Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI Cho n nguyên n ≥ Tìm giá trị nhỏ A = x + xn Giải: n x x x x n +1 A = + + + + n ≥ (n + 1)n +1 n ≥ n +1 n n n n x n x n n so x n Dấu đẳng thức xảy Giá trị nhỏ A = x = n ⇔ x = n +1 n n x n +1 n +1 nn Cho n nguyên n ≥ x ≥ k > n +1 n Tìm giá trị nhỏ A = x + xn Giải: Với x ≥ k > n +1 n 1 1 1 ≥ ⇔ x − k + − n −1 + n −2 + n −3 + + n −1 ≥ x k x k x k k x k x 1 1 ⇔ (x − k ) 1 − n −1 + n −2 + n −3 + + n −1 ≥ xk x x k x k k (x − k ) 1 ⇔ xk − n −1 + n −2 + n −3 + + n −1 ≥ xk x k x k k x 1 1 n n Ta có: n −1 + n −2 + n −3 + + n −1 ≤ n −1 < = n +1 n < xk n + n − x x k x k k k n f (x ) ≥ f (k ) ⇔ x + n −k − n Suy f (x ) ≥ f (k ) với x ≥ k > n +1 n Giá trị nhỏ A = k + x = k kn Cách : n x x x nx n Nháp : A = + + + n +x − ≥ (n + 1)n +1 n + x − m m x m m m x n so x ,m > m Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn x = k n +1 Ta chọn m cho: x = k n +1 ⇒m =x = m xn Bài giải: A = x k n +1 x + + k n +1 n x nx n + n + x − n +1 ≥ (n + 1)n +1 n +1 n + x − n +1 x k k k x x n so kn +1 Vì x ≥ k > n +1 n nên n < k n +1 suy ra: A ≥ (n + 1) n + k − n +1 = k + n = f (k ) n k k k ( ) Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thỏa mãn điều kiện: x + y xy = x + y − xy Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x + y3 Đề thi Đại học khối A năm 2006 ( ) Giải: () Xét x + y xy = x + y − xy * Đặt u = 2 1 ,v = x y ( 1 1 Ta + = + − ⇒ u + v = u + v − uv ⇒ u + v x y x xy y ( ⇒ u +v ) ) 3(u + v )2 − (u + v ) = 3uv ≤ − 4(u + v ) ≤ ⇒ ≤ u + v ≤ Khi : A = x + y3 (x + y )(x + y − xy ) = x 3y x 3y 1 ⇒A= + + = (u + v )2 ≤ 16 xy x y = (x + y )(x + y )xy Dấu đẳng thức xảy u = v = hay x = y = x 3y = x + y + 2xy x 2y Cho x , y, z số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z P = x + +y + +z + yz zx xy Đề thi Đại học khối B năm 2007 Giải: x y z x y2 z x y z P = x + +y + +z + + + + + + = 2 yz zx xy yz zx xy Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn 1 1 2 P = x + y2 + z + + = x + y + z 1 + xyz xyz xyz ( ) ( ) 2 9 x y z 2 = 2 x yz Đẳng thức xảy x = y = z = P ≥ Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = Đề thi Đại học khối A năm 2009 Cho x , y, z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện x y.z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x2 y + z ) y y + 2z z + ( y2 z + x ) z z + 2x x + ( z2 x + y ) x x + 2y y Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: P ≥ 2x x xyz y y + 2z z + 2y y xyz z z + 2x x + 2z z xyz x x + 2y y 2x x ≥ y y + 2z z + 2y y z z + 2x x + 2z z x x + 2y y x x = (−2a + 4b + c ) a = y y + 2z z Đặt: b = z z + 2x x ⇒ y y = (a − 2b + 4c ) c = x x + y y z z = (4a + b − 2c) Khi đó: P ≥ b a c c a b −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c + + ≥ −6 + + + + + + 9 a b c 9 a c b a b c −6 + 4.3 + = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = a = b = c = Hay P ≥ ( ) Cho số thực không âm x , y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ( )( ) biểu thức S = 4x + 3y 4y + 3x + 25xy Đề thi Cao đẳng khối B năm 2009 Giải: Nhận xét: vai trò giống (đối xứng) x , y Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( http//:www.maths.vn ) )( ( ) S = 12 x + y + 16x 2y + 34xy = 12 x + y x + y − xy + 16x 2y + 34xy Hay S = 12 x + y x + y ( )( 191 − 3xy + 16x 2y + 34xy = 4xy − + 4 16 ) 2 x +y Vì x , y không âm thỏa mãn x + y = suy ≤ xy ≤ = 191 25 ≤ 4xy − + 4 16 25 x = y = giá trị nhỏ S = x = 0, y = Vậy giá trị lớn S = 2 1 ⇒ − ≤ 4xy − ≤ ⇒ ≤ 4 ( Cho số thực x , y thay đổi thỏa mãn x + y ( ) ( ) + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức ) A = x + y + x 2y − x + y + Đề thi Đại học khối B năm 2009 Giải: (x + y ) (x + y ) + 4xy ≥ ⇒ x +y ≥ 4xy ( ( A = (x ) + (x + y ) ≥2⇒x +y ≥1 ) ( ) 23 (x + y + x + y + 2x y ) − (x + y ) + + y ) + (x + y ) − ( x + y ) + Mà x + y = ( x + y ) − 2x y ≥ ( x + y ) − ( x + y ) ⇒ x + y ≥ ( x + y ) 3 Khi A ≥ ( x + y ) + ( x + y ) − ( x + y ) + hay A ≥ ( x + y ) − ( x + y ) + 4 A = x + y + x 2y − x + y + = 4 4 ( 2 2 2 ) 2 2 Đặt t = x + y , t ≥ 2 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 (x + y )2 ≥ ⇒ A ≥ t – 2t + 1,t ≥ 2 1 ; +∞ 2 1 9 Ta có f ' t = t – ≥ − > , t ≥ ⇒ f t đồng biến nửa khoảng ; +∞ 2 () Xét hàm số f t = t – 2t + xác định liên tục nửa khoảng () () 1 Khi A = f t = f = Đẳng thức xảy t = 1 16 t∈ ;+∞ () 2 ĐIỂM RƠI TRONG BẤT DẲNG THỨC COSI Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Bài toán mở đầu : Cho a, b > thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + a + b2 + 2ab Lời giải Ta có: P = 1+a +b 2 + Giải: 4 ≥ = ≥ =2 2 2ab a + 2ab + b + (a + b) + 2 2 1 + a + b = 2ab (a − b ) + = Dấu " = " xảy ⇔ ⇔ Hệ vô nghiệm Vậy không tồn P a + b = a + b = Lời giải Ta có: P = 1+a +b 2 + 1 4 + ≥ + = + 2 6ab 3ab a + 6ab + b + 3ab (a + b) + + 4ab 3ab a + b Mặt khác ab ≤ = Vậy P ≥ a + b 2+ + a + b 6 ≥ 1 + a + b = 3ab Dấu " = " xảy ⇔ a = b ⇔a =b = a + b = 1 + ≥ Tại a b a +b 1 toán mà có đến hai đáp số ? Do đâu mà lời giải lại tách = + ? Đó 2ab 6ab 3ab kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Lời bình: lời giải lời giải gần tương tự nhau, áp dụng bất đẳng thức Các bất đẳng thức đề thi đại học thông thường đối xứng với biến ta dự đoán dấu xảy ta biến xảy biên Cho a, b > thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a +b 2 + + 4ab ab Giải: Do P biểu thức đối xứng với a, b , ta dự đoán P đạt a = b = Ta có: P = a + b2 + 1 1 + 4ab + ≥ + 4ab + ≥7 + 2 2ab 4ab 4ab (a + b) 2ab a + b 4 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn a + b = 2ab 1 Dấu " = " xảy ⇔ a 2b = ⇔a =b = 16 a b + = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = đạt a = b = Thao khảo hai lời giải khác : Lời giải 1: P = a +b 2 + + 4ab + ≥ + ab 4ab 4ab a +b ( ) 2 4ab 1 1 + ≥ 4+2+ =6+ 2ab 4ab 4ab 4ab a + b = 2ab 1 Dấu " = " xảy ⇔ a 2b = ⇔ a = b = Thay a = b = vào ta P ≥ 16 a + b = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = đạt a = b = Lời bình 1: Qua cách giải ta chọn dấu đẳng thức xảy a = b = nên dẫn đến việc tách số hạng giá trị nhỏ biểu thức P = đạt a = b = , bước cuối ta làm sai , ví dụ 2 − a + a ≥ a , đẳng thức xảy a = ⇒ − a + a = a ? Lời giải 2: 1 4 P = + + + ab ≥ + + ab = + + ab 2 ab a + b 2ab 2ab a + b + 2ab 2ab a +b ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + 4ab ≥ 4ab = 2 Vậy P ≥ + 2 ⇒ P = 2 + 2ab 2ab Lời bình 2: 1 Thoạt nhìn thấy toán giải Thực tế sao? Việc tách = + để làm xuất đẳng ab 2ab 2ab Mặt khác ( ) thức a + b + 2ab = a + b a = b P = 2 + ⇔ = 4ab Hệ vô nghiệm Đẳng thức không xảy , không tồn P 2ab a + b = ( ) Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng minh : Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt a + b + c + http//:www.maths.vn 1 15 + + ≥ a b c 2 a + 1 17 + b2 + + c2 + ≥ 2 a b c a + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≥ 17 Giải: a + b + c + 1 15 + + ≥ a b c Ta phạm sai lầm: a + b + c + 1 1 + + ≥ 3 abc + ≥6 a b c abc Dấu đẳng thức xảy a = b = c = a + b + c = > abc =6 abc ( trái giả thiết ) Phân tích toán : , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 1 bình nhân ≥ a + b + c ≥ 3 abc ⇒ abc ≤ Đặt: x = abc ≤ 2 1 1 1 Khi : a + b + c + + + ≥ 3 abc + = x + Dự đoán đẳng thức xảy x = a b c x abc x = ⇒ α = x2 = Ta chọn α > cho: x = α x Bài giải: Từ giả thiết a,b,c dương thoả mãn a + b + c ≤ 1 1 1 15 + + ≥ x + ≥ 4x + − 3x ≥ 3.2 4x − 9x = 12 − = a b c x x x 2 Đẳng thức xảy a = b = c = a +b +c + 1 17 + b2 + + c2 + ≥ 2 a b c Phân tích toán : a + , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 1 bình nhân ≥ a + b + c ≥ 3 abc ⇒ abc ≤ Đặt: x = abc ≤ ,đẳng thức xảy x = 2 2 x = 1 Xét x + , chọn α > cho: ⇒ α = = 16 x x x = αx Từ giả thiết a,b,c dương thoả mãn a + b + c ≤ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, 16 số 16 ≥ 17 x x + = x + 16 2 x 16x 16x 2 ⇒ a2 + ≥ a2 17a −15 17 32 17 ; b2 + ⇒ x2 + 17 ≥ b2 17b 32 17 −15 17 ; c2 + x ≥ c2 16x −15 17 17x ≥ 32 17 −15 17 17c 32 17 −15 −15 −15 −15 −15 −15 1 17 17 17 17 17 17 2 17 17 ⇒ a + + b + + c + ≥ 32 a + b + c ≥ 32 a b c a b c 17 17 ( ) 1 17 a + + b + + c + ≥ 32 abc a b c 17 Đẳng thức xảy a = b = c = Cách khác : 1 1 1 Chọn : u = a; , v = b; , w = c; a b c −5 17 ≥ 17 32 17 15 17 = 17 Dùng bất đẳng thức vecto u + v + w ≥ u + v + w Tương tự , ta đặt x = a2 + ( abc ) 2 (a + b + c ) 1 a + + b2 + + c2 + ≥ a b c 2 1 1 + + + ≥3 a b c (abc)2 + (abc )2 a + b + c ≤ ≤ 1 1 15 x 15 2 + b + + c + ≥ x + = x + + ≥ + x 16x 16x 16 x 16x a2 b2 c2 1 1 15 15 17 + b2 + + c2 + ≥ + ≥3 + = 2 16x a b c Đẳng thức xảy a = b = c = a2 + a + b + b2 + c + c2 + a ≥ 17 x =y = ⇒ α = = 16 Tương tự Xét x + , chọn α > cho: y x 2y x = αy2 số x : Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, 16 số 16 1 x + = x + 16 ≥ 1717 x 2 y 16y 16y ⇒ a2 + 17 ≥ b2 17a b 32 17 −16 17 ; b2 + ≥ c2 1 ⇒ x2 + ≥ y 17 17b c 32 17 −16 17 ; c2 + −16 −16 17 17 17 17 a + + b + + c + ≥ 32 a b + b c 17 b c a 17 Đẳng thức xảy a = b = c = 2 2 32 17 ≥ a2 16y số x : −16 17x 17 y 17 17 17c a −16 17 32 17 −16 17 17 + c a 17 ≥ 32 abc 17 ( ) −5 17 ≥ 17 32 17 15 17 = 17 1 + + = Tìm giá trị lớn biểu thức x y z 1 P = + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Đề thi Đại học khối D năm 2007 Cho x , y, z > thỏa mãn Giải: 2005 + b 2005 ≤ a Cho số không âm a, b, x , y thỏa điều kiện 2005 Chứng minh : 2005 x + y ≤ a 1975 x 30 + b1975 y 30 ≤ Toán tuổi thơ – số 27 Giải: Nhận xét : Các đa thức tham gia toán bậc 2005 = 1975 + 30 , đồng thời số mũ biến tương ứng Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho 1975 số a 2005 30 số x 2005 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 1975.a 2005 + 30.x 2005 (1975 + 30 ) Tương tự ≥ 2005 (a ) (x ) 2005 1975.b 2005 + 30.y 2005 (1975 + 30 ) () () http//:www.maths.vn ≥ 1975 2005 2005 30 () = a 1975 x 30 (b ) (y ) 2005 ( ) 1975 2005 30 () = b 1975 y 30 ( ) ( Từ suy 1975 a 2005 + b 2005 + 30 x 2005 + y 2005 ≥ 2005 a 1975 x 30 + b 1975 y 30 a 2005 + b 2005 ≤ ⇒ 2005 ≥ 1975 a 2005 + b 2005 + 30 x 2005 + y 2005 Từ 2005 2005 +y ≤1 x ( ) ( () () ( ) (3) ) (4) ) Từ suy 2005 ≥ 2005 a 1975 x 30 + b 1975 y 30 ⇒ a 1975 x 30 + b 1975 y 30 ≤ Dấu đẳng thức xảy a 1975 = x 30 , b1975 = y 30 a m +n + b m +n ≤ Tổng quát : Cho số không âm a, b, x , y thỏa điều kiện m +n Chứng minh : m +n x + y ≤ a m x n + b m y n ≤ Cho x , y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= xy yz zx + + z x y Giải: 2 xy yz zx Ta có : A = + + + y + z + x z x y ( ) Áp dụng bất đẳng thức: x + y + z ≥ xy + yz + zx Ta được: A2 ≥ (y + z + x ) + 2(y + z + x ) = 3(y + z + x ) = xy yz xz = = ⇒x =y =z = z x y Vậy A = đạt x = y = z = Đẳng thức xảy ⇔ Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a b c 3 + + 2 ≥ 2 b +c c +a a +b Phân tích toán :