TIỂU LUẬN HÌNH HỌC AFIN

GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hình học phận quan trọng toán học kiến thức phần kiến thức khó học sinh, hình học mơn học có tính chặt chẽ, tính logic tính trừu tượng cao so với môn khác Trong trường phổ thơng có đưa số cơng cụ cho học sinh giải tốn hình học phép đẳng cự Tuy nhiên để giải toán sử dụng phép đẳng cự không đơn giản học sinh, mảng kiến thức học sinh lại tiếp xúc Chính nên tơi chọn đề tài: “ Phép đẳng cự ứng dụng mặt phẳng” nhằm cung cấp cho học sinh hiểu thêm phép đẳng cự ứng dụng việc giải tốn hình học phẳng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức phép đẳng cự làm rõ ứng dụng để giải toán liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức phép đẳng cự, ứng dụng việc giải tốn hình học Đưa hệ thống ví dụ minh họa tập thể phương pháp sử dụng phép đẳng cự Đối tượng nghiên cứu Phép dời hình, phép tịnh tiến phép đối xứng trục Phương pháp nghiên cứu Phương pháp đọc tài liệu, phương pháp phân tích, Cấu trúc nội dung đề tài Đề tài gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Ứng dụng phép đẳng cự hình học phẳng Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Ánh xạ đẳng cự 1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ f: E → E’ không gian Ơclit E E’ gọi ánh xạ đẳng cự ur ur f ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết φ: E → E ’ ánh xạ tuyến tính trực giao 1.1.1 Nhận xét Từ định nghĩa ánh xạ đẳng cự, ta dễ dàng suy cặp điểm M, N thuộc E ảnh chúng M’ = f(M), N’ = f(N) ta có d(M, N) = d(M’, N’) nói cách khác phép đẳng cự bảo tồn khoảng cách hai điểm 1.1.2 Định lý Mọi ánh xạ f: E → E’ không gian Ơclit có tính bảo tồn khoảng cách hai điểm bất kỳ, tức với M, N ∈ E ta có: d(f(M), f(N))=d(M, N) ánh xạ đẳng cự Chứng minh: Lấy I ∈ E I’ =f(E) Xét ánh xạ f: E → E’ xác định sau: r ur uuur r r uuuuur Giả sử u ∈ E ta lấy điểm M ∈ E cho IM = u đặt với φ( u ) = I ' M ' với M’ = f(M) Ta chứng minh φ khơng thay đổi tích vơ hướng hai véc tơ r ur uur ur r E Lấy thêm véc tơ v thuộc E lấy N ∈ E cho IN = v , φ( r uuuuur v ) = I ' N ' với N’ = f(N) Vì f bảo toàn khoảng cách hai điểm nên d(M, N) = d(M’, N’) uuuuur uuuuuuur uur uuur uuuuur uuuuur Do đó: MN = M ' N '2 ⇔ ( IN - IM )2 = ( I ' N ' - I ' M ' )2 uur uur uuur uuuuur uuuuur uuuuur uuur uuuuur ⇔ IN + IM -2 IN IM = I ' N ' + I ' M ' -2 I ' N ' I ' M ' uur uuuuur uuur uuuuur Ta có: IN = I ' N ' IM = I ' M ' uur uuur uuuuur uuuuur ur r r r Nên ta suy ra: IN IM = I ' N ' I ' M ' tức u v = φ( u ).φ( v ) r r Vì φ bảo tồn tích vơ hướng hai véc tơ u , v nên φ ánh xạ tuyến tính trực giao rõ ràng φ liên kết f Vậy f ánh xạ đẳng cự Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang GVHD: Trần Anh Dũng 1.2 SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 Phép biến đổi đẳng cự Ánh xạ đẳng cự f: E → E’ từ khơng gian Ơclit E vào f đơn ánh nên song ánh Khi ta gọi phép biến đổi đẳng cự không gian Ơclit E Ánh xạ φ liên kết với f phép biến đổi tuyến tính trực ur giao khơng gian véc tơ E 1.3 Các tính chất phép đẳng cự 1.1.3 Tính chất Phép đẳng cự bảo tồn tính chất thẳng hàng tỉ số đơn Chứng minh: Giả sử f phép đẳng cự A, B, C ba điểm phân biệt thẳng hàng, B nằm A C Ta chứng minh ba điểm A’ =f(A), B’ = f(B), C’ = f(C) thẳng hàng (A, B, C) = (A’, B’, C’) Theo định nghĩa phép đẳng cự ta có : AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’ Vì B nằm A C nên AB + BC = AC Do A’B’ + B’C’ = A’C’ Suy ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng B’ nằm A’ C’ Rõ ràng (A, B, C) = (A’, B’, C’) Vậy phép đẳng cự bảo tồn tính thẳng hàng tỉ số đơn 1.1.4 Tính chất Phép đẳng cự bảo toàn độ dài đoạn thẳng nên biến tam giác thành tam giác Chứng minh : Thật vậy, tam giác ABC biến thành tam giác A’B’C’ AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ nên hai tam giác 1.1.5 Tính chất Phép đẳng cự khơng làm thay đổi góc gốc Chứng minh : Giả sử phép đẳng cự f biến góc xOy thành góc x’O’y’ Trên hai tia Ox Oy lấy hai điểm A B với Gọi A’ = f(A) B’ = f(B) A’ B’ nằm O’x’ O’y’ Vì O’ =f(O) nên hai tam giác AOB A’O’B’ nhau, hai góc xOy x’O’y’ Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 1.1.6 Tính chất Tích hai ánh xạ đẳng cự ánh xạ đẳng cự Chứng minh : Cho hai ánh xạ đẳng cự f g Ta xét tích hai ánh xạ đẳng cự f0g Giả sử A, B hai điểm ta có f(A) = A’, g(A’) = A’’, f(B) = B’, g(B’) = B’’ Vì f g ánh xạ đẳng cự nên ta có AB = A’B’ A’B’ = A’’B’’ tích hai ánh xạ đẳng cự f 0g ánh xạ đẳng cự, phép đẳng cự có tính chất bảo tồn khoảng cách hai điểm A B mặt phẳng 1.1.7 Tính chất Phép biến đổi đẳng cự biến sở trực chuẩn thành sở trực chuẩn, biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn 1.4 Phương trình phép biến đổi đẳng cự Phương trình phép biến đổi đẳng cự mục tiêu trực chuẩn có dạng [x’] = A* [x] + [b], với A ma trận chuyển từ sở liên kết mục tiêu sang ảnh Ngược lại, ánh xạ afin mà phương trình mục tiêu trực chuẩn có ma trận ma trận trực giao ánh xạ biến sở trực chuẩn thành sở trực chuẩn, bảo tồn khoảng cách hai điểm bất kỳ, phép đẳng cự 1.5 Một số phép đẳng cự mặt phẳng 1.1.8 Phép dời hình phản dời hình phẳng Giả sử f phép đẳng cự mặt phẳng phương trình f ur uur mục tiêu trực chuẩn {O, e1 , e2 } có dạng : [x’] = A* [x] + [b] ur uur Trong A = (aij) ma trận chuyển sở trực chuẩn { e1 , e2 } sang sở uur uur ảnh { e1' , e2' }, ta có A ma trận trực giao uur uur uur uur Do | e1' | = | e2' | = e1' e2' = nên a112 + a212 = (1) a12 + a22 = (2) a11.a12 + a21.a22 = (3) Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 Từ (1) suy tồn góc φ cho a11 = cos(φ), a21 = sin(φ) Từ (2) suy tồn góc θ cho a12 = sin(θ), a22 = cos(θ) Từ (3) suy cos(φ).sin(θ) = nên sin(φ+θ) = Suy φ+θ = kπ, k ∈ Z → θ = -φ + kπ  cos ϕ − sin ϕ  Nếu k chẳn a12 = - sinφ, a22 = cosφ suy  ÷  sin ϕ cos ϕ   cosϕ − sin ϕ  Nếu k lẻ a12 = sinφ, a22 = - cosφ suy  ÷  sin ϕ cosϕ   cos ϕ − sin ϕ  Trường hợp: A =  ÷ Ta có det A = > phép đẳng cự  sin ϕ cos ϕ  hướng ngược chiều kim đồng hồ, hướng ngược lại gọi hướng âm ) Các góc ur uur uur uur định hướng hợp e1 , e2 hợp e1 ' , e2 ' giống Như vây nói rằng, trường hợp phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách bảo toàn hướng mặt phẳng  cosϕ − sin ϕ  Trường hợp A =  ÷ Ta có det A = -1 < phép đẳng cự f  sin ϕ cosϕ  ur uur gọi phép phản dời hình Khi góc định hướng tạo e1 , e2 tạo uur e1 ' , e2 ' ngược Như vây nói rằng, trường hợp phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách khơng bảo tồn hướng mặt phẳng 1.1.9 Phép tịnh tiến 1.1.9.1 Định nghĩa r Trong mặt phẳng P cho véc tơ u , phép biến đổi điểm M thành điểm M’ r uuuuur r cho véc tơ MM ' = u gọi phép tịnh tiến theo véc tơ u kí hiệu Tur 1.1.9.2 Phương trình phép tịnh tiến r Giả sử Tur phép tịnh tiến theo véc tơ u Xét mục tiêu trực chuẩn ur uur r {O, e1 , e2 } mặt phẳng giả sử véc tơ u có tọa độ mục tiêu (b1; b2) Giả sử M điểm có ảnh M’ [x], [x’] tương ứng ma trận tọa độ M, M’ uuuuur r Ta có: MM ' = u uuuuur r Suy [ MM ' ] = [ u ] →[x’] – [x] = [b] → [x’] = [x] + [b] Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 Do đó: Tur ánh xạ afin 1.1.9.3 Định lý Phép tịnh tiến phép dời hình Chứng minh : Giả sử A, B hai điểm mặt phẳng qua phép tịnh tiến Tur , chúng biến thành điểm A’ B’ uuur uuur r r u Ta có : AA ' = BB ' = u uuur uuuur uuur uuuur Ta suy AA ' + A ' B = BB ' + A ' B A’ A uuuuur = A'B ' uuur uuuuur Vậy AB = A ' B ' uuur uuuuur Hay | AB | =| A ' B ' | B’ B ur uur Ta có AB = A’B’ mặt khác mục tiêu trực chuẩn {O, x1 , x2 } véc tơ r r  x1’ = x1 + b1 u = (b1 ,b2) ta biểu thị tọa độ phép tịnh tiến theo véc tơ u   x2 ’ = x2 + b2 1 0 ⇔ A=  ÷, ta có det A =1 > ta chứng minh phép tịnh 0 1 tiến phép dời hình 1.1.10.Phép đối xứng trục 1.1.10.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đường thẳng d M M’ Phép biến đổi d biến điểm M thành M’sao cho đường trung trực đoạn thẳng d MM’ gọi phép đối xứng trục Kí hiệu Đd 1.5.1.1 Phương trình phép đối xứng trục Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 ur uur Giả sử f phép đối xứng trục d Xét mục tiêu trực chuẩn {O, e1 , e2 } cho ur O nằm d e1 véc tơ phương d Khi tọa độ điểm tọa  x1’ = x1  x2 ’ = x2 độ điểm ảnh liên hệ hệ thức  Từ f ánh xạ Do f bảo toàn khoảng cách thay đổi hướng sở nên phép đối xứng qua đường thẳng phép dời hình Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 Chương ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐẲNG CỰ TRONG PHẲNG 2.1 Dấu hiệu sử dụng phép tịnh tiến Không có điểm kép nếu véc tơ tịnh tiến khác véc tơ không Nếu A nghiệm kép phép tịnh tiến T T phép đồng Phép tịnh tiến thường sử dụng tốn đường thẳng có phương trình khơng thay đổi Những toán xuất yếu tố song song, hình thang, hình bình hành Bài Cho hình thang ABCD (AB//BC) với góc A BD Giải r Cho phép tịnh tiến Tuuu BC B Biến A thành A’, biến D thành D’ Suy ra: AA’ = BC = DD’ A’C // AB A’C = AB ; D’C // DB D’C = DB D’ (1) Gọi I trung điểm cạnh AD’ Khi đó, # CA’D có ID’ = IA uur ur So sánh hai tam giác ICD ICA’ có I < I1 So sánh hai tam giác ICD’ ICA có CD’ < CA Kết hợp với (1) ta suy AC > BD (đpcm) Bài Cho đường trịn tâm O, bán kính R điểm M chạy đường trịn Cho đoạn thẳng AB có nút A B khơng nằm đường trịn cho trước Tìm tập hợp điểm M’ đỉnh cịn lại hình bình hành ABMM’, M chạy đường tròn cho trước Giải Giả sử hình bình hành ABMM’ có đỉnh M thuộc đường trịn tâm O cho trước uuuuur uuur Ta có MM ' = BA Điểm M’ ảnh Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 uuur M qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA Do điểm M vẽ đường trịn tâm uuuur uuur O, bán kính R Để tìm tâm O’ ta cần dựa vào hệ thức: OO’ = BA Vậy tập hợp điểm M’ đỉnh hình bình hành ABMM’, M chạy đường trịn tâm O cho trước đường tròn ảnh đường tròn tâm O qua phép uuur tịnh tiến theo véc tơ BA Bài Cho hai điểm B, C cố định đường tròn (O; R) điểm A thay đổi đường trịn Chứng minh trực tâm H tam giác ABC nằn đường tròn cố định Giải Nếu BC đường kính trực tâm H tam giác ABC A Vậy H nằm đường tròn cố định (O; R) A D Nếu BC khơng phải đường kính, vẽ đường kính BD đường tròn Ta dễ thấy H trực tâm uuur uuur tam giác ABC AH = DC (Dựa vào tứ giác AHCD hình bình hành, AH // DC (cùng vng góc BC) CH // DA (cùng vng góc BA)) Như vậy, phép tịnh tiến theo véc tơ cố H O C B uuur định DC biến điểm A thành điểm H Do đó, A thay đổi (O; R) trực tâm H ln nằm đường trịn cố định (O’; R) ảnh đường tròn O' uuur (O; R) tịnh tiến theo véc tơ DC Bài Cho hình bình hành ABCD có độ dài cạnh AB = l không đổi A; B cố định Các đỉnh C; D thay đổi thỏa mản điều kiện AC BD = Tìm tập đỉnh C AB AD D Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 Giải Ta có: AC BD AC BD ⇔ = = AB AD AB AD ⇒ AC AC + BD = AB AB + AD ⇒ AC = AB A l AC + BD AB + AD 2 D (1) B C Xét: # ABC ta có : · AC = AB + BC − AB.BC.COSB (a) (Định lí hàm số cosin) Xét # ABD ta có : · BD = AB + AD − AB ADCOS A · (b) (Vì · · bù nhau) ⇒ BD = AB + AD + AB ADCOS B A B Cộng hai vế đẳng thức (a) (b) ta AC + BD = 2( AB + AD ) AD = BC ⇒ AC + BD =2 AB + AD (2) Thay (2) vào (1) : AC = 2l ⇒ AC = l khơng đổi A cố định Vậy tập hợp điểm C đường trịn (C) có tâm A bán kính R = l uuur uuur Mặt khác: BA = CD uuur ⇒ D ảnh C qua phép tịnh tiến theo BA uuur Suy tập hợp điểm D đường tròn (C’) ảnh (C) qua phép tịnh tiến BA Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang 10 GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn C(O; R) R = AD Dựng hình bình hành DABM DACN Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM nằm đường tròn C(O; R) Giải Ta có: D A N O C B uuur uuuur AD = BM (DABM hình bình hành) uuur uuur AD = CN (DACN hình bình hành) uuur Vậy qua phép tịnh tiến theo véc tơ AD Ta có: A biến thành D B biến thành M M C biến thành N ⇒ ∆ABC biến thành ∆DMN Tâm O đường tròn ngoại tiếp ∆ABC biến thành tâm O’ đường tròn ngoại tiếp ∆DMN uuuur uuur ⇒ OO' = AD ⇒ OO’ = AD = R Vậy O’ cách O khoảng R Suy O’ thuộc đường tròn (O; R) Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang 11 GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 2.2 Dấu hiệu sử dụng phép đối xứng trục Các điểm kép điểm nằm trục đối xứng Phép đối xứng trục thường sử dụng toán có đường thẳng cố định đoạn thẳng nhận đường làm đường trung trực Thông thường tốn có giả thiết đường phân giác góc xem đường phân giác trục đối xứng hai tia góc Đặc biệt, cần lưu ý hình có trục đối xứng đoạn thẳng, hai tam giác cân, tam giác đều, hình vng, hình chữ nhật, đường trịn Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đường trịn (C) có phương trình: d: Ax + By + C = (C) x2 + y2 + 2ax + 2by + c = a Viết phương trình ảnh đường thẳng d qua phép đối xứng trục có trục Ox b Viết phương trình ảnh đường thẳng (C) qua phép đối xứng trục có trục Oy c Viết phương trình ảnh đường thẳng d qua phép đối xứng trục có trục đường thẳng bx – ay = Giải a) Phép đối xứng Ox biến điểm M(x, y) thành điểm M’(x’, y’) mà x = x’ y = y’ Nếu M(x, y) nằm d Ax + By + C = hay Ax’ – By’ + C = Vậy M’(x’, y’) thỏa mản phương trình Ax – By + C = Đó phương trình ảnh d qua phép đối xứng trục Ox b) Phép đối xứng Oy biến điểm M(x, y) thành điểm M’(x’, y’) mà x = - x’ y = y’ Nếu M(x, y) nằm (C) x2 + y2 + 2ax + 2by + c = ⇔ x’2 + y’2 -2ax’ + 2by’ + c = Vậy M’(x’, y’) thỏa mản phương trình x + y2 - 2ax + 2by + c = Đó phuong trình ảnh (C) qua phép đối xứng trục Oy c) Đường tròn (C) có tâm I( -a, -b), rõ ràng tâm I nằm đương thẳng bx – ay = Suy phép đối xứng qua đường thẳng biến (C) thành Vậy ảnh phương trình (C) trùng với phương trình (C) cho Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang 12 GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 Bài Cho đường thẳng xy, hai điểm A, B nằm phía xy Hãy · · tìm xy điểm M cho góc AMx = BMy Giải Dựng đường tròn tâm B, tiếp Xúc với đường thẳng xy điểm I Gọi A’ điểm đối xứng A qua xy x Dựng A’J tiếp xúc với đường tròn (B) J A’J cắt xy M, điểm cần tìm · · Thật vậy, ta có AMx = A·' Mx = JMy · · · · =2 mà JMy = BMy nên AMx BMy Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d) : x + 2y – = (d’) : x- 2y + = Tìm phương trình đường thẳng (b), biết phép đối xứng qua đường thẳng (b) biến (d) thành (d’) Giải Ta có : r a = (-2, 1) véc tơ phương (d) r b = (2, 1) véc tơ phương (d’) r r ⇒ a b không phương d' b ⇒ (d) (d’) cắt ⇒ (d) (d’) đối xứng qua đường phân giác góc hợp (d) (d’) d Vậy (b) đường phân giác Suy phương trình (b) có dạng Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang 13 GVHD: Trần Anh Dũng | x + 2y – | 12 + 22 = SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 | x − 2y + 3| 12 + (−2) ⇔ |x + 2y – 4| = |x- 2y + | x + 2y – = x − 2y + ⇔  x + y – = −( x − y + 3) 4 y − = ⇔ 2 x − = Vậy (b): 4y – = (b): 2x – = Bài Cho hai đoạn thẳng AB = A’B’ Chứng minh tìm phép đối xứng trục hợp thành hai phép đối xứng trục biến A thành A’ biến B thành B’ Giải A a A' B' B B1 b Nếu A A’ trùng nhau, B B’ trùng phép cần tìm phép đối xứng trục có trục AB Nếu A khơng trùng A’ ta lấy đường thẳng a đường trung trục AA’ Khi phép đối xứng trục Đa biến A thành A’ Kí hiệu B1 ảnh B qua phép đối xứng trục Đa Nếu B1 trùng B’ Đa phép đối xứng trục cầm tìm Nếu B1 khác B’ A’B1 = AB nên A’B1 =A’B’ Từ đó, suy đường trung trục b đoạn thẳng B1B’ qua A’ phép đối xứng trục Đb biến A thành A’ biến B1 thành B Vậy hợp thành hai phép đối xứng trục Đa Đb phép dời hình biến A thành A’ biến B thành B’ Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang 14 GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 Bài Cho hai đường tròn (C1) (C2) đồng tâm O, đường tròn thứ ba (C 3) cắt (C1) A B ; cắt (C2) C D Chứng minh đường thẳng AD qua tâm O, đường thẳng BC qua tâm O Giải Gọi O’ tâm (C3) OO’ đường nối hai tâm (C1) (C3) Mà (C1) cắt (C3) A B C2 C1 D A ⇒ OO’ đường trung trục AB Tương tự OO’ đường trung trục CD Vậy phép đối xứng qua OO’ biến A thành B, biến D thành C, O thành O’ Vậy AD qua O BC qua O Phép đẳng cự ứng dụng phẳng O' O C3 B C Trang 15 GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 KẾT LUẬN Phép đẳng cự đề tài rộng phẳng không gian, tập trung nghiên cứu chủ yếu vào hai phép biến đổi phép tịnh tiến, phép đối xứng trục số ứng dụng chúng để giải số tập liên quan Với đề tài “ Phép đẳng cự ứng dụng phẳng” rèn luyện tri thức thân rèn luyện kỉ giải tập chúng đặc biệt giải tập quỹ tích điểm di chuyển đường thẳng, đường tròn… Khi nghiên cứu phép đẳng cự nhân thấy muốn học học tốt mảng kiến thức việc giải nhiều tập cần phải nắm vững hệ thống lý thuyết Mảng kiến thức học sinh tiếp xúc học sinh tiếp xúc nhiều hình thành cho em tư việc giải tập quỹ tích Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang 16 GVHD: Trần Anh Dũng SVTH: Hồ Văn Dũng - Lớp: DT14STH01 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Mộng Hy.(1997) Các phép biến hình mặt phẳng NXBGD [2] Nguyễn Mộng Hy Hình học cao cấp NXBGD [3] Văn Như Cường – Tạ Mận (1998) Hình học Afin hình học Ơclit NXB ĐHQG [4] Google.vn Phép đẳng cự ứng dụng phẳng Trang 17 ... [1] Nguyễn Mộng Hy.(1997) Các phép biến hình mặt phẳng NXBGD [2] Nguyễn Mộng Hy Hình học cao cấp NXBGD [3] Văn Như Cường – Tạ Mận (1998) Hình học Afin hình học Ơclit NXB ĐHQG [4] Google.vn Phép... đẳng cự nhân thấy muốn học học tốt mảng kiến thức ngồi việc giải nhiều tập cần phải nắm vững hệ thống lý thuyết Mảng kiến thức học sinh tiếp xúc học sinh tiếp xúc nhiều hình thành cho em tư việc... đường phân giác trục đối xứng hai tia góc Đặc biệt, cần lưu ý hình có trục đối xứng đoạn thẳng, hai tam giác cân, tam giác đều, hình vng, hình chữ nhật, đường trịn Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,