Mẫu trình chiếu luận văn cao học.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ SỸ DŨNG MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ CÁC ĐA DIỆN NGUYÊN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học: GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 12/2015 Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 / 22 NỘI DUNG LUẬN VĂN Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 / 22 NỘI DUNG LUẬN VĂN Kiến thức chuẩn bị Ma trận đơn môđula đơn môđula tuyệt đối Tập đa diện nguyên gần nguyên Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 / 22 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện • Tập C ⊆ Rn gọi lồi λb + (1 − λ)a ∈ C , ∀a, b ∈ C , ≤ λ ≤ • Siêu phẳng Rn tập H = {x ∈ Rn : aT x = α}, a ∈ Rn , a = 0, α ∈ R • Nửa không gian đóng: H + = {x ∈ Rn : aT x ≥ α}, a ∈ Rn , a = 0, α ∈ R • Giao tập lồi chứa E gọi bao lồi E , ký hiệu conv E • Tập lồi đa diện = giao hữu hạn nửa không gian đóng • Điểm x ∈ D ⊂ Rn (tập tập lồi đa diện) gọi đỉnh D x không biểu diễn dạng tổ hợp lồi điểm khác thuộc D Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 / 22 1.2 Qui hoạch tuyến tính 1.2.1 Dạng tắc: (P) min{f (x) = c T x : Ax = b, x ≥ 0}, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn (m ≤ n, rank A = m) • f (x) = c T x - hàm mục tiêu • D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} - miền ràng buộc • Định lý 1.2 Qui hoạch tuyến tính (P) có nghiệm tối ưu ⇔ D = ∅ f (x) = c T x bị chặn D • Một đỉnh D gọi nghiệm sở (phương án cực biên), • Định lý 1.3 Trong qui hoạch tuyến tính tắc, x¯ ∈ D nghiệm sở ⇔ hệ {Aj : x¯j > 0} độc lập tuyến tính Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 / 22 1.2.2 Thuật toán đơn hình (gốc đối ngẫu) Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 / 22 Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 / 22 1.3 Qui hoạch tuyến tính nguyên Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 / 22 Ma trận đơn môđula đơn môđula t.đ 2.1 Ma trận đơn môđula Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 / 22 • Tính chất ma trận đơn môđula Định lý 2.1 Nghịch đảo ma trận đơn môđula ma trận đơn môđula Với ma trận đơn môđula U, ánh xạ x Ux x x T U song ánh Zn (không gian véctơ nguyên n chiều) Định lý 2.2 Với ma trận hữu tỉ, không suy biến U cấp n × n, điều sau tương đương: (i) U đơn môđula; (ii) U −1 đơn môđula; (iii) Dàn sinh cột U Zn (không gian véctơ nguyên n chiều); (iv) Ma trận đơn vị dạng chuẩn Hecmit U; (v) U nhận từ ma trận đơn vị phép toán cột sơ cấp Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 / 22 Định nghĩa 2.2 Hệ bất đẳng thức tuyến tính Ax ≤ b gọi nguyên đối ngẫu tuyệt đối với véctơ nguyên c, qui hoạch tuyến tính đối ngẫu min{y T b : AT y = c, y ≥ 0} = max{c T x : Ax ≤ b} có nghiệm tối ưu nguyên y , cực tiểu toán hữu hạn Định lý 2.3 Nếu hệ Ax ≤ b nguyên đối ngẫu tuyệt đối aT x ≤ β bất đẳng thức {x : Ax ≤ b} hệ mở rộng Ax ≤ b, aT x ≤ β nguyên đối ngẫu tuyệt đối Định lý 2.4 Cho Ax ≤ b, aT x ≤ β hệ nguyên đối ngẫu tuyệt véctơ a nguyên Khi đó, hệ Ax ≤ b, aT x = β nguyên đối ngẫu tuyệt đối Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 10 / 22 2.2 Ma trận đơn môđula tuyệt đối • Định nghĩa 2.3 Ma trận A cấp m × n gọi đơn môđula tuyệt đối định thức ma trận vuông A hay ±1 • Tính chất đặc trưng ma trận đơn môđula tuyệt đối Định lý 2.5 Ma trận nguyên A đơn môđula tuyệt đối ⇔ {x : Ax ≤ b, x ≥ 0} đa diện nguyên với véctơ nguyên b • Một số điều kiện đủ cho tính môđula tuyệt đối (dễ kiểm tra) Định lý 2.6 A = [aij ]m×n , aij ∈ {−1, 0, 1} đơn môđula tuyệt đối cột A chứa không hai phần tử khác 0; hàng A chia thành tập rời R1 , R2 cho a) Hai phần tử = dấu cột nằm tập = b) Hai phần tử = trái dấu cột nằm tập Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 11 / 22 Định lý 2.7 Giả sử hàng A = [aij ]m×n , aij ∈ {−1, 0, 1} tách thành hai lớp rời (có thể rỗng) V1 , V2 cho hai hàng p q thuộc lớp có cột chứa số hai hàng apj ≥ aqj apj ≤ aqj ∀j = 1, , n Khi đó, ma trận A đơn môđula tuyệt đối • Ma trận toán vận tải thỏa mãn giả thiết định lý (V1 gồm m hàng đầu, V2 gồm n hàng cuối) Ví dụ khác: • Ví dụ 2.2 Ma trận sau thỏa mãn giả thiết định lý: (V1 = ∅, V2 = {1, 2, 3, 4}) Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 12 / 22 • Điều kiện cần đủ để ma trận đơn môđula tuyệt đối Định lý 2.8 A ∈ Zn đơn môđula tuyệt dối ⇔ ∀R ⊆ {1, , m}, tồn phân hoạch R = R1 ∪ R2 cho i∈R1 aij − i∈R2 aij ∈ {−1, 0, 1} với j = 1, , n • Áp dụng Định lý 2.8 vào ma trận liên thuộc đồ thị, ta có: Định lý 2.9 Ma trận liên thuộc đồ thị vô hướng G đơn môđula tuyệt đối ⇔ G đồ thị hai phần Định lý 2.10 Ma trận liên thuộc đồ thị có hướng G đơn môđula tuyệt đối Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 13 / 22 Đa diện nguyên gần nguyên 3.1 Điều kiện nguyên Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 14 / 22 Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 15 / 22 Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 16 / 22 Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 17 / 22 Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 18 / 22 3.2 Đa diện gần nguyên Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 19 / 22 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nội dung sau: • Giới thiệu kiến thức giải tich lồi: tập lồi, tập lồi đa diện, toán qui hoạch tuyến tính thuật toán đơn hình, toán qui hoạch nguyên • Ma trận đơn môđula ma trận đơn môđula tuyệt dối Tính chất tiêu chuẩn nhận biết ma trận đơn môđula tuyệt dối • Khái niệm đa diện nguyên gần nguyên, quan hệ với ma trận đơn môđula tuyệt đối • Một số Bài toán tối ưu đa diện nguyên gần nguyên Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 20 / 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Vũ Thiệu (2004) Giáo trình tối ưu tuyến tính NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Chandru V and Rao M R (1997) Combinatorial Optimization Ch 13 (pp 316 – 354) in The Computer Science & Engineerring Handbook ed by Allen B and Tucker Jr by CRC Press, Inc [3] Jongen H T., Meer K and Triesch E (2004), Optimization Theory Kluwer Academic Publishers New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow [4] Korte B., and Vygen J., (2006), Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms Third Edition, Springer -Verlag Berlin [5] Schrijver A., (1986), Theory of Linear and Integer Programming John Wiley & Sons Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 21 / 22 Học viên: Vũ Sỹ Dũng () Người hướng dẫn: GS.TS Trần Vũ Thiệu 26/12/2015 22 / 22