Kỹ thuật f tik VNC team

KỸ THUẬT ÉP TÍCH CƠ BẢN Viet Nam CASIOer Team∗ Lâm Minh - Administrator Ngày tháng năm 2016 CÁC KỸ THUẬT F-TIK CƠ BẢN Đây hầu hết kỹ thuật công khai mạng, phương pháp tới phổ biến có nhiều người nghiên cứu, nói vắn tắt, việc cụ thể hóa toán mời bạn xem phần giải tập mẫu 1.1 Liên hợp ngược Đây kỹ thuật F-tik phổ biến nhất, việc thực đơn giản, trị PT thức dạng: u(x) + v(x) f (x) = (Tất nhiên phải tìm nhân tử) Đối với PT nhiều hơn, chẳng hạn dạng: u(x) + p(x) f (x) + q(x) g(x) + r(x) f (x)g(x) = phức tạp chút ta có nhiều lựa chọn liên hợp ngược, luyện tập nhiều quen lựa đường biến đổi đơn giản 1.2 Chia biểu thức chứa Đây kỹ thuật đặc trưng CASIO, ta phải đụng đến giấy bút, kiểu cuối để hỗ trợ cho việc chia máy nhanh tốt Hiện có cách để chia căn, là: ) Áp dụng CT đổi dấu trước CT đưa Bùi Thế Việt, xem đây: http://vietnamcasioerteam.blogspot.com/2016/02/hot-phuong-phap-moi-phan-tich-bieu-thuc.html Phương pháp hay, chưa mạnh việc gán giá trị X không thực tập xác định x không mong muốn, trường hợp bạn áp dụng ý tưởng sau: http://vietnamcasioerteam.blogspot.com/2016/05/hot-y-tuong-chia-can-moi-kha-hay.html ) Áp dụng CT số phức CT Đỗ Hoàng Việt, xem đây: http://vietnamcasioerteam.blogspot.com/2016/02/hot-phuong-phap-moi-phan-tich-bieu-thuc.html ) Sử dụng đồng hệ số Ta thay giá trị x thích hợp vào (cái biết rồi!) Có thể phải kết hợp giấy nháp để hỗ trợ máy tìm hệ số Việc chia biểu thức chứa f (x) (bậc lẻ nói chung) CASIO khó, PT chứa bậc 3, phương pháp sử dụng CT số phức ĐH.Việt khả thi, CT ta thay toàn f (x) i không cần quan tâm đến giá trị Tuy nhiên gặp f (x), hướng mà nhiều người nghĩ đến đặt ẩn phụ ∗ Team nghiên cứu kỹ thuật CASIO chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán 1.3 Đặt ẩn phụ ) Đặt hoàn toàn Trước hết, ta thấy kỹ thuật khả dụng PT chứa nhị thức bậc nhất: √ n ax + b, đa thức bậc cao phải xem thứ bên có may mắn rơi vào trường hợp "đẹp" không đặt Ngoài việc làm giảm bớt PT chứa nhiều căn, biến nghiệm √ x0 từ hữu tỉ (là loại nghiệm gây khó khăn cho việc tìm nhân tử xác có 1) thành vô tỉ: t0 = n ax0 + b, giúp ta tìm nhân tử cho PT ẩn t ) Đặt không hoàn toàn Đây phương án gỡ nốt vướng mắc việc "cố" đặt hoàn toàn, tất đa thức bậc từ trở lên, việc chấp nhận để lại ẩn x (PT nhiều ẩn) 1.4 Đặt nhiều ẩn phụ Cũng có loại: ) Đặt hoàn toàn ) Đặt không hoàn toàn 1.5 Ghép nhân tử Đây kỹ thuật không đảm bảo cho lắm, chủ yếu dựa vào việc so sánh bậc PT ban đầu bậc nhân tử tìm kiểm tra lại độ trùng khớp, đòi hỏi nhân tử phải xác, không hay áp dụng Câu số 21 phần tập mẫu câu sử dụng kỹ thuật này, F-tik kinh điển! Lưu ý lại bậc n f (x), kí hiệu là: deg n f (x) = deg f (x) n CÁC KỸ THUẬT TÌM NHÂN TỬ Việc tìm nhân tử đóng vai trò quan trọng việc F-tik, không đơn giản để tìm nhân tử, nghiệm có "độ xấu" cao! Đối với nghiệm hữu tỉ, có khó tìm nhân tử xác, đổi lại ta Ép PT theo nhân tử tự chọn có vô số cách Ép, nói chung loại biết xử lí Nhắc lại chút, "nhân tử xác" nhân tử mà chia PT cho cho nhân tử chia hết Nếu không chia hết, ta phải nhân thêm PT với biểu thức α(x) để chia hết (như câu 1, 8, 10, 13, phần tập mẫu) Việc tìm α(x) phải dựa vào liên hợp ngược, hay áp dụng liên hợp ngược để F-tik biết Ở nhắc lại số kỹ thuật tìm nhân tử cho nghiệm vô tỉ 2.1 Các dạng nghiệm tìm nhân tử √ Dạng nghiệm x = a ± b c Đây dạng nghiệm PT bậc nên việc xuất đề thi Toán chuyện bình thường Cách chuẩn để tìm dạng từ dạng "số điện thoại" Viet đảo, với điều kiện phải tìm "nghiệm liên hợp" PT nghiệm liên hợp nghiệm PT bậc đó, PT không chứa nghiệm ta phải đổi dấu trước PT (căn được), để dò nghiệm liên hợp lại Dấu hiệu để nhận nghiệm có dạng đơn giản, tổng tích Viet đảo chúng số S = 2a đẹp (hữu tỉ): P = a2 − b2 c Dạng nghiệm x = ± √ a±b c Đây dạng nghiệm PT bậc 4, đề thi ĐH loại Nghĩa có thành phần tổng tích Viet đảo số vô tỉ, nghiệm rơi vào dạng này, √ √ a+b c+ a−b c S=± thành phần vô tỉ có dạng dạng nghiệm trường hợp 1: √ P = a2 − b2 c Để dò nghiệm dạng tất nhiên ta phải dò dạng thành phần vô tỉ trên, việc sử dụng TABLE tốt √ √ Ta thấy, S hữu tỉ a ± b c = (m ± n c) , mặt khác √ S = 2a + a2 − b2 c = 2(a + P ) P = a2 − b2 c Vậy thấy P hữu tỉ chắn dạng √ √ Dạng nghiệm x = a + b c ± d ± e c Dạng PT bậc 4, mở rộng dạng trên, chưa thấy đề thi bao giờ, chủ yếu dành cho kẻ thích nghiên cứu F-tik giải PT đa thức  √ S   √ a + b c =  S = (a + b c)  2 ⇔ Tổng quát ta có: √ √ √ S P = (a + b c)2 − (d ± e c) =  −d∓e c   d ± e√c = S − P 4 2 Vậy dạng S lẫn P số vô tỉ, nhiên việc tìm chúng làm TABLE Nói thêm chút, PT bậc ta cần thu nghiệm mò PT bậc đó, biết nghiệm dạng PT bậc liệu có tìm PT đó? Xét trường hợp: √ √ x =a+b c+ d+e c √ √ ) nghiệm biết x2 = a + b c − d + e c  √ S1 = (a + b c) Ta có: P1 = (a + b√c)2 − (d + e√c) = S1 − d − e√c chứa nghiệm này, nghĩa biết số e c nên sử dụng TABLE mò nhân tử bậc  √ S2 = S1 d−e c √ có  P2 = S − d + e √ c d−e c Vậy ta tìm nhân tử bậc 2, nghĩa tìm PT bậc ban đầu √ √ x =a+b c+ d+e c √ √ ) nghiệm biết x2 = a + b c + d − e c √ √ √ S1 = (a + b c) + d + e c + d − e c √ √ √ √ Ta có: P1 = a + b c + d + e c a + b c + d − e c √ x =a+b c+ √ Mặt khác nghiệm lại x4 = a + b c − ⇒ (P2 − P1 )2 = 4e2 c Rõ ràng biết nghiệm khó tìm PT bậc gốc Nếu cho a = b = ta dạng nghiệm đề cập: ⇒ S12 = 2(d + P1 ) ⇔ d = S12 − P1 ⇒ e2 c = d2 − P12 Nhân tử lại ứng với S2 = −S1 P2 = P1 √ d ± e c, lúc √ S1 = d + e c + √ P1 = d2 − e2 c √ d−e c , xong! Đây nói thêm để bạn nghiên cứu, thực tế mò nghiệm ta dùng Viet bậc không chơi kiểu tìm nhân tử bậc Nhược điểm chung dạng nghiệm vô tỉ mò dạng đủ nghiệm liên hợp Ngoài có nghiệm dạng lượng giác, chưa có kỹ thuật CASIO để mò dạng này, thường xuất đề thi HSG phải lượng giác hóa PT từ đầu 2.2 Cách sử dụng TABLE ) Muốn sử dụng tốt TABLE cần phải biết linh hoạt, thay đổi biểu thức f (X) nhập vào tùy tình VD tìm PT bậc chứa nghiệm vô tỉ PT ban đầu lưu vào A, ta có cách nhập TABLE: f (X) = αA2 + XA; f (X) = αA2 + X αA + X ; f (X) = A A2 α hệ số nguyên ta tự điều chỉnh khoảng nhỏ [1; 5] Nếu giá trị X0 ta thu f (X0 ) số hữu tỉ, ứng với cách nhập trên, PT bậc thu là: αA2 + X0 A − f (X0 ) = 0; αA2 − f (X0 )A + X0 = 0; f (X0 )A2 − αA − X0 = Việc tìm nghiệm thực chất không ứng dụng cho việc tìm nhân tử PT vô tỉ, mặt khác PT đa thức ta có nghiệm liên hợp nên dùng Viet đảo thay TABLE Đôi khi, từ nhân tử dạng PT bậc để suy nhân tử chứa PT vô tỉ, hầu hết không làm thế, thay vào từ nghiệm A ta tìm trực tiếp nhân tử chứa ) Các bạn biết cách nhập thông dụng sau đây: f (X) = α f (A) + XA f (X) = α f (A) + X g(A) dùng để tìm nhân tử có dạng tương ứng: α f (x) + ax + b α f (x) + a g(x) + b α f (x) + a Nhưng chưa có cách tổng quát để tìm dạng: α f (x) + ax2 + bx + c g(x) + bx + c Đây dạng dễ gặp F-tik Nói chung, TABLE tìm biểu thức mà có nhiều hệ số cần tìm ) Nhân tử α f (x) + ax2 + bx + c phù hợp với dạng nghiệm (vì liên hợp thu PT bậc 4, với deg f (x) ≤ 4), ta sử dụng TABLE với f (X) = α f (A) + βA2 + XA để tìm nhân tử này, phần lớn β = 1, cần chỉnh α ∈ [1; 5] dạng khác Tương tự, để tìm nhân tử dạng α f (x) + a g(x) + bx + c nhập f (X) = α f (A)+β g(A)+XA Thầy Võ Trọng Trí có xây dựng công thức để chống việc mò mẫm số α trên, phức tạp, đặt vào tình thực tế cách chỉnh α đơn giản chiếm xác suất thành công đến 70% ) TABLE có tác dụng kiểm tra xem nghiệm PT F (x) = có bội mấy: PT F (k−1) (x) = có nghiệm kép x0 , x0 nghiệm bội k PT ban đầu, ta tính F (k−1) (x) sử dụng TABLE 2.3 Nhân tử cho nghiệm bội Nghiệm bội kiểm tra đạo hàm nhân tử tìm đạo hàm, công thức tổng quát để −−−−→ f (i) (x0 ) = i = 0, k − kiểm tra xem PT F (x) = chứa nghiệm x0 bội k là: f (k) (x0 ) = Như nghiệm bội k ta phải đạo hàm PT tay k − lần kiểm tra  −−−−→ F (x)   lim = i = 1, k −   x→x0 (x − x0 )i Ngoài ra, kiểm tra TABLE mục dùng CT giới hạn:   F (x)    lim =0 x→x0 (x − x0 )k Nghiệm kép nhân tử là: α f (x) + ax + b α Nghiệm bội nhân tử là: α f (x) + a f (x) + ax2 + bx + c α g(x) + b f (x) + a Hầu biết tìm dạng qua việc giải hệ F (i) (x0 ) = g(x) + bx + c −−−−→ i = 0, k − rồi, nên phải bàn thêm 2.4 Nhân tử vô nghiệm Việc F-tik PT vô nghiệm chưa thể dựa vào tìm nhân tử (vì có nghiệm quái đâu mà tìm!), dạng có sẵn công thức Ép Tuy nhiên, có số nguyên tắc Ép PT vô nghiệm, chẳng hạn 4, 12 phần tập mẫu Đó đặt ẩn phụ, việc đặt ẩn phụ tác dụng giảm căn, biến PT từ vô nghiệm thành có nghiệm, điều xảy đặt ẩn phụ phải chứa phần điều kiện PT gốc, đặt ẩn điều kiện cũ phá bỏ PT Có thể xem khoảng xác định mở rộng thu nghiệm Chẳng hạn sau đặt ẩn phụ, PT vô tỉ ban đầu chuyển thành PT đa thức ẩn, việc F-tik PT đa thức bàn (nếu Ép chứng tỏ PT đầu không F-tik được, kỹ thuật sai) Ngoài ra, đổi dấu trước F-tik giải pháp, dấu đổi phải ngược lại PT sau F-tik Và PT sau đổi dấu có nghiệm, ta cần F-tik đổi lại dấu tương ứng kết F-tik cho PT ban đầu Lưu ý bước kiểm tra lại CALC 2.5 Một số kinh nghiệm khác Nhìn chung lý thuyết có nhiêu phía thôi, muốn có kinh nghiệm cần phải luyện tập nhiều Sau số kinh nghiệm xử lí số vô tỉ: ) Lũy thừa lên Ngay mục 2.1 cho thấy bạn cần phải thử phép bình phương số vô tỉ thu để xem có dò dạng đẹp hay không ) Nhìn phần thập phân đoán √ Các bạn lập hẳn bảng riêng giấy liệt kê phần thập phân √ dạng ; ; , trình làm tra bảng bổ sung, cảm số số vô tỉ hay gặp 2 thấy quen thuộc nhiều số xấu ) Tìm liên quan thử phép tính cộng trừ nhân chia Mỗi số vô tỉ nhận liên quan đến số trước đó, thử đem số biết cộng trừ nhân chia với số này, kết hợp với kinh nghiệm để dò dạng CÁC VÍ DỤ MẪU Các lấy chủ yếu diễn đàn k2pi, số group CASIO Facebook, lại zuni.vn, tự giải theo cách Cách chi tiết F-tik, có thêm nhiều cách khác 3x − Ví dụ 2x − + √ =0 − 2x2 + − x √ ĐK: |x| ≤ F-tik chỗ chơi cho phân thức, trước hết ta quy đồng lên: √ PT ⇔ 2x2 − 10x + − (2x − 3) − 2x2 = Dễ thấy nghiệm đơn x = 1, tạo vô số nhân tử, chọn đơn giản − tiến hành LHN (liên hợp ngược): √ − 2x2 PT ⇔ 2x2 − 12x + 10 + (2x − 3) − √ √ √ Ta có: − − 2x2 + − 2x2 thêm PT với (x + 1) LHN được: − 2x2 = = 2(x − 1)(x + 1), mà 2x2 − 12x + 10 = 2(x − 1)(x − 5), cần nhân PT ⇔ (x + 1)(2x2 − 12x + 10) + (x + 1)(2x − 3) − ⇔ (x − 5) − ⇔ 1− √ √ − 2x2 − 2x2 1+ √ √ − 2x2 = − 2x2 + (x + 1)(2x − 3) − √ − 2x2 = √ √ 2x2 − + (x − 5) − 2x2 = ⇔ − 2x2 − = ⇔ x = √ 6 ; < ∀x ∈ − 2 √ √ Dễ thấy 2x − + (x − 5) − 2x2 Cách khác: liên hợp bình phương đơn giản Bình luận: PT việc nhân thêm đáng nói, có vô số cách để nhân thêm, toán PT mà BPT ta cần lựa biểu thức nhân thêm không đổi dấu TXĐ x, đỡ phải đánh giá biểu thức nhân thêm, mục tiêu ta F-tik Ví dụ 8x2 + 3x − + 4x2 + x − √ x+4=0 ĐK: x ≥ −4 X = −0, 8827822185 Solve nghiệm đơn vô tỉ, nghiệm liên hợp: Do sử dụng TABLE tìm X = 0, 5687293044 √ √ nhân tử 2x + x + 2x + − x + Chia nhân tử lại + Vậy: PT ⇔ + √ x+4 2x + √ √ x+4 x+4  1− √ 65 x=  √  2x + − x + = ⇔  ⇔ √ √  2x + − x + = −3 + 57 x=  2x + √ x+4=0 Cách khác: bình phương √ Ví dụ 6x3 + 15x2 + x + − 3x2 + 9x + x2 − x + =  X = 0, 4342585459 √ Ta tìm nghiệm đơn:  X = −2, 618033989 , nghiệm vô tỉ thuộc nhân tử 2x − x2 − x + X=0 √ 2x + + x2 − x + √ 6X + 15X + X + − 3X + 9X + X − X + √ √ Tiến hành chia căn: 2X − X − X + 2X + + X − X + √ √ Cho X = −1 −1 − 3, cho tiếp X = 1000 tính Ans + X − X + = 2001 = 2X + Vậy: √ x2 − x + √ x2 − x + 2x + − √  −1 + 13 √  2x − x2 − x + = x =     √ √  ⇔ 3+  2x + + x − x + = ⇔   x = −   √  2x + − x2 − x + = x=0 PT ⇔ 2x − 2x + + Cách khác: bình phương √ x2 − x + = Bình luận: việc chia trên, bạn áp dụng CT BT.Việt phương pháp thành công (khi có ý tưởng Hoàng Xuân Tuyển), trường hợp lâu đồng hệ số, tốt thử đồng trước (quen việc thử giá trị nguyên nhanh thôi), không gán 1000 √ √ Ví dụ (x + 2) x2 − 2x + = (x − 1) x2 + 4x + ĐK: x ≤ −2 x≥1 Bài thú vị chỗ vô nghiệm, không sao, có cách xử lí dễ dàng √ x2 − 2x + = a ≥ 1 √ , PT trở thành: a(b2 − a2 + 9) = b(b2 − a2 − 9), ta dễ dàng phân tích: Đặt 6 x2 + 4x + = b ≥ PT ⇔ (a + b)(a − b + 3)(a − b − 3) = √ √ √ √ √ √ ⇒ x − 2x + + x2 + 4x + x2 − 2x + − x2 + 4x + + x2 − 2x + − x2 + 4x + − = Ngoài ra, ta đổi dấu trước căn, PT có nghiệm − , suy nhân tử PT đổi dấu √ √ √ √ x2 − 2x + − x2 + 4x + , PT ban đầu có nhân tử x2 − 2x + + x2 + 4x + Cách khác: bình phương, đánh giá hàm số sau: (x − 1)2 + (x + 2)2 + = x−1 x+2 √ t +3 Xét hàm f (t) = nghịch biến, với x − < x + ⇒ f (x − 1) > f (x + 2) ⇒ PT cho vô nghiệm t PT ⇔ Bình luận: thực thi dám cá không đến 1% số người nghĩ đến việc F-tik PT vô nghiệm, thứ điều không chắn làm được, thứ hầu hết có phương pháp khác nhanh F-tik để xử PTVN Ngay việc định F-tik phòng thi Ép dễ dàng mà Nói tóm lại, việc F-tik PTVN hay có nghiệm khủng làm nhà, dùng để "giải trí" đánh đố cho vui! Còn thi có liên hợp, hàm số bình phương ổn Ví dụ x3 + 22x2 − 11x − x2 + 2x − ĐK: x ≥ √ 2x − = Tương tự VD2, VD3: PT ⇔ x − √ 2x − √ x − 2x −   √ x=1 x − 2x − =     √ √ √  x − 2x − = ⇔  x − 2x − = ⇔ x = ±   √ √ x − 2x − = x=9±6 Cách khác: bình phương + = √ √ x + 11 3+ x+2 + −5x − 1 ĐK: −2 ≤ x ≤ − √ √ nghiệm −2; −1 tìm nhân tử x + + −5x − − Ví dụ √ √ PT ⇔ 12x + 51 + (2x − 5) x + + (2x − 5) −5x − − (−5x − 1)(x + 2) = Bây ta chia căn, phương pháp đồng hệ số hay CT số phức Việt Kynl thất bại! Do ta dùng U − V − W − T BT.Việt kết hợp với ý tưởng Hoàng Xuân Tuyển Vào MODE (số phức), tính giá trị phép chia X = 1000 kết 136, 0522278 − 100, 7236318i → A Đổi dấu trước Đổi dấu trước √ √ X + 2123, 944726 − 318, 2298697i → B −5X − 1839, 055274 + 318, 2298697i → C Đổi dấu trước 2123, 944726 + 318, 2298697i → D A+B+C +D 3963 4X − 37 A+C −B−D √ = = ;V = =− 2 X +2 A+B−C −D A+D−B−C √ W = =− ;T = =0 −5X − (X + 2)(−5X − 1) √ √ √ √ √ √ x = −2 x + + −5x − − 4x − 37 − x + − −5x − = ⇔ x + + −5x − − = ⇔ PT ⇔ x = −1 √ √ Rõ ràng 4x − 37 − x + − −5x − < ∀x ∈ −2; − Vậy: U = √ √ Ví dụ 4x2 + (2x − 5) 4x + + 17 = 4x + (2x + 3) − 4x ĐK: − ≤x≤ 2 √ √ − 4x + 4x + − , thứ lại giống Dò nghiệm kép x = nên dễ dàng tìm nhân tử VD6: √ √ √ √ − 4x + 4x + − 32 − (2x − 9) 4x + + (2x + 7) − 4x + (4x + 2)(6 − 4x) = √ √ ⇔ − 4x + 4x + − = ⇔ x = √ √ Rõ ràng 32 − (2x − 9) 4x + + (2x + 7) − 4x + (4x + 2)(6 − 4x) > ∀x ∈ − ; 2 PT ⇔ Ví dụ x3 + = 3x2 + √ x+2 √ Có tới nghiệm: x = −2; x = −1; x = 6; x = −2 ± 2 nên dễ dàng tìm nhân tử, trước tiên nên tìm nhân tử cho nghiệm vô tỉ trước √ Dễ thấy nghiệm vô tỉ có chung nhân tử x + − x + , nhân tử lại chứa nghiệm −2, √ cho nghiệm lại thuộc nhân tử dùng hệ bậc dễ dàng tìm x + − x + PT cho có bậc√3, nhân tử tìm bậc 1, phải nhân tử thứ vô nghiệm bậc nhất, nghĩa dạng ax + b + c x + √ Nhưng nhân tử cần tìm vô nghiệm ax + b + c x + = ⇔ (ax + b)3 = −c3 (x + 2), PT bậc (nếu a = 0) bậc (nếu a = 0) nên có nghiệm thực Vậy nghiệm −1 phải thuộc nhân tử khác nhau, giả sử sau F-tik PT là: √ √ √ a1 x + b1 + c1 x + a2 x + b2 + c2 x + x + − x + = Khi khai triển ta hệ số bậc a1 a2 = 1, chọn a1 = a2 = cho đẹp, đồng thời thay nghiệm vào suy b1 = − c1 , b2 = −2c2 − 6, ta được: √ √ √ x3 + − 3x2 + x + 3 √ x + − c1 + c1 x + x − 2c2 − + c2 x + = x+2−23x+2 √ X + − 3X + X + √ Ta đồng hệ số để tìm c1 , c2 : nhập sau cho giá trị X để lập hệ Chọn X +2−23X +2 −10 −2 cho đẹp Thay X = −10 ta (−9 − 3c1 )(−16 − 4c2 ) = 96 ⇔ (c1 + 3)(c2 + 4) = (1) √ Nhưng X = −2 thay trực tiếp nghiệm nhân tử x + − x + , ta thay X = −2+10−10 , thu (−c1 − 1)(−2c2 − 8) = ⇔ (c1 + 1)(c2 + 4) = (2) Chia (1) cho (2) thu c1 = ⇒ c2 = −2 Vậy:  PT ⇔ x + √ x+2 x+ √  x+2=0 x = −1   x = √ √ 3  x+2−2 x+2 =0⇔ x − − x + = ⇔ x = −2  √ √ x = −2 ± 2 x+2−2 x+2=0 √ x−2−23x+2 Ok! Bài nói chung dễ, nhiên khó hay, thực ta F-tik với số nhân tử gấp đôi trên, nghĩa tới tận nhân tử Các bạn thấy hay khai thác cách F-tik ẩn phụ đây: √ Đặt x + = t ⇔ √ x = t − 2, PT trở thành t − 3t − 6t + 12t + 12t − 16t = 0, có nghiệm t = 0; t = 1; t = 2; t = ± nên dễ dàng phân tích thành: t(t − 1)(t − 2)(t2 − 2)(t4 + 3t3 + 6t2 + 6t + 4) = Đa thức bậc vô nghiệm, ta thử phân tích thành tam thức bậc xem Cách đơn giản mò TABLE, hệ số bậc hệ số tự có số ước Ai chưa biết mò xem đây: http://vietnamcasioerteam.blogspot.com/2015/12/co-le-phai-gan-5-thang-sau-khi-xuat-ban.html Gán A = 100 sau TABLE nhập f (X) = A4 + 3A3 + 6A2 + 6A + , cho X chạy khoảng [−14; 14] ta không A2 + XA + tìm giá trị nguyên f (X) A4 + 3A3 + 6A2 + 6A + , lần thu giá trị nguyên: A2 + XA + 2 f (1) = 10202 = A + 2A + f (2) = 10102 = A2 + A + Do đó, sửa lại: f (X) = Vậy: t4 + 3t3 + 6t2 + 6t + = (t2 + 2t + 2)(t2 + t + 2) = (t + 1)2 + Tức là: PT ⇔ t(t − 1)(t − 2)(t2 − 2) (t + 1)2 + PT ⇔ √ x+2 √ x+2−1 √ x+2−2 t+ 2 + √ (x + 2)2 − t+ 2 + = 0, thay ngược t = x+2+1 +1 √ √ x + dãy tích đẹp: x+2+ 2 + =0 Cách khác: lập phương vế đưa PT đa thức bậc Bình luận: loại nhiều nghiệm đẹp này, sử dụng ẩn phụ cách F-tik triệt để (ra tối đa số nhân tử) Nói riêng, có f (x), chia khó, nên dùng ẩn phụ đưa PT đa thức hợp lí Ví dụ √ 3x − 2x2 − 5x + √ x−1+ = √ 2x − 3 ≤x=2 √ √ √ PT ⇔ 16 2x − − x − = 3x − 2x2 − 5x + √ √ 2x − − x − + 16(x − 2) ĐK: √ 2x − − √ x−1+2 Ta mò X = 26 X = 6, 610958788 → A, nghiệm vô tỉ nhìn không đẹp Thực vậy, TABLE với f (X) = αA2 + XA (α ∈ [1; 5]) ta không mò PT bậc chứa Khả nghiệm căn, muốn tìm cần đổi dấu trước để kiếm nghiệm liên hợp nó: √ ) Đổi dấu trước 2x − X = 5, 296644362 → B ) Đổi dấu trước √ x − X = X = 1, 506790218 → C ) Đổi dấu trước X = 138, 5856066 → D Trường hợp nguyên vô tỉ PT ban đầu, ta quan tâm trường hợp trước, liệu C có nghiệm liên hợp với nghiệm PT cho? √ √ Nhận thấy (AC)2 xấu, có lẽ dạng x = a +b c ± d ± e c, lý thuyết S P dạng √ S = (a + b c) , nhiên ta làm sau: tìm chúng có kiểu nghiệm PT bậc 2:  P = S − d ∓ e √c 4√     A + B + C + D = 152 A + C = 76 − 48        (A + C)(B + D) = 1168  B + D = 76 + 48√2 √ Ta thấy: , ⇒   AC = 93 − 64 ABCD = 7312     √    AC + BD = 744  BD = 93 + 64 √ √ √ A + C = 76 − 48 A = 38 − 24 + 139 − 98 √ √ √ ⇒ AC = 93 − 64 C = 38 − 24 − 139 − 98 Qua bước giải nghiệm muốn nhắc lại cách giải loại PT bậc mà thôi, dạng đẹp không giúp ích cho việc tìm nhân tử PT đề cho! Tìm nghiệm kiểu đáng để làm trò giải trí! √ √ Ta lấy nghiệm A C để lập hệ tìm nhân tử dạng a + b 2x − + x − , lưu ý C nghiệm PT đổi dấu nên hệ là: √ √ a + b 2A − + A − = √ √ a + b 2C − − C − = ⇒ nhân tử cần tìm: √ x−1− √ √ √ √ √ √ C −1+ A−1 √ ⇒b= √ = −1 ⇒ a = 2C − + C − = −2 + 2 2C − − 2A − √ 2x − − + 2 √ √ Tương tự, ta sử dụng nghiệm B D để tìm nhân tử thứ α + β 2x − + x − , lưu ý B D nghiệm PT nhân tử tìm vô nghiệm PT ban đầu: √ √ α − β 2B − + B − = √ √ α − β 2D − − D − = ⇒ √ x−1− √ ⇒ β = −1 √ α = −2 − 2 √ 2x − − − 2 nhân tử vô nghiệm cần tìm Nhân tử cuối chứa nghiệm 26 chia xong, bạn tự chia: √ √ √ √ √ √ √ 2x − − x − − 2 − 2 + 2x − − x − + 2 + 2x − − x − = √  x = 26 2x − − x − − =  ⇔ ⇔ √ √ √ √ √ − 2 + 2x − − x − = x = 38 − 24 + 139 − 98 PT ⇔ √ √ Bình luận: nhờ có CASIO, học sinh ngày giải PT có nghiệm phức tạp (và đặc biệt có Việt Nam!) Sau đọc câu bạn thử full VD21 xem sao, loại nghiệm thế, F-tik dễ gây "nhụt chí" cho phần lớn người có ý định full sau chiêm ngưỡng tích! Và chọn làm ảnh bìa cho group CASIOer: F-tik PT - BPT - HPT Vô Tỷ Nói dễ lắm! √ 3√ Ví dụ 10 x − 3x + + x + x2 + = √ √ 3− 3+ ĐK:  √ √ ⇔ 3x − + 3x2 − Ví dụ 19 √ √ x + − x2 − √ √ + 15 1 ≤ x < √  >0⇔ x + − x − > ⇔ √ √  − 15 < x ≤ −1 √ √ x2 + + (x − y + 1) x2 + = (x + 1)y (2x + 3) 3x + y + + = 2x 16y − 13 + √ √ √ PT1 ⇔ y − x2 + x + + x2 + = ⇔ y = x2 + √ √ ⇒ PT2: (2x + 3) x2 + 3x + + = 2x 16x2 + + √ √ ⇔ (6x + 3) (2x + 3) x2 + 3x + + = 2x(6x + 3) 16x2 + + ⇔ √ √ 16x2 + − x2 + 3x + 6x(2x + 1) +  ⇔ √  √ 16x2 + − x2 + 3x + = ⇔   x=− x= Ví dụ 20 x3 + 2x2 − 6x + 12 = 3 √ √ 16x2 + + x2 + 3x + 3 9(x + 2) 12 1+ √ x2 + 3x + =0 ⇔ (x + 26) x3 + 2x2 − 6x + 12 = 3(x + 26) 9(x + 2) ⇔ x + − 3 9(x + 2) x + 26 + (x + 4) 81(x + 2)2 + (x + 8) 9(x + 2) + (x + 8)2 =0 ⇔ x + − 3 9(x + 2) = ⇔ x = √ √ x + + x2 + + x  X = −0, 3540065019 → A  X = −0, 3542486889 → B Solve, ta thu được: X = −8, 474420623 → C Ví dụ 21 12 + √ 3x2 + + 2 x + = Thử tích tổng nghiệm, ta thấy AC = A + C vô tỉ, nghiệm rồi! Gán A + C √ → D sau vào TABLE nhập f (X) = D2 + XD tìm f (12) = −28, nghĩa D2 + 12D + 28 = ⇒ D = −6 − 2 Từ suy ra: A = −3 − √ √ 8+6 √ 8+6 2+ √ C = −3 − − Đối với nghiệm B, ta vào TABLE nhập f (X) = B + XB dễ dàng tìm B = −3 + √ Nghiệm B trông đơn giản ta nên tìm nhân tử cho nghiệm "có đôi" trước, A C, giả sử √ nhân tử 3x2 + + 2 x + + ax + b , ta có:  √   3X + + 2 X + →M    X=A √ √ M −Y ⇒a=− = ⇒ b = −M − A =  A − C  √    3X + + 2 X + →Y X=C Vậy nhân tử thứ là: √ √ 3x2 + + 2 x + + 2x Nếu nhân tử thứ có dạng chứa nghiệm B, sau liên hợp lên ta thu PT bậc 2, √ lấy nghiệm liên hợp B −3 − để tìm nhân tử giống trên, nghiệm lấy thêm nghiệm PT sau đổi dấu trước Và kết quả: √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − thứ ta tìm được! Cả nhân tử bậc nhất, PT ban đầu có bậc 3, nhân tử vô nghiệm, ta chia tìm Nếu nhập phép chia vào máy thông thường phải nhập biểu thức √ 3X + + 2 X + tới lần, để cần nhập lần, bạn nhập sau: Y = 3X √ + 6+2 X +3: 12 + √ √ X + + X2 + + X Y √ √ Y + 2X Y − 2X − (Dấu chấm phép chia, mà chức "liên hoàn tính" máy, nhập dấu cách nhấn ALPHA phím tích phân) Bấm CALC cho X = 0, máy cho kết phép tính nhấn = liên hoàn lần: √ √ √ giá trị (bằng 3), sau giá trị phép chia cần: + = 3X + + 2 X + + aX + Do đó, quay lại phép tính liên hoàn trên, sửa lại thành: Y = 3X √ + 6+2 X +3: 12 + √ √ X + + X2 + + X Y √ √ −3−Y Y + 2X Y − 2X − Tiếp tục, cho X nhiều giá trị khác nhau, không cần quan tâm đến giá trị Y (căn), biết kết phép tính phía √ sau nhận 0, từ kết luận nhân tử là: 3x2 + + 2 x + + 13 Hơi dài dòng xíu, tóm lại ta được: PT ⇔   ⇔  √ 3x2 + + 2 x + + √ √ √ √ 3x2 + + 2 x + + 2x 3x2 + + 2 x + − 2x −  √ x = −3 + √ √  3x2 + + 2 x + + 2x =  √ √  ⇔ x = −3 − − +  √ √  3x2 + + 2 x + − 2x − = √ √ x = −3 − + + =0 Cách Ép khác sau: √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − PT ⇔ √ √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − − − √ √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − − + √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − =    √ √ √  ⇔  3x2 + + 2 x + − 2x − − −    √ √ √ 3x2 + + 2 x + − 2x − − +  √ 4+3 √ 4+3 =0  √ x = −3 +   √ √  ⇔ x = −3 − − 4+3 2=0   √ √ x = −3 − + 4+3 2=0 √ 8+6 √ 8+6 Bình luận: cách thứ làm sau cách thứ tầm tháng! Chẳng hiểu dễ mà trước lại Ép xấu vậy, không tác giả chế đề (một bạn Zuni.vn) chế từ cách thứ mà Không biết bạn có cần full cách không, tốt không nên vì: Để cho bí ẩn! Không phải "ăn may" cách thứ 2, nên có full không dùng cho khác Đây toán mang tính giải trí cao! Và xa xỉ đề thi ĐH, mà cho làm ảnh bìa Group F-tik hợp lí! √ √ Ví dụ 22 (x − 1) x = (x + 3) x − ⇔ √ √ x− x−5−1 √ √ x+5+2 x+ x−5− x(x − 5) = ⇔ √ x− √ √ Ví dụ 23 4x2 − 18x − 12 + 5x + + x + > ⇔ 4+ √ x+4 √ √ 4x2 − 18x − 12 + 5x + + x + > √ √ √ √ 5x + − x + − 5x + + x + − √ √ 7x + 12 + (2x + 6) x + + 5x + + (x + 4)(5x + 4) >  − ≤x ⇔  √  + 21 x> ⇔ Ví dụ 24 3(1 − x)3 1+2 2+3 3(2x − 1) =1−x ⇔ + 2(1 − x) 3(1 − x) = (1 − x) + 3 3(2x − 1) ⇔ 3 3(2x − 1) + 64 3(1 − x) − 14 √ x−5−1=0⇔x=9 2(1 − x) 25 + 3(2x − 1) + + 3(2x − 1) + 3 9(2x − 1)2 ⇔ 3 3(2x − 1) + 3(1 − x) − = ⇔ x = Ví dụ 25 x4 − 12x3 + 38x2 − 12x − 67 + 3(2x − 1) − 3(1 − x) − =0 √ x+1+ √ 7−x=0 √ √ √ √ x + + − x − + (x + 1)(x − 7) x + − − x − √ √ ⇔ x+1+ 7−x−4=0⇔x=3 ⇔ 2+ √ x+1 =0 √ Ví dụ 26 x3 + 5x2 − 9x − + 4x x3 − 7x + = PT ⇔ (x2 − ⇔ ⇔ √ √ √ 5x − 2)(x3 + 5x2 − 9x − 5) + 4x(x2 − x3 − 7x + − − x3 − 7x + − − √ √ √ x3 − 7x + + + √ √ √ 5x − 2) x3 − 7x + = x2 + (5 − √ 5)x − √ + 4x x2 − √ 5x − =0 √ 5=0⇔x=−   x + x − 4y = 5x2 + 6y + Ví dụ 27 x+1  x − x2 − y − 2x2 y + 2xy + xy = x=1 PT2 ⇔ (x − 1)(x − y)2 = ⇔ y=x √ √ − 65 Nếu x = ⇒ PT1: − 2y = 6y + 11 ⇔ y = √ Nếu y = x ⇒ PT1: x + x − 4x = (x + 1) 5x2 + 6x + ( ) ⇔ ⇔ √ √ √ 5x + 6x + − 3x − − √ √ √ √ √ √ √ 3x + + x2 + + x + + + x2 + + x + + 5x2 + 6x + = √ √ √ 5x + 6x + − 3x − − f (x) = ( ) Đánh giá f (x): ĐK ( ) x(x + 1) x3 + x2 − > ⇔ −1 < x < x > x0 > với x0 nghiệm dương PT x3 + x2 − = √ √ √ √ √ √ √ Lại thấy 3x3 + + x2 + + x + + đồng biến x2 + + x + + 5x2 + 6x + > 0, với ĐK f (x) >  √ x= 3−  √ √ √  Vậy: ( ) ⇔ 5x + 6x + − 3x − − = ⇔  √ x= 3+ Ta F-tik PT sau: √ √ x4 + x3 − 4x = (x + 1) 5x2 + 6x + ⇔ x2 + − 5x2 + 6x +  √ x= 3−  √ 2  ⇔ x + − 5x + 6x + = ⇔  √ x= 3+ √ 3−1 √ 3−1 15 √ 3−1  √ y= 3−   ⇒ √ √ 3−1 y= 3+ x2 + x + + √ √ 3−1 √ 3−1 5x2 + 6x + = √ √ 2x − x2 + − 2x − x2 = 2(1 − x)4 (2x2 − 4x + 1) √  2− ≤ 0 ≤ x √ ĐK:  2+ ≤x≤2 √ √ Ta nhẩm nghiệm 2, phải có 2x − x2 = 0, đặt 2x − x2 = y, PT trở thành: Ví dụ 28 1+ − y = − y2 1+y+ − 2y √ √ √ √ 2 với ĐK − + y + − y − , ta có: ≤y≤ PT có nghiệm kép y = ⇒ nhân tử 2 √ √ y 1−y− 1+y √ √ √ √ y −y 1+y+ 1−y−2= 1+y−1+ 1−y−1= √ +√ = √ √ 1+y+1 1−y+1 1+y+1 1−y+1 2y =− √ √ √ √ 1+y+1 1−y+1 1−y+ 1+y √ √ √ √ √ √ 1+y+ 1−y−2 1+y+1 1−y+1 1−y+ 1+y ⇒ y2 = − Vậy ta được: √ 1+y+ ⇔ ⇔ ⇔ √ √ 1+y+ √ √ √ 1+y+ 1+y+ Thay y = − y = − y2 √ PTBĐ ⇔ − 2y ⇔ √ − y − = 2y − 5y + √ √ √ 1−y−2 2y − 5y + 1−y−2 2y − 5y + 1+y+ 1+y+ √ √ √ √ − y − = −y 4y − 10y + 1−y−2 1+y+1 1+y+1 √ √ √ 1+y+1 1−y+1 1−y+1 √ √ 1−y+ 2+2 1−y+1 √ √ 1−y+ √ 1+y 1+y −1 =0 − y2 − =0 ( ) 2x − x2 vào ( ) ta được: √ 1+ 2x − x2 + 1− √ 2x − x2 − 2x4 − 8x3 + 13x2 − 10x + 1+ √ 2x − x2 + 1− √ 2x − x2 + 2|x − 1| + − = ( ) Tất nhiên việc thay vào hình thức, đánh giá ngoặc lại vô nghiệm ta đánh giá ( ), đơn giản Thật vậy: 2y − 5y + Do đó: ( ) ⇔ 1+ √ √ 1+y+1 2x − x2 + 1− √ √ √ 1−y+1 2+2 2x − x2 − = ⇔ − y > ∀y ∈ − √ 2 ; 2 x=0 x=2 √ √ Ví dụ 29 2(x − 2) − x2 + (x + 1) + x2 < 7x − √ √ ĐK: − ≤ x ≤ Bài ngại F-tik, thấy làm liên hợp túy dễ hơn, thay đổi không khí cho đỡ chán: Ta rút nghiệm kép x = trước: BPT ⇔ 2(x − 2) √ − x2 + 2x − + x+1 √ 10 40 40 + x2 − 2x − < x − x+ 3 3 2(x − 2) x+1 √ √ + − 2 2x − − − x 3 + x + 2x + √ x − + − x2 x+1 √ Ta có: f (x) = + 15(x − 2) 3 + x2 + 2x + ⇔ 5(x − 2)2 = (x + 1) √ − 3 + x + 2x + 3 − x2 − x + √ 16 < ⇔ 5(x − 2)2 f (x) < 1 √ − − + − 2 15 100 300 3 + x + 2x + 3 5−x −x+5 √ √ 21x + 295 − 63 − x2 2x + + x √ √ − − = (x + 1)g(x) = (x + 1) − 2 300 15 + x + 2x + 300 − x − x + √ √ Rõ ràng g(x) < ∀x ∈ − 5; √ = (x + 1) √ Vậy tập nghiệm BPT: x ∈ (−1; 2) ∪ 2; Hoặc rút nghiệm đơn x = −1 trước: BPT ⇔ 2(x − 2) √ √ 2(x − 2)(x − 1) √ − + x2 − x2 − + (x + 1) + x2 < 3(x + 1) ⇔ (x + 1) + √ − x2 + >0 ⇔ (x + 1)f (x) > √ √ (x − 2) 10x − 16 − (x + 2) − x2 √ + Ta có: f (x) = − + x2 6 − x2 + √ √ (x − 2) 9(x − 2) + (x + 2) − − x √ = + − + x2 6 5−x +2 (x + 2)2 √ (x − 2)2 + √ + − x2 √ = − + x2 ≥ + 6 5−x +2 √ Dấu "=" xảy ⇔ x = 2, tập nghiệm BPT là: x ∈ (−1; 2) ∪ 2; √ √ x2 + x − + −x2 + x + = x2 − x + √ √ −1 + 1+ ĐK: ≤x≤ 2 Ví dụ 30 Cách 1: F-tik túy √ PT ⇔ x2 + x − + √ −x2 + x + − 2(x3 + x2 − x − 5) + x ⇔ √ x2 + x − + √ √ x2 + x − + √ √ −x2 + x + + −x4 + 3x2 − − x + =0 −x2 + x + − = ⇔ x = Cách 2: Kiểu S.O.S PT ⇔ (x − 1)2 + √ 1 − x2 + x − 2 + √ 1 − −x2 + x + 2   1=0 x − √ = ⇔ − x2 + x − = √   − −x2 + x + = ⇔x=1 Cách 3: Liên hợp √ √ PT ⇔ x2 + x − − 3x + + −x2 + x + + x − = 2(x2 − 2x + 1) 5 ⇔ (x − 1)2 + √ + √ 2 x + x − + 3x − −x + x + − x + =0⇔x=1 Cách 4: Bình phương dồn PT ⇔ √ x2 + x − + √ −x2 + x + √ = (x2 − x + 2)2 ⇔ x4 − 2x3 + 5x2 − 6x + − −x4 + 3x2 − = √ ⇔ (x + 1)2 (x4 − 2x3 + 5x2 − 6x + 4) − 2(x + 1)2 −x4 + 3x2 − = ⇔ x− √ −x4 + 3x2 − 2(x + 1)2 + (x2 + 4) x + √ −x4 + 3x2 − 17 =0⇔x− √ −x4 + 3x2 − = ⇔ x = Cách 5: Bình phương triệt để √ PT ⇔ x4 − 2x3 + 5x2 − 6x + = −x4 + 3x2 − ⇒ (x4 − 2x3 + 5x2 − 6x + 4)2 = 4(−x4 + 3x2 − 1) ⇔ (x − 1)2 47 x4 (x − 1)2 + x2 (4x − 3)2 + 2 x− 47 + 908 47 =0⇔x=1 Cách 6: Đánh giá AM-GM √ x2 + x − + √ −x2 + x + ≤ (x2 + x − 1) + (−x2 + x + 2) + + = x + ⇒ x2 − x + ≤ x + 2 ⇔ (x − 1)2 ≤ ⇔ x = Cách 7: Bẻ đôi phương trình 2x2 − √ = x2 − x + x2 + x − − −x2 + x + √ √ ⇔ (x2 − x + 2) x2 + x − − (x2 − x + 2) −x2 + x + = 2x2 −  √ 2  2(x − x + 2) x + x − = x − 2x + 7x − 4x + Kết hợp PT cho ⇒ √   2(x − x + 2) −x2 + x + = x4 − 2x3 + 3x2 − 4x +  √ √   3x − − x2 + x − x2 − x + + (x2 − 3x + 4) 3x − + x2 + x − =    ⇔     − x − 2√−x2 + x + x2 − x + + (x2 + x) − x + 2√−x2 + x + =   √  3x − − x + x − = ⇔x=1 ⇔ √   − x − −x + x + = PT ⇒ √ Ví dụ 31 x3 + (1 − x2 ) + √ x − 3x2 = ĐK: −1 ≤ x ≤ Solve thu nghiệm vô tỷ đơn X = −0, 3568220898 → A √ √ √ √ 4 3 Do PT ⇔ x + + x−x − x = nên đổi dấu trước căn: x − + x − x2 − x2 = 0, 3  X = −0, 3945492899 → B nghiệm khác:  X = −0, 9188747781 → C X = 0, 934172359 → D Nhận thấy AD = − A + D xấu, nghiệm ta có dạng căn, mặt khác (A + D)2 = √ √ 3− 3+ từ ta A = − ;D= (tìm nghiệm cho vui chả có tác dụng gì!) 6 √ √ √ √ aA + b = − − A2 − D + − A2 √ Giả sử nhân tử PT ax + b + − x , suy ⇒a= =1 D−A aD + b = − D2 √ √ √ 3 √ , nhân tử x − + − x2 b = − D2 − D = −0, 5773502692, bình lên thu , b = − 3 3 Tiến hành F-tik: PT ⇔ 2x3 − √ √ 3 x + x+ + 3 1+ √ x − x2 √ x− 18 √ + − x2 =0 ta , ⇒ √ ⇔ x− ⇔ x− ⇔ x− ⇔ x− Dựa vào √ √ √ 3 3 √ 2 2x − x− + 1+ x−x x− + − x2 = 3 3 √ √ √ √ √ 3 √ √ 3 √ 2 x− x− + 1−x − 1−x + 1+ x−x x− + − x2 3 3 √ √ √ √ √ 3 √ 2 x− x− + 1−x − 1−x +1+ x − x2 = 3 √ √ √ √ 3 √ 3 + 1−x x+ + −x − x2 = 2 √ √ √ 3 ĐK dễ dàng c/m − x2 > x+ + −x 2 =0 √ Ví dụ 32 x4 − 2x2 − x − + (x2 + 3x − 1) x2 + x + = Solve nghiệm vô tỷ đơn: X = −1, 866760399 → A X = 0, 8667603992 → B Nhận thấy A + B = −1 AB xấu, nghiệm ta có dạng căn, mặt khác AB = −1, 618033989 số vô tỷ quen thuộc, sử dụng TABLE để dò ra, nhiên dễ dàng thử thấy AB + = ,  √  −1 − +   A= √   −1 − , ta AB =  √    B = −1 + + √ √ aA + b = − A2 + A + √ Giả sử nhân tử cần tìm có dạng ax + b + x + x + ⇒ aB + b = − B + B + √ √ √ √ √ A2 + A + − B + B + 1+ 1+ ⇒a= =0⇒b=− , nhân tử x +x+1− B−A 2 Tiến hành F-tik: √ √ √ √ √ 3− 1+3 5+ 1+ 2 PT ⇔ x − x + x− + (x + 3x − 1) x +x+1− =0 2 2 √ √ √ √ 1+ 1+ 2 2 ⇔ x +x− x − x + + (x + 3x − 1) x +x+1− =0 2 √ √ √ √ √ √ √ 1+ 1+ 1+ 2 2 x − x + + (x + 3x − 1) ⇔ x +x+1− x +x+1+ x +x+1− 2 √ √ √ √ √ 1+ 1+ ⇔ x2 + x + − x2 + x + + x2 − x + + x2 + 3x − = 2 √ √ √ √ √ √ √ 1+ 3+ 5− 3+ ⇔ x +x+1− x + x+ + x2 − x + x2 + x + = 2 2 √ √ √ √ √ 3+ 5− 3+ Dễ thấy x + x+ + x2 − x + x2 + x + > 2 √ √ Ngoài ta F-tik sau: PT ⇔ x2 + x + − x2 − x x2 − x + + x2 + x + = √ Ví dụ 33 5x2 − 6x + + (5x − 6) x2 + = Solve nghiệm vô tỷ đơn: X = 1, 038750305 → A √ √ Dùng TABLE với f (X) = A2 + + XA tìm nhân tử 3x − + x2 + Tiến hành F-tik: 19 =0 √ PT ⇔ − x2 + 18x − 16 + (5x − 6) 3x − + x2 + = 2 √ √ √ 1 ⇔ − 3x − + x2 + 3x − − x2 + + (5x − 6) 3x − + x2 + = 2 √ √ √ √ 18 − 41 ⇔ 3x − + x2 + x + x2 + = ⇔ 3x − + x2 + = ⇔ x = √ √ x3 − 9x + ≤ x2 − x + x Ví dụ 34 ĐK: −3 < x < x≥3 Solve ta nghiệm đơn đẹp X = nghiệm kép vô tỷ X = 3, 541381265 → A √ √ x2 (x − 9) √ ≤ x − ⇔ (x − 9) x2 − x3 − 9x − x2 − x ≤ − 9x + x − x √ √ A3 − 9A = A √ √ ta tách tiếp: (x − 9) − x2 − x + x − 9x − x 2 x A −A=3 BPT ⇔ √ Ta thấy x3 ≤ (∗) Nếu x ≥ 3: (∗) ⇔ x ≤ ⇒ x ∈ [3; 9] Nếu −3 < x < 0: (∗) ⇔ − ⇔ 3− ⇔ 3− √ √ x2 − x x2 − x − − √ √ √ − x2 − − x2 + x2 − x √ √ −x −x − √ √ √ √ −x − x2 − −x −x −x ≥0 ≥0 3− √ x2 − x + √ − x2 − √ −x ≥ Các bạn tiếp tục xử nốt nhé! √ √ Ví dụ 35 3x − + − x2 − 4x − x2 = ĐK: ≤ x ≤ Nghiệm x = 2! Hiện thấy cách liên hợp đơn giản mà hay nên làm trước, F-tik bạn tự làm nhé: √ √ √ 6x − x 2(2 − x)2 2 √ √ √ + =0 PT ⇔ − x − 3(2 − x) + 2 − 4x − x = ⇔ + x + − x + 4x − x2 ⇔ √ 2−x √ (2 − x)3 6x √ √ + + x + − x + 4x − x2 Ví dụ 36 x3 − 2x2 + 10x − + x2 − 8x + 10 =0⇔x=2 √ √ x − − 2(x + 1) x3 − = ĐK: x > Mò nghiệm vô tỉ có tích tổng đẹp, dễ dàng vạch "chân tướng" chúng sau Nói chung, sử dụng TABLE ta dễ dàng tìm nhân tử cho nghiệm là: PT ⇔ ⇔ √ √ x3 − − 3x + √ √ √ x − + x − + x3 − + x2 + x + + x3 − − 3x + = ⇔ x = ± √ √ x3 − − 3x + x2 + x + x−1 =0 Dễ dàng thấy ngoặc thứ vô nghiệm x − + √ x2 + x + > −1 + √ > ∀x > Chắc nhiều người thắc mắc cách để Ép thành phải không? Phần lớn cho liên hợp ngược, đăng lên nhóm CASIOer: F-tik PT - BPT - HPT Vô Tỷ nói chia! Hãy suy nghĩ xem nhé! 20 √ √ Ví dụ 37 (x − 1) x2 − 2x + − 4x x2 + ≥ 2(x + 1) Liên hợp có lẽ hay đấy! (3x − 1) 5x2 − 2x + √ ≤ (∗) 4x x2 + + (x − 1) x2 − 2x + √ √ Xét hàm f (x) = 4x x2 + + (x − 1) x2 − 2x + 5, rõ ràng có nghiệm x = , mặt khác ta có: √ √ 4x2 (x − 1)2 + x2 − 2x + + √ > ⇒ f (x) đồng biến f (x) = x2 + + √ x2 + x2 − 2x + (3x − 1) 5x2 − 2x + 1 √ Do ∀x ∈ −∞; ; +∞ ta có + √ >0 3 4x x2 + + (x − 1) x2 − 2x + √ BPT ⇔ (x + 1) + Vậy (∗) ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ −1 √ √ 3x + +2 1−x 2x + = √ x2 − 2x − √ ĐK: −3 ≤ x < − Ví dụ 38 Tôi thường không dùng TABLE để đoán trước khoảng nghiệm trước Solve, Solve bị lâu, có lúc tưởng PT vô nghiệm! Nhưng cuối thu X = −1, 826459154 → A Đổi dấu trước bên trái ta lại X = −0, 415198233 → B Vì A + B AB xấu, ta chuyển qua hướng TABLE (hi vọng cuối cùng) sau: √ 25 25 − 14 + Nhập f (X) = (AB) + XAB thu f (−9) = − ⇒ (AB) − 9(AB) + = ⇒ AB = 4 √ − 14 + Nhập f (X) = (A + B)2 + X(A + B), tương tự tìm A + B = √ √ √ √ 1 Vậy: A = − 14 − 14 − B = − 14 + 14 − 4 Sau bước ta có nghiệm để nói trước cho cần đáp số! PT ⇔ (2x + 6) (x2 − 2x − 1) = 3x + + (1 − x) (x2 − 2x − 1) Nhiều quá, muốn F-tik khó, ta bình cmn lên cho dễ xử: (2x + 6) x2 − 2x − = 3x + + (1 − x) (x2 − 2x − 1) √ ⇔ (3x + 1) 2x2 − 7x − − −x3 + 3x2 − x − = x=− nghiệm ngoại lai rồi, xét lại, nên F-tik hay liên hợp? Rõ ràng nghiệm tìm thuộc dạng PT bậc nên lý thuyết, cần liên hợp toàn nhân tử PT bậc cần giải: √ 2x2 − 7x − − −x3 + 3x2 − x − = ⇔ 4x4 − 12x3 − 11x2 + 58x + 25 √ =0 − 7x − + −x3 + 3x2 − x − √ √ √ √ ⇔ 2x2 − − 14 x + − 14 2x2 − + 14 x + + 14 = 2x2 √ √ √ ⇔ 2x2 − − 14 x + − 14 = ⇔ x = − 14 ± √ 14 − Done! Nói chung ta F-tik thay liên hợp, chắn hệ số không đẹp (và người chấm muốn hướng giả sử có đề thi!), F-tik cho bạn nhìn thôi, 21 không cần full đâu: √ (x + 3) 2x2 − 7x − − −x3 + 3x2 − x − = √ √ √ √ + 14 − 14 √ − 14 + 14 √ x+ + −x + 3x2 − x − x+ + −x + 3x2 − x − 2 2 PT ⇔ ⇔ Ví dụ 39 15x + = ĐK: x ≥ − =0 √ √ √ 2x + + x2 + + 11x + 4 11 Sử dụng liên hợp kết hợp với S.O.S cho ta lời giải hay: √ PT ⇔ ⇔x √ 2x + − + (2x + Ta có: f (x) = √ 11x + − − 15x = x 22 +√ − 15 = ⇔ xf (x) = ( ) 11x + + +1+1 + 2x + + x 22 −3+ √ −1+ √ − 11 √ 2 11x +4+2 x +1+1 (2x + 1) + 2x + + 1)2 x2 + − + +√ √ =− (7x − 9)3 + √ − f (x) − √ ≥ ⇐⇒ (x − 2)g(x) ≥ x−1+1 2x + x − + 1 3 < 1, nên √ −7 x > , g(x) < x−1+1 Do đó: ( ) ⇔ < x ≤ √ ⇐⇒ (x − 2) ( ) Kết luận: ≤ x ≤ BÀI TẬP TỰ LUYỆN √ √ Bài 1 + (1 + x) + x = x + + x Bài x2 + x2 1+ √ 1+x √ √ + x2 = + + x2 x2 + x + + Bài 1+ √ x+1+ x2 − x + + √ √ x+1=2 1+ x+1 √ √ √ Bài 3x x2 − + 3x2 − = 3x4 − 3x2 − Bài + (x2 + x + 1) x + + x2 √ √ Bài x x2 + x − + 3x x5 − = Bài 2(x2 + x + 1) Bài 3 − x3 + √ x+ x− √ 1+ +x+1 (x2 + 3)(3x7 x2 +x+1 √ = (1 − x3 ) − x − 2x2 + x − 2) √ x2 − x + = (2 + 3x) x2 + =1 √ √ Bài x2 + x2 + x + = x + + x4 + x2 + √ √ Bài 10 6(x − 1) x + + (x2 + 2) x − − = x(x2 + 2) Bài 11 3x(2x − 1)(x2 − x + 1) + 3x −3=0 √ √ Bài 12 x4 − 2x3 + 3x2 + 6x + − (x − 2) 2x + − (x + 1) 4x + = Bài 13 x3 + x2 + x + √ x4 + x2 + = (x + 1) √ x2 + x + + √ x2 − x + Bản quyền tài liệu thuộc VNC Team, chép xin vui lòng ghi rõ nguồn! Mọi thắc mắc gửi địa chỉ: Nhóm Facebook VNCTeam: facebook.com/groups/VietNamCASIOerTeam Facebook cá nhân tác giả: facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST Hộp thư tác giả: sherlockttmt@gmail.com Cảm ơn bạn đọc tài liệu! 23 [...]... = 0 Bài 13 x3 + x2 + x 1 + √ x4 + x2 + 1 = (x + 1) √ x2 + x + 1 + √ x2 − x + 1 Bản quyền tài liệu thuộc về VNC Team, sao chép xin vui lòng ghi rõ nguồn! Mọi thắc mắc có thể gửi về 1 trong 3 địa chỉ: 1 Nhóm Facebook của VNCTeam: facebook.com/groups/VietNamCASIOerTeam 2 Facebook cá nhân tác giả: facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST 3 Hộp thư tác giả: sherlockttmt@gmail.com Cảm ơn bạn đã đọc tài liệu!... Dễ thấy x + x+ + x2 − x + 5 x2 + x + 1 > 0 2 2 2 √ √ Ngoài ra ta có thể F- tik như sau: PT ⇔ x2 + x + 1 − x2 − x x2 − x + 1 + 2 x2 + x + 1 = 0 4 √ Ví dụ 33 5x2 − 6x + 2 + (5x − 6) x2 + 1 = 0 Solve được 1 nghiệm vô tỷ đơn: X = 1, 038750305 → A √ √ Dùng TABLE với f (X) = 2 A2 + 1 + XA tìm được nhân tử 3x − 6 + 2 x2 + 1 Tiến hành F- tik: 19 =0 √ 5 1 PT ⇔ − x2 + 18x − 16 + (5x − 6) 3x − 6 + 2 x2 + 1 = 0 2... nhóm CASIOer: F- tik PT - BPT - HPT Vô Tỷ tôi đã nói là chia! Hãy suy nghĩ xem nhé! 20 √ √ Ví dụ 37 (x − 1) x2 − 2x + 5 − 4x x2 + 1 ≥ 2(x + 1) Liên hợp có lẽ hay hơn đấy! (3x − 1) 5x2 − 2x + 5 √ ≤ 0 (∗) 4x x2 + 1 + (x − 1) x2 − 2x + 5 √ √ 1 Xét hàm f (x) = 4x x2 + 1 + (x − 1) x2 − 2x + 5, rõ ràng nó có nghiệm x = , mặt khác ta có: 3 √ √ 4x2 (x − 1)2 + x2 − 2x + 5 + √ > 0 ⇒ f (x) đồng biến f (x) = 4 x2... 14 2 + Nhập f (X) = (AB) + XAB thu được f (−9) = − ⇒ (AB) − 9(AB) + = 0 ⇒ AB = 4 4 2 √ 3 − 2 14 + Nhập f (X) = (A + B)2 + X(A + B), tương tự tìm được A + B = 2 √ √ √ √ 1 1 Vậy: A = 3 − 2 14 − 4 14 − 7 và B = 3 − 2 14 + 4 14 − 7 4 4 2 Sau bước này ta đã có nghiệm để nói trước cho những ai chỉ cần đáp số! PT ⇔ (2x + 6) (x2 − 2x − 1) = 3x + 1 + 2 (1 − x) (x2 − 2x − 1) Nhiều căn quá, muốn F- tik sẽ khó,... 2x2 − 3 − 2 14 x + 9 − 2 14 = 0 ⇔ x = 3 − 2 14 ± 4 √ 4 14 − 7 Done! Nói chung là ta cũng có thể F- tik cái đấy thay vì liên hợp, nhưng chắc chắn là hệ số không đẹp (và không có người chấm nào muốn đi hướng như thế nếu giả sử bài này có trong đề thi!), do đó tôi F- tik cho các bạn nhìn thôi, 21 không cần bản full đâu: √ 1 (x + 3) 2x2 − 7x − 3 − 4 −x3 + 3x2 − x − 1 = 0 2 √ √ √ √ 2 + 14 6 − 14 √ 3 2 − 14... 3 x − 1 √ (x − 2)(7x − 9)3 √ 2x + 3 x − 1 − 7x + 9 f (x) ≥ x−1+1 √ √ trong đó f (x) = 2x + 3 x − 1 √ √ (x − 2)(7x − 9)3 √ 2x − 2 + 3 x − 1 − 3 − 7x + 14 f (x) ≥ x−1+1 1 3 (x − 2)(7x − 9)3 √ ⇐⇒ (x − 2) √ + √ − 7 f (x) ≥ x−1+1 2x + 2 3 x − 1 + 3 ⇐⇒ 3 22 − (7x − 9)3 ≥ (7x − 9)3 2 + (7x − 9) √ √ x−1−1 √ 2x + 3 x − 1 + (7x − 9)2 > 0 1 3 (7x − 9)3 + √ − 7 f (x) − √ ≥ 0 ⇐⇒ (x − 2)g(x) ≥ 0 x−1+1 2x + 2 3 x... − 1 − 3 f (x) = 0 ( ) 2 Đánh giá f (x): ĐK của ( ) là x(x + 1) x3 + x2 − 4 > 0 ⇔ −1 < x < 0 x > x0 > 0 với x0 là nghiệm dương duy nhất của PT x3 + x2 − 4 = 0 √ √ √ √ √ √ √ Lại thấy 3x3 + 4 + 2 3 x2 + 5 + 4 3 x + 3 + 3 đồng biến và x2 + 1 + 3 x + 2 + 3 5x2 + 6x + 6 > 0, do đó với ĐK trên f (x) > 0  1 √ x= 3−  2 √ √ √ 2  Vậy: ( ) ⇔ 5x + 6x + 6 − 3x − 1 − 3 = 0 ⇔  1 √ x= 3+ 2 Ta có thể F- tik PT trên... thứ 2 mà ra Không biết các bạn có cần tôi full luôn cách 2 không, nhưng tốt nhất là không nên vì: 1 Để đó cho nó bí ẩn! 2 Không phải bài nào cũng có thể "ăn may" như cách thứ 2, nên có full cũng không dùng được bao nhiêu cho các bài khác Đây là một bài toán mang tính giải trí khá cao! Và rất xa xỉ đối với đề thi ĐH, vì thế mà cho nó làm ảnh bìa của Group F- tik là rất hợp lí! √ √ Ví dụ 22 (x − 1) x... nghiệm, ta thấy AC = 3 nhưng A + C vô tỉ, vậy là nghiệm căn trong căn rồi! Gán A + C √ → D sau đó vào TABLE nhập f (X) = D2 + XD tìm được f (12) = −28, nghĩa là D2 + 12D + 28 = 0 ⇒ D = −6 − 2 2 Từ đó suy ra: A = −3 − √ √ 8+6 2 √ 8+6 2 2+ √ C = −3 − 2 − Đối với nghiệm B, ta vào TABLE nhập f (X) = B 2 + XB dễ dàng tìm được B = −3 + √ 7 Nghiệm B trông có vẻ đơn giản hơn nhưng ta nên tìm nhân tử cho nghiệm... + x2 < 7x − 5 √ √ ĐK: − 5 ≤ x ≤ 5 Bài này tôi ngại F- tik, thấy làm liên hợp thuần túy dễ hơn, thay đổi không khí cho đỡ chán: Ta có thể rút nghiệm kép x = 2 ra trước: BPT ⇔ 2(x − 2) √ 5 − x2 + 2x − 5 + x+1 √ 10 2 40 40 3 5 + x2 − 2x − 5 < x − x+ 3 3 3 3 2(x − 2) x+1 2 √ √ + − 2 2 3 2x − 5 − 5 − x 3 3 5 + x + 2x + 5 √ 2 x − 5 + 3 5 − x2 x+1 √ Ta có: f (x) = + 15(x − 2) 3 3 5 + x2 + 2x + 5 ⇔ 5(x − 2)2