TUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN TUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN LỚP Họ tên: Lớp: Trường: Người tổng hợp: Hồ Khắc Vũ TP Tam Kỳ, tháng 11 năm 2016 Mét sè ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỉ 1.Ph-ơng pháp đánh giá Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình 3x2 x   5x2  10 x  14 = 2x x2 Giải: Vế trái : 2  x  1  +  x  1    = VÕ ph¶i : – 2x –x2 = – (x+1)2 ≤ VËy pt cã nghiÖm khi: vế trái = vế phải = x+ =  x = -1 VÝ dơ 2: Gi¶i ph-ơng trình x x Giải : + Điều kiện : x -1 Ta thấy x = nghiệm ph-ơng trình Với x > th× x  > ; x >2 nên vế trái ph-ơng trình lớn Với -1 x < th× x  < ; x  < nên vế trái ph-ơng trình nhỏ Vậy x = nghiệm Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: 4x + x =-16x2-8x+1 (1) Giải ĐK:  x  (*) 4 Ta cã   4x  4x 1    x  (3  x)(1  x)   x   (3  x)(1  x)    x   x  (2) L¹i cã : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2  (3) Tõ (2) vµ (3) ta cã:  3  x  (3  x)(1  x)   x    4x   4x    (1)    2    16 x  x    16 x  x    (3  x)(1  x)    1 x    x       x    x   (tho¶ m·n(*))     x    Trường THCS Định Hưng Đề thi mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Họ tên người đề: Bùi Văn Hùng Thành viên thẩm định đề: Lê Hồng Sơn ĐỀ BÀI: Câu 1(5,0 điểm): Cho biểu thức P = x x 3 x 2 x 3   x 3 x 1  x 3 3 x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 14  c) Tìm GTNN P Câu 2(4,0 điểm): Bằng đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình: x  x 1  m Câu (3,0 điểm): Tìm số có hai chữ số biết phân số có tử số số đó, mẫu số tích hai chữ số có phân số tối giản 16 hiệu số cần tìm với số có chữ số với viết theo thứ tự ngược lại 27 Câu 4(6,0 điểm): Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Gọi AB đường kính đường trịn (O), AC là đường kính đường tròn (O’), DE tiếp tuyến chung hai đường tròn, D  (O), E  (O’), K giao điểm BD CE a) Tứ giác ADKE hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AK tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’) c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh MK vng góc với DE Câu 5(2,0 điểm): Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  21   2x x Tr-ờng THCS: Yên Tr-ờng Đề thi môn:Toán Thời gian làm bài: 150p Họ tên ng-ời đề: Trịnh Thị Giang Các thành viên thẩm định đề(Đối với môn có từ GV trở lên): §Ị thi C©u1: Cho biĨu thøc: A= ( x2 x x 1  x  x  x 1 1 x ): x 1 Víi x>0 vµ x  a) Rót gän biĨu thøc A b) Chøng minh rằng: 0< A < Câu2: Cho đ-ờng th¼ng (d1): y = mx -5 (d2): y = -3x +1 a) Xác định toạ độ giao điểm A (d1) (d2) m = b) Xác định giá trị m để M(3; -8) giao điểm (d1) (d2) Câu3: Giải ph-ơng trình hệ ph-ơng trình sau: a) 1+ x 16  x  b) xy – x – y = yz - y- z = zx z x =7 Câu4: Cho hai đ-ờng tròn có chung tâm điểm Ovà có bán kính lần l-ợt R R Từ điểm A cách tâm O Một đoạn OA = 2R, ta kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đ-ờng tròn (O ; R) Gọi D giao điểm đ-ờng thẳng AO với đ-ờng tròn (O; R) điểm O thuộc đoạn thẳng AD a) Chứng minh đ-ờng thẳng BC tiếp xúc với ®-êng trßn (O ; R ) b) Chøng minh tam giác BCD tam giác c) Chứng minh đ-ờng tròn (O ; R ) nội tiếp tam giác BDC Tr-ờng THCS Định T-ờng Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Họ tên ng-ời đề: Lê Thị Thu Các thành viên thẩm định để (đối với môn có từ GV trở lên) Đề thi: Câu 1: (4 điểm) Cho biÓu thøc  x y x  y   x  y  xy   : 1   A     xy  xy   xy    a, Rút gọn A b, Tính giá trị A x 2 c, Tìm giá trị lớn A Câu 2: (4 điểm) Giải hệ ph-ơng tr×nh: 2   x  y   xy  2   x  xy  xy  C©u 3: (2 điểm) Cho số x,y,z thoả mÃn đồng thời x  y   y  2z   z  2x  Tính giá trị biểu thức P  x 2010  y 2010  z 2010 C©u 4: (4 điểm): Cho tam giác ABC có góc nhän AB = c, AC= b, CB = a Chøng minh r»ng: b2  a2  c2  2ac.cos B Câu 5: (4 điểm): Cho đ-ờng tròn (O;R) đ-ờng thẳng d cắt (O) điểm A, B Từ điểm M d kẻ tiếp tuyến MN, MP với (O) (N,P tiếp điểm) Gọi K trung ®iĨm cđa AB a, Chøng minh ®iĨm M, N, O, K, P nằm đ-ờng tròn b, Chứng minh đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP ®i qua ®iĨm cè ®Þnh M di ®éng ( d) e, Xác định vị trí M để tứ giác MNOP hình vuông Câu 6: (2 điểm) Tìm tất số nguyên tố p cho tổng tất -ớc tự nhiên p4 số ph-ơng Tr-ờng THCS Định T-ờng Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Họ tên ng-ời đề: Lê Thị Thu Các thành viên thẩm định để (đối với môn có từ GV trở lên) Đề thi: Câu 1: (4 ®iÓm) Cho biÓu thøc  x y x  y   x  y  xy   : 1   A     xy  xy   xy   a, Rút gọn A b, Tính giá trị A x 2 c, Tìm giá trị lớn A Câu 2: (4 điểm) Giải hệ ph-ơng trình: 2 x y   xy  2   x  xy  xy  Câu 3: (2 điểm) Cho số x,y,z thoả mÃn ®ång thêi x  y   y  2z   z  2x Tính giá trị biểu thøc P  x 2010  y 2010  z 2010 Câu 4: (4 điểm): Cho tam giác ABC có gãc nhän AB = c, AC= b, CB = a Chøng minh r»ng: b2  a2  c2  2ac.cos B Câu 5: (4 điểm): Cho đ-ờng tròn (O;R) đ-ờng thẳng d cắt (O) điểm A, B Từ điểm M d kẻ tiếp tuyến MN, MP với (O) (N,P tiếp điểm) Gọi K trung điểm AB a, Chứng minh ®iĨm M, N, O, K, P cïng n»m trªn đ-ờng tròn b, Chứng minh đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định M di động ( d) e, Xác định vị trí M để tứ giác MNOP hình vuông Câu 6: (2 điểm) Tìm tất số nguyên tố p cho tổng tất -ớc tự nhiên p4 số ph-ơng Một số ph-ơng pháp giải toán cực trị THCS I kiến thức Các định nghĩa 1.1 Định nghĩa giá trị lớn (GTLN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền D : M đ-ợc gọi GTLN f(x,y, ) miền |D điều kiện sau ®ång thêi tho¶ m·n : f(x,y, )  M (x,y, )  |D  (x0, y0, )  |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiÖu : M = Max f(x,y, ) = fmax víi (x,y, ) |D 1.2 Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền |D : M đ-ợc gọi GTNN f(x,y, ) miền |D đến điều kiện sau đồng thời thoả mÃn : f(x,y, )  M (x,y, )  |D  (x0, y0, )  |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiÖu : M = Min f(x,y, ) = fmin víi (x,y, )  |D C¸c kiÕn thøc th-êng dïng 2.1 Luü thõa : a) x2  x  |R  x2k  x  |R, k  z  - x2k  Tæng qu¸t : f (x)2k  x  |R, k  z  - f (x)2k  Tõ ®ã suy : f (x)2k + m  m x  |R, k  z 2k M - f (x)  M b) x  x   ( x )2k  x0 ; k z Tæng qu¸t : ( A )2k   A 0 (A biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x|  x|R b) |x+y|  |x| + |y| ; nÕu "=" x¶y  x.y  c) |x-y|  |x| - |y| ; nÕu "=" x¶y  x.y |x| |y| 2.3 Bất đẳng thức c«si : ai  ; i = 1, n : a1  a   a n  n n a1 a .a n nN, n 2 dÊu "=" x¶y  a1 = a2 = = an 2.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cỈp sè bÊt kú a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta cã : (a1b1+ a2b2 + +anbn)2  ( a12  a 22   a n2 ).(b12  b22   bn2 ) DÊu "=" x¶y  = Const (i = 1, n ) bi 2.5 Bất đẳng thức Bernonlly : Với a : (1+a)n  1+na n N DÊu "=" x¶y  a = Một số Bất đẳng thức đơn giản th-ờng gặp đ-ợc suy từ bất đẳng thức (A+B)2 Chuyên Đề: Giải Ph-ơng trình nghiệm nguyên I-Ph-ơng trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) với a, b, c Z 1.Các định lí: a Định lí 1: Điều kiện cần đủ để ph-ơng trình ax + by = c (trong a,b,c số nguyên khác ) có nghiệm nguyên (a,b) -ớc c b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) nghiệm nguyên ph-ơng trình ax + by = c có vô số nghiệm nguyên nghiệm nguyên (x,y) đ-ợc cho công thức: b  x  x  t   d  y  y  a t  d  Víi t є Z, d = (a,b) 2.C¸ch giải: B-ớc 1: Rút ẩn theo ẩn (giả sử rút x theo y) B-ớc 2: Dựa vào điều kiƯn nguyªn cđa x, tÝnh chÊt chia hÕt suy ln để tìm y B-ớc 3: Thay y vào x tìm đ-ợc nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình nghiƯm nguyªn: 2x + 5y =7 H-íng dÉn: Ta cã 2x + 5y =7  x =  x = – 2y +  5y 1 y Do x, y nguyªn  1 y 1 y nguyên Đặt =t 2 y = 2t  x = – 2(1- 2t) + t = 5t + Vậy nghiệm tổng quát ph-ơng trình là: x = 5t + y = -2t +1 (t Z ) Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên 6x 15 y = 25 H-ớng dÉn: Ta thÊy( 6,15 ) = mµ 3/25 víi (t Z ) Bài tập nâng cao Đại số Bài tập nâng cao ch-ơng I đại số Bài 1: Có hay không số thực x x 15 15 số nguyên x Bài 2: Tìm x, y thỏa mÃn ph-ơng trình sau: a) x2 4x  9y2  6y   b) 6y  y2   x2  6x  10 Bài 3: Rút gọn biểu thức: b) m  m   m  m  a) 13  30   c)          Bµi 4: Rót gän c¸c biĨu thøc: a) A  62      62  6 3 2 ` 96  b) B Bài 5: So sánh: a) 20 vµ  110  70 Bµi 6: Rót gän a)   b) 22  14  28  16    48  Bµi 8: Chøng minh: 1 42  c) c) 21  18   29  20 Bµi 7: TÝnh a) c)  17  12 vµ b) 28  16 vµ  12  18  2   d)  10   10   b)   13  48  48 a  a2  b a  a2  b a b   2 (víi a , b > vµ a2 b > 0) áp dụng kết ®Ĩ rót gän: a) 2  2  2 b)  2 32 17  12  3 2 17  12 c)          d) 10  30  2  10  2 : Bµi 9: Cho biĨu thøc P(x)  1 2x  x  3x 4x a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gän P(x) b) Chøng minh r»ng nÕu x > P(x).P(-x) < Bài 10: Cho biểu thức: A  x24 x2  x24 x2 4  1 x2 x a) Rót gän biĨu thøc A b) T×m số nguyên x để biểu thức A số nguyên Bài 11: Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biÓu thøc sau: a)  x2 b) x  x (x  0) c)   x d) x   e)   3x MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : ab  ab bc ca ab   abc a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a  b  a  b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P  15 Rút gọn biểu thức : A  2    16 Chứng minh rằng, n  Z+ , ta ln có :  1  17 Trục thức mẫu : a)  18  20  2 1    2 n b) x  x 1   n 1 1 18 Tính :   29  20 a) b)   13  48  19 Cho a    20 Cho b  3 2 17  12   c)   3 2 17  12  1 x  x    5  x   x   x  3 x  5 x  x 3 b có phải số tự nhiên khơng ? b) 2 22 Tính giá trị biểu thức : M  23 Rút gọn : A    29  12 10  Chứng minh a số tự nhiên 21 Giải phương trình sau : a) c)   1 x    1 x  3 d) x  x   12  29  25  21  12  29  25  21 1 1     1 2 3 n 1  n ... phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 20 09 Môn thi: TOÁN Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 2: (Học sinh chép đề vào giấy thi) Bài 1) (3đ): Cho biểu thức A=2 (92 0 09  92 008... Phần : Một số luyện tập Bµi 1: TÝnh S = T= 3 10   4 2  4   3 10   4 2  4 Bµi : CMR S =  2000  ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 20 09- 2010 MƠN THI: TỐN (Thời gian... Ng-ời đề: Hoàng Duy Thế Ng-ời thẩm định: Đào Quang Đại Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp Môn toán - thời gian 150 phút Năm học: 20 09 - 2010 Bài 1: (3 đ) Tính giá trị biểu thức: a) A= 13  100