Lương Đình Khải - Sưu tầm TỰ GIẢI MỘT SỐ CU SAU Câu : (1,0điểm) Cho a, b, c số dơng Chứng minh : 25a 16b c + + >8 b+c a+c a+b Câu 2: (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức T = x + y + z − , biết: x + y + z = + + + 45 1 + = a b 1 + Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 2 a + b + 2ab b + a + 2ba Câu ( 1,0 điểm) Cho số dương a, b thỏa mãn Câu 4: (1.0 điểm) Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b ≥ a > 8a + b + b2 4a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = Câu (0.5 điểm) Cho ba số a , b , c ba số dương a + b + c = Hãy tìm giá trị nhỏ B = (1 + a )(1 + b)(1 + c ) (1 - a )(1 - b)(1 - c ) Câu (0.5 điểm) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức: Q = x( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y) × Câu (0,5 đ) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Biết P(m) = P(n) (m ≠ n) 4ac - b Chứng minh rằng: mn ≥ 4a x = y + x , y Câu 8: (0,5 điểm) Cho hai số thực thỏa mãn 2 x − x = y + y Hãy tính giá trị của biểu thức: P = ( x − 1)2014 − ( y + 2) 2015 + 2016 Câu (0,5 điểm)Cho x + 2y + z − 2xy − 2yz + zx − 3x − z + = Tính giá trị biểu thức S = x + y + z 2010 Câu 10 (0,5 điểm)Cho số thực x > Tìm giá trị nhỏ biểu thức x−2 Câu 11 (0,5 điểm): Tìm số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức x2 +xy +y2 – xy =0 S = x2 − x + Câu 12 :(0,5 điểm):Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz - 16 = x+ y+z Tìm giá trị nhỏ biểu thức p = ( x +y )(x +z ) Câu 13 :(1 điểm):Cho a,b hai số dương thoả mãn a+b = Chứng minh a + 4b ≥ bất đẳng thức xảy dấu Câu 14 :(1 điểm): Tìm giá trị lớn biểu thức: A = (2x-x2).(y-2y2) với ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ Câu 15: ( điểm )Cho a, b, c ba cạnh tam giác với a ≤ b ≤ c Chứng minh rằng: (a+b+c)2 ≤ 9bc Câu 16: ( điểm )Tìm x, y thoả mãn:x2 + xy + y2 = 3(x + y -1) Lương Đình Khải - Sưu tầm Câu 17: ( điểm )Cho 5< x ≤ 10 x + 10 − x = k Tính giá trị biểu thức: A= − 10 x − x theo k x−5 Câu 18: ( điểm ) Tam giác ABC có a,b,c x,y,z độ dài cạnh BC,CA,AB đường x y z a 1 b c 1 1 + + + + + + sau ln có nghiệm: (x2+ax+b)(x2+bx+a)=0 Câu 23 : ( điểm )Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x2+4x=19-3y2 Câu 24 : ( điểm )Giải phương trình : x4+2x3+5x2+4x+4=0 Câu 5: ( điểm ) Chứng minh phương trình ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) có nghiệm : 2b c ≥ +4 a a Câu ( điểm )Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm chung x2+2x+m=0 (1) ; x2+mx+2=0 (2) Câu 26 : ( điểm )Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x+y+z=xyz Câu 27(1đ )Chứng minh qua điểm A(0;1) có dây parabol y=x có độ dài Câu 28: ( điểm )Tìm số nguyên x để số trị tích x(x+1)(x+7)(x+8) số phương Câu 29 (1đ) Chứng minh rằng: Nếu x, y, z > thoả mãn 1 + + = thì: x y z 1 + + ≤1 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Câu 30: (0,5điểm) Tìm x, y thoả mãn : x − y − y + = x + y Câu 31(0,5 điểm): Tìm cặp số (x;y) thoả mãn: (x2+1)( x2+ y2) = 4x2y Câu 32:(0,5 điểm)Cho số dương x, y, z thoả mãn x+y+z =1 Chứng minh rằng: x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ Câu 33: (0,5 điểm) Giải bất phương trình: x −1 + − x + x x ≤ x +10 Câu 34: (1 điểm)Cho hai số dương x, y thoả mãn : x+y = 2.Chứng minh: x2y2(x2+ y2) ≤ Câu 35(0,5 điểm):Cho x > y x.y = Tìm giá trị nhỏ A = x2 + y x−y Câu 36(0,5 điểm): Tìm (x;y) thoả mãn phương trình: x − x (2 + y ) + y +1 = Câu 37(0,5 điểm) Cho a,b c ba cạnh ∆ABC a3+b3+c3-3abc = Hỏi ∆ABC có đặc điểm gì? Câu38(0,5 điểm) Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện: x+y = Lương Đình Khải - Sưu tầm 4 Chứng minh: 8( x + y ) + ≥ xy Câu 39(1,0 điểm): xy + − y ≤ y Giải hệ 2005 xy − y + 2006 y = 1003 Câu 40: (1,5đ) Tìm tất số nguyên a để phương trình:x2–(3+2a )x +40–a=0 có nghiệm ngun Câu 41(1,5đ): Tìm tất số tự nhiên a để phương trình: x2 – a2x + a + = có nghiệm nguyên Câu 42(1,5) 1, Cho x ≥ 0, y ≥0 x2 + y2 ≠ Chứng minh: A = x + y + xy > 2, Cho hai số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ của: B = 1 − x2 .1 − y Câu 43 (1,5đ) 1, Cho ba số x,y,z thoả mãn x+y+z = x2 + y2 + z2 = a2 Chứng minh:x4 +y4 +z4 = a4 2, Chứng minh a5 – a chia hết cho 30 với số nguyên a Câu 44 (1đ) Tìm x, y nguyên thoả mãn: 7x2 + 13y2 = 1820 Câu 45 (1đ): Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-1; 2); B (2; 3) & C (m; 0) Tìm m để C∆ABC đạt giá trị nhỏ x2 − 4x + Câu 46: (1,0 điểm)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 Câu 47: (1 điểm)Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón có đường kính đường tròn đáy d = 24 (cm) độ dài đường sinh l = 20 (cm) Câu 48: (0,5đ)Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6abc chứng minh: 1 + + ≥3 a b c2 Câu 49: (1,0 điểm)Với x ≠ , tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = Câu 50: (1,0 điểm)Cho số thực dương x, y thỏa mãn x − x + 2014 x2 y 2x + + = 2x + y +1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = xy – 3y - 2x – Câu 51: (1,0 điểm)Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ a+b b+c c+a Câu 52 (1,0 điểm) Cho số thực x, y thoả mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức M = xy + y2 ( ) Câu 53 (1,0 điểm Giải phương trình : ( 3x − x ) x − + = x − x + x − Câu 54: (0,5 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 ≤ 18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 3ab + bc + ca Câu 55: ( 0,5 điểm)Cho số thực a b thỏa mãn a>b ab= Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b2 + a−b Câu 56 (1 điểm)Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ P= x+ y x(2 x + y ) + y (2 y + x) Câu 57(1điểm) Tìm nghiệm nguyên x, y ptrình: Lương Đình Khải - Sưu tầm x y + (x − 1) + (y − 1) − 2xy(x + y − 2) = 2 Câu 58 (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực thỏa mãn abc = 1 1 + + a + ab + b + bc + c + ca + · · Chứng minh tam giác ABC có ACB = BAC AC = 2BC tam giác ABC Tính giá trị biểu thức: A = tam giác vuông Câu 59: Cho x, y không âm thoả mãn x2+y2 = Tìm P = + 5x + + y Câu 60: (1,0 điểm)Cho a, b, c > thỏa mãn ab + bc + ca ≥ CMR: a4 b4 c4 + + ≥ b + 3c c + 3a a + 3b Câu 61: (1 điểm)Cho ba số thực a, b, c dương Cmr: a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≥ 2(a + b + c) Câu 62: (1,0 điểm)Cho hình trụ có bán kính đáy 2cm, thể tích 16π cm3 Tính diện tích xung quanh hình trụ cho Câu 63 (1,5 điểm): Cho a, b, c số thực thỏa mãn: abc = 1 1 + + a + ab + b + bc + c + ca + 2 giải phương trình: x + x + x + = x + 3x Tính giá trị biểu thức: P = Câu 64 (0,5 điểm): Cho số thực dương x, y thảo mãn (x + y - 1)2 = xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy 1 + + xy x + y x+ y Câu 65 (1 điểm)Tìm nghiệm nguyên x, y phương trình: x y + (x − 1) + (y − 1) − 2xy(x + y − 2) = Câu 66: (1,0 điểm) Cho x, y số dương Chứng minh rằng: nào? x + y −2 ( x+ ) y +2≥0 Dấu “=” xảy 1 2 Tìm cặp số ( x; y ) thỏa mãn: x + y = ( x + y ) ( x + y − 1) với x > , y > 4 Câu 68 (0,5 điểm):Cho a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức A = ab (a + b2) Câu 69: (1,0 điểm) Giải phương trình: ( x + 2) + x = 226 Câu 70 (1,0 điểm) Cho số thực dương x y thỏa mãn + x + y = x + xy + y Tính giá trị biểu thức S = x 2013 + y 2013 Câu 71: (1 điểm) Cho số thực x, y thoả mãn x+3y =5 Tìm giá trị nhỏ : A = x + y + 16 y + x Câu 72 : Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn < x < , < y y x.y = Tìm giá trị nhỏ A = x2 + y x−y Câu 36(0 ,5 điểm): Tìm (x;y) thoả mãn phương trình: x − x (2 + y ) + y +1 = Câu 37(0 ,5 điểm) Cho a,b c ba cạnh... 1003 Câu 40: (1 ,5? ?) Tìm tất số nguyên a để phương trình:x2–(3+2a )x +40–a=0 có nghiệm ngun Câu 41(1 ,5? ?): Tìm tất số tự nhiên a để phương trình: x2 – a2x + a + = có nghiệm nguyên Câu 42(1 ,5) 1,