua trình chứng minh P(n) với số nguyên dương n bao gồm hai bước : Bước sở : Chỉ mệnh đề P(1) Bước quy nạp : chứng minh phép kéo theo P(n)  P(n + 1) với số nguyên dương n, người ta gọi P(n) giả thiết quy nạp Khi hoàn thành hai bước chứng minh P(n) với n nguyên dương, tức chứng minh P(n) Ví dụ 2.1: Bằng quy nạp toán học chứng minh tổng n số nguyên dương lẻ n2 Giải: Gọi P(n) mệnh đề “tổng n số nguyên dương lẻ n 2” Đầu tiên ta cần làm bước sở, tức phải P(1) Sau phải chứng minh bước quy nạp, tức cần P(n + 1) giả sử P(n) Bước sở : P(1) hiển nhiên = 12 Bước quy nạp : Giả sử P(n) đúng, tức với n nguyên dương lẻ ta có : 1+3+5+…+(2n-1) = n2 Ta phải P(n+1) đúng, tức : 1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1) = (n+1)2 Do giả thuyết quy nạp ta suy : 1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1) = [1+3+5+…+(2n-1)]+(2n+1) = n2+(2n+1) = (n+1)2 Đẳng thức chứng tỏ P(n+1) suy từ P(n) Vì P(1) mệnh đề kéo theo P(n) P(n + 1) với n nguyên dương, theo nguyên lý quy nạp toán học P(n) với n nguyên dương 2.2 Định nghĩa đệ quy Đôi khó định nghĩa đối tượng cách tường minh, dễ dàng địng nghĩa đối tượng qua nó.Kỹ thuật gọi đệ quy a Các hàm định nghĩa đệ quy Để định nghĩa hàm xác định tập số nguyên không âm, cho: • Giá trị hàm n = • Công thức tính giá trị số nguyên n từ giá trị số nguyên nhỏ Định nghĩa gọi định nghĩa đệ quy hay định nghĩa quy nạp Ví dụ 2.2: Giả sử f định nghĩa đệ quy sau : f(0) = 3, f(n+1) = 2f(n)+3 Hãy tìm f(1), f(2), f(3) f(4) Giải : Từ định nghĩa đệ quy ta suy : f(1) = 2f(0) + = 2.3 + = f(1) = 2f(1) + = 2.9 + = 21 f(1) = 2f(2) + = 2.21 + = 45 f(1) = 2f(3) + = 2.45 + = 93 Trong số định nghĩa hàm đệ quy, người ta cho giá trị hàm k số nguyên dương cho qui tắc tính giá trị hàm số nguyên dương lớn từ k giá trị Theo nguyên lý thứ hai quy nạp toán học cách định nghĩa tạo hàm hoàn toàn xác định b Các tập hợp định nghĩa đệ quy Các tập hợp thường định nghĩa đệ quy.Trước tiên người ta đưa tập xuất phát.Sau quy tắc tạo phần tử từ phần tử biết tập.Những tập đuợc mô tả cách gọi tập dịnh nghĩa tốt, định lý chúng chứng minh cách sử dụng định nghĩa đệ quy chúng Ví dụ 2.3: Giã sử S định nghĩa đệ quy sau : S; x+y S x S y S; Hãy S tập số nguyên chia hết cho Giải : Gọi A tập số nguyên dương chia hết cho Để chúng minh A = S ta chứng minh A tập S S tập A Để chứng minh A tập S, giả sử P(n) mệnh đề “3n thuộc tập S” P(1) theo định nghĩa S “3.1 =3S” Giả sử P(n) đúng, tức 3nS Vì 3Svà 3nSnên theo định nghĩa 3+3n = 3(n+1)S Điều có nghĩa P(n+1) Theo quy nạp toán học số có dạng 3n, với n nguyên dương, thuộc S, hay nói cách khác A tập S Ngược lại, 3S, hiển nhiên chia hết 3A Tiếp theo ta chứng minh tất phần tử S sinh phần tử thứ định nghĩa, thuọcc A Giả sử x, y hai phần tử S, hai phần tử A Theo định nghĩa S x+y phần tử S, x y chia hết x+y chia hết cho 3, tức x+yA Vậy S tập A Định nghĩa đệ quy thường dùng nghiên cứu xâu kí tự Xâu dãy kí tự thuộc chữ Tập hợp xâu ứng với chữ ký hiệu * Hai xâu kết hợp với theo phép ghép Ghép xâu x y cho xy xâu tạo nên cách viết tiếp xâu y vào xâu x Ví dụ : cho x = abra, y = cadabra, xy = abracadabra Khi chứng minh kết xâu người ta thường dùng định nghĩa đệ quy Ví dụ2.4: Định nghĩa đệ quy tập xâu Giả sử * tập xâu chữ Khi đó* định nghĩa đệ quy sau : • *, xâu rỗng (không có phần tử nào); • x* * x Phần đầu định nghĩa nói xâu rỗng thuộc*.Phần sau khẳng định xâu tạo nên cách ghép kí tự củavới xâu của* thuộc* Độ dài xâu, tức số kí tự xâu, định nghĩa đệ quy Ví dụ2.5: Hãy định nghĩa đệ quy độ dài xâu Giải:Ta kí hiệu độ dài 1() Khi định nghĩa đệ quy 1() sau : • 1() = 0, xâu rỗng; • 1(x) = 1() + * x 10 2.3 Các thuật toán đệ quy Định nghĩa 2.1:Một thuật toán gọi đệ quy giải toán cách rút gọn liên tiếp toán ban đầu tới toán có liệu vào nhỏ Ví dụ 2.6: Tìm thuật toán đệ quy tính giá trị a n a số thực khác không n số nguyên không âm Giải : Ta xây dựng thuật toán đệ quy định nghĩa đệ quy a n , an = a.an-1 với n >0 n = a = Vậy để tính an ta quy trường hợp có số mũ nhỏ hơn, n = Xem thuật toán sau : Thuật toán 1: thuật toán đệ quy tínhan Procedure power(a: số thực khác không ; n: số nguyên không âm); Begin if n = then power(a,n): = elsepower(a,n): = a * power(a,n – 1); End; Định nghĩa đệ quy biểu diễn giá trị hàm số nguyênqua giá trị số nguyên nhỏ hơn.Điều có nghĩa ta xây dựng thuật toán đệ quy tính giá trị hàm định nghĩa đệ quy điểm nguyên Ví dụ 2.7: Thủ tục đệ quy sau cho ta giá rị n! với n số nguyên dương Giải: Ta xây dựng thuật toán đệ quy định nghĩa đệ quy n! , n! = n.(n-1)! với n>1 n = 1!= Thuật toán 2: thuật toán đệ quy tính giai thừa Procedure factorial(n: nguyên dương); Begin if n = then factorial(n): = elsefactorial(n): = n * factorial(n – 1); End; Có cách khác tính hàm giai thừa số nguyên từ định nghĩa đệ quy nó.Thay cho việc lần lược rút gọn việc tính toán cho giá trị nhỏ hơn, xuất phát từ giá trị hàm lần lược áp dụng định nghĩa đệ quy để tìm giá trị hàm số nguyên lớn dần.Đó thủ tục lặp Nói cách khác để tìm n! ta xuất phát từ n! = (với n = 1), nhân với số nguyêncho tới n Xem thuật toán 3: Thuật toán 3: Thủ tục lặp tính giai thừa Procedure factorial(n: nguyên dương); Begin x : = 1; for i : = to n x : = i*x; End; {x n!} Y 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871 Tính gần log10301 đa thức nội suy Lagrăng Giải : Dùng (6.35) với n = 3, ta có : ( − 3)( − 4)( − 6) x 2,4771 + 1( − 4)( − 6) x 2,4829 Log10 301 ≈ ( − 4)( − 5)( − ) 4( − 1)( − 3) + 1( − 3)( − ) 1( − 3)( − 4) x 2,4843 + x 2,4871 5(1)( − 2) 7( 3)( ) = 1,2739 + 4,9 658 - 4,4717 + 0,7106 = 2,4786 b Đánh giá sai số : Để đánh giá độ lệch đa thức nội suy Lagrăng L n(x) hàm số f(x) điểm x ≠ xi (i = ) ta xét định lý sau : 0, nhàm số y = f(x) liên tục [a,b] có đạo hàm liên tục Định lý : Nếu đến cấp n + (a,b) sai số nội suy Rn(x) = f(x) - Ln(x) có dạng sau : (4.10) n +1 f (c ) R n (x ) = π n +1 ( x ) ( n + 1)! Trong c phụ thuộc x ∈ [a,b], πn+1(x) = (x - xo)(x - x1) (x - xn) Chứng minh : Xét hàm số phụ sau : u(x) = f(x) - Ln(x) - kπn+1(x) (4.11) Trong k số lựa chọn sau Hàm số u(x) có n+1 nghiệm điểm x o, x1, , xn Bây ta chọn k cho hàm số u(x) có nghiệm thứ n + điểm cố định x [a,b], không trùng với nút nội suy Muốn thế, cần cho : f( ) - Ln( ) - kπn+1( ) = x x x Vì kπn+1( ) ≠ nên : f x x− L n x k = π n +1 x Với giá trị k vừa chọn, hàm số u(x) n + điểm : x o, x1, x2, , xn, [a,b] Ap dụng định lý Rôn, thấy đạo hàm u’(x) có không n+1 x nghiệm [a,b] Lại áp dụng định lý Rôn vào đạo hàm u’(x), thấy đạo hàm cấp hai u’’(x) có không nghiệm [a,b] Tiếp tục lập luận trên, thấy [a,b] đạo hàm u(n+1)(x) có nghiệm c, nghĩa : u(n+1)(c) = Vì Nên theo (4.11) có : L(nn +1) (x ) = vaì π(nn+_1+1) ( x ) = ( n + 1) ! ! ( u +1) ( n +1) u x( x=) c,=nhận f ( x ) − :k ( n + 1) Tại () () () u ( u +1) ( c ) = f ( n +1) ( c ) − k ( n + 1) ! = hay k (4.12) ( c) ( n + 1) ! f ( n +1) Từ (6.40) (6.41) suy : f x − Ln x f ( n +1) ( c ) = ( n + 1) ! π n +1 x : (4.13) ( n +1) f ( c) f x − Ln x = π x ( n + 1)! n +1 Vì điểm bấ kỳ [a, b] không trùng với nút nội suy, nên viết lạix(4.13) dạng : (4.14) ( n +1) f ( c) R n ( x ) = f (x ) − L n ( x ) = π ( x) ( n + 1) ! n +1 : c phụ thuộc x nằm [a,b] Đó công thức xác định số hạng dư đa thức nộ suy Ln(x) Chú ý (4.14) với điểm [a,b], kể điểm nút nội suy Đặt Mn+1= , nhận đánh giá sau sai số tuyệt ( n + 1) f ( x): đối đa thức nộimax suy Lagrăng aa ≤ x ≤ b (4.15) M n +1 R n ( x) = f ( x) − Ln ( x) ≤ π ( x) ( n + 1) ! n +1 Ví dụ 4.3 : Cho bảng giá trị hàm số y = sinx sau : π π X Y 0,707 Tính gần sin đa thức nội suy Lagrăng đánh giá sai số π giá trị gần nhận Giải : Dùng (4.9), ta có : ππ π ππ π  −   −  π 3 2 3 4 sin ≈  x 0,707 +  = 0,851 ππ π ππ π  −   −  44 2 22 4 Để đánh giá sai số giá trị gần nhận được, ta dùng (4.15) () () () () () () Vì M = max ( sin x ) ' ' ' = , nên :  π 0,    π π π  π R2  ≤ x x x = 0,024 ! 12  3 π sin = 0,85 ± 0,03 4.4 Đa thức nội suy Newton Bây ta xét cách khác để xây dựng đa thức nội suy: cách Niutơn Trước hết ta đưa vào khái niệm tỉ hiệu Giả sử hàm y = y(x) có bảng giá trị 4-1 mục Tỉ hiệu cấp y xi, xjlà : (yi − y j ) y[ x i , x j ] = (x i − x j ) Tỉ hiệu cấp hai y xi, xj, xklà : ( y[ x i , x j ] − [ x j , x k ] ) y[ x i , x j , x k ] = (xi − xk ) Với y(x) = P(x) đa thức bậc thỉ tỉ hiệu cấp x, : n x [ P ( x ) − Pn ( x o ) ] Pn [ x , x o ] = n (x − xo ) Là đa thức bậc n -1, tỉ hiệu cấp hai x, xo, x1 [ P ( x , x o ) − Pn ( x o , x ) ] Pn [ x , x o , x ] = n ( x − x1 ) Là đa thức bậc n -2, tỉ hiệu cấp n + Pn [ x, x , , x n ] = Từ định nghĩa tỉ hiệu ta suy : Pn(x) = Pn(xo) + (x - xo) Pn (x, xo) Pn[x, xo] = Pn[xo, x1] + (x - x1) Pn(x, xo, x1) Pn[x, xo, x1] = Pn[xo, x1, x2] + (x - x2)Pn [x, xo, x1, x2] Pn[x, xo, , xn-1] = Pn[xo, , xn] + (x - xn)Pn[x, xo, , xn] Từ Pn[x, xo, , xn] = ta có : Pn(x) = Pn(xo) + (x - xo) Pn(xo, x1) + (x - xo) (x - x1) Pn(xo, x1, x2) + + (x - xo) (x - xn-1)Pn[xo, , xn] (4.16) Nếu Pn(x) = pn(x) đa thức nội suy hàm y = f(x) : Pn(xi) = pn(xi) = f(xi) = yi, i = 0, 1, n Do tỉ hiệu từ cấp đến cấp n P n y (4.16) trùng Vì thay cho (4.16) ta có : pn(x) = yo + (x - xo) y [xo, x1] + (x - xo)(x - x1) y [xo, x1, x2] + + (x - xo) (x - x1) (x - xn-1) y [xo , xn] (4.17) Đa thức goi đa thức Niutơn tiến xuất phát từ nút x o hàm y = f(x) Đa thức sau đa thức Niutơn lùi xuất phát từ nút xn hàm y = f(x) Pn(x) = yn + (x - xn) y [xn, xn-1] + (x - xn) (x - xn-1) y[xn, xn-1, xn-2] + + (x xn) (x - xn-1) (x - x1) y [xn, xo] (4.18) Chú ý rằng, theo định nghĩa, tỉ hiệu có tính đối xứng : y[xi, xj] = y[xj, xi] y[xi, xj, xk] = y[xk, xj, xi] Chú thích : Đa thức Niutơn (4.17) trùng với đa thức Lagrangiơ bố trí cách thức khác Theo cách Niutơn thêm nút x n+1 vào lưới nội suy ta phải thêm vào pn(x) số hạng pn+1(x) = pn(x) + (x - xo) (x - xn) (x - xn+1), y [xo, , xn, xn+1] mà xây dựng lại tất đa thức sở cách làm Lagrange a Trường hợp nút cách Giả sử nút xj cách : xi = xo + ih, i = 0, 1, , n i) Trước hết ta đưa vào khái niệm sai phân tiến Sai phân tiến cấp i : ∆yi = yi+1 - yi Sai phân tiến cấp hai i : ∆2yi = ∆(∆yi) = yi+2 - 2yi+1 + yi Sai phân tiến cấp n i : ∆nyi = ∆(∆n-1yi) Khi ta có : ∆y o y[ x o , x ] = h ∆2 y o y[ x o , x , x ] = 2h ∆n y o y[ x o , , x n ] = (n ! hn ) Bây đặt x = xo + ht đa thức Niutơn tiến ta : p n (x ) x = x + ht = y o + t∆y o + t ( t − 1) ∆ y o + t ( t − 1) ( t − n + 1) n ∆ y o ( 4.13) n! Gọi đa thức Niutơn tiến xuất phát từ xo trường hợp nút cách Với n = ta có : (4.19) (x ) p x = x + ht = y o + ∆y o + o Với n = ta có : p2 (x ) = y + t∆ y o + t( t − 1) (4.20) ∆2 y o 2t ii) Một cách tương tự, với khái niệm sai phân lùi i ∇y i = y i − y i −1 ∇ y i = ∇( ∇y i ) = y i − y i −1 + y i − ∇ n y = ∇( ∇ n −1 y i ) Ta có đa thức nội suy Niutơn lùi xuất phát từ x n trường hợp nút cách : (4.21) t ( t + 1) p n (x ) x = x + ht = y n + t∇y n + ∇ y n + 2! t ( t + 1) ( t + n − 1) + ∇nyn n! Ví dụ 4.4: Cho số giá trị hàm sin x : Bảng X 0.1 0.2 0.3 0.4 Sinx 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 Hãy tính gần sin (0,14) sin (0,46) Giải : Dựa vào bảng giá trị cho sinx, ta thay hàm sinx đa thức nội suy Vì nút x j cách với h = 0,1, nên ta áp dụng đa thức Niutơn Trước hết ta lập bảng sai phân : Bảng I x sinx ∆y ∆2y ∆3y 0,1 0,09983 9884 0,2 0,19867 -199 9685 -96 x = x o + ht x 0,3 0,29552 -295 9390 I 0,4 x 0,38942 Sinx ∇y ∇2 y ∇3 y a) Tính : sin(0,14) Vì 0,1< 0,14 < 0,2 nên ta dùng đa thức Niutơn tiến (4.17) xuất phát từ xo = 0,1 với h = 0,1 dựa vào sai phân tiến xuống bảng (gạch gạch) : p( x ) x = 0,1 + ,1t = 0,09983 + 0,09884 + t ( t − 1) t ( t − 1)( t − ) 0,00199 − 0,00096 2! 3! Ứng với x = 0,14 ta có 0,14 = 0,1 + 0,1 t, ta suy t = 0,4 Thay t = 0,4 vào vế phải ta tính sin(0,14) ≈ p(0,1 + 0,1 0,4) = 0,13954336 Sai số tính theo công thức (4.7) Ở n = 3, ta có : sin n +1 ( x ) = sin ( ) ( x ) = sin x ≤ − π(x) = (x - 0,1) (x - 0,2)(x - 0,3) (x - 0,4) π( 0,14) = ( 0,14 − 1) ( 0,14 − 0,2 )( 0,14 − 0,3) x ( 0,14 − 0,4 ) ≤ 10 −4 Vậy (4.7) cho : 10 −4 sin( 0,14) − 0,13954336 ≤ ≤ 4,2 10 − 4! Ta thấy số 0,13954336 có nhiều chữ số nghi, ta quy tròn đến chữ số lẻ thập phân : sin(0,14) = 0,13945 ± 10 b) Tính : sin(0,46) Vì 0,46> 0,4 gần 0,4 nên ta dùng đa thức Niutơn lùi (4.18) xuất phát từ x3 = 0,4 dựa vào sai phân lùi lên (gạch hai gạch bảng 2) : t ( t + 1) P( x ) x = , + 0,1t = 0,38942 + t 0,09390+ 0,00295 2! t ( t + 1)( t + 2) − 0,00096 3! Ứng với x = 0,46 ta có 0,46 = 0,4 + 0,1 t ta suy t = 0,6 Thay t = 0,6 vào vế trái ta tính : sin(0,46) ≈p(0,4 + 0,1 0,6) = 0,4439446 Sai số tính theo công thức (4.7) : −5 ( 0,46tròn ) − 0số sinquy ,4439446 ≤ 3đến ,8 10 Ta 0,4439446 chữ số lẻ thập phân : sin(0,46) = 0,44394 ± 5.10-5 Chú thích : Ta nhận thấy sai số tính sin(0,46) gấp lần sai số tính sin(0,14) Lý chỗ 0,46 khoảng (0,1 ; 0,4) 0,14 khoảng đó, tính sin (0,46) ta phải “ngoại suy” tính sin(0,14) ta “nội suy” Ta xem lại mục 7, hình 4-1 ta thấy sai số ngoại suy (tuyệt đối) lớn vọt nhanh 4.5 Phương pháp bình phương cực tiểu a Mở đầu Giả sử có hai đại lượng (vật lý, hoá học, kỹ thuật ) x y có liên hệ phụ thuộc theo dạng biết : y = a + bx y = a + bx + cx2 y = a + bcosx + csinx y = aebx y = axb Nhưng chưa biết giá trị cụ thể tham số a, b, c Muốn xác định chúng người ta tìm cách có - thí nghiệm, đo đạc - số cặp giá trị tương ứng (xi, yi), i = 1, 2, n: Bảng x X1 x2 xn y Y1 y2 yn Rồi áp dụng phương pháp bình phương bé để xác định tham số b Trường hợp y = a + bx Giả sử y phụ thuộc x dạng y = a + bx yi - a - bx1 = εi, i = 1, 2, , n sai số xi, : tổng cá bình phương sai số S phụ thuộc a b, xi, yi biết Mục đích phương pháp bình phương bé xác định a b cho S bé Như a b nghiệm hệ phương trình (4.22) ∂S ∂S = 0, =0 ∂a ∂b tức (4.23) na + b∑ x i = ∑ y i    a∑ x i + ∑ x i = ∑ x i yi   Từ bảng ta tính tổng thay vào hệ ∑x , ∑y ,∑x ,∑x 1 i i yi (4.23) giải hệ ta a b Ví dụ 4.5: Cho biết phụ thuộc hai đại lượng x y có dạng y = a + bx cho bảng số liệu : Bảng x -1,1 2,1 3,2 4,4 5,2 y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3 Hãy xác định a b phương pháp bình phương bé Giải.Trước hết ta lập bảng số Bảng xi yi x2i xiyi -1,1 0,78 1,21 -0,858 2,1 7,3 4,41 15,33 n=5 3,2 9,2 10,24 29,44 4,4 11,9 19,36 52,36 5,2 13,3 27,04 69,16 ∑ 13,8 42,48 62,26 165,43 Sau hệ phương trình viết : 5a + 13,8b = 42,48 13,8a + 62,26b = 165,432 Giải hệ ta : A = 2,9939036 ≈ 3; b = 1,9935131 ≈ Vậy có quan hệ : Y = + 2x Bây ta thử tính giá trị y x1 so sánh chúng với giá trị y1 cho bảng (xem bảng 6) Bảng x -1,1 2,1 3,2 4,4 5,2 y cũ 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3 y 0,8 7,2 9,4 11,8 13,4 Như quan hệ xấp xỉ tốt bảng số liệu c Các dạng quan hệ khác Các dạng phụ thuộc 2, nêu mục quan hệ tuyến tính tham số a, b, c nên giải cách tương tự Chẳng hạn, : y = a + bx + cx2 a,b,c nghiệm hệ : na + b a a ∑x i + c∑ x 12 = ∑y i ∑x i + b∑ x 12 = c∑ x 3i = ∑x y ∑x i + b∑ x 13 = c∑ x i4 = ∑x i i i yi Trường hộp quan hệ x y có dạng hay ta phải biến đổi đôi chút quan hệ phi tuyến tham số a b Giả sử : Y = aebx, a > Lấy lôgarit nhập phân hai vế ta : Logy = loga + bxloge Đặt : logy = Y, loga = A, bloge = B, x = X Ta có : Y = A + BX Đây quan sát hệ dạng y = a + bx Từ bảng số liệu x,y ta suy bảng số liệu X, Y với ý : X = x, Y = logy Sau áp dụng cách làm mục ta thu A, B từ suy a b Bây giả sử : Y = axb, a > 0, x > Lấy Logarit hai vế ta : Logy = loga + blogx Đặt : logy = Y, loga = A, b = B, logx = X Ta có : Y = A + BX Đó quan hệ dạng y = a + bx Ta lại làm mục Ví dụ 4.6 : Cho biết cặp giá trị x y theo bảng sau: xi xi yi 0.65 0.65 0.96 0.75 0.85 0.95 1.15 1.06 1.17 1.29 1.58 0.95 1.15 Lậpcôngthứcthựcnghiệmcủaydạngaebx Giải Tacó:y=aebx Lấy Logarit số e hai vế:Lny = lna + bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x Ta đưa dạng: Y = A + BX Xi = xi 0.65 0.65 0.75 0.85 Yi = lnyi Yi =lnyi -0.04 -0.04 4.35 0.06 3.93 0.18 0.92 0.25 0.46 xi 0.89 Phương pháp bình phương bé nhất: A, B nghiệm hệ phương trình Giải hệ phương trình ta được: A = -.069, B = Suy ra: , b = B =1 Vậy f(x) = Bài tập chương11-04 Bài 1: Dùng phương pháp tiếp tuyến tìm nghiệm gần phương trình: f(x) = x3- 0,2x2 - 0,2x - 1,2 = Biết khoảng phân ly nghiệm : (1,1 ; 1,4) Bài 2: Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần phương trình: f(x) = x3- 0,2x2 - 0,2x - 1,2 = Biết khoảng cách phân ly nghiệm : (1,1 ; 1,4) Bài 3: Chứng minh phương trình : x5+ 5x + = có nghiệm thực đơn khoảng [-1, 0] tính nghiệm xác đến 0,01 phương pháp hỗn hợp Bài 4: Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm dương phương trình : x4- 2x - = (Tính bước, lấy đến số lẻ) Bài 5: Bằng phương pháp tiếp tuyến giải phương trình : x4- 2x - = (Tính bước, lấy đến số lẻ) Bài 6: Bằng phương pháp phối hợp tìm nghiệm gần phương trình : x3 + x2 - 11 = khoảng (1 ; 2) với độ chinh xác đến 0,001 Bài 7: Cho hàm f(x) thoả mãn: xi xi 0.65 F(xi) -1 Tìm hàm nội suy f(x), tính f(5) Bài 8: Cho bảng giá trị : x 10 12 y 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05 Dùng phương pháp bình phương cực tiểu, tìm công thức thực nghiệm có dạng : y = a + bx Bài 9: Cho bảng giá trị : x 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 y 2,5 1,2 1,12 2,25 4,28 Hãy tìm công thức nghiệm có dạng : y = a + bx + cx2 Hướng dẫn thực tập chương 11-04 Bài 1: Dùng công thức: tìm nghiệm gần x khoảng phân ly nghiệm (1.1 ; 1.4) Lặp lại trình điểm (x 1, f(x1)) ta thu nghiệm gần Lặp lại trình điểm (x 2, f(x2)) ta thu nghiệm gần x3 nghiệm gần phương trình khoảng phân ly nghiệm (1.1 ; 1.4) Bài 2: Dùng công thức: tìm nghiệm gần x1 khoảng phân ly nghiệm (1.1 ; 1.4) Lặp lại trình điểm (x 1, f(x1)) ta thu nghiệm gần Lặp lại trình điểm (x 2, f(x2)) ta thu nghiệm gần x3 nghiệm gần phương trình khoảng phân ly nghiệm (1.1 ; 1.4) Bài 3: Bước 1: Chứng minh [-1,0] khoảng phân ly nghiệm phương trình Bước 2: Dùng phương pháp phối hợp tìm nghiệm gần khoảng phân ly nghiệm [-1,0] với độ xác 0.01 Dùng phương pháp tiếp tuyến: tìm nghiệm gần x khoảng phân ly nghiệm (-1,0) Dùng phương pháp dây cung: tìm nghiệm gần x1 khoảng phân ly nghiệm (-1,0) Nếu