Bài tập Hình học họa hình

CHƯƠNG 4: SỰ TƯƠNG GIAO • • 4.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU 4.4 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC MẶT 4.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU 4.3.1 PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU: • • • - a) Thay mặt phẳng hình chiếu bằng: Giả sử ta có mặt phẳng hình chiếu P1, P2 (H 4-17) Thay mặt phẳng hình chiếu lấy mặt phẳng P2’ vuông góc với P1 thay mặt phẳng P2 Kết việc thay mặt phẳng hình chiếu ta có đồ thức mà trục hình chiếu x’ = P1 ∩P2’ hướng đường dóng hướng vuông góc với x’ Từ hình 4-17 ta thấy điểm A bất kỳ, thay mặt phẳng hình chiếu vị trí tương đối điểm A P1 thay đổi, đó: Hình chiếu đứng A1 A không thay đổi Độ xa điểm A hệ thống hình chiếu độ xa điểm A hệ thống hình chiếu cũ, tức là: A2’AX = A2AX = AA1 Từ nhận xét việc thay mặt phẳng hình chiếu cho điểm A thực cách dễ dàng (H 4-18) Biết cách lập đồ thức điểm thay mặt phẳng hình chiếu bằng, ta suy cách thành lập đồ thức đường thẳng hay mặt phẳng Ta xét vài thí dụ: • Thí dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1, A2B2) Thay mặt phẳng hình chiếu cho hệ thống mặt phẳng hình chiếu AB đường (H 4-19) • Giải: Điều kiện có đủ để AB đường A1B1 phải song song với trục hình chiếu Do chọn x’ // A1B1 Hình chiếu đoạn thẳng A2’B2’ (A2’Ax = A2Ax; B2’BX = B2BX) Dễ dàng nhận thấy độ dài A2’B2’ độ dài đoạn thẳng AB góc A2’B2’ với x’ góc AB với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 • Thí dụ 2: Cho mặt phẳng ABC Thay mặt phẳng hình chiếu cho mặt phẳng hình chiếu ABC mặt phẳng hình chiếu (H 4-20) • Giải: Mặt phẳng P2’ phải chọn vừa vuông góc với ABC vừa vuông góc với P1 nên vuông góc với đường mặt mặt phẳng ABC Do trục hình chiếu x’ phải vuông góc với hình chiếu đứng đường mặt ABC Suy bước vẽ: • Vẽ đường mặt ABC, ví dụ đường mặt AE • Vẽ x’⊥ A1E1 • Hình chiếu ABC A2’B2’C2’ Ba điểm thẳng hàng hệ thống mặt phẳng hình chiếu ABC mặt phẳng chiếu • Góc A2’B2’C2’ với x’ góc nghiêng ABC P1 • b) Thay mặt phẳng hình chiếu đứng: • Tương tự trên, thay mặt phẳng hình chiếu đứng ta có (H.4-21): - Hình chiếu A2 A không thay đổi - Độ cao điểm A hệ thống hình chiếu độ cao điểm A hệ thống hình chiếu cũ, tức là: A1’Ax = A1Ax = AA2 • Từ đó, việc thay mặt phẳng hình chiếu đứng cho điểm A thực cách dễ dàng (H 4-22), ta suy cách thay mặt phẳng hình chiếu đứng cho đường thẳng hay mặt phẳng • Một vài thí dụ áp dụng: • Thí dụ 1: Thay mặt phẳng hình chiếu đứng để đường AB trở thành đường thẳng chiếu đứng (H.4-23) • Giải: Để đường AB trở thành đường thẳng chiếu đứng phải chọn x’ vuông góc A2B2 Hình chiếu đứng AB trùng thành điểm, cách x’ đoạn độ cao đường hệ thống cũ • Thí dụ 2: Thay mặt phẳng hình chiếu đứng để mặt phẳng chiếu ABC trở thành mặt phẳng mặt (H.4-24) • Giải: ABC trở thành mặt phẳng mặt A2B2C2 song song với trục hình chiếu • Do ta chọn x’ // A2B2C2 Vì hệ thống mặt phẳng ABC mặt phẳng mặt nên tam giác A1B1C1 tam giác ABC c) Thay liên tiếp mặt phẳng hình chiếu: • Như đã xét trên, cách mặt phẳng hình chiếu ta đưa toán xét dạng đặc biệt để cách giải trở nên đơn giản nhiều Bằng cách thay liên tiếp mặt phẳng hình chiếu ta đưa đường thẳng thường trở thành đường thẳng chiếu mặt phẳng thường thành mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu Điều trợ giúp nhiều việc giải toán phức tạp, toán lượng mặt phẳng • 4.3.2 PHÉP QUAY HÌNH PHẲNG QUANH ĐƯỜNG BẰNG HAY ĐƯỜNG MẶT CỦA NÓ: • Dưới trình bày phương pháp khác đưa mặt phẳng vị trí song song với mặt phẳng hình chiếu: phương pháp quay hình phẳng quanh đường hay đường mặt • Trước hết ta nhắc lại khái niệm quay điểm quanh đường thẳng: • Quay điểm M quanh đường thẳng d góc có hướng thực phép biến đổi cho: ảnh M’ M với M nằm mặt phẳng P vuông góc với d Khoảng cách M M’ đến d nhau: OM = OM’ (O giao điểm P với d) Góc MOM’ = • Đường thẳng d α gọi trục quay Khoảng cách OM từ M đến d gọi bán kính quay điểm M (H.4-25) • Quay hình quanh đường thẳng d góc quay điểm quanh d theo góc Để quay đường thẳng hay mặt phẳng quanh đường thẳng d góc quay hai điểm đường thẳng hay ba điểm mặt phẳng quanh d theo góc Từ để quay hình phẳng quanh đường hay đường mặt ta cần quay điểm mặt phẳng • Ta xét vài thí dụ: • Thí dụ 1: Cho mặt phẳng ABC có AB đường Hãy quay mặt phẳng ABC quanh AB để Abc trở thành song song với mặt phẳng hình chiếu • Giải: Ta cần quay C quanh AB vị trí C’ cho ABC’ song song với P2 Để xác định C’ ta dựa vào điều kiện phép quay điểm quanh đường thẳng - Điểm C điểm C’ nằm mặt phẳng vuông góc với AB (điều kiện 1) Vì AB đường nên mặt phẳng mặt phẳng chiếu Do đó: C2C2’ A2B2 ⊥ • Gọi O2 = C2C2’ ∩A2B2 O2 hình chiếu điểm O (O giao điểm AB với mặt phẳng chiếu chứa CC’) • OC’ = OC (điều kiện 2) Từ điều kiện ta dễ dàng xác định C2’ biết độ dài OC (H 4-26) • b) Giao mặt phẳng với mặt cong: • Nói chung giao mặt phẳng với mặt cong đường cong phẳng mặt cong mặt đại số bậc n giao mặt phẳng với mặt đường cong đại số bậc n • Muốn vẽ điểm giao mặt phẳng với mặt cong người ta thường làm sau: Vẽ mặt phẳng phụ trợ cắt mặt phẳng đã cho theo đường thẳng g cắt mặt cong theo đường l Giao g với l thuộc giao phải tìm (H.4-29) Dùng số mặt phẳng phụ trợ ta số điểm cần thiết để vẽ giao phải tìm Giao mặt phẳng với mặt cầu: • Giao mặt phẳng với mặt cầu đường tròn.Hình chiếu đường tròn mặt phẳng hình chiếu elíp Các yếu tố xác định elíp xác định theo vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu • Thí dụ: Vẽ giao mặt phẳng chiếu đứng K với mặt cầu (H 4-30) • Giải: Giao phải tìm đường tròn có tâm I với I1 ≡ C1 ≡D1 Vì mặt phẳng cắt mặt phẳng chiếu đứng nên hình chiếu đứng giao đoạn thẳng A1B1 thuộc hình chiếu đứng K1 mặt phẳng cắt Biết hình chiếu đứng giao ta dễ dàng suy hình chiếu elíp có trục dài C2D2 = A1B1 (với C1 ≡ D1 điểm A1B1) trục ngắn A2B2 Các giao điểm đường tròn vĩ tuyến với mặt phẳng cắt cho ta điểm ranh giới thấy khuất E, G giao hình chiếu • • • • • Giao mặt phẳng với mặt nón: Giao mặt phẳng mặt nón có đáy đường tròn là: Một đường tròn , mặt phẳng đã cho song song với mặt phẳng đáy nón Một đường elíp, điểm giao điểm hữu hạn, tức mặt phẳng đã cho phải cắt tất đường sinh nón • Một parabôn giao có vô tận, tức mặt phẳng đã cho song song với đường sinh nón • Một hypecbôn giao có hai điểm vô tận, tức mặt phẳng đã cho song song với hai đường sinh nón • Hai đường sinh khác mặt phẳng qua đỉnh nón cắt đáy nón hai điểm • Thí dụ: Vẽ giao mặt phẳng chiếu đứng K với mặt nón tròn xoay đỉnh S (H 4-31) • Giải: Theo hình đã cho ta dễ nhận thấy mặt phẳng chiếu đứng K cắt tất đường sinh nón Vậy giao phảI tìm đường elíp Hình chiếu đứng elíp đoạn thẳng thuộc K1 Hình chiếu elíp vẽ cách tìm số điểm giao tuyến thuộc đường sinh đường tròn thuộc mặt nón • Giao mặt phẳng với mặt trụ: • Giao mặt phẳng với mặt trụ đáy tròn là: • Một đường tròn mặt phẳng đã cho song song với đáy trụ • Một elíp mặt phẳng đã cho không song song với đáy trụ • Hai đường thẳng khác mặt phẳng cắt song song với đường sinh trụ cắt đáy trụ hai điểm khác • Thí dụ: Vẽ giao tuyến mặt phẳng K cho vết với mặt trụ có đường chuẩn tròn cho hình 4-32 • Giải: Để tìm giao điểm đường sinh trụ với mặt phẳng cắt K ta thay mặt phẳng hình chiếu đứng để mặt phẳng K đã cho trở thành mặt phẳng chiếu đứng Từ hình chiếu đứng V1'K ta biết dạng giao Theo hình vẽ ta dễ dàng thấy mặt phẳng K cắt trụ theo elíp Hình chiếu đứng elíp đoạn thẳng A1'B1' thuộc V1'K.Có hình chiếu đứng ta suy hình chiếu hình chiếu đứng elíp cần tìm Ta thấy B, A điểm cao nhất, thấp giao Giao mặt phẳng với mặt tròn xoay: Giao mặt phẳng với mặt tròn xoay là: - Một đường kinh tuyến mặt phẳng cắt qua trục - Một đường vĩ tuyến mặt phẳng cắt vuông góc với trục - Một elíp mặt phẳng cắt xiên góc với trục • Thí dụ: Vẽ giao mặt phẳng P với mặt elípxôít tròn xoay cho hình 4-33 • Giải: Vì mặt phẳng cắt không vuông góc với trục mặt tròn xoay nên giao đường elíp • Ta tìm điểm đường elíp giao cách tìm giao điểm vĩ tuyến kinh tuyến mặt tròn xoay với mặt phẳng đã cho 4.4.2 GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT: a) Giao đường thẳng với đa diện: Muốn tìm giao đường thẳng với đa diện, người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ Nội dung phương pháp sau: - Qua đường thẳng đã cho dựng mặt phẳng gọi mặt phẳng phụ trợ - Tìm giao mặt phẳng phụ trợ với đa diện đã cho Giao gọi giao phụ - Tìm tập hợp giao điểm đường thẳng đã cho với giao phụ Tập hợp giao phải tìm • Thí dụ: Vẽ giao đường thẳng l với tứ diện ABCD (H 4-34) • Giải: Ta thực hiên sau: • Dựng qua l mặt phẳng chiếu đứng K • Vẽ giao K với tứ diện, giao phụ g tứ giác MNPQ • Vẽ giao g với đường thẳng đã cho Theo hình vẽ giao phải tìm hai điểm K, H • Theo hình vẽ , hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất Trên hình chiếu điểm K, H thấy b) Giao đường thẳng với mặt cong: • Muốn tìm giao đường thẳng l với mặt cong người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ Nội dung phương pháp sau : - Qua đường thẳng đã cho l dựng mặt phẳng phụ trợ K - Vẽ giao g K với mặt đã cho, giao g gọi giao phụ - Tìm giao điểm g với l, tập hợp giao điểm giao phải tìm • • • • Giao đường thẳng với mặt cầu: Ta đã biết mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn Vấn đề chọn mặt phẳng phụ trợ để việc vẽ giao đường thẳng với đường tròn phụ đơn giản.Người ta thường chọn mặt phẳng phụ trợ mặt phẳng chiếu hay mặt phẳng qua tâm mặt cầu Trên hình 4-35, để tìm giao l với mặt cầu ta chọn mặt phẳng phụ trợ mặt phẳng chiếu đứng K chứa l Hình chiếu đứng K1 trùng với l1 Để tìm giao điểm l với đường tròn phụ v ta dùng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu Mặt phẳng hình chiếu chọn trùng với mặt phẳng phụ trợ Dựa vào hình chiếu l đường tròn v, ta dễ dàng vẽ giao điểm H, K l với v Các giao điểm giao phải tìm Trên hình chiếu điểm H thấy, điểm K khuất Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT NÓN, MẶT TRỤ: • Trong trường hợp người ta thường dùng mặt phẳng phụ trợ mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho qua đỉnh nón hay song song với đường sinh trụ (để giao phụ đường thẳng) • Thí dụ 1: Vẽ giao đường thẳng l với mặt nón có đường chuẩn năm mặt phẳng chiếu đứng D (H 4-36 ) • Giải: Mặt phẳng phụ trợ xác định l đỉnh S nón Để vẽ giao mặt phẳng phụ trợ với mặt nón ta làm sau : - Vẽ giao tuyến g mặt phẳng phụ trợ với mặt phẳng chứa đáy nón - Xác định giao điểm 1, g với đường chuẩn Giao mặt phẳng phụ trợ với mặt nón (giao phụ) hai đường thẳng S1, S2 với l • Trên hình chiếu bằng, điểm K, H thấy Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất • Thí dụ 2: Vẽ giao đường thẳng l với mặt trụ (H 4-37 ) • Giải: Mặt phẳng phụ trợ mặt phẳng chứa l song song với đường sinh mặt trụ Trên hình vẽ mặt phẳng mặt phẳng K chứa l chứa đường thẳng t song song với đường sinh mặt trụ (t qua điểm M l) • Mặt phẳng phụ trợ K cắt đường chuẩn trụ hai điểm 1, Giao phụ hai đường sinh qua 1, Các giao điểm K, H đường sinh với l giao l với trụ • Trên hình chiếu điểm K thấy, điểm H khuất • Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất [...]... như hình 4-32 • Giải: Để tìm các giao điểm của các đường sinh của trụ với mặt phẳng cắt K ta thay mặt phẳng hình chiếu đứng để mặt phẳng K đã cho trở thành mặt phẳng chiếu đứng Từ hình chiếu đứng mới V1'K ta biết ngay dạng của giao Theo hình vẽ ta dễ dàng thấy rằng mặt phẳng K cắt trụ theo một elíp Hình chiếu đứng mới của elíp này là đoạn thẳng A1'B1' thuộc V1'K.Có hình chiếu đứng mới ta suy ra hình. .. - Tìm tập hợp các giao điểm của đường thẳng đã cho với giao phụ Tập hợp đó chính là giao phải tìm • Thí dụ: Vẽ giao của đường thẳng l với tứ diện ABCD (H 4-34) • Giải: Ta thực hiên như sau: • Dựng qua l mặt phẳng chiếu đứng K • Vẽ giao của K với tứ diện, được giao phụ g là tứ giác MNPQ • Vẽ giao của g với đường thẳng đã cho Theo hình vẽ giao phải tìm là hai điểm K, H • Theo hình vẽ , trên hình chiếu... phẳng chiếu hay mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu Trên hình 4-35, để tìm giao của l với mặt cầu ta chọn mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu đứng K chứa l Hình chiếu đứng K1 trùng với l1 Để tìm các giao điểm của l với đường tròn phụ v ta dùng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu bằng Mặt phẳng hình chiếu bằng mới được chọn trùng với mặt phẳng phụ trợ Dựa vào các hình chiếu bằng mới của l và đường tròn v, ta... đường tròn .Hình chiếu của đường tròn này trên các mặt phẳng hình chiếu sẽ là các elíp Các yếu tố xác định elíp được xác định theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu • Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng chiếu đứng K với mặt cầu (H 4-30) • Giải: Giao phải tìm là đường tròn có tâm I với I1 ≡ C1 ≡D1 Vì mặt phẳng cắt là mặt phẳng chiếu đứng nên hình chiếu đứng của giao là đoạn thẳng A1B1 thuộc hình chiếu... đến N’∈ P2 Cách xác định N’ thấy rõ trên hình vẽ (N’N2 ⊥V2P; O2N’ = O2N2*) Vết đứng V1P của mặt phẳng gập thành ≡ V1’P PxN’ Điểm N’ còn có thể xác định với chú ý rằng PxN1 = PxN’ Hình gập của AB là A’B’, vẽ được bằng cách gắn nó lên đường thẳng ∈ IK ∈ ∈ ≡ Vì I V1P nên I’ V1P’; K V2P nên K K’ Với A’B’ làm cạnh, ta dựng được tam giác đều A’B’C’ A’B’C’ chính là hình gập của tam giác ABC cần vẽ Sau đó theo≡... đoạn thẳng A1B1 thuộc hình chiếu đứng K1 của mặt phẳng cắt Biết hình chiếu đứng của giao ta dễ dàng suy ra hình chiếu bằng là một elíp có trục dài là C2D2 = A1B1 (với C1 ≡ D1 là điểm giữa của A1B1) và trục ngắn là A2B2 Các giao điểm của đường tròn vĩ tuyến chính với mặt phẳng cắt cho ta các điểm ranh giới thấy khuất E, G của giao trên hình chiếu bằng • • • • • 2 Giao của mặt phẳng với mặt nón: Giao... nón ở hai điểm • Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng chiếu đứng K với mặt nón tròn xoay đỉnh S (H 4-31) • Giải: Theo hình đã cho ta dễ nhận thấy rằng mặt phẳng chiếu đứng K cắt tất cả các đường sinh của nón Vậy giao phảI tìm là một đường elíp Hình chiếu đứng của elíp này là một đoạn thẳng thuộc K1 Hình chiếu bằng của elíp được vẽ bằng cách tìm một số điểm của giao tuyến thuộc các đường sinh và các đường tròn... phẳng phụ trợ với mặt nón (giao phụ) sẽ là hai đường thẳng S1, S2 với l • Trên hình chiếu bằng, các điểm K, H đều thấy Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất • Thí dụ 2: Vẽ giao của đường thẳng l với mặt trụ (H 4-37 ) • Giải: Mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa l và song song với các đường sinh của mặt trụ Trên hình vẽ mặt phẳng đó là mặt phẳng K chứa l và chứa một đường thẳng t song song... phẳng đã cho • • • • • Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng P với mặt chóp cho trên hình vẽ 4-28 Giải: Ta chỉ cần vẽ giao tuyến của các mặt bên của đa diện với mặt phẳng đã cho Thí dụ ta vẽ giao tuyến của mặt SAC với mặt đã cho Để vẽ giao tuyến của mặt SAC với mặt phẳng P, ta tìm giao điểm K của đường thẳng SA với mặt phẳng P Theo hình vẽ ta có ngay giao điểm M của cạnh AC với mặt phẳng cắt (vì biết vết bằng... chọn trùng với mặt phẳng phụ trợ Dựa vào các hình chiếu bằng mới của l và đường tròn v, ta dễ dàng vẽ được các giao điểm H, K của l với v Các giao điểm đó là các giao phải tìm Trên hình chiếu bằng điểm H thấy, điểm K khuất Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất 2 GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT NÓN, MẶT TRỤ: • Trong trường hợp này người ta thường dùng mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa đường