ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CÓ ĐÁP ÁN

Đề x 3 Bài 1(3đ) Cho biểu thức: A = + + + x x + x + x 27 a Rút gọn A b Tính giá trị A x = +2010 Bài 2(3đ) Cho hàm số y = 3x +2m-1 (1) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A(1; 5) b Vẽ đồ thị hàm số với giá trị vừa tìm đợc câu a Gọi giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục Ox B; giao điểm đờng thẳng hạ từ A vuông góc với Ox C Tính diện tích tam giác ABC? x y z Bài 3(2) Cho số thực x, y, z thỏa mãn = = 2008 2009 2010 Chứng minh rằng: z x =2 ( x y )( y z ) Bài 4(2.5) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x3 + y3 + xy b2 a2 + a+ b a b Bài 6(3) Cho tam giác vuông ABC ( B = 900, BC > BA) nội tiếp đờng tròn đờng kính AC Kẻ dây cung BD vuông góc với đờng kính AC Gọi H giao điểm AC BD Trên HC lấy điểm E cho E đối xứng với A qua H Đờng tròn đờng kính EC cắt cạnh BC I ( I khác C) Chứng minh rằng: a CI.CA = CB.CE b HI tiếp tuyến đờng tròn đờng kính EC Bài 5(2.5) Cho a, b>0 Chứng minh rằng: Bài 7(4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (0; R) Đờng cao AK cắt đờng tròn (0) D; AN đờng kính đờng tròn (0) a Chứng minh: BD = CN b Tính độ dài AC theo R Biết ABC = c Gọi H, G lần lợt trực tâm, trọng tâm tam giác ABC Chứng minh H; G; O thẳng hàng Bài 1(3đ) 2(3đ) 3(2đ) Nội dung Giải x 3 a.(2đ) A = + + + ĐKXĐ: x 0; x = x x + x + x 27 x + x + 3 + x + x + ( x )( x + x + 3) 3x x + x + ( x 3) + = = x 3x ( x )( x + x + 3) 1 = = b.(1đ) Thay x = +2010 vào A ta có: A = x 3 + 2010 2010 Cho hàm số y = 3x +2m-1 (1) a Vì đồ thị hàm số (1) qua điểm A(1; 5) Thay x = 1; y = vào (1) ta có: = 3 + 2m m = b - Học sinh vẽ đợc đồ thị - Học sinh lập luận lôgic: 1 25 - Tính đợc SABC= BC.AC = = (đvdt) 2 x y z = = 2008 2009 2010 áp dụng dãy tỷ số ta có: x y yz x y z zx = = = = = 2008 2009 2010 2008 2009 2009 2010 2010 2008 Biểu chấm 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 Cho số thực x, y , z thỏa mãn 0.25 0.25 x y yz zx zx => ( x y )( y z ) = ( = = ) => 4(x-y)(y-z) = (z x)2 1 2 => (z x) = (x - y)(y - z) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x3 + y3 + xy Ta có: B = x3 + y3 + xy = (x + y)( x2 xy + y2) + xy = (x + y)[ (x + y)2 3xy] + xy Thay x + y = ta có: B = 2xy Từ x + y = => y = x thay vào B ta có: 1 B =1 2x(1-x) = 2x2 2x + = 2(x - )2 + 2 1 Do Min B = x = y = 2 = 4(2.5đ) 5(2.5đ) b2 a2 + a+ b a b 2 b a Xét hiệu: b + a a b = a + b a b a b a b b a b a = ( a a ) + ( b b )= a ( -1) + b ( -1) a b a b ba ab (a b) a b (a b) (a b)( a b) = + = = a b ab ab 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Cho a, b>0 Chứng minh rằng: = Vậy: 6(3đ) 0.5 0.5 0.5 ( a b)2 ( a + b) ab với a, b > 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 b2 a2 + a + b với a, b > a b a.(1.5đ) Chứng minh: CI.CA = CB.CE Học sinh lập luận đợc: ABC = EIC = 900 Xét hai tam giác: ABC EIC Có : ABC = EIC (c/m trên); Góc C chung BC AC Do : ABC đồng dạng EIC (g.g)=> = IC CE => CI.CA = CB.CE (Đpcm) b.(1.5đ) Chứng HI tiếp tuyến đờng tròn đờng kính EC Ta có: HCB + CBH = 900 IDB + IBD = 900 Lập luận đợc: HCB = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ... a2 + a + b với a, b > a b a.(1.5đ) Chứng minh: CI.CA = CB.CE Học sinh lập luận đợc: ABC = EIC = 90 0 Xét hai tam giác: ABC EIC Có : ABC = EIC (c/m trên); Góc C chung BC AC Do : ABC đồng dạng... thức B = x3 + y3 + xy Ta có: B = x3 + y3 + xy = (x + y)( x2 xy + y2) + xy = (x + y)[ (x + y)2 3xy] + xy Thay x + y = ta có: B = 2xy Từ x + y = => y = x thay vào B ta có: 1 B =1 2x(1-x) = 2x2... => CI.CA = CB.CE (Đpcm) b.(1.5đ) Chứng HI tiếp tuyến đờng tròn đờng kính EC Ta có: HCB + CBH = 90 0 IDB + IBD = 90 0 Lập luận đợc: HCB = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25