Mã hóa lượng tử và ứng dụng

Đồ án tốt nghiệp Mã hóa lượng tử ứng dụng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Một số khái niệm toán học 1.1.1 Số nguyên tố nguyên tố 1.1.2 Đồng dƣ thức 1.1.3 Không gian Z Z * n n 1.1.4 Phần tử nghịch đảo 1.1.5 Khái niệm nhóm, nhóm con, nhóm Cyclic 1.1.6 Bộ phần tử sinh (Generator-tuple) 1.1.7 Bài toán đại diện (Presentation problem) 1.1.8 Hàm băm 10 1.2 Các khái niệm mã hóa 11 1.2.1 Khái niệm mã hóa 11 1.2.1.1 Hệ mã hóa 11 1.2.1.2 Những khả hệ mật mã 12 1.2.2 Các phƣơng pháp mã hóa 12 1.2.2.1 Mã hóa đối xứng 12 1.2.2.2 Mã hóa phi đối xứng (Mã hóa công khai) 13 1.2.3 Một số hệ mã hoá cụ thể 14 1.2.3.1 Hệ mã hoá RSA 14 1.2.3.2 Hệ mã hoá ElGamal 14 1.2.3.3 Mã hoá đồng cấu 15 1.2.3.4 Mã nhị phân 16 1.3.1 Định nghĩa 17 1.3.2 Phân loại sơ đồ chữ ký điện tử 18 1.3.3 Một số sơ đồ ký số 18 1.3.3.1 Sơ đồ chữ ký Elgamal 18 1.3.3.2 Sơ đồ chữ ký RSA 19 1.3.3.3 Sơ đồ chữ ký Schnorr 19 1.4 Phân phối khóa thỏa thuận khóa 20 1.4.1 Phân phối khóa 21 1.4.1.1 Sơ đồ phân phối khoá trước Blom 21 1.4.2 Thỏa thuận khóa 31 1.4.2.1 Sơ đồ trao đổi khoá Diffie-Hellman 31 1.4.2.2 Giao thức thoả thuận khoá trạm tới trạm 33 1.4.2.3 Giao thức thoả thuận khoá MTI 36 2.1 Ký hiệu Bra-Ket 43 2.2 Nguyên lý học lƣợng tử 44 2.3.1 Khái niệm Qubit 46 2.3.2 Khái niệm ghi lƣợng tử 47 Nguyễn Thanh Tùng Đồ án tốt nghiệp Mã hóa lượng tử ứng dụng 2.4 Nguyên lý rối lƣợng tử (Nguyên lý Entanglement) 50 2.5 Nguyên lý song song lƣợng tử 50 2.7 Mạch Cổng logic lƣợng tử 52 2.7.1 Cổng qubit 54 2.7.2 Cổng qubit 56 CHƢƠNG MÃ HÓA LƢỢNG TỬ 61 3.1 Giao thức phân phối khoá lƣợng tử BB84 62 3.1.1 Giao thức BB84 trƣờng hợp không nhiễu 62 3.1.1.1 Giai đoạn 1: Giao tiếp qua kênh lượng tử 63 3.1.1.2 Giai đoạn 2: Giao tiếp qua kênh công cộng 64 3.1.1.3 Ví dụ 66 3.1.2 Giao thức phân phối khoá lƣợng tử BB84 trƣờng hợp có nhiễu 66 3.1.2.2 Giai đoạn 2: Giao tiếp qua kênh công cộng 66 3.1.3 Một số nhƣợc điểm giao thức BB84 68 3.1.4 Về độ an toàn giao thức phân phối khoá BB84 69 3.1.4.1 Tạo bảng tham chiếu 70 3.1.4.3 Kết luận độ an toàn giao thức BB84 72 3.2 Kết luận mã hoá lƣợng tử thám mã lƣợng tử 72 CHƢƠNG MÔ PHỎNG GIAO THỨC BB84 73 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 Nguyễn Thanh Tùng Đồ án tốt nghiệp Mã hóa lượng tử ứng dụng LỜI CẢM ƠN Ngƣời xƣa có câu: “Uống nƣớc nhớ nguồn, ăn nhớ kẻ trồng cây” Với em sinh viên khoá trƣờng Đại Học Dân Lập Hải Phòng luôn ghi nhớ công lao to lớn thầy giáo, cô giáo Những ngƣời dẫn dắt chúng em từ bƣớc chân vào giảng đƣờng đại học kiến thức, lực đạo đức chuẩn bị hành trang bƣớc vào sống để xây dựng đất nƣớc trƣờng sau năm học Em xin hứa lao động đem kiến thức học đƣợc phục vụ cho Tổ quốc Em xin chân thành cảm ơn đến: Cha, mẹ ngƣời sinh thành dƣỡng dục con, hỗ trợ điều kiện vật chất tinh thần cho đƣờng học tập lòng biết ơn sâu sắc Thầy cô trƣờng thầy cô Ban giám hiệu, thầy cô Bộ môn CNTT trƣờng Đại học Dân lập Hải Phòng tận tình giảng dạy tạo điều kiện cho chúng em học tập suốt thời gian học tập trƣờng Thầy Trần Ngọc Thái– Giáo viên hƣớng dẫn tiểu án tốt nghiệp tận tình, hết lòng hƣớng dẫn em suốt trình nghiên cứu để hoàn thành đồ án tốt nghiệp Em mong thầy luôn mạnh khoẻ để nghiên cứu đào tạo nguồn nhân lực cho đất nƣớc Một lần em xin chân thành cảm ơn Hải Phòng, ngày tháng năm 2009 Sinh viên thực Nguyễn Thanh Tùng Nguyễn Thanh Tùng Đồ án tốt nghiệp Mã hóa lượng tử ứng dụng MỞ ĐẦU Hiện nay, kết hợp vật lý lƣợng tử sở toán học đại tạo móng cho việc xây dựng máy tính lƣợng tử tƣơng lai Theo dự báo máy tính lƣợng tử xuất vào khoảng năm 2010-2020 Isaac L Chuang, ngƣời đứng đầu nhóm nghiên cứu IBM máy tính lƣợng tử khẳng định “Máy tính lượng tử bắt đầu định luật Moore kết thúc – vào khoảng năm 2020, mạch dự báo đạt đến kích cỡ nguyên tử phân tử”) Với khả xử lý song song tốc độ tính toán nhanh, mô hình máy tính lƣợng tử đặt vấn đề lĩnh vực CNTT Vào năm 1994, Peter Shor đƣa thuật toán phân tích số thừa số nguyên tố máy tính lƣợng tử với độ phức tạp thời gian đa thức Nhƣ máy tính lƣợng tử xuất dẫn đến hệ mã đƣợc coi an toàn nhƣ RSA không an toàn Điều đặt vấn đề nghiên cứu hệ mật để đảm bảo an toàn máy tính lƣợng tử xuất Đồng thời, máy tính lƣợng tử xuất phòng thí nghiệm, nhu cầu mô thuật toán lƣợng tử máy tính thông thƣờng tất yếu Ở Việt Nam nay, nhà toán học bƣớc đầu có nghiên cứu tính toán lƣợng tử mô tính toán lƣợng tử máy tính thông thƣờng Ví dụ nhƣ nhóm Quantum trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội Tuy nhiên nhiều vấn đề để mở, việc cần có đầu tƣ thích đáng, tìm tòi, thực nghiệm sở thành tựu lý thuyết kinh nghiệm sẵn có giới, đồng thời áp dụng vào thực tế Nguyễn Thanh Tùng Đồ án tốt nghiệp Mã hóa lượng tử ứng dụng Mục đích, đối tƣợng nội dung luận văn Trong khuôn khổ luận văn này, sở thành tựu có giới nƣớc em trình bày tổng quan nghiên cứu lý thuyết tính toán lƣợng tử, đồng thời mô thuật toán mã hóa lƣợng tử BB84 Luận văn gồm có phần mở đầu, kết luận 04 chƣơng đề cập tới nội dung nhƣ sau: Chƣơng 1: Giới thiệu tổng quan an toàn bảo mật thông tin,các khái niệm toán học, hệ mã cổ điển,các chữ ký số Chƣơng 2: Các khái niệm mã hóa lƣợng tử, đặc trƣng số vấn đề liên quan Chƣơng 3: Mã hóa lƣợng tử giao thức phân phối khóa BB84 Chƣơng 4: Mô giao thức BB84 Nguyễn Thanh Tùng Đồ án tốt nghiệp Mã hóa lượng tử ứng dụng CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Một số khái niệm toán học 1.1.1 Số nguyên tố nguyên tố Số nguyên tố số nguyên dƣơng chia hết cho Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 17, … số nguyên tố Hệ mật mã thƣờng sử dụng số nguyên tố lớn 10150 Hai số m n đƣợc gọi nguyên tố ƣớc số chung lớn chúng Ký hiệu: gcd(m, n) = Ví dụ: 14 nguyên tố 1.1.2 Đồng dƣ thức Cho a b số nguyên tố, n số nguyên dƣơng a đƣợc gọi đồng dƣ với b theo modulo n n|a-b (tức a - b chia hết cho n, hay chia a b cho n đƣợc số dƣ nhƣ nhau) Số nguyên n đƣợc gọi modulo đồng dƣ Kí hiệu: a ≡ b (mod n) Ví dụ: 67 ≡ 11 (mod 7), 67 (mod 7) = 11 (mod 7) = Tính chất đồng dƣ: Cho a, a1, b, b1, c Z Ta có tính chất: a ≡ b mod n a b có số dƣ chia cho n Tính phản xạ: a ≡ a mod n Tính đối xứng: Nếu a ≡ b mod n b ≡ a mod n Tính giao hoán: Nếu a ≡ b mod n b ≡ c mod n a ≡ c mod n Nếu a ≡ a1 mod n, b ≡ b1 mod n a + b ≡ (a1 + b1) mod n ab ≡ a1b1 mod n Nguyễn Thanh Tùng Đồ án tốt nghiệp Mã hóa lượng tử ứng dụng 1.1.3 Không gian Zn Zn* Không gian Zn (các số nguyên theo modulo n) Là tập hợp số nguyên {0, 1, 2, …, n-1} Các phép toán Zn nhƣ cộng, trừ, nhân, chia đƣợc thực theo module n Ví dụ: Z11 = {0, 1, 2, 3, …, 10} Trong Z11: + = 2, + = 13≡ (mod 11) Không gian Zn* Là tập hợp số nguyên p Tức là: Zn* = {p Zn, nguyên tố n Zn | gcd (n, p) =1}, Nếu n số nguyên tố thì: Zn* = {p (n) số phần tử Zn* Zn |1 ≤ p ≤ n-1} Ví dụ: Z2 = {0, 1} Z2* = {1} gcd(1, 2) = 1.1.4 Phần tử nghịch đảo Định nghĩa: Cho a Zn Nghịch đảo a theo modulo n số nguyên x Zn cho ax ≡ (mod n) Nếu x tồn giá trị nhất, a đƣợc gọi khả nghịch, nghịch đảo a ký hiệu a-1 Tính chất: Cho a, b Zn Phép chia a cho b theo modulo n tích a b-1 theo modulo n, đƣợc xác định b có nghịch đảo theo modulo n Cho a Zn, a khả nghịch gcd(a, n) = Giả sử d=gcd (a, n) Phƣơng trình đồng dƣ ax ≡ b mod n có nghiệm x d chia hết cho b, trƣờng hợp nghiệm d nằm khoảng đến n - nghiệm đồng dƣ theo modulo n/d Ví dụ: 4-1 = (mod 9) 4.7 ≡ (mod 9) Nguyễn Thanh Tùng Đồ án tốt nghiệp Mã hóa lượng tử ứng dụng 1.1.5 Khái niệm nhóm, nhóm con, nhóm Cyclic Nhóm phần tử (G, *) thỏa mãn tính chất: Kết hợp: ( x * y ) * z = x * ( y * z ) Tồn phần tử trung lập e G: e * x= x * e = x , x Tồn phần tử nghịch đảo x’ G G: x’ * x = x * x’ = e Nhóm nhóm (G,*) phần tử (S,*) thỏa mãn tính chất: G, phần tử trung lập e S x, y S => x * y S S Nhóm Cyclic: Là nhóm mà phần tử đƣợc sinh từ phần tử đặc biệt g G Phần tử đƣợc gọi phần tử sinh (nguyên thủy), tức là: Với x G: n N mà gn = x Ví dụ: (Z+, *) nhóm cyclic có phần tử sinh Định nghĩa: Ta gọi Cấp nhóm số phần tử nhóm Nhƣ vậy, nhóm Zn* có cấp (n) Nếu p số nguyên tố nhóm Zp* có cấp p-1 Định nghĩa: Cho a Zn*, cấp a ký hiệu ord(a) đƣợc định nghĩa số nguyên dƣơng nhỏ t thoả mãn: at ≡ (mod n) Ví dụ: Z21*={1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}, (21) = 12 = |Z21*| cấp thành phần Z21* là: a Z21* Cấp a 10 11 13 16 17 19 20 6 6 6 Nguyễn Thanh Tùng Đồ án tốt nghiệp Mã hóa lượng tử ứng dụng 1.1.6 Bộ phần tử sinh (Generator-tuple) {g1, , gk} đƣợc gọi phần tử sinh gi phần tử sinh phần tử khác (gi ≠ gj i ≠ j) Ví dụ: {3, 5} phần tử sinh Z7*, vì: = 36 mod = 56 mod = 32 mod = 54 mod = 31 mod = 55 mod = 34 mod = 52 mod = 35 mod = 51 mod = 33 mod = 53 mod phần tử sinh Z7*, vì: {2, 22, 23 , 24, 25 , 26} = {2,4,1,2,4,1} {1,2,4} Tuy nhiên {1,2,4} tập {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Z7*, số đƣợc gọi “phần tử sinh nhóm G(3)”, G(3) nhóm có thành phần {1,2,4} 1.1.7 Bài toán đại diện (Presentation problem) Gọi g phần tử sinh nhóm G(q) thuộc Zn* Bài toán logarit rời rạc liên quan đến việc tìm số mũ a, cho: a = loggh mod n (với h G(q)) Cho k>= 2, 1