Phòng gd-đt thờng xuân Tiên học lễ Trờng THCS Yên nhân Hậu học văn Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2006-2007 Môn thi : toán Thời gian làm bài 120 phút Họ và tên : SBD: . -----à------ Đề bài Bài1( 2.5 điểm) a, Cho a + b +c = 0. Chứng minh rằng a 3 +a 2 c abc + b 2 c + b 3 = 0 b, Phân tích đa thức thành nhân tử: A = bc(a+d)(b-c) ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bài 2: ( 1,5 điểm). Cho biểu thức: y = 2 )2004( + x x ; ( x>0) Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó Bài 3: (2 ,5 điểm) a, Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn phơng trình: : ( 12x 1 ) ( 6x 1 ) ( 4x 1 ) ( 3x 1 ) = 330. B, Giải bất phơng trình: 6 x 3 Bài 4: ( 3 ,5 điểm) Cho góc xoy và điểm I nằm trong góc đó. Kẻ IC vuông góc với ox ; ID vuông góc với oy . Biết IC = ID = a. Đờng thẳng kẻ qua I cắt õ ở A cắt oy ở b. A, Chứng minh rằng tích AC . DB không đổi khi đờng thẳng qua I thay đổi. B, Chứng minh rằng 2 2 OB OC DB CA = C, Biết S AOB = 3 8 2 a . Tính CA ; DB theo a. Đáp án đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8 Bài 1: 3 điểm a, Tính: Ta có: a 3 + a 2 c abc + b 2 c + b 3 = (a 3 + b 3 ) + ( a 2 c abc + b 2 c) = (a + b) ( a 2 ab =b 2 ) + c( a 2 - ab +b 2 ) = ( a + b + c ) ( a 2 ab + b 2 ) =0 ( Vì a+ b + c = 0 theo giả thiết) Vậy:a 3 +a 2 c abc + b 2 c + b 3 = 0 ( đpCM) b, 1,5 điểm Ta có: bc(a+d) 9b c) ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b) = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b) = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) a(b+d)] = b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a) = d(a-b)(a-c)(b-c) Bài 2: 2 Điểm Đặt t = y2004 1 Bài toán đa về tìm x để t bé nhất Ta có t = x x 2004 )2004( 2 + = x xx 2004 20042004(2 22 ++ = x x 2004 2 2004 ++ = 2 2004 2004 22 + + x x (1) Ta thấy: Theo bất đẳng thức Cô Sic ho 2 số dơng ta có: x 2 + 2004 2 2. 2004 .x 2 2004 2004 22 + x x (2) Dấu = xảy ra khi x= 2004 Từ (1) và (2) suy ra: t 4 Vậy giá trị bé nhất của t = 4 khi x =2004. Vậy y max = 8016 1 2004 1 = t Khi x= 2004 Bài 3: 2 Điểm a, Nhân cả 2 vế của phơng trình với 2.3.4 ta đợc: (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = 330.2.3.4 (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = 11.10.9.8 Vế tráI là 4 số nguyên liên tiếp khác 0 nên các thừa số phảI cùng dấu ( + )hoặc dấu ( - ). Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = 11 . 10 . 9 . 8 (1) Và (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = (-11) . (-10) . (-9) .(-8) (2) Từ phơng trình (1) 12x -1 = 11 x = 1 ( thoả mãn) Từ phơng trình (2) 12x -1 = - 8 x= 12 7 suy ra x Z. Vậy x=1 thoả mãn phơng trình b, Ta có 6 x < 3 -3 < x 6 < 3 3< x < 9 Vậy tập nghiệm của bất phơng trình là:S = { x R/ 3 < x < 9}. Bài 4 : 3 Điểm Ta có A chung ; AIC = ABI ( cặp góc đồng vị) IAC ~ BAO (gg). Suy ra: BO IC AO AC = BO AO IC AC = (1) Tơng tự: BID ~ BAO (gg) Suy ra: BD OB ID OA = BD ID OB OA = (2) Từ (1) và(2) Suy ra: BD ID IC AC = Hay AC. BD = IC . ID = a 2 Suy ra: AC.BD = a 2 không đổi. b, Nhân (1) với (2) ta có: OB OA OB OA BD ID IC AC = mà IC = ID ( theo giả thiết) Suy ra: 2 2 OB OA BD AC = C, Theo công thức tính diện tích tam giác vuông ta có; S AOB = 2 1 OA.OB mà S AOB = 3 8 2 a ( giả thiết) Suy ra: OA.OB = 3 8 2 a OA . OB = 3 16 2 a Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) = 3 16 2 a a 2 + a( CA + DB ) + CA . DB = 3 16 2 a Mà CA . DB = a 2 ( theo câu a) a(CA +DB) = 3 16 2 a - 2a 2 CA + DB + 3 10 2 3 16 2 2 2 a a a a = Vậy: CA . DB = a 2 CA + DB = 3 10 2 a Giải hệ pt CA = 3 a và DB = 3a Hoặc CA = 3a và DB = 3 a