Kĩ năng sử dụng máy tính casio trong giải toán

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com K NĂNG S D NG CASIO TRONG GI I TOÁN (Bùi Thế Việt – THPT Chuyên Thái Bình) Trong dụng cụ học tập phép mang vào phòng thi kỳ thi đại học, kỳ thi THPT Quốc Gia máy tính cầm tay dụng cụ thiếu giúp tính toán nhanh chóng Tuy nhiên, máy tính cầm tay trợ thủ đắc lực để gi i toán, đặc biệt gi i Phương Trình, Hệ Phương Trình, B t Phương Trình, hay kể c B t Đẳng Thức Mình (tác giá - Bùi Thế Việt người r t đam mê với kỹ năng, thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay gi i toán Mình áp dụng vào đề thi THPT Quốc Gia Chỉ – phút, đưa lời gi i xác cho câu Phương Trình Vô Tỷ gần giờ, hoàn thành xong làm với điểm số tuyệt đối, / người điểm tối đa Vậy sử dụng cho hiệu qu ? Hãy đến với chuyên đề K Năng S D ng CASIO Trong Gi i Toán Chuyên đề chưa ph i t t c Thủ Thuật mà đưa tới cho bạn đọc Tuy không nhiều thủ thuật mang tới kỳ diệu mà máy tính CASIO mang lại Chuyên đề giới thiệu thủ thuật CASIO hay dùng việc gi i toán :  Thủ thuật sử dụng CASIO để rút g n bi u th c  Thủ thuật sử dụng CASIO để gi i ph ng trình b c  Thủ thuật sử dụng CASIO để tìm nghi m ph ng trình  Thủ thuật sử dụng CASIO để phân tích đa th c thành nhân t m t n  Thủ thuật sử dụng CASIO để phân tích đa th c thành nhân t hai n  Thủ thuật sử dụng CASIO để gi i h ph ng trình  Thủ thuật sử dụng CASIO để tích nguyên hàm, tích phân  Thủ thuật sử dụng CASIO để gi i b t đ ng th c Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TH THU T : TH THU T S D NG CASIO Đ RÚT G N BI U TH C Bài 1: Gi i Phương trình: 2x   x2  3x   đề thi Đại Học khối D năm 1  Điều kiện xác định: x   ;   2  Thông thường với dạng toán này, ta bình phương đặt ẩn để đưa phương trình bậc  Hướng : Bình phương hai vế : 2x   x  3x    2x   ( x  3x  1)2   Hướng  x  6x3  11x  8x   t2  : Đặt ẩn phụ : Đặt t  2x    x  ta : 2x   x  3x    t2    t2    t     1  2     t4   t2  t   4 ❓ Làm để rút gọn biểu thức cách nhanh chóng : 2x   (x2  3x  1)2  x4  6x3  11x2  8x  2  t2    t2   t4 t    t t    4     Nếu bạn chưa biết Th Thu t S D ng Casio Đ Rút G n Bi u Th c, hẳn bạn ph i kỳ công ngồi nháp Và bạn gặp sai sót Tuy nhiên, bạn sử dụng CASIO, chuyện đơn gi n bạn nghĩ ▶ Ý tưởng : Ta xét biểu thức x  1000 Dựa vào chữ số hàng đơn vị, hàng nghìn, hàng triệu, hàng tỷ, ta tìm hệ số tương ứng với hệ số tự do, hệ số x , hệ số x , hệ số x , Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ví dụ xét : f(x)  ax3  bx2  cx  d f (1000)  a00b00c00d  109 a Suy a  f 1000  109 ❓ Làm để tính giá trị biểu thức x  1000 Cách nhanh nh t sử dụng phím CALC để gán giá trị Ví dụ ta nhập biểu thức ẩn X , ta n CALC cho X  1000 n = máy tính hiển thị kết qu biểu thức X  1000 Để hiểu rõ hơn, vui lòng xem cách làm ▶ Thực : a) Ta muốn rút gọn biểu thức f(x)  2x   (x2  3x  1)2 , ta tính sau: Ta có : f 1000   9 , 94010992 1011  1012  x f 1000   x  5989007998  109  6x3 f 1000   x  6x3  10992002  11 106  11x f 1000   x  6x3  11x  7998  103  8x f 1000   x  6x3  11x  8x  2  f  x   x  6x3  11x  8x    Vậy đáp số: 2x   x  3x   x  6x3  11x  8x   x2    x2   b) Ta muốn rút gọn biểu thức f  x   x     3   , ta 2     nhân biểu thức với để hệ số f ( x) số nguyên Ta có : 4f 1000   9, 99996004 1011  1012  x 4f 1000   x  3996001  4  106  4x 4f 1000   x  4x  3999   103  4x 4f 1000   x  4x  4x  1  4f  x   x  4x  4x   f  x  x4  x2  x  4  x2    x2   x4  x2  x  Vậy đáp số: x     3  1  4     Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ▶ Phân tích hướng giải: ❓ Làm để gi i nốt toán ? Hãy từ từ, đọc hết chuyên đề xem lại toán trên, chắn bạn đọc có nhìn hoàn toàn khác tập dạng Hãy thử xem qua lời gi i sau : ▶ Cách : Nhân liên hợp hoàn toàn: Ta có : 2x   x  3x     x  1 x      2x        x  1  x   0 1 x      2x      x  1  x     1 x       2    x  1 1  0    2x     ▶ Cách : Nhân liên hợp không hoàn toàn: Ta có :  2x   x  3x     x  1 x                   2x       2x   2x    x    x     2x   2x    x      2x   2x    x  1  2x    2    2x    x  1  2x    0 2x      2x    x  1 2x    2x     ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử không hoàn toàn:        2x   x  3x    ▶ Cách   2x   x    2x   x  : Phân tích thành nhân tử hoàn toàn: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2x   x  3x    2x   x  2x    ▶ Cách : Bình phương hai vế: 2x   x  3x         2x   x  3x      x  x   x  1  ▶ Cách : Đặt ẩn phụ hoàn toàn: t2 1 Đặt t  x   x  Vậy ta có : 2  t2    t2   2x   x  3x    t       1  2      t  t   t  1  ▶ Cách : Đặt ẩn phụ không toàn toàn:   Đặt t  x  Vậy ta có : 2x   x  3x    x2  t  x  t   t  x  t  x  1  ▶ Cách : Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình: Đặt y  x  Ta có hệ phương trình :  x  3x   y    y  x   L y PT (1)  PT (2) ta : x     3x   y  y2  2x     x  y  1 x  y   cách làm có khác cách trình bày b n ch t giống Đó xu t phát từ thứ gọi nhân tử Khi có nhân tử, biết biểu thức cần nhóm để đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, phân tích nhân tử Để hiểu rõ hơn, bạn đọc đọc thủ thuật quay lại xem toán thử làm tập tương tự Một số tập tương tự : x2  2x   x x   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 x  15 x    x  11 x  x  24 x  35  4 x   x  4 x  13 x  14  4 x   x  Bài 2: Gi i phương trình:  x  2  x3  3x  13 đề thi thử Đại Học lần khối B THPT Ngô Gia Tự – Bắc Ninh năm Điều kiện xác định: x  0,   ▶ Ý tưởng : Tương tự , ta sử dụng máy tính CASIO để rút gọn phương trình bậc sau :  f  x    x    13  36 x3  3x   ▶ Thực : Ta làm bước : Ta có : f 1000   9, 8006994  1011  1012  x  f 1000   x  1, 993005999  1010  20  109  20x3 f 1000   x  20x3  69940009  70  106  70x f 1000   x  20x3  70x  59991  60  103  60x f 1000   x  20x3  70x  60x   f 1000   x  20x3  70x  60x    Kết luận :  x    13  36 x3  3x  x  20x3  70x  60x    ▶ Phân tích hướng giải : Vậy toán cho đơn gi n việc gi i phương trình bậc : x4  20x3  70x2  60x   Cách gi i phương trình bậc máy tính cầm tay thủ thuật Ngoài có cách gi i khác tương tự Tuy nhiên nên để ý cách gi i phương trình việc phân tích nhân tử ý tưởng đề r t nhiều toán khó ▶ Cách : Bình phương hai vế: Ta có : Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  x  2  x3  3x  13     x    13  36 x3  3x     x  20x  70x  60x   ▶ Cách Ta có :     x  1 x  3 x  16x   : Phân tích thành nhân tử:  x  4      x x   13 x2   x  x2   x  Một số tập tương tự : x  15 x   x  x x  x   x3  x x2  13 x   x  x   4x2  6x   x2  x2  x Bài 3: Gi i phương trình: x5  x  x3  29 x  16 x   Điều kiện xác định: x  ▶ Ý tưởng : Thông thường tập gi i phương trình kiểu thường có hướng gi i nhanh gọn Đó Phân Tích Thành Nhân Tử Muốn phân tích ta ph i biết nhân tử toán ❓ Làm để tìm nhân tử toán ? Bằng thủ thuật CASIO, ta dễ dàng tìm nhân tử toán x   x  Nhưng để tìm bạn đọc đợi tới thủ thuật sau Tóm lại ta muốn tìm nhân tử lại toán, thương phép chia : x5  x  x3  29 x  16x  f  x  x  6x  ▶ Thực hiện: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x5  x  x3  29 x  16 x  Ta coi biểu thức đa thức ẩn x x  6x  làm tương tự : f 1000   999995001  109  x3 f 1000   x3  4999  5  103  5x f 1000   x3  5x  Vậy ta : x5  x  x3  29 x  16 x   x3  5x  x  6x  ▶ Phân tích hướng giải: Sau chia đa thức, ta :   x5  x  x3  29 x  16 x   x3  5x  x  x   Để gi i phương trình bậc : x3  5x   đón xem thủ thuật gi i phương trình bậc Vậy ta có lời gi i sau : ▶ Lời giải : Ta có : x5  x  x3  29 x  16 x       x3  5x  x  x   Xét đa thức : g  x   x3  5x  Vì g ( x) bậc nên g ( x)  có tối đa nghiệm Chỉ nghiệm :    1  15   15cos  arccos     3    1  15  2 15cos  arccos   x2    3    1  15  2 x3  15cos  arccos     3    x1          Bài toán gi i hoàn toàn Hy vọng qua toán b n trên, bạn đọc hình dung lợi ích việc sử dụng máy tính cầm tay việc rút gọn biểu thức gi i toán Một số tập tương tự : Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x  x3  x  x   x5  x4  3x2  x   x5  x4  x3  x2  x   x6  x5  x4  24 x3  72 x2  64 x  16  TH THU T : TH THU T S D NG CASIO Đ TÌM NGHI M PH NG TRÌNH Bài 1: Gi i B t Phương Trình: 300x  40x   10x    10x 0 1 x  1 x  (đề thi thử Đại Học lần THPT Quỳnh L u – Nghệ An năm 1 3 Điều kiện xác định: x   ;  / 0  10 10  ▶ Ý tưởng : 1 3 Ta có :  x   x  1  x   x   2x   ;  10 10  Quan trọng nh t gi i b t phương trình : 300x2  40x   10x    10x  Thông thường với dạng toán này, ta nhân liên hợp với nghiệm toán ❓ Làm để tìm nghiệm phương trình : 300x2  40x   10x    10x  Sử dụng phím SOLVE để tìm nghiệm, có lẽ với số bạn, phím SOLVE cho ta nghiệm toán Vậy với toán có nhiều nghiệm ? Làm để biết toán có nghiệm nh t ? Để hiểu rõ hơn, bạn đọc xem cách làm : ▶ Thực :  Ta viết biểu thức 300x2  40x   10x    10x  lên máy tính n SOLVE để tìm nghiệm, máy hỏi X ?  Nhập  1 để tìm nghiệm gần nh t 10 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com     Máy cho nghiệm x  0.2  n SOLVE để tìm nghiệm, máy hỏi X ? 3 để tìm nghiệm gần nh t 10 10 Máy cho nghiệm x  0.2  Nhập Vậy ta kết luận : Phương trình 300x2  40x   10x    10x  có nghiệm nh t x  ▶ Phân tích hướng giải: Khi biết x  nghiệm nh t phương trình, ta chắn sử dụng phương pháp nhân liên hợp Ngoài ra, bạn đọc thủ thuật gi i phương trình vô tỷ CASIO, ta có thêm cách làm khác ▶ Cách : Nhân liên hợp hoàn toàn: Ta có : 300x  40x   10x    10x  1    10x    30x    0 10x    10x      10x  1  10x    30x      10x    10x    ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử: Ta có : 300x  40x   10x    10x   300x  40x    10x      10 x  30x  2   10x       10 x  30 x     30 x    10 x  30 x    10x     0    10 x 10x       30 x  1  10 x  30 x  10x    10x     0     x x 10 10 1     Một số tập tương tự : x2  x   2 x 1   x   10x    Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  Khi x   y :  2  x  y  x  y  xy   y  1 y    x x2  y  12  9x   y  1 y     Suy 2PT(1)  PT(2)   Kết luận : Ta l y 2PT(1)  PT(2) phân tích thành nhân tử ▶ Phân tích hướng giải: Ta sử dụng thủ thuật phân tích thành nhân tử ▶ Lời giải : Phân tích thành nhân tử: L y 2PT(1)  PT(2) ta được: ẩn để gi i toán (x  y  3)(x  xy  x  2y  4)  xy3 Vì :  x  xy  y  x  y  2 y  7  10   x  xy  x  y    x      y     2  4 7  Lời gi i chi tiết dành cho bạn đọc Bài 5: Gi i Hệ Phương Trình: xy  x  y   3 4x  12x  9x  y  6y    ▶ Ý tưởng : Ta làm tương tự ▶ Thực :  Tìm nghiệm hệ phương trình CASIO ta nghiệm :  3  17  17  (x, y)   ,    y  Mối liên hệ x y x   y  Khi x   : 2  xy  x  y   y y4   4x3  12x  9x  y3  y    y  1 y  y       Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  Suy 3(y  1)PT(1)  PT(2) Kết luận : Ta l y 3(y  1)PT(1)  PT(2) phân tích thành nhân tử ▶ Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự toán trước : ▶ Lời giải : Phân tích thành nhân tử: L y 3(y  1)PT(1)  PT(2) ta được: (x  y  1)( 2x  y  2)2  Lời gi i chi tiết dành cho bạn đọc Bài 6: Gi i Hệ Phương Trình: x3  y3  91  2 4x  3y  16x  9y ▶ Ý tưởng : Ta làm tương tự ▶ Thực :  Tìm nghiệm hệ phương trình CASIO ta nghiệm : (x, y)  ( 4, 3);(3, 4)  Mối liên hệ x y x   y  Khi x   y :  3  x  y  91  21 y   y  3  2  4x  3y  16x  9y   y   y  3 Suy PT(1)  3PT(2)  Kết luận : Ta l y PT(1)  3PT( 2) phân tích thành nhân tử ▶ Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự toán trước : ▶ Cách : Hàm đặc trưng: L y PT(1)  3PT( 2) ta được: x3  12x  48x    y   12   y   48   y  Xét hàm đặc trưng: f  t   t  12t  48t  f '  t    t    Lời gi i chi tiết dành cho bạn đọc ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử: L y PT(1)  3PT( 2) ta được: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x3  12x  48x  (  y)3  12(  y)2  48(  y)     x  y   x  xy  y  5x  y  13  2  y 5  y 3    x  y     x     3      2  2    Lời gi i chi tiết dành cho bạn đọc Bài 7: Gi i Hệ Phương Trình: 2 3x  xy  9x  y  9y  2x  x y  20x  20y ▶ Ý tưởng : Ta làm tương tự ▶ Thực :  Tìm nghiệm hệ phương trình CASIO ta nghiệm : (x, y)  (0, 0);(2, 1)  Mối liên hệ x y x  2y  Khi x  2y :  3x2  xy  9x  y  9y  9y  y  1   2x  x y  20x  20y  20y  y  1 y  1   Suy 20(y  1)PT(1)  9PT(2)      Kết luận : Ta l y 20(y  1)PT(1)  9PT(2) phân tích thành nhân tử ▶ Phân tích hướng giải: Ta ph i làm thêm hệ phương trình nữa: ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử: L y 20(y  1)PT(1)  9PT(2) ta được: (x  y)(18x  10 y  15xy  60x  80 y)  L y 8PT(1)  PT(3) ta được:     3x  xy  9x  y  9y  18x  10y  15xy  60x  80y    2x  y   3x  2y   Lời gi i chi tiết dành cho bạn đọc ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử: L y  2x  y  5 PT(1)  9PT(2) ta được: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  2y  x3x  2y  2x  y  4  Lời gi i chi tiết dành cho bạn đọc TH THU T : TH THU T S D NG CASIO Đ TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 1: Tính Tích Phân: I  ▶ Ý tưởng : Ta cần viết dạng: f  x   x x x2 x 2dx  1  1  a  x  1  b c d với   x   x  1 x 1 a,b,c,d Khi ta tìm a, b, c, d lim ▶ Thực :  Ta tìm lim biểu thức sau :  a  lim f  x  x  1   x 1    a    b lim f x x          x 1   x  12      c  lim f  x  x  1  x 1    c      x  1   d lim f x      x 1   x  1    Kết luận : Ta : x2 1 1     2  x  1  x  1  x  1  x  1 x2    ▶ Phân tích hướng giải: Công việc đơn gi n Chúng ta tách tính tích phân phần ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có : I  3 x 2dx x  1  1 1  dx       x  12  x  1  x  12  x  1  2   1 1     ln x    ln x    ln  x 1  x 1  48 Bài 2: Tính Tích Phân:  I tan xdx   cos x  2 (đề thi thử Đại Học lần THPT Kim Thành – Hải D ơng năm ▶ Ý tưởng : Đặt t  cosx dt   sin xdx Đổi cận ta được:  I tan xdx dt   cos x  2  t  t  2  2 Ta cần viết dạng : f t  t  t  2  a  t  2  b c  t2 t ▶ Thực :  Ta tìm lim biểu thức sau :   a lim f t t        t 2    a     t  2   b lim f t      t 2   t        c  lim f  t  t  t 0  Kết luận : Ta : 1 1    4t  t    t   t  t  2 ▶ Phân tích hướng giải: Ta trình bày sau : ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta đặt t  cosx dt   sin xdx Khi :  I tan xdx 1 dt  1      dt    4 t t    2 t   1    cos x    t  t     2 1  1   ln t  ln t     ln  2 t    30 4 Bài 3: Tính Tích Phân: 1  x  dx I x 1  x  5 ▶ Ý tưởng : 1  x  dx  1  t  dt  dt  5x dx Vậy: I    t 1  t  x 1  x  Đặt t  x Đặt f  t   32 1 t t 1  t   a 1  t   2 b c  với a,b,c 1 t t Ta tìm a,b,c ▶ Thực :  Ta tìm lim biểu thức sau :  a  lim f  t 1  t   2 t 1    a      t   1 b lim f t       t 1  t        c  lim f  t  t   t 0  Kết luận : Ta : 1 t 1     t 1  t  1  t 2  t t ▶ Phân tích hướng giải: Ta trình bày sau : ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Ta đặt t  x5  dt  5x4dx Khi : Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1  x  dx  1  t  dt    I  t 1  t    1  t  x 1  x   32 32 1    ln  t  ln  t 1  1   dt 1 t t   32 64 31  t   ln  33 165 1 Bài 4: Tính Tích Phân: I x  33   x  3  x  1  x  1dx ▶ Ý tưởng : Đặt : f(x)  x2  33  a  x  3  x  1  x  1  x  3 3  b  x  3  c d e f    x 1 x 1 x   x  1 ▶ Thực :  Ta tìm lim biểu thức sau : 3  a lim f x x         x 3    a        b lim f x x      x 3   x  33       b  a   x  3  2 c  lim f x       x 3  3 x x           d  lim f  x  x  1   x 1    15 d    x  1  e  lim  f  x    x 1   x  1      f  lim f  x  x  1  x 1  Kết luận : Ta : 3 x2  33 2 15        x  33  x  12  x  1  x  33  x  32 x   x  12  x  1  x  1 ▶ Phân tích hướng giải: Ta trình bày sau : ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có : I   x  3 x  33 dx  x  12  x  1 5 3 2 15  dx          x  33  x  32 x   x  12  x  1  x  1  4     15           ln x ln x ln x 1   x  32  x  3  x 1 8  4 15 35  ln  ln  ln  48 Bài 5: Tính Tích Phân: I   x  1  x 2 dx  1 ▶ Ý tưởng : Đặt : f(x)   x  1 x  1  a  x  1  b c  x 1 x 1 ▶ Thực :  Ta tìm lim biểu thức sau :  f  x  x  1  a  lim x 1     b  lim  f  x   a   x  1   x 1    x  12     Ta tìm c sau : Xét x  1000 :  a b  x  c x      50   x  12 x   x  12 x     Kết luận : Ta : 1 x    2  x  1 x2   x  1  x  1 x2    ▶ Phân tích hướng giải: Ta trình bày sau :       Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Ta có : I   x  1  2 3 x 1 dx       x  1 x  x2    x  1      dx     1 1 ln     ln|x  1| ln|x2  1|   4   x  1 2 Bài 6: Tính Tích Phân:  x I x3  2x  x    x  2x  dx  ▶ Ý tưởng : Đặt : f(x)  x x3  2x  x    x  2x    a b  x  x  2x  ▶ Thực :  Ta biết i , 1  2i nghiệm x2  2x    Ta tìm lim biểu thức sau : a  lim f  x  x   0, 25  0, 25i  x i  b  lim f  x  x  2x    1, 060660172i x 1 2i  1  x 1  a    i   b   i    x  1  3x   4 Kết luận : Ta : x  2x  x  x 1 3x    x  x  2x  x  x  x       ▶ Phân tích hướng giải: Ta trình bày sau : ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Ta có :       x2   , Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com I  1 3x   x 1  dx   x  x  2x  x  2x   x 1 x3  2x  x          dx   1   arctan  x  1     ln x   arctan x  ln x  x    8          2  ln arctan  arctan   2 16 2 TH THU T : TH THU T S D NG CASIO Đ GI I B T Đ NG TH C Bài 1: Cho a,b,c  a  b  c  Tìm GTLN của: P 4a  4b2  4c    a3  b 1 c 1 ▶ Ý tưởng : 4a   ka  m với a  Ta cần tìm k,m cho: a 1 D u a  a0  Để tổng quát v n đề, ta cần tìm k,m cho f(x)  mg(x)  k f(x)  mg(x)  k với x Khi k , m nghiệm hệ phương trình sau : f  x0   kg  x0   m  f '  x0   k 'g  x0  Với x  x0 điểm rơi ▶ Thực :  Ta tìm k cách nhanh chóng cách : d  4x   k    dx  x   x 1  Và m tìm cách : 4a0  m  ka0  a0  Với a0  điểm rơi toán Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  4a  a  để chứng minh  a3  Ta phân tích thành nhân tử không dương với a  Kết luận : Ta có: (a  11a  5)(a  1)2 4a  a     0a  a3  a3    ▶ Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự với b, c cộng lại đáp án : ▶ Lời giải : Bất đẳng thức: Ta có : (a  11a  5)(a  1)2 4a  a  4a  a          a 3 4  a3  a a 1   4b  b  4c  c    Chứng minh tương tự ta có , suy ra: 4 b 1 c 1 4a  4b2  4c2  a  b  c  15 P       4 a 1 b 1 c 1 15 Vậy Pmax  a  b  c  Bài 2: Cho a,b,c  Chứng minh rằng: a  b3 b3  c3 c3  a abc    2 2 2a  ab  b b  bc  c c  ca  a ▶ Ý tưởng : Ta cần tìm k,m cho: a  b3 x3  b  ka  m   kx  m với 2a  ab  b2 2x2  x  a  xb ▶ Thực :  Ta tìm k , m cách : k  d  x3     dx  x2  x    x 1 x 03  19 15 kx m    16 16 x0  x0  a  b3 19a  15b  Ta phân tích thành nhân tử 2 16 2a  ab  b Kết luận : Ta có: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com a  b3  6a  b  a  b   0a, b  19a  15b    16 2a  ab  b2 16 2a  ab  b2   a  b3 19a  15b   16 2a  ab  b2 ▶ Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự với b, c cộng lại đáp án : ▶ Lời giải : Bất đẳng thức: Ta có : a  b3  6a  b  a  b   0a, b  19a  15b   2 16 2a  ab  b 16 2a  ab  b2   a  b3 19a  15b   16 2a  ab  b Chứng minh tương tự ta có : c3  a b3  c 19c  15a 19b  15c   16 16 c2  ca  a 2 b2  bc  c2 Suy ra: a  b3 b3  c3 c3  a abc    2 2 2a  ab  b b  bc  c c  ca  a Bài 3: Cho a,b,c  thỏa mãn abc  Tim GTNN của: P a2  b2  c2    a(a  1)2 b(b  1)2 c(c  1)2 ▶ Ý tưởng : Ta th y lnabc  lna  ln b  ln c nên ta tìm k,m cho : a2   k ln a  m a(a  1)2 D u đẳng thức a  ▶ Thực :   1 m  2 a 1 1  ln a   0a  Ta cần chứng minh f(a)  2 a(a  1) Tương tự toán trước, ta tìm k   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com a2  1 Kết luận : Ta chứng minh f(a)   ln a   0a  2 a(a  1) ▶ Phân tích hướng giải: Ta chứng minh đạo hàm cách tốt nh t: ▶ Lời giải : Bất đẳng thức: Ta có bổ đề : a2  1    0a  f(a)  ln a a(a  1)2 Chứng minh : f '(a)   a3  a  3a   a  13 a2   a  1 a  2a  7a    2a  a  1 a  Vậy f '(a)   a  f'(a) đổi d u từ âm sang dương qua Suy f(a)  f(1)  đpcm Chứng minh tương tự, suy ra: a2  b2  c2  3 ln abc P      ln a  ln b  ln c     2 2 2 2 a(a  1) b(b  1) c(c  1) Vậy Pmin   a  b  c  Bài 4: Cho a,b,c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1 a2  b2  c2    a b c ▶ Ý tưởng : Ta cần tìm k,m cho a   ka  m a2 ▶ Thực :  Tương tự toán trước, ta tìm k  4,m  4  Ta cần chứng minh f(a)  a   4a  a   a  2a   a  1 0  Tuy nhiên a   4a   a a2  BĐT  a   Kết luận : Ta chia trường hợp để áp dụng : 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com   a  2a   a  1 a   4a   0 a a2 ▶ Phân tích hướng giải: Ta làm sau : ▶ Lời giải : Bất đẳng thức: Không m t tính tổng quát gi sử a  b  c TH1: a  b  c   vô lý TH2: a  b    c vô lý TH3: a    b  c 2c  b  c   a   suy c  2 Còn b  b  c  3  2 Dễ th y f(a) đồng biến (0, ) nên ta có:    80 f(a)  f(b)  f(c)  f(3)  f   f   10          a  2a   a  1  TH4:   a  b  c a   4a   a a2 Vậy f(a)  f(b)  f(c)  4(a  b  c)  12  Tóm lại BĐT chứng minh Bài 5: Cho x, y,z  thỏa mãn 2x  4y  7z  2xyz Tìm GTNN của: P xyz ▶ Ý tưởng : Nếu bạn đọc xem đáp án thức, lời gi i toán r t khó để thực Tuy nhiên, có cách khác dễ dàng r t nhiều cần sử dụng máy tính CASIO Ta tìm điểm rơi toán Cách tìm điểm rơi phương pháp nhân tử Lagrange ▶ Thực :  Xét hàm f(x, y,z)  x  y  z  k( 2x  4y  7z  2xyz) Ta có hệ: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  7k   xy  2k    k(  2yz)   yz   2k   k(  2xz)   2k     4k   k(  2yx)   zx  k 2x  4y  7z  2xyz    2    yz xz xy 8k 14k 4k    2k   2k  4k  k  Từ ta xy  15   , yz  5,zx  hay (x, y,z)   3, ,      Kết luận : Điểm rơi toán (x, y,z)   3, ,    ▶ Phân tích hướng giải: Ta áp dụng b t đẳng thức Cauchy với điểm rơi có sẵn : ▶ Lời giải : Phương pháp nhân tử Lagrange: Ta có : 7 105   5 15   3 15  15 P  x y  x z   y z xy xz yz 12 10 12 10        33 7 105 5 15 3 15 15 15  33 x  z   33 y  z    x y 12 10 8xy 12 2xz 10 4yz Vậy Pmin  15    (x, y,z)   3, ,    [...]... thương của biểu thức : x f  x  2  169x  34  2  2500  4x  1 3x  2   x  3 x  2  Tuy nhiên, sử dụng Th Thu t Rút G n Bi u Th c lại không được ổn vì hệ số của đa thức quá to Nếu không gán giá trị cho x  1000 được thì ta sử dụng lim để chắc chắn nh t Cách tìm lim bằng máy tính CASIO chỉ đơn gi n là gán cho x là một số cực to Ví dụ như x  1010 Ta th y f ( x) sẽ là một tam thức bậc nên... ▶ Thực hiện :  Sử dụng Th Thu t Tìm Nghi m Ph ng Trình ta được các nghiệm như sau : A  2.414213562   B  1.618033988  C  0.414213562   A  B  2 Thành thử th y  nên nhân tử của bài toán này là : AB  1 y    2y  1 Sử dụng Th Thu t Rút G n Bi u Th c ta được : 3 2 y 2  1  3 y 2  1  4 y 2  1  4  y    y 4  y3  4y 2  y  1 2 y  2y  1   2     Sử dụng Th Thu t Gi...  1  0 ▶ Thực hiện :  Gán y  1000  Vào tính năng gi i phương trình bậc  Lần lượt nhập hệ số của phương trình bậc : 7 ; 3y  12 ; 6  3y 2  ;  y3  1 Máy tính tr về các nghiệm : x1  999  x2  286.071  247.312I x  286.071  247.312I  3   trong MODE EQN Vì 999   y  1 nên ta được  x  y  1 là nhân tử của bài toán Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  Thực... 1)x  m2  1  0 ) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ▶ Thực hiện :   Gán m  1000 Vào tính năng gi i phương trình bậc  Lần lượt nhập hệ số của phương trình bậc : 1 ;  2m  1 ; m 2  2m  1 ; m 2  1 Máy tính tr về các nghiệm : x1  1  x2  999 x  1001  3    trong MODE EQN  x  1  999  m  1 Vì  nên nhân tử của bài toán là  x  m  1 1001  m... lại được phân tích o diệu như một số ví dụ trên Th Thu t Gi i Ph ng Trình Vô T sẽ giúp bạn hiểu được phần nào cách gi i phương trình vô tỷ bằng máy tính CASIO Đối với bài toán trên, sử dụng Th Thu t Phân Tích Đa Th c Thành Nhân T Hai n ta được : Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x3  y3  6y 2  12x  16  0  x3  12x   y  2   12  y  2  3 xy2  yx2 (vì 2  x  2 và 0 ... Gán y  1000  Vào tính năng gi i phương trình bậc  Lần lượt nhập hệ số của phương trình bậc : 1 ;  3 ;  9 ; 22  y3  3y 2  9y  Coi như ta gi i phương trình bậc : x3  3x2  9 x  1002990978  0  trong MODE EQN  Máy tính tr về các nghiệm : x1  1002  x2  499.5  886.8845I x  499.5  886.8845I  3 Vì 1002  y  2 nên ta được  x  y  2  là nhân tử của bài toán  Thực hiện phép... người thân :    Ta viết biểu thức x 4x 2  1   x  3 5  2x  0 lên máy tính  n SOLVE để tìm nghiệm, máy hỏi X ? Nhập 10 để tìm nghiệm gần 10 nh t Máy cho nghiệm x  1.395643924 Lưu nghiệm này vào B bằng cách n X + Shift STO + B Tương tự tìm nghiệm gần 2.5 nh t Máy cho nghiệm x  1.395643924 Tương tự tìm nghiệm gần 6 nh t Máy vẫn cho nghiệm x  1.395643924          Vậy phương trình... viết biểu thức 2x  x  2   3 x3  1  0 lên máy tính  n SOLVE để tìm nghiệm, máy hỏi X ? Nhập 1 để tìm nghiệm gần 1 nh t Máy cho nghiệm x  0.541381265 Lưu nghiệm này vào A bằng cách n X + Shift STO + A Tương tự tìm nghiệm gần 10 nh t Máy cho nghiệm x  5.541381265 Lưu nghiệm này vào B bằng cách n X + Shift STO + B Tương tự tìm nghiệm gần 2.5 nh t Máy cho nghiệm x  5.541381265 Đây chính là nghiệm... tưởng : Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tương tự bài , ta vẫn sẽ tìm nghiệm để nhân liên hợp ▶ Thực hiện :    Ta viết biểu thức x 4x 2  1   x  3 5  2x  0 lên máy tính  n SOLVE để tìm nghiệm, máy hỏi X ? Nhập 10 để tìm nghiệm gần 10 nh t Máy cho nghiệm x  0.895643923 Lưu nghiệm này vào A bằng cách n X + Shift STO + A Tương tự tìm nghiệm gần 2.5 nh t Máy cho nghiệm x ... tích thành nhân tử biểu thức :   4  t 2  20  t 4 ▶ Thực hiện :  Sử dụng Th Thu t Tìm Nghi m Ph ng Trình ta được các nghiệm như sau : A  0.466823165  B  2  Chắc chắn biểu thức sẽ có nhân tử  t  2   Sử dụng Th Thu t Rút G n Bi u Th c ta được :  4  t 2  20  t 4 t2 Kết luận :  4  t 2  20  t 4 ▶ Phân tích hướng giải:   t 3  2t 2  5t  2   t 3  2t 2  5t  2  t  2   Với ...    Bài toán gi i hoàn toàn Hy vọng qua toán b n trên, bạn đọc hình dung lợi ích việc sử dụng máy tính cầm tay việc rút gọn biểu thức gi i toán Một số tập tương tự : Tìm tài liệu Toán ? Chuyện... 3 x   Tuy nhiên, sử dụng Th Thu t Rút G n Bi u Th c lại không ổn hệ số đa thức to Nếu không gán giá trị cho x  1000 ta sử dụng lim để chắn nh t Cách tìm lim máy tính CASIO đơn gi n gán cho... Ngô Gia Tự – Bắc Ninh năm Điều kiện xác định: x  0,   ▶ Ý tưởng : Tương tự , ta sử dụng máy tính CASIO để rút gọn phương trình bậc sau :  f  x    x    13  36 x3  3x   ▶ Thực