Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc Matran dinhthuc

Giáo án tập – Đại số tuyến tính Chương MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Bài Ma trận _ Chú ý: Sinh viên tham khảo thêm dạng tập khác tài liệu khác website: http://www.linear.aglebra1.wikispaces.com I Các phép tính ma trận  1  2  B     Tính  4   3 2  1) Cho ma trận A   a) 3A + 2B; b) 4A – 3B; T c) A ; T T d) A A, AA Giải 3   3  1  2      2       4   3 2   6  12    6 8 Ta có: A  B   Sinh viên làm tương tự 2 0 Ta có: A   1   1 4  T 2 0 2 1     2.2  1.1  2.0  1.1    6  Ta có A A   1     2.0     16  5 17   4      1 4  T Sinh viên làm tương tự cho câu lại AT A 7 5 3   3 2) Tính b)     2  1    1 Giải 7      5.7  0.( 3)  2.2  3.1   42    3     Ta có:       4.7  1.(3)  5.2  3.1    41 2  1    3.7  1.( 3)  ( 1).2  2.1 17  1 Sinh viên làm tương tự cho câu a, c tài liệu k 3) Tính A , k   với A ma trận sau: 1   b) A    0 1 Giải 1 2  1 3  ;A    0  Ta có: A   0 Suy ra, Chương Ma trận – Định thức Giáo án tập – Đại số tuyến tính 1 n  An    0  (1) Chứng minh công thức (1) phương pháp quy nạp Với n = 1, biểu thức (1) Với n = k, giả sử (1) Ta chứng minh (1) với n = k+1 Ta có, 1 n  1   1 (n  1)  n 1 n A  A A 0  0   0   Vậy ta có điều phải chứng minh - Sinh viên làm tương tự cho câu lại 3; tài liệu II Đa thức ma trận: 1   Tính f(A), với f ( x)  x3  x  với A    0 1 Giải 1 3  1   1   1 4  Ta có: f ( A)  A3  A  5I   7 5    1  0  0  0   Sinh viên làm tương tự phần lại tập 4; tập tài liệu III Ma trận giao hoán 1  a) Tìm tất ma trận vuông cấp giao hoán với ma trận A   ; 0  Giải a b  Gọi B    ma trận giao hoán với A nên hệ số a, b, c, d cần tìm thỏa: c d  1   a b   a b  1   a  2c b  d   a 2a  b  AB  BA            d   c 2c  d  0   c d   c d  0   c  a  2c  a c    b  2d  2a  b   a  d  2c  d  d  2 3 1    2 7   1  2 7 Ví dụ: B    AB       0  ; BA          AB  BA 0 2            Sinh viên làm tương tự cho câu b Các tập lại sinh viên tự làm Chương Ma trận – Định thức Giáo án tập – Đại số tuyến tính Bài Định thức _ I Tính định thức Các định thức cấp 2, 3: Áp dụng công thức Sarus để tính định thức cấp 2, Bài 9) Tính định thức cấp a) Áp dụng công thức Sarus để tính định thức cấp 2, 3: 1  4.7  2.3.3  (1).5.0  3.4.0  3.5.1  2.7  28  17  45 Sinh viên làm tập tương tự 10a), 10c), 10d) Kết quả: 10c = 27 10d = -13 – 6i Các định thức cấp lớn b) Áp dụng định lý Laplace: Bài 11 Tính định thức Cách 1: 11d) Áp dụng khai triển Laplace theo dòng theo cột để tính định thức Khai triển theo dòng có: 1 1 a b a c b c a b 1  (1) b 1 c  (1) c a 1 a c  (1) b a  c  2ac  2bc  b  2ba  a b c Cách 2: 11e) Áp dụng tính chất định thức dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa định thức dạng tam giác định thức tích phần tử đường chéo chính: 1 0 1 0 1 0 1  1 0 0 0 1 0 1  1 0 1 0 1 0  1 0 1 0 1 0 1  1 Các câu lại tập 11 3) Tính định thức cấp n: Dùng phương pháp tính định thức cấp n để tính định thức PP Đưa dạng tam giác: Tính định thức Chương Ma trận – Định thức Giáo án tập – Đại số tuyến tính 1  a1 a2 a1  a2 a3 a3 an an  a1  a2   an a2  a1  a2   an  a2 a1 a2  a3 an      a1 a2 a3  an a3 a3 an an a2  a3 an       a1  a2   an a2 a3  an   a1  a2   an  a1  a2   an a2 a3 an 0   a1  a2   an      0  1 x b) x   x x x    x Gọi định thức cho D, cách nhân dòng cột với x ta định thức   x D Đối với định thức  ta cộng tất cột vào cột đầu, rút thừa số chung Sau nhân dòng đầu với -1 cộng vào dòng sau Kết D  (1) n 1 (n  1) x n 2 Các dạng tập lại sinh viên tham khảo phương pháp tài liệu giải II Áp dụng tính chất định thức để giải toán: Bài 10) Cộng cột vào cột ta có:                                            ,  ,  nghiệm phương trình x3  px  q  nên       nên định thức Bài 12) Giải phương trình: Ta có : x x2 x3 27 16 64   48  52 x  18 x  x3  Sinh viên giải phương trình tìm x Bài 13) Chứng minh định thức Áp dụng tính chất định thức chứng minh định thức có hai dòng hai cột cột tỉ lệ; có dòng (một cột) 0; có dòng (cột) tổ hợp tuyến tính dòng (cột) lại a) ab c Chứng minh b  c a ca b Cộng cột vào cột có định thức có hai cột tỉ lệ nên định thức Chương Ma trận – Định thức Giáo án tập – Đại số tuyến tính ab c abc c bc a  abc a ca b abc b b) Áp dụng công thức cộng sin(a  d )  sin a cos d  sin d cos a sin  cos  sin(   ) sin  cos  sin  cos   sin  cos  sin  cos  sin(   )  sin  cos  sin  cos   sin  cos  sin  cos  sin(   ) sin  cos  sin  cos   sin  cos  sin  cos  sin  cos  sin  cos  sin  cos   sin  sin  cos  cos  sin  cos   sin  sin  cos  sin  cos  cos  sin  cos   sin  cos  a  (a  3)2 b  (b  3)2 (a  1)2  (a  2)2 (b  1)2  (b  2)2 (a  2)2 (b  2) (a  3)2 (b  3) c  (c  3)2 d  (d  3)2 (c  1)2  (c  2)2 (d  1)2  ( d  2) (c  2)2 (d  2) (c  3) ( d  3) h) a2 b2 (a  1)2 (b  1)2 (a  2)2 (b  2)2 (a  3)2 (b  3) c2 d2 (c  1)2 (d  1)2 (c  2) (d  2)2 (c  3) (d  3)2   (a  2)2 (b  2) (a  3)2 (b  3) (3)(2c  3) (1)(2c  3) (c  2)2 (3)(2d  3) (1)(2d  3) (d  2) (c  3)2 ( d  3) (3)(2a  3) (1)(2a  3) (3)(2b  3) (1)(2b  3) 0 Sinh viên làm câu lại tương tự Bài 14) Chứng minh A  M (n; K ) , n lẻ, A ma trận phản xứng detA = T Vì A ma trận phản xứng nên A   A Suy ra, det A  det( AT )  det(  A)  (1) n det A   det( A) (do n lẻ) Vậy det A = Bài 15) Chứng minh đẳng thức có chứa định thức abc 2a a) 2b bca 2c 2c 2a 2b  (a  b  c)3 cab Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) áp dụng tính chất định thức để đưa đến điều cần chứng minh a) Cộng dòng dòng vào dòng ta được: abc 2a a) 2b bca 2c 2c 2a 2b c a b a bc a bc abc 1  2b bc a 2b  (a  b  c) 2b b  c  a 2c 2c c  a b 2c 2c 2b c  a b Nhân cột với (-1) cộng vào cột Ta có: 1 ( a  b  c) 2b b  c  a 2b  (a  b  c ) 2b (a  b  c ) 0 2c c  a b 2c ( a  b  c) - 2c  (a  b  c )3 (đpcm) Sinh viên làm tương tự cho câu lại Chương Ma trận – Định thức Giáo án tập – Đại số tuyến tính Bài Hạng ma trận _ I Tính hạng ma trận: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận dạng bậc thang dạng tam giác Từ số dòng khác ma trận hạng ma trận Bài 18) k) a) Thực phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận lại ma trận bậc thang 4 8  4  8 5 7 3 1 /  0    0 8    1 6  0 0 1/ 11/  4 /   0   0  Hạng ma trận là: 1 1  1 1   d2  d1 1 1 1  dd32  0 2 d  d1 0 d  d4  d1     k)  1 1  0 2      1 1 1  0 2  Hạng ma trận - Sinh viên làm tập lại Bài 19) Tìm hạng ma trận cấp n a a  a a  1  a 1  na 1  na a  a  a     a  na  a a c1 c1   cn di di  d1     a)              a  a  a  a   a 1  na  a 0    1 Nếu a = ma trận trở thành In suy hạng ma trận n Gọi + na = a = -1/n Suy ra, hạng ma trận n-1 Nếu 1+ na khác hạng ma trận n a b c) A     b b b  b  a  (n  1)b b b   a  (n  1)b     a b a  (n  1)b a b a b c1 c1   cn di  di  d1               b a  0  a  ( n  1)b b a   b      a  b  TH a = b Nếu a = b = A = suy rank A = Nếu a  b  rank A = TH a  b Nếu a  (n  1)b rank A = n Nếu a  (n  1)b rank A = n-1 II Tìm điều kiện tham số để ma trận có hạng số cho trước Bài 20) Tìm điều kiện  để ma trận sau có hạng Chương Ma trận – Định thức Giáo án tập – Đại số tuyến tính 3 1 3         12  Ma trận có hạng có dòng khác sau thực phép biến đổi sơ cấp dòng Suy hai dòng lại ma trận phải tỉ lệ với dòng thứ suy   Sinh viên làm tương tự câu lại 20 Bài Ma trận nghịch đảo _ I Tìm ma trận nghịch đảo: A Dùng phương pháp định thức: Bài 21 Tìm ma trận nghịch đảo sau: 3 5 a) A     3 Ta có: A1  PA với det A = 9-10 = -1 det A  A11  A12 Ma trận PA   A21  đó, A22  A11  ( 1)11  3; A12  ( 1)1 2  2 A21  ( 1) 1  5; A22  ( 1)    5   3     2   3 Suy ra, A1    Sinh viên làm tương tự cho câu lại 21 cách sử dụng phương pháp định thức ma trận phụ hợp B Phương pháp khử Gauss: Bổ sung vào bên vế phải ma trận A ma trận đơn vị In sau:  A | I n  sau dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A dạng ma trận đơn vị sau: [ I n | B ] ma trận B ma trận nghịch đảo cần tìm Bài 21 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau:  1 1   1 1   A   1 1     1 1 Dùng phương pháp khử Gauss ta thực bước sau: Chương Ma trận – Định thức Giáo án tập – Đại số tuyến tính 1 1 1  1 1  A | I n    1 1   1 1 1  d4 d4  d3   0   0 0 1  d  d1  dd32   d  d1 0  d4  d4  d1   0 0   0   1 1 0 0  2 1 0 2 1 0  2 0  0 1    d  d d   0 2 1 0   2 0 1   1 1 1 0 0  0 2 1 0  0 4 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 0  1   d1 d1  d3  0 1 1/ 1/ 0  d  d  d 0    0 1 1/ 1/ 0     0 0 1/ 1/ 1/ 1/ 4 0 d  d /2 d  d /2 d  d /( 4) d1  d1 1  d1  d  d1   0  0 0 1/ 1/ 1  d2 d2  d4   0  0 0 1/ 1/ 1/ 0 / 1/ 1/ 1/ 1 1/ 0 1/ 1/ 0 1/ 1/  1   1/ 1 / 1/  d2  d3   0 1/    1/ 1/ 1/ 4  1/ 1/ 1/ 0 1 1 / 1 0 1/ 1/ 0 1/   1/ 1/ 1/  1/   1/ 1/ 1/  0 1 / 1/ 1 1/ 1/ 0 1/ 1/ 1/   1/  1/ 1/ /   1/ 1/ 1/  1/ 1/   1/  1/ 1/   1/ 1/  Sinh viên thực phương pháp khử Gauss để tìm ma trận nghịch đảo ma trận lại 21 II Tìm ma trận nghịch đảo ma trận cấp n Nhận xét: Đối với ma trận tam giác (hoặc tam giác dưới) khả nghịch phần tử đường chéo khác Trong trường hợp đó, ma trận nghịch đảo ma trận tam giác Đặc biệt việc tìm ma trận tam giác ta cần tìm ma trận nghịch đảo ma trận ta dùng phương pháp gauss để khử từ dòng n lên dòng Nếu A ma trận lũy linh I + A ma trận khả nghịch, ma trận B  I  A  A2   (1) r 1 Ar 1 ma trận khả nghịch A A khả nghịch 1 0 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: A     0       Sử dụng phương pháp Gauss: Chương Ma trận – Định thức Giáo án tập – Đại số tuyến tính 1  0 0   0   1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1  0 di  di  d n 1 0 1i  n     0   1 0 0 0 0 1   0 0 di  di  dn  0 1i  n 1       0     1 1 1 0 0 0 1 1 1   1 1 0 0 1 1       0 0 0 1   0   0 0 1  1 0 1   0 0 1  0  0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1  1 1 1 0 1 1   0 0 1  0  0 Bài 22 d) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 1  1  a  1 a     1  a            1  a  Giải Lập ma trận (A|I) Cộng dòng với tất dòng lại, ta thấy điều kiện cần để A khả nghịch a  n  Chia dòng cho + a ta đưa dòng toàn Sau đó, trừ dòng thứ 1, ta thấy điều kiện cần a  Bây chia dòng thứ trở cho 1/a, bớt từ dòng tổng tất dòng lại, ta ma trận nghịch đảo là: 1 1  n  a  1 n  a  1  A  1 n  a a(n  a)    1 1        n  a  III Tìm điều kiện cho ma trận khả nghịch từ suy ma trận nghịch đảo: Ma trận A khả nghịch det A  Bài 23 Tìm điều kiện để ma trận sau khả nghịch   3  a) A   7 m  5 m 2m  Giải det A  m  3m  Suy ra, det A   m  1  m  2 Chương Ma trận – Định thức Giáo án tập – Đại số tuyến tính Khi đó, ma trận khả nghịch ma trận là:  2 m210 m  m23 m   m 25 m3    m23 m   m    m23 m m3 2m23 m m1 2m23 m m 2m23 m m1   2m23 m   m1   2m23 m    2m23 m   Sinh viên làm tương tự cho câu lại 23 1 1 2 1 k 1 Bài 24) Cho A    B    Tính  B AB  , k       k Nhận xét:  B 1 AB   B 1 AB.B 1 AB B1 AB  B 1 Ak B, k   Sinh viên thực tập việc tìm lũy thừa ma trận A nghịch đảo B để suy kết Chương Ma trận – Định thức 10