Luong giac (DTDH)

Hàm Số Lượng Giác Trong Đề Thi Đại Học

(2010 – 2015)

Câu 1 Tính giá trị của biểu thức P  (1 3cos2 )(2 3  cos2 ) biết 2

3

sin 

(2015)

Câu 2 Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x

(Khối A – 2014)

sin x + 4cos x = 2 + sin 2x <=> sin x + 4cos x = 2 + 2sin x cos x

<=> sin x (1 – 2cos x) – 2(1 – 2cos x) = 0

<=> (1 – 2cos x)(sin x – 2) = 0 (*)

Vì sin x < 2 với mọi x nên (*) <=> cos x = 1/2

<=> x = π/3 + k2π hoặc x = –π/3 + k2π (k thuộc Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {π/3 + k2π; –π/3 + k2π | k thuộc Z}

Câu 3 Giải phương trình 2(sin x – 2cos x) = 2 – sin 2x

(Khối B – 2014)

Giải phương trình 2(sin x – 2cos x) = 2 – sin 2x

<=> 2(sin x – 2cos x) = 2 – 2sin x cos x

<=> 2 sinx(1  2 cosx) 2(1   2 cos x)  0

<=> ( 2 sinx 2)(1   2 cosx)  0

<=> cos x = 1

2

 (vì 2sin x < 2)

<=> x = 3π/4 + k2π hoặc x = –3π/4 + k2π (k thuộc Z)

Câu 4 Giải phương trình 1 + tan x = 2 2sin (x + π/4)

(Khối A – 2013)

Giải phương trình 1 + tan x = 2 2sin (x + π/4)

Điều kiện cos x ≠ 0 Phương trình đã cho <=> cos x + sin x = 2(sin x + cos

x)cos x

<=> (sin x + cos x)(2cos x – 1) = 0 <=> sin x + cos x = 0 hoặc 2cos x – 1 = 0 sin x + cos x = 0 <=> tan x = –1 <=> x = –π/4 + kπ (k thuộc Z)

2cos x – 1 = 0 <=> cos x = 1/2 <=> x = π/3 + k2π V x = –π/3 + k2π (k thuộc Z) Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm x = –π/4 + kπ hoặc x = π/3 + k2π hoặc x = –π/3 + k2π

Câu 5 Giải phương trình sin 5x + 2cos² x = 1

(Khối B – 2013)

Giải phương trình sin 5x + 2cos² x = 1

Phương trình đã cho tương đương sin 5x + cos 2x = 0

<=> sin 5x = sin (2x – π/2)

<=> 5x = 2x – π/2 + k2π hoặc 5x = π + π/2 – 2x + k2π (k thuộc Z)

<=> x = –π/6 + k2π/3 hoặc x = 3π/14 + k2π/7 (k thuộc Z)

Câu 6 Giải phương trình: sin 3x + cos 2x – sin x = 0

(Khối D – 2013)

Giải phương trình: sin 3x + cos 2x – sin x = 0 <=> cos 2x (2sin x + 1) = 0

Phương trình đã cho tương đương 2cos 2x sin x + cos 2x = 0

<=> cos 2x = 0 hoặc sin x = –1/2

<=> x = π/4 + kπ/2 hoặc x = –π/6 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π (k thuộc Z)

Câu 7 Giải phương trình 3sin 2x + cos 2x = 2cos x – 1

(Khối A – 2012)

Giải phương trình 3sin 2x + cos 2x = 2cos x – 1 (1)

(1) <=> 2 3sin x cos x + 2cos² x – 2cos x = 0

<=> cos x ( 3sin x + cos x – 1) = 0

<=> cos x = 0 hoặc 3sin x + cos x = 1 (3)

<=> x = π/2 + kπ (k thuộc Z) hoặc sin (x + π/6) = 1/2

<=> x = π/2 + kπ hoặc x = k2π hoặc x = 2π/3 + k2π (k thuộc Z)

Câu 8 Giải phương trình 2(cos x + 3sin x)cos x = cos x – 3sin x + 1

(Khối B – 2012)

Giải phương trình 2(cos x + 3sin x)cos x = cos x – 3sin x + 1

phương trình đã cho tương đương 2cos² x – 1 + 2 3sin x cos x = cos x – 3sin

x

<=> cos 2x + 3sin 2x = cos x – 3sin x

<=> cos (2x – π/3) = cos (x + π/3)

<=> 2x – π/3 = x + π/3 + k2π hoặc 2x – π/3 = –x – π/3 + k2π (k thuộc Z)

<=> x = 2π/3 + k2π hoặc x = k2π/3 (k thuộc Z)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = k2π/3 (k thuộc Z)

Câu 9 Giải phương trình: sin 3x + cos 3x – sin x + cos x = 2cos 2x

(Khối D – 2012)

Giải phương trình: sin 3x + cos 3x – sin x + cos x = 2cos 2x

Phương trình đã cho tương đương với 2sinxcos2x+2cos x cos 2x– 2cos 2x = 0

<=> cos 2x (2sin x + 2cos x – 2) = 0

<=> cos 2x = 0 hoặc 2(sin x + cos x) – 2 = 0 (2)

cos 2x = 0 <=> 2x = π/2 + kπ (k thuộc Z)

(2) <=> sin (x + π/4) = 1/2

<=> x = –π/12 + k2π hoặc x = 7π/12 + k2π (k thuộc Z)

Câu 10 Giải phương trình 1 sin 2x 2cos 2x 2 sin x sin 2x

1 cot x

(Khối A – 2011)

Giải phương trình 1 sin 2x 2cos 2x 2 sin x sin 2x

1 cot x

Điều kiện sin x ≠ 0 Phương trình (*) <=> (1 + sin 2x + cos 2x)sin² x = 2sin x sin 2x

<=> 1 + 2sin x cos x + 2cos² x – 1 = 2 2cos x

<=> cos x (sin x + cos x – 2) = 0

<=> cos x = 0 hoặc sin x + cos x = 2

<=> x = π/2 + kπ (k thuộc Z) V sin (x + π/4) = 1

<=> x = π/2 + kπ hoặc x = π/4 + k2π (k thuộc Z)

Câu 11 Giải phương trình sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x

(Khối B – 2011)

Giải phương trình sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x

phương trình đã cho tương đương 2sin x cos² x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x

<=> sin x (1 + cos 2x) + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x

<=> (sin x cos 2x – cos 2x) + (sin x cos x – cos x) = 0

<=> cos 2x (sin x – 1) + cos x (sin x – 1) = 0 <=> (sin x – 1)(cos 2x + cos x) = 0

<=> sin x = 1 hoặc cos 2x = cos (x + π)

<=> x = π/2 + k2π hoặc 2x = x + π + k2π hoặc 2x = –x – π + k2π

<=> x = π/2 + k2π hoặc x = π + k2π hoặc x = –π/3 + k2π/3 (k thuộc Z)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = π/2 + k2π hoặc x = –π/3 + k2π/3 (k thuộc Z)

Câu 12 Giải phương trình: sin 2x 2cos x sin x 1 0

tan x 3



(Khối D – 2011)

Giải phương trình: sin 2x 2cos x sin x 1 0

tan x 3



điều kiện cos x ≠ 0 và tan x ≠ – 3 (*)

phương trình đã cho tương đương sin 2x + 2cos x – sin x – 1 = 0

<=> 2sin x cos x + 2cos x – (sin x + 1) = 0

<=> 2cos x (sin x + 1) – (sin x + 1) = 0

<=> (2cos x – 1)(sin x + 1) = 0

<=> cos x = 1/2 hoặc sin x = –1 (loại)

<=> x = π/3 + k2π hoặc x = –π/3 + k2π (loại) (k thuộc Z)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = π/3 + k2π (k thuộc Z)

Câu 13 Giải phương trình

π (1 sin x cos 2x) sin(x )

1



(Khối A – 2010)

Giải phương trình

π (1 sin x cos 2x) sin(x )

1



Điều kiện cos x ≠ 0 và 1 + tan x ≠ 0 Khi đó (*) <=> (1 + sin x + cos 2x)(sin x +

cos x) = cos x (1 + tan x)

<=> (sin x + cos x)(1 + sin x + cos 2x) = sin x + cos x

<=> (sin x + cos x)(sin x + 1 – 2sin² x) = 0

<=> sin x + cos x = 0 (loại) hoặc 1 + sin x – 2sin² x = 0

<=> sin x = 1 (loại vì cos x ≠ 0) hoặc sin x = –1/2

<=> x = –π/6 + k2π hoặc x = 7π/6 + k2π (k thuộc Z)

Câu 14 Giải phương trình (sin 2x + cos 2x)cos x + 2cos 2x – sin x = 0

(Khối B – 2010)

Giải phương trình (sin 2x + cos 2x)cos x + 2cos 2x – sin x = 0 (1)

phương trình (1) <=> 2sin x cos² x – sin x + cos 2x cos x + 2cos 2x = 0

<=> sin x cos 2x + cos 2x cos x + 2cos 2x = 0

<=> cos 2x (sin x + cos x + 2) = 0

<=> cos 2x = 0 hoặc sin x + cos x + 2 = 0 (vô nghiệm)

<=> x = π/4 + kπ/2 (k thuộc Z)

Câu 15 Giải phương trình sin 2x – cos 2x + 3sin x – cos x – 1 = 0

(Khối D – 2010)

Giải phương trình sin 2x – cos 2x + 3sin x – cos x – 1 = 0

phương trình đã cho tương đương 2sin x cos x – 1 + 2sin² x + 3sin x – cos x – 1

= 0

<=> cos x (2sin x – 1) + 2sin² x – sin x + 4sin x – 2 = 0

<=> (2sin x – 1)(cos x + sin x + 2) = 0

<=> 2sin x = 1 hoặc cos x + sin x + 2 = 0 (vô nghiệm)

<=> sin x = 1/2

<=> x = π/6 + k2π hoặc x = 5π/6 + k2π (k thuộc Z)