Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2007-2008 Đề thi chính thức Moõn : TOAN Thụứi gian laứm baứi : 180 phuựt Ba i 1: (3 im) Gii phng trỡnh : 3 4 sin os 1 ( )x c x x + = Ă . Ba i 2: (4 iờ m) a) Ch ng minh r ng: ( ) 3 3 2 1 3 2 3 3 x x x + + R b) Gii bt phng trỡnh: 2 3 3 1 1 3 2 3 ( ) x x x x + Ă . Ba i 3: (4 im) Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca m phng trỡnh sau cú mt s l nghim thc: 2 2 (3 14 14) 4(3 7)( 1)( 2)( 4)x x x x x x m + = . Ba i 4: (4,5 im) Cho ABC l mt tam giỏc nhn cú trng tõm G v trc tõm H khụng trựng nhau. Chng minh rng ng thng GH song song vi ng thng BC khi v ch khi : tgB + tgC = 2tgA . Ba i 5: (4,5 im) a) Cho a, b l cỏc s thc khụng õm tựy ý cú tng nh hn hoc bng 4 5 . Chng minh rng : 1 1 1 1 1 1 1 a b a b a b a b + + + + + + b) Xột cỏc s thc khụng õm thay i , ,x y z tha iu kin: 1x y z + + = . Tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca: 1 1 1 1 1 1 x y z S x y z = + + + + + . Ht Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2007-2008 Moõn : TOAN ẹAP AN - THANG ẹIEM Ba i 1 NI DUNG IM (3) Gii phng trỡnh: 3 4 sin os 1 ( )x c x x + = Ă Vit li: 3 4 3 4 2 2 sin cos 1 sin cos sin cosx x x x x x+ = + = + ( ) ( ) 2 2 2 sin 1 sin cos 1 cos 0 (*)x x x x + = 0,5 Chỳ ý: ( ) 2 sin 1 sin 0x x v ( ) 2 2 cos 1 cos 0x x . Do ú: (*) ( ) 2 sin 1 sin 0x x = v ( ) 2 2 cos 1 cos 0x x = 1 sinx = 0 hay sinx = 1 0,5 Nghim ca phng trỡnh ó cho l : x = k ; x = 2 + 2k (k Z ) 1 NI DUNG IM Ba i 2 (4) Gii bt phng trỡnh : 2 3 3 1 1 3 2 3 ( ) x x x x + Ă . a) Ta cú: 2+ 3 1 3 x =1+1+ 3 1 3 x 3 3 3 1 1.1.3 x = 3 2 3 3 x + (BT Cụsi, x Ă ) Dõ u ng th c xa y ra khi x = 1. 1,0 Nhn xột 1x = l mt nghim 0,5 Ta s chng t vi 1x thỡ: 2 3 1 3 x x < 2 + 3 1 3 x (1) 0,5 Ta cú: 2+ 3 1 3 x > 3 2 3 3 x + (cõu a/ v x 1 ) v: x 3 +2 3(3x-x 2 -1) = x 3 +3x 2 -9x+5 = (x-1)(x 2 +4x-5) = (x-1) 2 (x+5) 0,5 Vi mi 5x v x 1 thỡ 2 3 1 3 x x 3 2 3 3 x + < 2 + 3 1 3 x Vi 5x < thỡ 2 3 1 3 x x < 3 0 < 2 + 3 1 3 x 0,5 T ú (1) ỳng vi mi x 1. 0,5 Vy bt phng trỡnh ó cho ch cú mt nghim l x = 1 . 0.5 Ba i 3 NI DUNG IM (4) Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca m phng trỡnh sau cú mt s l nghim thc: 2 2 (3 14 14) 4(3 7)( 1)( 2)( 4)x x x x x x m + = t: ( ) ( ) ( ) 3 2 ( ) 1 2 4 7 14 8f x x x x x x x= = + v ( ) ( ) 2 2 ( ) 3 14 14 4 3 7 ( )g x x x x f x= + g(x) l a thc bc 4 vi h s ca x 4 l -3 .Ta lp bng bin thiờn ca g(x). 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 '( ) 3 14 14; '( ) 2 3 14 14 6 14 12 ( ) 4 3 7 '( ) 12 ( ) f x x x g x x x x f x x f x f x = + = + = 2 '( ) 0 1; 2; 4.g x x x x= ⇔ = = = (1) 9; (2) 4; (4) 36.g g g= = = x - ∞ 1 2 4 + ∞ g’(x) + 0 - 0 + 0 - g(x) 36 9 4 - ∞ - ∞ Từ bảng biến thiên cho thấy phương trình ( )g x m= có một số lẻ nghiệm khi và chỉ khi: 4; 9; 36.m m m= = = 1 Ba ̀ i 4 NỘI DUNG ĐIỂM (4,5đ) Cho ABC là một tam giác nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không trùng nhau. Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi và chỉ khi: tgB + tgC = 2tgA . Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ : A(p,q) , B(-r,-s), C(r,-s) (r>0; s>0;q>0) Ta có : 2 ; 3 3 p q s G − ÷ ) và p 2 +q 2 = r 2 +s 2 (2) 1 Do O, G, H thẳng hàng nên GH//BC khi và chỉ khi 0 2 0 G y q s= ⇔ − = (3) 0,5 Với tam giác ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC Do đó : tgB + tgC = 2tgA ⇔ tgB.tgC = 3 (4) 1 Ta có: tgB = q s p r + + ; tgC = q s p r + − − ; tgB.tgC = 2 2 2 ( )q s r p + − = 2 2 2 ( )q s q s + − (do(2)) Hay: tgB.tgC = q s q s + − (5) 1 Nếu GH//BC thì từ (3) cho q = 2s. Từ (5) suy ra tgB.tgC = 3. Do (4) mà tgB + tgC = 2tgA 0,5 Nếu tgB + tgC = 2tgA thì từ (4) và (5) cho q = 2s . Do (3) mà GH//BC. 0,5 BÀI 5 NỘI DUNG ĐIỂM Câu a (1,5đ) Chứng minh : 1 1 1 1 1 1 1 a b a b a b a b − − − − + ≤ + + + + + (*) với a, b ≥ 0 và a + b ≤ 4 5 r q y -r -s p x C A B O Bình phương các vế của (*) ta được: 2(1 ) 1 ab ab a b − + + + + 2 1 ( ) 1 ab a b ab a b + − + + + + ≤ 2 1 a b + + + 2 1 ( ) 1 a b a b − + + + ⇔ 1 1 u v u v + − + + - 1 1 v v − + ≤ (2 ) (1 )(1 ) u v v v u + + + + (với u = ab; v = a + b) 0,5 ⇔ 1 1 u v u v + − + + - 1 1 v v − + ≤ (2 ) 1 1 (1 )(1 ) 1 1 u v u v v v v u u v v + + − − + ÷ ÷ + + + + + + ⇔ 2 (1 )(1 ) uv u v v+ + + ≤ (2 ) 1 1 (1 )(1 ) 1 1 u v u v v v v u u v v + + − − + ÷ ÷ + + + + + + Nếu u = ab = 0 thì (*) có dấu đẳng thức. 0,5 Xét u >0. Lúc đó (*) đúng khi bất đẳng thức: 2 2 v v+ ≤ 1 1 u v u v + − + + + 1 1 v v − + (**) đúng. Ta có: 1 1 u v u v + − + + + 1 1 v v − + > 2 1 1 v v − + = 2 2 1 1 v − + + ≥ 2 2 1 4 1 5 − + + = 2 3 Ngoài ra: 2 2 v v+ = 2 2 1 v + < 2 3 (Do 0 < v = a + b ≤ 4 5 < 1 ). Từ đó (**) là bất đẳng thức đúng . 0,5 Câu b (3đ) Xét các số thực không âm thay đổi x,y,z thỏa điều kiện: x+ y + z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: 1 1 1 1 1 1 x y z S x y z − − − = + + + + + Tìm Min S : Từ x + y + z = 1 và x, y, z không âm, suy ra x, y, z thuộc đoạn [0;1] . Vì ( ) ( ) 2 1 1 1 1x x x− + = − ≤ nên: 2 1 (1 ) 1 x x x − ≥ − + hay: 1 1 1 x x x − ≥ − + . Dấu đẳng thức xảy ra trong trường hợp x = 0 hoặc x = 1 0,5 Do đó: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z S x y z x y z − − − = + + ≥ − + − + − + + + hay S ≥ 2. Khi x = y = 0 và y = 1 thì S = 2. Vậy: MinS = 2 . 1 Tìm Max S : Có thể giả sử: 0 1x y z≤ ≤ ≤ ≤ . Lúc đó: 1 2 4 ; 3 3 5 z x y≥ + ≤ < . Dùng câu a/, ta có: 1 1 1 1 1 1 x y z S x y z − − − = + + + + + ≤ 1 + 1 ( ) 1 x y x y − + + + + 1 1 z z − + =1 + 2 z z− + 1 1 z z − + 0,5 Đặt h(z) = 2 z z− + 1 1 z z − + . Ta tìm giá trị lớn nhất của h(z) trên đoạn 1 ; 1 3 0,5 1 '( ) 0 2 h z z= ⇔ = . 1 1 2 axf(z)=Max h ; (1); 3 2 3 M h h = ÷ ÷ Vì vậy : 1 1 1 2 1 1 1 1 3 x y z S x y z − − − = + + ≤ + + + + . Khi x = 0 và 1 2 y z= = thì 2 1 3 S = + . Vậy: MaxS = 1 + 2 3 . 0,5 . dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2007-2008 Đề thi chính thức Moõn : TOAN Thụứi gian laứm baứi : 180. + + . Ht Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2007-2008 Moõn : TOAN ẹAP AN - THANG ẹIEM Ba i 1