monte carlo simulation

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Môn Học: Giải tập vật lý máy tính Tp Hồ Chí Minh 2013 Chương Giới thiệu Mathematica 1.1 1.1.1 Giao diện tương tác Math Các bảng ghi (Notebooks) Là dạng cửa sổ biểu diễn lượt sử dụng Math bao gồm đầy đủ ghi chép chương trình nguồn, kết thực bảng ghi ghi lại định dạng file riêng Math có đuôi "*.nb" Math cung cấp cho ta niều lựa chọn để trình bày văn chất lượng cao từ định dnag5 kiểu dáng, màu sắc font chữ, khoảng cách dóng hàng đoạn văn bản, đến ký tự đặc biệt hay công thức, chèn lẫn với văn hay tổ chức tiền tố (header hay footer) hay in 1.1.2 Cách ghi biểu thức Math Nb Math hỗ trợ hoàn toàn cách viết chuẩn tắc toán học cho câu lệnh vào (input) kết trả (output) Ví dụ: lệnh tích phân đưa vào hoàn toàn phím chuẩn từ bàn phím Integrate[Log[1+x]/Sqrt[x],x] biểu diễn cấu trúc hai chiều với ký tự đặc biệt Log[1 + ] √ d cách sử dụng bảng lệnh đánh trực tiếp từ bàn phím cho kết quả: √ √ √ −4 + 4ArcTan| | + Log|1 + | Math trả kết ở dạng truyền thống toán (traditional form) Lưu ý dạng đòi hỏi thông dịch dạng chuẩn (standard form) nb dạng xác cho máy tính Lệnh sau tính tích phân đưa kết dạng toán học truyền thống Log[1 + ] √ d // TraditionalForm √ √ √ [output]:4tan−1 ( ) + log( + 1) − 1.1.3 Math môi trường làm việc Math cho phép xuất nhập từ nhiều định dạng khác Ta export đồ thị công thức Math sang chương trình khác định dạng EPS (Encapsulated PostScript), GIF thực thao tác Và toàn nb xuất sáng dạng HTML, TEX hay RTF 1.2 Môi trường tính toán nguyên tắc cú pháp 1.2 Môi trường tính toán nguyên tắc cú pháp Khi đưa vào lệnh, Math tự động gán cho lệnh đưa vào (Input) tên "In[n]=" với n thứ tự dòng lệnh, sau dấu cấu trúc lệnh mà ta vừa đưa vào, kết thúc lệnh đưa vào cách bấm phím ENTER, Math hiểu lệnh gởi đến phần lõi toán để thực tính toán Kết đưa (Output) Math tự động đánh số "Out[n]=" Lưu ý quan trọng: Nếu không bấm phím ENTER để kết thúc câu lệnh mà bấm phím mũi tên xuống lõi toán không thực câu lệnh này, mã lệnh thực lại sau lưu nb đoạn thích (comment) Math chuyển sang dòng lệnh Nếu đưa nhiều lệnh lệnh có dấu ";" Math thực biểu thức lệnh đưa kết biểu thức cuối Sau viết xong toàn phần mã lệnh chương trình, để chạy chương trình ta vào tab Evaluation/Evaluate Notebook sử dụng tổ hợp phím Shift+Enter 1.2.1 Tham chiếu kết trước Math có hai cách để tham chiếu đến kết đưa trước đó: Phép gán biến: gán cho biến ký tự giá trị thực dấu "=" sau gọi giá trị biến lệnh sau Ví dụ: t=3; t*2 [out]: Không sử dụng biến mà sử dụng dấu % dấu % cho kết dòng lệnh trước (đếm ngược) %% kết dòng lệnh thứ hai trước %% % (n dấu %) kết dòng lệnh thứ n phía trước (tính ngược lên kể từ dòng lệnh thực hiện) %n đưa kết dòng lệnh có thứ tự thứ n (Out[n]) 1.2.2 Mẫu qui tắc biến đổi Math có mẫu thích ứng cho việc thực phép biến đổi, ký tự "/." biểu thị cho việc thực qui tắc biến đổi (transformation rule) Ví dụ: {a,b,c,d}/.b->1+x {a, + x, c, d} Ví dụ1: {a+b,c+d,a+c}/.x_+y_->x^2+y^2 {a2 + b2 , c2 + d2 , a2 + c2 } Ví dụ 2: {a+b,c+d,a+c}/.a+x_->x^3 {b3 , c + d, c3 } 1.2.3 Cắt ngang trình tính toán Có thể dừng việc thực tính toán (trong lõi toán chế độ thực hiện- running) thước lệnh Evaluation/Interrupt Evaluation (tương ứng với tổ hợp phím 1.2 Môi trường tính toán nguyên tắc cú pháp "Alt"+"," [chỉ dừng tạm thời]) hủy bỏ việc thực lệnh thước lệnh Evaluation/Abort Evaluation (tương đương với tổ hợp phím "Alt"+".") Trong trường hợp không dừng (xảy chương trình lớn tính toán kéo dài) loại bỏ hẳn lõi toán cách Evaluation/Quit kernel 1.2.4 Tra cứu cấu trúc lệnh Nếu không nắm vững mã lệnh tra cứu nhanh cách đưa lệnh có thêm dấu "?" đầu câu viết liền Ví dụ: ?Pi "Pi is the constant pi, with numerical value approximately equal to 3.14159" Nếu thêm "??" cho mô tả chi tiết (với thuộc tính-atributes tùy chọn options lệnh) Ví dụ: ??DSolve "DSolve[eqn,y,x] solves a differential equation for the function y, with indepent variable x DSolve[{eqn1,eqn2, },{y1,y2, },x] solves a list of differential equations DSolve[eqn, y, {x1,x2, }] solves a partial differential equation." Attributes[DSolve]={Protected, ReadProtected} Options[DSolve]=DSolveConstants->C Nếu nắm phần mã lệnh, dùng dấu * thay phần chưa biết ví dụ: ?*Plot* cho tất mã lệnh có chứa "Plot" Muốn tra cứu biểu thức toán hàm dùng thước lệnh Help/Help để gọi phần Function Navigator chọn hàm cần tìm Có thể viết tắt lệnh cách đánh vào vài ký tự đầu dùng tổ hợp phím Ctrl+"K" Math tự động điền phần lại bảng chọn (nếu có nhiều lựa chọn khác nhau) Lưu ý: hàm số Math có cú pháp bắt đầu chữ viết hoa (để phân biệt với biến [các biến không viết hoa]) biến số nằm dấu ngoặc vuông "[]" Ví dụ: Sqrt[x], Sin[x], Log[b,x] Log[b,x] hàm logb x Math qui định sử dụng dấu ngoặc sau: dấu ngoặc đơn "(",")" cho nhóm số hạng phép toán, ngoặc vuông "[","]" cho hàm số, ngoặc nhọn "{","}" cho đồi tượng dãy (list), sử dụng "(* *)" phần bình luận (comment) cho lệnh hay đoạn chương trình chèn vào lệnh Dấu ngoặc vuông kép số thứ tự phần tử dãy Ví dụ: v[[i]] phần tử thứ i dãy v 1.2.5 Các ký tự đặc biệt mô tả tương đương Đánh trực tiếp từ bàn phím chuỗi phím tương đương (đánh liên tiếp không đồng thời) Ví dụ: ký tự α đưa vào ESC a ESC ESC alpha ESC, số π ESC p ESC, ký tự tích phân ESC int ESC, đạo hàm toàn phần d ESC dd ESC, đạo hàm riêng phần ESC pd ESC · · · 1.3 Độ xác tùy chọn 1.2.6 Lưu tập tin Kết thúc phiên làm việc nhớ lưu lại thước lệnh File/Save As Một đoạn đồ họa nb xuất riêng thành file thước lệnh File/Save Selection As/ 1.2.7 Gọi chương trình chương trình trợ giúp chuẩn Gọi lệnh Needs["context"] (lệnh nhày tải lên chạy chương trình có tên context trước chưa tải lên nhóm chương trình phụ trợ cho phiên làm việc hành-xem hàm $Package) Hoặc lệnh «name (lệnh gọi file nb có tên name thực biểu thức trả kết cuối mà không kiểm tra xem lệnh gọi trước hay chưa) Ví dụ lệnh sau gọi chương trình vẽ đồ thị chiều theo thông số: Needs["Graphics‘ParametricPlot3D‘"] để sau sử dụng số hàm vẽ đồ thị chẳng hạn hàm CylindrycalPlot3D Một số bó chương trình khác: Calculus VectorAnalysis cho tính toán đại số vector Calculus FourierTransform cho tính toán dựa biến đổi Fourier Calculus VariationMethods cho tính toán dựa phương pháp biến phân Miscellaneous PhysicalConstants cho tất số đơn vị vật lý, biến đổi qua lại chúng Và nhiều gói chương trình khác (xem Help/Function Navigator/Addon& Package phần Add-on) Ngoài hãng WRI thường xuyên cập nhật thêm gói chương trình (ở dạng chia sẻ – share-ware miễn phí free-ware) địa website: http://www.wolfram.com/addons Để gọi gói chương trình dùng cú pháp Need["Calculus‘VectorAnalysis‘"] 0.5+2.17945I},{x->1.}} Giải hệ phương trình dạng đa thức cho NSolve[{expr1,expr2, },{var1,var2, }] NSolve[{x^2-x*y-y^2==1,x^3+3*x*y-y^3==9},{x,y}] {{x->-2.07194-1.87447I, y->-1.16444-1.26905I}, {x->-2.07194+1.87447I, y->-1.16444+1.26905I}, {x->-0.43195-0.816763I, y->0.552813+1.71762I}, {x->-0.43195+0.816763I, y->0.552813-1.71762I}, {x->1.74511, y->0.802781},{x->1.76268, y->-2.57952}} Khác với lệnh NSolve[exps,var] lệnh Solve[expr,var] cho lời giải xác (với số xác hay nghiệm giải tích với biến chữ) Ví dụ: phân biệt cấp xác hai nghiệm sau: Solve[x^2-3==0,x] √ √ {{x− > − 3}, {x− > 3}} NSolve[x^2-3==0,x] {{x− > −1.73205}, {x− > 1.73205}} Để nhận nghiệm dạng dãy số ta phải sử dụng qui tắc biến đổi lên biến Solve[x^3+2*x^2+6*x+12==0,x] √ √ {{x− > −2}, {x− > −I 6}, {x− > I 6}} x/.% √ √ {−2, −I 6, I 6} Vì giới hạn nghiệm xác lệnh Solve lúc cho nghiệm, sẹ cho thông báo mà từ định hướng giải tiếp, trường hợp phương trình hàm siêu việt (eax ) trả nguyên dạng Tương 1.6 Tìm nghiệm phương trình, hệ phương trình lân cân điểm tự Math trả nguyên dạng phần lớn phương trình đa thức có số mũ cao mà dạng suy biến đặc biệt Mặc dù lệnh Solve lại hữu hiệu giải acc1 phương trình đại số tuyến tính Ngoài Math có vài lệnh phụ trợ cho việc giải giải tích phương trình đại số lệnh Eliminate[expr,var] cho phép loại bớt ẩn số từ hệ phương trình nhiều ẩn; lệnh Reduce[expr, var] cho tất nghiệm biện luận điều kiện cho tham số 1.6 Tìm nghiệm phương trình, hệ phương trình lân cân điểm Lệnh FindRoot[eqn, {x,x0}] cho phép tìm nghiệm lân cận điểm x0 cho phương trình hay FindRoot[{eqn1,eqn2},{x,x0},{y,y0}] cho hệ phương trình dạng đa thức, hay tìm nghiệm phương trình dạng đa thức (có số nghiệm không xác định) Ví dụ: FindRoot[3*Cos[x]==Log[x],{x,10}] {x->13.1064} FindRoot[{x==Log[y],y==Log[x]},{x,I},{y,2}] {x->0.318132+1.33724I, y->0.318132+1.33724I} 1.7 Phương trình, hệ phương trình vi phân Phương trình vi phân giải số lệnh NDSolve[eqns, y,{x,xmin,xmax}] với eqns phương trình vi phân điều kiện biên tương ứng, y hàm biến x x nằm khoảng từ xmin đến xmax NDSolve[eqns, y, {x, xmin, xmax}, {t, tmin, tmax}]- tìm nghiệm số phương trình đạo hàm riêng NDSolve[{eqn1,eqn2}, {y1, y2, }, {x, xmin, xmax}]- tìm nghiệm số {yi } hàm biến x Ví dụ: Tìm quỹ đạo khối lượng trường hấp dẫn bị tác động khối lượng lớn gốc tọa độ khoãng thời gian 45 giây Nó biểu diễn cặp phương trình vi phân sau: x(t) + y (t)3/2 y(t) y (t) = − x (t) + y (t)3/2 x (t) = − x2 (t) với điều kiện biên t = 0, x(0) = 1, y(0) = 0, x (0) = 0.2, y (0) = 1.25 Lệnh DSolve[eqn,y,x] cho phép giải phương trình vi phân eqn với y hàm x DSolve[{eqn1,eqn2, },{y1,y2, },x] giải hệ phương trình vi phân {eqni}với {yi } hàm x DSolve[eqn,y[x1,x2, ],{x1,x2, }] giải phương trình đạo hàm riêng eqn với y hàm {xi } Ví dụ: giải phương trình dao động điều hòa tắt dần y [x] + γy [x] + ω02 y[x] == 0, y[x], x DSolve[y [x] + γy [x] + ω02 y[x] == 0, y[x], x]//TraditionalForm 1.8 Đạo hàm tích phân Nghiệm phương trình điều kiện biên nên xuất hai số tích phân C1 C2 Nếu đưa thêm điều kiện biên vào để xác định biên độ DSolve[{y [x] + γy [x] + ω02 y[x] == 0, y[0] == a, y [0] == 0}, y[x], x]//TraditionalForm Giải hệ hai phương trình vi phân DSolve[y[x] == -z’[x], z[x] == -y’[x], y[x], z[x], x] // TraditionalForm Giải phương trình đạo hàm riêng DSolve[D[y[x1,x2],x1]+D[y[x1,x2],x2]==1/(x1*x2),y[x1,x2],x1,x2] Giải toán dao động tử điều hòa kết cặp có phương trình sau: d x1 + 2kx1 − kx2 = dt2 d2 x m + 2kx2 − kx1 = dt m Với ω = k/m điều kiện biên t = ta có dx1 dt = 0; x1 = dx2 dt = 0; x2 = a DSolve[{x1 [t] + ∗ ω ∗ x1[t] − ω ∗ x2[t] == 0, x2 [t] + ∗ ω ∗ x2[t] − ω ∗ x1[t] == 0, x1 [0] == 0, x2 [0] == 0, x1[0] == 0, x2[0] == a}, {x1[t], x2[t]}, t]//TraditionalForm Nếu biểu thức trả chưa có dạng đơn giản ta sử dụng thêm lệnh sau để thu biểu thứ đơn giản ExpandAll[FullSimplify[ExpToTrig[%]]] 1.8 1.8.1 Đạo hàm tích phân Đạo hàm Đạo hàm riêng phần hàm theo biến x thực lệnh D[expr, x] D[expr, {x,n}] cho phép ta tính đạo hàm riêng bậc n theo biến x Ngoài lệnh D[expr, x1,x2, ] cho ta đạo hàm riêng hàm số theo biến x1 x2 Ví dụ: D[x^3*y^2-2*x^2*y+3*x,x,y] −4x + 6x2 y Lệnh Dt[f,x] cho đạo hàm toàn phần hàm f theo x Dt[f] vi phần toàn phần hàm f Ví dụ: D[2*x*f[x^2],x] 2f [x2 ] + 4x2 f [x2 ] Trong Math ký hiệu f đạo hàm hàm f theo x 1.8.2 Tích phân Tích phân bất định hàm f theo biến x cho lệnh Integrate[f,x] Ví dụ: Integrate[1/(x^4-a^4),x] an[x/a] − ArcT2a + Log[a−x] − Log[a+x] 4a3 4a3 Tuy nhiên có tích phân không tính Math trả nguyên dạng Ví dụ: Integrate[x^x,x] 1.9 Tổng, tích, khai triển chuỗi giới hạn xx dx Tích phân xác định hàm f khoảng từ xmin đến xmax cho Integrate[f,{x,xmin,xmax}] tích phân nhiều biến cho Integrate[f,x,xmin,xmax,y,yman,ymax, ] Ví dụ: Integrate[x^2+y^2,{x,0,1},{y,0,x}] 1/3 Mặc dù tích phân xx dx không tính giải tích tính gần phương pháp số ta thu kết số N[Integrate[x^x,{x,0,1}],30] 0.372614862457743843928940942073 Tính tích phân không xác định lại lệnh Integrate √ x8 4x6 − 1dx phương pháp đổi biến, sau thử Integrate[x^8 Sqrt[4 x^6-1],x] newexpr=[x^8 Sqrt[4 x^6-1]dx/.{x->(u/2)^(1/3), dx->D[(u/2)^(1/3),u]} ans=Integrate[newexpr,u]/.u->2 x^3 Chú ý: phương án trên, ta chọn phép đổi biến thông thường u = 2x3 Sau phương án đổi biến suba = Solve[u == x^6 - 1, x][[2]] sub = Solve[u == x^6 - 1, x] y = sub[[2]] newexpr2 = x^8 Sqrt[4 x^6 - 1] dx / y / dx -> D[x / y, u] ans2 = Integrate[newexpr2, u] / u -> x^6 - // TrigToExp Factor[%] ans - ans2 // FullSimplify 1.9 1.9.1 Tổng, tích, khai triển chuỗi giới hạn Tổng Trong Math tổng cho lệnh Sum[f,{i,imin,imax}]; tổng có bước lặp di có dạng Sum[f,{i,imin,imax,di}]; jm ax Tổng lồng imax jm in cho Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}] im in Ví dụ: Sum[x^i*y^j,{i,1,3},{j,1,2}] xy + x2 y + x3 y + xy + x2 y + x3 y Tuy nhiên có tổng Math không tính trả nguyên dạng, ta tính gần lệnh N[Sum[1/(i! + (2*i)!), {i, 1, ∞}], 10] 0.3731973468 Hay Sum[1/(i! + (2*i)!), {i, 1, ∞}] N[%,10] 0.3731973468 1.9.2 Tích Tích chuỗi Πiimax f cho lệnh Product[f,{i,imin,imax}] Tích với bước lặp di cho Product[f,{i,imin,imax,di}] tích lồng Product[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}] 1.9 Tổng, tích, khai triển chuỗi giới hạn 1.9.3 Khai triển chuỗi Lệnh Series[f,{x,x0,n}] cho phép khai triển hàm f thành chuỗi thành phần số mũ (x − x0 ) (khai triễn Taylor) số mũ thứ n Chuỗi kép cho lệnh Series[f,{x,x0,nx},{y,y0,ny}] Series[f[x],{x,0,5}] Series[eSin[u] , {u, 0, 7}] 1.9.4 Giới hạn Lệnh Limit[f,x->x0] cho phép xác định giới hạn hàm f x tiến x0 Lệnh Limit[f,x->x0, Direction->1] cho giới hạn hàm f x tiến x0 từ phía trái Lệnh Limit[f,x->x0, Direction->-1] cho giới hạn hàm f x tiến x0 từ phía phải Ví dụ: Limit[Sin[x]/x,x->0] Limit[Tan[x],x->Pi/2, Direction->1] ∞ Ý nghĩa hình học khai triển Taylor Trong khai triển Taylor hàm số điểm x0 cho trước, xác phụ thuộc vào số hạng chuỗi, thấy điều qua ví dụ sau: Khai triển hàm f (x) = cos(cosh(x)) điểm x0 = với số hạng, vẽ hệ trục tọa độ hàm f (x) hàm xấp xĩ chuỗi Taylor đoạn [0, 4] 3.2 Các tùy chọn 16 Hình 3.10: Khi PlotStyle chứa list con, ta kết hợp đặc điểm khác cho đồ thị Hình 3.11: Khi sử dụng Option PlotRange tính mặc định không nữa, đường cong bị cắt phần tùy vào việc chon Range bạn Hình 3.12: Sử dụng Option ClippingStyle để tự động vẽ đường gạch đứt nơi đường cong bị cắt khỏi đồ thị Hình 3.13: Sử dụng ClippingStyle định nghĩa phong cách cho phần bị cắt bớt phía dười phía đồ thị 3.2 Các tùy chọn 17 Hình 3.14: Sử dụng Option Filling để tô màu cho phần diện tích giới hạn đường cong chúng với trục x đồ thị Hình 3.15: Sử dụng Option Filling để tô màu cho phần diện tích giới hạn đường cong chúng với trục x đồ thị 3.3 Đồ thị chiều Đồ thị chiều làm quay chỗ cách rê chuột vào bên hình vẽ Việc rê chuột kéo bên hình vẽ làm cho chiều đồ thị bị rối tung lên, việc rê chuột đường viền hình vẽ làm cho hình vẽ soay mặt phẳng hình Rê chuột giữ phím Shift làm cho hình vẽ quát ngang qua hình Sử dụng phím Ctrl để zoom Có nhiều Option cho đồ thị chiều Mathematica Ở tìm hiểu qua số Option Trong đồ thị chiều điểm quan sát mặc định {1.3,-2.4,2} nhiên chọn điểm quan sát khác Option ViewPoint, ví dụ như: 3.3 Đồ thị chiều 19 Hình 3.16: Các Option đồ thị 3D Hình 3.17: Lệnh vẽ lại hình vẽ vừa với lựa chọn thay đổi Option với PlotRange phần bề mặt khoảng −0.5 ≤ z ≤ 0.5 nhìn thấy 3.3 Đồ thị chiều 20 Hình 3.18: Trong đồ thị chiều điểm quan sát mặc định {1.3,-2.4,2} nhiên chọn điểm quan sát khác Option ViewPoint Hình 3.19: Với điểm quan sát trực tiếp từ phía trước Hình 3.20: Điểm quan sát từ phía 3.3 Đồ thị chiều 21 Hình 3.21: Các lựa chọn điểm quan sát Hình 3.22: Đồ thị vẽ với lựa chọn mặc định rendering cho bề mặt Hình 3.23: Hình vẽ cho thấy bề mặt đồ thị mesh drawn Thường khó nhìn thầy dạng bề mặt mesh 3.3 Đồ thị chiều 22 Hình 3.24: Có thể lựa chọn ảnh trằng đen Hình 3.25: Hoặc lựa chọn màu cho đồ thị 3.4 Đồ thị theo tham số Trong Mathematica vẽ đồ thị theo tham số Trong parametric Plot, cho hai tọa đọ x y điểm hàm tham số thứ 3, thường đặt t ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,tmin,tmax}] lệnh tương tự trường hợp chiều ParametricPlot2D[{fx,fy},{t,tmin,tmax}] Trong trường hợp Math tạo loạt điểm liên tục cách thay đổi tham số t, sau tạo đường cong cách nối đi63m lại với nhau, ParametricPlot2D tạo đường cong mặt phẳng chiều, ParametricPlot3D tạo đường cong không gian chiều ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,tmin,tmax},{u,umin,umax}] thay đường cong, tạo mặt không gian chiều Nói chung tạo nên nhiều bề mặt phức tạp khác từ lệnh ParametricPlot3D, rường hợp bạn nghĩ bề mặt tạo nên cách "bóp méo" "lăn tròn" hệ tọa độ t–u theo cách 3.5 Vẽ đồ thị dạng liệu data 3.6 Một số dạng khác đồ thị 3.6 Một số dạng khác đồ thị 24 3.6 Một số dạng khác đồ thị 25 Hình 3.26: Có thể tạo mặt hình trụ cách thay đổi tham số t thu đường tròn mặt phẳng x-y, đồng thời thay đổi u để di chuyển đường tròn dọc theo trục z 3.6 Một số dạng khác đồ thị 26 Hình 3.27: Thay đổi u để thu đường tròn, đồng thời biến đổi t để quay đường tròn nảy quanh trục z tạo torus, tương tự ta tạo mặc cầu Hình 3.28: Tạo bảng t=Table[i2 ,{i,10}]>{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100} vẽ đồ thị biểu diễn bảng 3.6 Một số dạng khác đồ thị 27 Hình 3.29: Tạo bảng t=Table[i2 ,{i,10}]>{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100} vẽ đồ thị biểu diễn bảng Hình 3.30: Tạo bảng t=Table[i2 ,{i,10}]>{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100} vẽ đồ thị biểu diễn bảng 3.6 Một số dạng khác đồ thị Hình 3.31: Tạo bảng t=Table[Mod[x,y],{x,30},{y,20}] vẽ đồ thị biểu diễn bảng 28 3.6 Một số dạng khác đồ thị 29 Hình 3.32: Một số dạng khác đồ thị 3.6 Một số dạng khác đồ thị Hình 3.33: Tạo list 10 số nguyên tố tiên vẽ đồ thị biểu diễn chúng 30