he_pt_chuan_để ôn thi

Chun đề: Hệ phương trình HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I Các phương pháp giải hệ phương trình Bài tập 1: Giải hệ phơng trình sau: 19 3 x + y = − x + y = −10    x − y = 16 2 x − y = −12 20 2 x + y = 2 x + y =   − x + y = 10 x + y = 21 5 x + y = −7 3x − y = −18   x + y = 3 x − y = −8 22 − x + y = −3 4 x + y = −6   2 x − y = 16 3 x + y = 10 23  x + y = 2 x − y = x + y +   3x − y = x + y = 6 24  x − y = −5 2 x − y =   − x + y = 3 x + y = −5 25 3x − y = 12  x + y = −2( x − 1)   7 x + y = x + y + 4 x + y = 26 2 x − y = 10 2 x + y = − ( x + y )   6 x + y = y − 10 5 x + y = 27 5 x − y = 10 3x + y = −2   − x − y = 5 x − y = 10 2 x + y = 28 3 x + y =   2 x − y = −1 4 x − y = −12 11 − x + y = −10 29 2 x + y = −3x − 20   2 x + y = −1 4 x + y = x − y − 12 12 2 x + y = −2 30 5 x − y =   3 x − y = −3 10 x − y = 13 2 x − y = 31 3 x + y = − x   3 x + y = 5( x + y ) = −3 x + y − 14 2 x + y = 32 2 x − y =    − x + y = −5 4 x − 10 y = 15  x − y = −5 33 2 x + y =   3x + y = x − y = 16 3 x − y = 12 34 − x + y = −4( x − 1)    x + y = −1 5 x + y = −( x + y ) + 17 − x + y = 22 35  x + y = −1   3x + y = 22 3 x − y = −8 18 3x + y = 36 0 x + y =   x + y =  x − y = −4 Bµi tËp 2: Giải hệ phơng trình sau: Thuthai316@gmail.com 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 2 x + y =  2 x + y − = x − y =  2 x − y = 3 x + y − =  9 x + y − = 2 x − y =  4 x − y − = x + y =  2 x + y = 18 − x + y = −3  x + y = x − y =   x + y = −5 2 x + y =  x − y = − x + y =  x + y = x − y =  3 x − y = 3 x + y =  6 x + y = 2 x − y =  4 x − y = 12 3 x + y =  2 x − y =  x + y = −2  2 x − y = 2 x + y =  3 x − y = 15 3 x + y =  5 x + y = 12 2 x + y =  2 x + y = 2 x − y =  4 x − y = 10 Chuyên đề: Hệ phương trình 1 x − y =1   2 + =  x y  x + y + x − y =    − =1  x + y x − y 1 x − y − =   3 + =1  x y − 2  x +1 +    +  x +1 6   x − y + x + y = 1,1    − = 0,1  x − y x + y 10  x x + y + x + y =    2x − =  x + y x + y  + x − y −1 =    − =1  x − y − 11  −3 +  x − y x + y = −2    − 10 =  x − y x + y  x − + y −1 =    − =1  x − y − y  2x + x +1 y +1 =    x + y = −1  x + y + 1 x + y =   1 + =  x y 15 12 x x  y − y + 12 =    x − x =2  x − 12 y 1  x − y =1   3 + =  )x y =1 y =1 y b 6 x+ y =3    − 10 =  )x y c) 1 1 x + y =   10 − =  x y d)   x − + y −1 =    − =1  x − y − e)   x − + y +1 =    + = 29  x − y + 20 g) 7 x + 13 y = −39   x − 11y = 33 h) Thuthai316@gmail.com  x + y = 36  2 3 x + y = 37 i) 3 x + y =  2  x − 3y = k)  x − y =  2 x + y = 18 l) 3 x + y =   x − y = 4, m)  x + − y + =  2 x + + y + = n)  − =  x−7 y+6    + = 21  x − y+6 o) y  2x  x +1 + y +1 =    x + y = −1  x + y + p)   x − y + x + y = −2    − = 21  x + y x − y q)   x − y + − x + y −1 =    + =4  x − y + x + y − r) xy  x+ y  xy + x + y =    x − y + xy = 10  xy x− y u)  2x  y −1 − x + y =    y − 5x =  x − y − v)   x − 2y + x + 2y =    + = −1  x − y x + y Loại 2: Hệ phương trình gồm phương trình bậc nhất, phương trình bậc x − y +1 = x − y = −1     2 a) 2 x − xy + y − x − 12 y + = b)  x + y − 3xy + x + y = 10 Loại 3: Hê hai phương trình hai ẩn, vế phải vế trái phân tích thành nhân tử Phương pháp: Giải phương trình, vào phương trình cịn lại  x + y + xy + = ( x + y + 1)( x + y + 2) =   xy + y + y + = a)  x + y − x − y = 22 b)  (2 x + y − 2)( x − y − 3) =  x − 3y = c)  ( x + y + 2)(2 x + y − 1) =  3x + 32 y + = d)  ( x + y ) − 3( x + y ) + =  x− y−5= e)  ( x − 1)2 − ( y − 1)2 =  f)  x + y − = ( x + y ) − 4( x + y ) = 12 ( x − y ) − ( x − y ) =   2 ( x − y ) − 2( x − y ) =    2( x + y ) = xy g) h) Loại 5: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x,y vế phải không chứa x,y Phương pháp: Đặt x =ky  x − xy + y =  x − xy + y = 21 3 x + xy − y = 38    y − xy = y − xy + = x − xy − y = 15 a)  b)  c)  3 x + y =  x + y = 36  x + xy + y =    x − 3y2 = x + y = 37 x + xy + y = d)  e)  f)   x + xy − y =  x + 3xy = 54 2 x − y =    x − xy + y = xy + y = 115 xy + x = g)  h)  i)  2  x + y = 25 − xy ( x + y )( x + y ) = ( x + y )( x − y ) = 45    ( x − y )( x − y ) = y ( x + y ) = 10 ( x − y )( x + y ) = 85    j) k) l)  Loail 6: Hệ phương trình đối xứng loại Đặt x+y = S, xy = P, giải hệ thu tìm S, P x + y = S  Lúc ta có  xy = P x, y nghiệm phương trình X2 – SX + P =0 giải phương trình tìm X1, X2 gán x, y tương ứng với nghiệm  x2 + y2 + x + y =  x + y + xy =  x + xy + y =    2 x + y + xy = x + y + xy = 13 x + y =   a) b) c)   xy = x + y + 17  x + y − xy = −17  x+ y =8    2 d)  x + y = 65 e)  xy − 12 = f)  x + y = 34  x + xy + y =  x + xy + y = i)   xy = 10  2 g)  x + y = 29  xy = 15  2 h)  x + y = 34  x + y + xy = −1  2 j)  x y + y x = −6  x + y − x − y = 102  xy + x + y = 69 k)   3( x + y ) = xy  2 l)  x + y = 160  xy ( x + 2)( y + 2) =  2 m)  x + y + 2( x + y ) =  x + y + x( y − 3) + y ( x − 3) = −9  2( x + y ) − xy = −6 n)   x + y + xy =  x + y3 = x + y 0)   x( x + 1) + y ( y + 1) + xy = 17  ( x + 1)( y + 1) = p)   x + y + xy =  2 q)  x + y + xy =  xy + x + y = 11  6  x + y + xy = 11 r)   x + y = 52  1  x + y = 12   x+ y =7  3 t) y)  x + y = 133 Loại 7: Hệ phương trình đối xứng loại Phương pháp: Trừ vế 2 x = y − y +  y2 = 2x +   2 y = x2 − 4x + x = 2y + a)  b)   x − xy = y − 3x − x2 = − y   2 y − 3xy = x − y − y = 2− x d)  e)   x2 − 3x + = y  2 y − y + = x2 g)   x3 = x + y  y = 5y + x h)   xy + x + y =   x y 10  y+x= s)   x y + y x = 30  x x + y y = 35 z)  c)  x2 − y = x  2  y − 2x = y  x3 − y =  y − 2x = f)   x3 = y − x  y = 2x − y i)   x = 13x − y  y = x3 − x + 3x  x − y =    y = 13 y − x x = y3 − y + y  y3 − x =   j) k) l) Loại 8: Hệ phương trình bậc ba ẩn Rút  x + y + z =1  x + y + z = 12  x + y + 3z =    2 x − y + z = 12  x + y + 4z =  3x + y + z =  x + y + z = 27  x + y − 2z =  x + y + z = −2 a)  b)  c)   x + y + 2z =  x − y + 3z =  x + y + 3z =    2 x − y + 3z = 3 x − y + z = − x + y − z =  x − y + 4z =  5x − y =  x − y + z = −5 d)  e)  f)  Tỉ lệ thức đặt t z  x y  x y z 4 x + y − z = −1 = = = =     −6   x y z = =    x + y − z = 24 x − y + z = 30 g)  h)  i)  −10 −2  x − y +1 z = =    x − y − z = j) Cộng vế: k) x + y =  y + z = x + z =   2x 1 + x = y   y2 =z  + y   2z2 =x  + z  o) l)  x + y = 16   y + z = 28  x + z = 22  m) 1  x + y =1  1  + =2 y z 1  + =5 n)  x z  x + y = 25   y + z = 30  x + z = 29  3xy = 2( x + y )   zy = 6( y + z )  zx = 3( z + x)   x + y + z = −2   x − y + 2z =  z = 3x  x = 2+ z   y = + 3z   −3x − y + z = −2 r)  p) q) II Phương trình chứa tham số Dạng 1: Giải biện luận hệ phương trình có chứa tham số tham số Phương pháp: - Đưa hệ phương trình phương trình bậc phương pháp - Biện luận phương trình thu để suy nghiệm hệ Phương trình ax = b (1) b + Khi a ≠ phương trình (1) có nghiệm a a =  + Nếu b ≠ phương trình (1) có dạng 0x = b Phương trình vơ nghiệm a =  + Nếu b = phương trình (1) có dạng 0x = Phương trình có vơ số nghiệm - Kết luận mx + y =  Ví dụ 1: Cho hệ pt: 2x − y = Giải biện luận hệ theo m nx + y = 2n  Ví dụ 2: Cho hệ pt: nx + ny = n Giải biện luận hệ theo n Dạng 2: Tìm giá trị tham số biết nghiệm hệ phương trình Phương pháp: (1) x = x ax + by = c   Cho hệ pt: a′x + b′y = c′ (2) có nghiệm  y = y Thay x = x0; y = y0 vào giải 3x − 2y =  Ví dụ 1: Cho hệ phương trình (5n + 1)x − (n − 2)y = n − 4n − Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) (1) (2)  (1) 5m(m − 1)x + my = (1 − 2m)  4mx + 2y = m + 3m + (2)  Ví dụ 2: Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm x = 1; y = 2mx + (n − 2)y =  Ví dụ 3: Cho hệ pt: (m + 3)x + 2ny = Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - Dạng 3: Tìm giá trị tham số biết dấu nghiệm hệ phương trình Phương pháp: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm - Tìm nghiệm tổng quát - Thay nghiệm vào biểu thức điều kiện cho  x + 2y =  Ví dụ 1: Cho hệ pt: mx + y = Tìm m để x < 0, y <  x + ay = a + a +  Ví dụ 2: Cho hệ pt: ax + 3y = a + 4a Tìm a để điểm M(x;y) nhận nghiệm hệ làm tọa độ nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Dạng 4: Tìm giá trị tham số biết hệ thức liên hệ x y Phương pháp: + Tìm điều kiện để hệ có nghiệm (dạng 1) + Tìm nghiệm tổng quát + Tìm nghiệm thay vào biểu thức liên hệ lại ⇒ Giải pt chứa ẩn tham số Trong trường hợp ý có biểu thức hai trường hợp nghiệm vơ số nghiệm kết luận ta nhân hai biểu thức lại với biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số (1) 3x + 2y = −8  Ví dụ 1: Cho hệ phương trình 3mx + (m + 5)y = (m − 1)(m + 1) (2) (I) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x – 2y = - (1) mx + y =  Ví dụ 2: Cho hệ phương trình 2mx + 3y = (2) (I) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (m − 3)x + y =  Ví dụ 3: Cho hệ pt: mx + 2y = Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) cho điểm M nhận (x;y) làm tọa độ nằm đường phân giác góc phần tư thứ Dạng 5: Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm ngun Phương pháp: + Tìm điều kiện để hệ có nghiệm + Tìm nghiệm tổng qt + Cho biểu thức nghiệm có giá trị ngun Chú ý: Trong tốn có hai câu hỏi, biến ngun biến khơng ngun ta phải tùy mà vận dụng Nếu biến nguyên dùng tính chất ước số, biến khơng ngun dùng điều kiện có nghiệm phương trình bậc 2, đặt số nguyên (m + 2)x + 2y =  Ví dụ 1: Cho hệ pt: mx − y = Tìm m∈ Z để hệ có nghiệm nguyên (m − 3)x + y =  Ví dụ 2: Cho hệ pt: mx + 2y = Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Dạng 6: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ + Tìm điều kiện để hệ có nghiệm (dạng 1) + Tìm nghiệm tổng quát + Tìm nghiệm thay vào biểu thức liên hệ ⇒ Tìm GTLN,GTNN biểu thức  mx − y = m  Ví dụ 1: Cho hệ pt:  2x + my = m + 2m + a) CMR hệ pt ln có nghiệm với m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + nhận GTNN Tìm giá trị 2 3mx − y = 6m − m − (1)  (2) Ví dụ 2: Cho hệ pt: 5x + my = m + 12m Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN Tìm giá trị Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào tham số Phương pháp * Nếu hệ tham số bậc rút tham số phương trình cho thu hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số * Nếu hệ tham số bậc ta giải sau + Tìm điều kiện để hệ có nghiệm (dạng 1) + Tìm nghiệm tổng quát + Tìm nghiệm thay vào pt lại ⇒ Giải pt chứa ẩn tham số Trong trường hợp ý có biểu thức hai trường hợp nghiệm vơ số nghiệm kết luận ta nhân hai biểu thức lại với biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số 2mx + 3y =  Ví dụ 1: Cho hệ pt: − x + 3my = CMR hệ ln có nghiệm Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m (m − 1)x + y = m  Ví dụ 2: Cho hệ pt:  x + (m − 1)y = Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập với m 5x + ay = a + 12a  Ví dụ 3: Cho hệ pt: 3ax − y = 6a − a − Chứng tỏ trường hợp hệ có nghiệm điểm M(x;y) {với (x;y) nghiệm hệ} chạy đường thẳng cố đinh Dạng 8: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm, vơ nghiệm, vơ số nghiệm ax + by = c  Nhắc lại: Hệ phương trình a 'x + b' y = c' (a, b, c, a’, b’, c’ khác 0) a b c = = + Hệ có vơ số nghiệm a ' b' c ' a b c = ≠ + Hệ vô nghiệm a ' b' c' a b ≠ + Hệ có nghiệm a ' b' Ngồi ra: Ta dùng phương pháp đưa phương trình bậc để giải theo phương trình (m + 2)x + y =  Ví dụ Cho hệ pt: mx + 3y = Tìm m để hệ + Có nghiệm + Vô nghiệm + Vô số nghiệm BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Giải hệ phương trình:  ( − 1) − =  m −1 n  ( + 1)  =1  m − + n 2x − 3y =  Bài 2: Cho hệ phương trình 3mx + (m + 3)y = m − 6m − Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) (m + 1)x + 2ny =  Bài 3: Cho hệ pt: 3mx + (n − 2)y = a) Giải hệ pt với m = 1; n = - b) Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 3x + 2y = −8  Bài 4: Cho hệ phương trình mx + (3m + 1)y = m − (I) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x – 2y = -6  x + my =  Bài 5: Cho hệ phương trình  2x + 3my = Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn: (m2 – 1)x – 10my = 4m + (m + 2)x + y =  Bài 6: Cho hệ pt: mx + 3y = a) Giải hệ pt với m = -1 b) Tìm m để x > 0, y > mx + my = m  Bài 7: Cho hệ pt: mx + y = 2m Tìm m để nghiệm hệ thoả mãn điều kiện x > 0, y > (m + 1)x + 2y =  Bài 8: Cho hệ pt: mx − y = 1 Giải hệ pt với m = 2 Tìm m∈ Z để hệ có nghiệm nguyên (m − 3)x + y =  Bài 9: Cho hệ pt: mx + 2y = Tìm m để hệ có nghiệm ngun 3mx − y = 6m − m − (1)  (2) Bài 10: Cho hệ pt: 5x + my = m + 12m Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN Tìm giá trị 3mx − y = 3m − 2m +  Bài 11: Cho hệ pt:  x + my = 2m Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 67: 1)Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m (1) mx + y = m +  ( 2) 2 x + my = (1) 2 x + y = ( I ) ( a − 1) x − y = (2) (a tham số) 2) Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình a = - b) Tìm a để hệ phương trình có vơ số nghiệm c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn x - y = (4) (1) ( m − 1) x − my = 3m −  ( 2) (m tham số) 3) Cho hệ phương trình 2 x − y = m + a) Giải hệ phương trình m=2 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ 2009 x + y = a  4) Cho hệ phương trình ax − y = b (a,b tham số) a)Giải hệ phương trình a=b=1 b) Tìm b cho với giá trị a h phương trình ln có nghiệm ax + y =  x +1 + y = 5) Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình a= b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm mx − y =  6) Cho hệ phương trình 3x + my = a) Giải biện luận hệ cho b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thoả mãn: x + y =1− m2 m2 +   x − y + x + y = m   − =n  x − y x + y 7)7Cho hệ phương trình (m, n tham số) Gọi k số cho trước Tìm điều kiện m n để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn x = ky mx + y = 10 − m  8) Cho hệ phương trình  x + my = ( m tham số) m =2 a) Giải hệ phương trình b) Giải biện luận theo m c) Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) với x,y số nguyên dương 5( x + y ) − xy =  9) Tìm m để HPT sau có nghiệm  x + y − xy = − m  y − ( x − y ) = 2m   x − ( x + y ) = 2m 11) Tìm m để HPT sau có nghiệm  Bài 68: y z  x (1) x − y + y − z + z − x =   x y z  + + =0 (2) 2  ( y − z) ( z − x) 1) Giải hệ phương trình  ( x − y ) x = y +   xy + a = −1 (1) ( 2) 2) Cho hệ phương trình (a số) a) Giải hệ a=2003 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm  2 x + y =  4 x( x − x + x − 1) = y + xy − 3) Tìm x, y thỏa mãn hệ  4)Giải phương trình 6)6Giải phương trình b) (2) 4− 4+ x = x a) − x = − x (m tham số) 1 +x+ − x =1 2 HD: đặt y = − x  u =   v =  HD: đặt  +x −x 7)Giải hệ phương trình x + y + z =  a )  xy + yz − zx =  x + y + z = 14   x2 = y +  b)  y = z +  z = x +1  + x + − y = 14 c)   − x + + y = 14 8) Cho hệ phương trình 2  ( x + y ) + 13 = x y + m  2   xy ( x + y ) = m a) Giải hệ phương trình m = -10 b) Chứng minh khơng tồn m để hệ phương trình có nghiệm ( m + 1) x − y = m +  9: Tìm giá trị m để hệ phương trình ;  x + ( m − 1) y = Có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y nhỏ 10: Giải hệ phương trình x − y =  x y  + =1 b)  4 2 x + by = −4  11: Cho hệ phương trình : bx − ay = −5  x +1 = y  2y − = x a)   y +1 = x −1  y = 3x − 12 c)  a= b a) Giải hệ phương trình b) Xác định a b để hệ phương trình có nghiệm : * (1;-2) * ( − 1; ) *Để hệ có vơ số nghiệm  mx − y = 2m  12:Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m: 4 x − my = + m  x + ay =  13: Với giá trị a hệ phương trình : ax·+ y = a) Có nghiệm b) Vô nghiệm  x + xy + y = 19  x − xy + y = −1 14 :Giải hệ phương trình sau:  15*: Tìm m cho hệ phương trình sau có nghiệm:  x −1 + y − =  ( x − y ) + m( x − y − 1) − x + y =  x − xy + y = 13  x − xy − y = −6 16 :GiảI hệ phương trình:  a + 2b − 4b + =  2 a + a 2b − 2b = 17*: Cho a b thoả mãn hệ phương trình :  Tính a + b (a + 1) x − y =  18:Cho hệ phương trình :  a.x + y = a a) Giải hệ phương rình a=- b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0  x + my = (1)  mx + y = ( 2) Bài 69 Cho hệ phương trình: 1) Giải biện luận theo tham số m 2) Tìm số nguyên m hệ có nghiệm (x;y) với x,y số nguyên mx + y = 10 − m ( m lµ tham sè )  x + my =  Bài 70 Cho hệ phương trình 1) Giải biện luận theo tham số m 2) Với giá trị số nguyên m, hệ có nghiệm (x;y) với x,y số nguyên dương (m − 1) x − my = 2m −  2x − y = m + Bài 71 Cho hệ phương trình  Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) mà S = x + y2 đạt giá trị nhỏ (m + 1) x + my = 2m −  mx − y = m − Bài 72 Cho hệ phương trình  Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn  mx + y = 2m  x + my = m + Bài 73 Cho hệ phương trình:  a) Giải m = -1 b) Tìm m để hệ có vơ số nghiệm, có nghiệm: x = 1, y = Bài 74 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m: mx + y = m + (1)  x + my = ( 2) Hệ phương trình:  (Thi học sinh giỏi TP HCM 1991 – 1992 ( vòng 1) x + my = (1)   mx − 3my = 2m + ( 2) Bài 75 Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ m = -3 b) Giải biện luận hệ cho theo m  x + my =  mx − y = Bài 76 Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ m = b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) mà x > y0, y