VNMATH COM dap an bai 01

www.VNMATH.com Bài 1: Chứng minh hệ thức tổ hợp – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải BTVN BÀI CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TỔ HỢP Bài 1: Chứng minh với k , n ∈ ℕ; ≤ k ≤ n có: Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk − + 4Cnk −3 + Cnk − = Cnk+ Giải: Ta có : VT = Cnk + Cnk −1 + ( Cnk −1 + Cnk − ) + ( Cnk − + Cnk −3 ) + Cnk −3 + Cnk − = Cnk+1 + 3Cnk+−11 + 3Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+1 + Cnk+−11 + ( Cnk+−11 + Cnk+−12 ) + Cnk+−12 + Cnk+−13 = Cnk+ + 2Cnk+−21 + Cnk+−22 = Cnk+ + Cnk+−21 + Cnk+−21 + Cnk+−22 = Cnk+3 + Cnk+−31 = Cnk+ = VP ⇒ DPCM Bài 2: Chứng minh rằng: 2Cnk + 5Cnk +1 + 4Cnk + + Cnk +3 = Cnk++22 + Cnk++33 Giải: Ta có : Cnk + 2Cnk +1 + Cnk + = Cnk + Cnk +1 + Cnk +1 + Cnk + = Cnk++11 + Cnk++12 = Cnk++22 Cnk + 3Cnk +1 + 3Cnk + + Cnk +3 = Cnk + Cnk +1 + ( Cnk +1 + Cnk + ) + Cnk + + Cnk +3 = Cnk++11 + 2Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++11 + Cnk++12 + Cnk++12 + Cnk++13 = Cnk++22 + Cnk++23 = Cnk++33 ⇒ 2Cnk + 5Cnk +1 + 4Cnk + + Cnk +3 = Cnk++22 + Cnk++33 Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau: k 2009 2008 2010 − k 2009 + C2010 + + C2010 S = C2010 C2010 C2009 C2010 − k + + C2010 C1 Giải: k 2009 − k Ta có : C2010 C2010 −k = ( 2010 − k )! = 2010! = 2010.2009! 2010! k !( 2010 − k ) ! (2009 − k )! k !( 2009 − k ) ! k !( 2009 − k ) ! k = 2010C2009 k 2009 ⇒ S = 2010 ( C2009 + C2009 + + C2009 + + C2009 ) = 2010(1 + 1)2009 = 1005.22010 Bài 4: Với n, k số nguyên dương ≤ k ≤ n Chứng minh rằng: Cn0Cnk − Cn1Cnk−−11 + Cn2Cnk−−22 − + (−1)Cnk C0n − k = Giải: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt www.VNMATH.com Bài 1: Chứng minh hệ thức tổ hợp – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải k (1 + x ) = Ck0 + C1k x + Ck2 x2 + + Ckk xk ( n − m )! k! n! n! = Ta có :C m Cnk = k m !( k − m ) ! k !( n − k ) ! m !( n − m ) ! ( k − m ) !( n − k ) ! −m = Cnm Cnk− m k k −1 k −2 k n−k k ⇒ Cnk (1 + x ) = Cn0Cnk + C1 nCn−1 x + Cn Cn−2 x + + Cn C0 x k −1 k −2 k n −k Thay x = −1 ⇒ Cn0Cnk − C1 nCn−1 + Cn Cn−2 − + (−1)Cn C0 = ⇒ DPCM ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn Page of