Vật lý đại cương 2: Điện từ

CHƯƠNG 5: TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN5.1. Điện tích và tương tác tĩnh điện5.1.1. Điện tíchThực nghiệm chứng tỏ trong tự nhiên có hai lọai điện tích. Benjamin Franklin đề xuất gọi chúng là điện tích dương và điện tích âm (qui ước: điện tích dương là điện tích giống với điện tích xuất hiện trên thanh thủy tinh khi nó cọ sát với lụa; điện tích âm là điện tích giống với điện tích xuất hiện trên thanh ebonite khi nó cọ sát với dạ). Các điện tích cùng loại thì đẩy nhau và khác loại thì hút nhau. Điện tích có giá trị gián đoạn. Nó luôn bằng một số nguyên lần điện tích nguyên tố (điện tích nhỏ nhất không thể phân chia được, có giá trị ).Vật chất được cấu tạo từ các nguyên tử. Nguyên tử vật chất được cấu tạo từ các proton (proton có điện tích +e) và các electron (electron có điện tích e). Số proton và số electron trong nguyên tử bằng nhau do đó nguyên tử ở trạng thái bình thường trung hòa về điện. Nếu một vật bị mất đi một số electron thì nó sẽ mang điện dương. Nếu vật dư thừa một số electron nó sẽ mang điện âm.Định luật bảo toàn điện tích: trong một hệ cô lập tổng điện tích không thay đổi.Điện tích điểm: là vật mang điện có kích thước nhỏ, không đáng kể so với khoảng cách từ vật đó tới những điểm hoặc những vật mang điện khác đang khảo sát.5.1.2. Định luật Coulomb về tương tác tĩnh điệnGiả sử có hai điện tích điểm có điện tích và đứng yên trong chân không và cách nhau một khoảng . Lực tương tác giữa hai điện tích điểm này có phương dọc theo đường thẳng nối hai điện tích và có độ lớn: (5.1)trong đó là hệ số tỷ lệ; là hằng số điện.Nếu hai điện tích cùng dấu thì lực tương tác là lực đẩy; nếu hai điện tích trái dấu thì lực tương tác là lực hút. Để biểu diễn phương của lực người ta viết lực Coulomb dưới dạng vector. Lực tác dụng lên điện tích bởi điện tích là: (5.2)Tương tự, lực tác dụng lên điện tích bởi điện tích là: (5.3)Vì các vector và có độ lớn bằng nhau (bằng ) và ngược chiều nên . Ví dụ 1: So sánh độ lớn lực tương tác Coulomb với lực tương tác hấp dẫn của một proton và một electron.Tỷ số giữa lực Coulomb và lực hấp dẫn là: Trong môi trường điện môi, ví dụ: không khí, nước, thủy tinh, …, thực nghiệm cho thấy lực tương tác Coulomb giảm đi một số lần so với trong chân không: (5.4)trong đó được gọi là hằng số điện môi của môi trường.Tương tác Coulomb của hệ gồm nhiều điện tích điểm , … lên một điện tích điểm được cho bởi nguyên lý tổng hợp lực: (5.5)trong đó là vector nối từ điện tích lên điện tích . Ví dụ 2: Ba điện tích , , cùng nằm trên một đường thẳng như Hình 5.1. Khoảng cách giữa điện tích và là . Khoảng cách giữa điện tích và là . Tính lực tác dụng lên điện tích . Lực tác dụng lên gồm lực Coulomb do điện tích và điện tích tác dụng lên Hai lực và ngược chiều nhau. Chiếu phương trình trên lên trục tọa độ thẳng nằm ngang có chiều dương là chiều từ trái sang phải ta được: .Thay số ta tính được .5.2. Điện trường5.2.1. Khái niệm điện trườngXét hai điện tích điểm đặt trong chân không. Chúng tương tác với nhau qua lực tương tác Coulomb. Câu hỏi là: 1) tương tác này truyền đi như thế nào khi mà hai vật không tiếp xúc với nhau; 2) làm sao điện tích thứ nhất biết sự có mặt của điện tích thứ hai để tác dụng lực; nếu điện tích thứ hai di chuyển từ vị trí này sang vị trí khác, làm thế nào điện tích thứ nhất biết thông tin đó để thay đổi cường độ và phương của lực tác dụng lên điện tích thứ hai. Để trả lời những câu hỏi trên người ta giả thiết rằng mỗi điện tích q tạo ra một điện trường xung quanh nó. Tại một điểm P bất kỳ trong không gian xung quanh, tồn tại một vector điện trường có độ lớn và chiều xác định. Độ lớn của trường tại đây phụ thuộc vào độ lớn của điện tích và khoảng cách từ P đến q, có phương dọc theo đường thẳng nối q và P và có chiều phụ thuộc dấu của điện tích q. Nếu ta đặt một điện tích nào đó vào vị trí P thì điện tích sẽ tương tác với thông qua điện trường của nó tại P. Do điện trường tồn tại ở mọi điểm không gian xung quanh q nên điện tích dù ở vị trí nào cũng tương tác với trường, tức là tương tác với điện tích q.Như vậy, điện trường là một môi trường vật chất đặc biệt tồn tại xung quanh mỗi điện tích. Nó đóng vai trò môi trường trung gian truyền lực tương tác tĩnh điện giữa các điện tích với nhau. Mọi điện tích đặt trong điện trường đều bị điện trường tác dụng lực.5.2.2. Vector cường độ điện trườngĐặt một điện tích thử vào trong điện trường nào đó. Giả sử điện tích nhỏ để không làm thay đổi điện trường đang xét.Lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích là . Khi đó điện trường tại điểm đặt điện tích được định nghĩa là: (5.6) được gọi là vector cường độ điện trường. Trong hệ đơn vị SI cường độ điện trường có đơn vị là NC hoặc là Vm.Nếu chọn thì . Tức là, vector cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng vector có giá trị bằng lực tác dụng của điện trường lên một đơn vị điện tích dương đặt tại điểm đó.5.2.3. Vector cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm:Đặt một điện tích thử tại điểm P cách điện tích một khoảng . Theo định luật Coulomb, lực điện tích tác dụng lên là: Từ định nghĩa (5.6) ta tìm được vector cường độ điện trường tại P là: (5.7)Như vậy cường độ điện trường là một vector có phương dọc theo vector bán kính, có chiều sao choNếu : hướng ra xa điện tích q Nếu : hướng vào điện tích q và có độ lớn: . (5.8)5.2.3. Nguyên lý chồng chất điện trườngXét hệ gồm n điện tích điểm . Đặt điện tích thử tại điểm P trong điện trường của hệ điện tích điểm trên. Hợp lực tĩnh điện tác dụng lên là: , trong đó là lực Coulomb do điện tích tác dụng lên điện tích thử .Điện trường gây bởi hệ điện tích tại điểm P là: trong đó là điện trường tại điểm P gây bởi điện tích điểm .Như vậy: (5.9)Vector cường độ điện trường gây bởi một hệ điện tích điểm bằng tổng các vector cường độ điện trường gây bởi từng điện tích điểm.Trong trường hợp các điện tích phân bố liên tục, nguyên lý chồng chất điện trường có dạng tích phân: Ví dụ 1: Tìm điện trường do một lưỡng cực điện (gồm một cặp điện tích trái dấu đặt cách nhau một khoảng d) gây ra tại điểm P ở rất xa lưỡng cực điện.Theo nguyên lý chồng chất điện trường (5.9) ta có cường độ điện trường tại P là: Chiếu lên phương trục x (xem Hình 5.3) ta được: . Cường độ điện trường gây bởi mỗi điện tích điểm được cho bởi (5.8). Ta nhận được: Vì nên: Suy ra . Ví dụ 2: Vòng dây tròn bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài là (Hình 5.4). Tìm điện trường tại điểm P nằm trên trục của vòng dây. Xét một đoạn dây có độ dài vô cùng nhỏ. Yếu tố điện tích của đoạn dây này là: Yếu tố điện trường gây tại điểm P bởi đoạn dây là: Do vòng dây đối xứng nên các thành phần theo phương x và y của các yếu tố điện trường sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Điện trường tổng hợp chỉ còn thành phần theo phương z. Yếu tố điện trường gây bởi đoạn dây là: Ví dụ 3:Xác định vectơ cường độ điện trường do đĩa tròn bán kính R đặt trong không khí, tích điện đều với mật độ điện mặt s gây ra tại điểm M trên trục đĩa, cách tâm đĩa một khoảng x. Xét một phần của đĩa tròn có dạng hình vành khăn, bán kính r, bề rộng dr, tích điện dq. Phần này xem như một vòng dây tròn, nên nó gây ra tại M vector hướng vuông góc với đĩa tròn và có độ lớn:Do đó vector do toàn đĩa gây ra cũng hướng vuông góc với đĩa tròn và có độ lớn bằng:Khi R =¥ (mặt phẳng rộng vô hạn) ,hoặc gần tâm của đĩa tròn (x à 0) thì bằng:(điện trường đều) Ví dụ 4: Hai điện tích điểm cùng dấu q1 = q2 = q, đặt tại A và B cách nhau một khoảng 2a trong không khí. Xét điểm M trên trung trực của hai điểm AB, cách đường thẳng AB một khoảng x. Xác định vectơ cường độ điện trường tại điểm M. Tìm x để EM đạt cực đại. Bài giải:Cường độ điện trường tại M: Dễ thấy:Nên hướng vuông góc với AB và có độ lớn:Khi thìKhi x = 0thì E = 05.2.4. Điện tích điểm chuyển động trong điện trườngKhi một điện tích q đặt trong một điện trường (gây bởi các điện tích khác) thì điện tích q sẽ bị điện trường tác dụng một lực bằng: (5.10)Trong công thức trên điện trường không bao gồm điện trường gây bởi bản thân điện tích q và trường này thường được gọi là trường ngoài. Công thức (5.10) cho thấy lực tĩnh điện có chiều dọc theo chiều điện trường nếu điện tích q dương và có chiều ngược lại nếu điện tích đó là âm. Ví dụ: Tìm quĩ đạo của một electron chuyển động trong điện trường đều . Vận tốc ban đầu của electron là và có phương vuông góc với điện trường (xem Hình 5.2).Điện tích của electron là do đó lực điện trường tác dụng lên electron là: Theo định luật 2 Newton, phương trình chuyển động của electron là: Chiếu phương trình chuyển động lên phương trục y: suy ra Theo phương y, electron có gia tốc không đổi, phương trình cho tọa độ y của electron là: Thành phần gia tốc của electron theo phương x bằng không, electron chuyển động với vận tốc không đổi theo phương này. Phương trình cho tọa độ x của nó là: Khử biến thời gian ta tìm được phương trình quĩ đạo của electron trong điện trường: Như vậy, quĩ đạo của electron là một đường cong parabol.5.3. Định luật Gauss (OstrogradskiGauss)5.3.1. Đường sức điện trườngĐịnh nghĩa: đường sức điện trường là đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với phương của vector cường độ điện trường tại điểm đó; chiều của đường sức là chiều của vector cường độ điện trường.Tính chất: Qua mỗi điểm luôn vẽ được một đường sức điện trường. Hai đường sức điện trường không cắt nhau. Đường sức điện trường có chiều xuất phát từ điện tích dương, và kết thúc tại điện tích âm. Hình vẽ trên mô tả một số đường sức điện trường của các điện tích dương và âm5.3.2. Thông lượng của điện trường (điện thông)Xét một mặt phẳng diện tích S, đặt trong một điện trường đồng nhất . Thông lượng của điện trường (điện thông) xuyên qua mặt phẳng S được định nghĩa bởi: (5.11)trong đó là góc giữa điện trường và pháp tuyến của mặt phẳng.Nếu , điện trường vuông góc với mặt phẳng, điện thông qua mặt này có giá trị cực đại.Nếu , điện trường song song với mặt phẳng, điện thông qua mặt này bằng không.Chúng ta định nghĩa vector diện tích là một đại lượng có độ lớn bằng diện tích mặt S và có chiều là chiều pháp tuyến của mặt phẳng này. Như vậy (5.11) có thể biểu diễn dưới dạng tích vector: (5.12) Trong trường hợp S là mặt cong bất kỳ và điện trường không đồng nhất, ta chia mặt S ra thành các mảnh diện tích rất nhỏ và xem phần diện tích vi cấp này là phẳng và điện trường đi qua là đồng nhất. Thông lượng của điện trường gửi qua diện tích là: trong đó là vector cường độ điện trường tại yếu tố mặt . Lấy tích phân theo toàn bộ bề mặt, ta tìm được thông lượng điện trường qua mặt cong Nếu mặt S là một mặt cong kín (mặt Gauss), điện thông qua mặt Gauss là: Qui ước: vector pháp tuyến của mặt kín có chiều hướng từ trong ra ngoài.Từ công thức (5.12) ta có thể thấy điện thông là một đại luợng vô hướng; trong hệ SI nó có đơn vị là . Ví dụ: Tính điện thông của điện trường không đồng nhất có dạng đi qua mặt kín là hình lập phương cho bởi Hình 5.6. Điện thông qua mặt kín bằng tổng điện thông qua từng mặt của hình lập phương. + mặt phải: yếu tố vector diện tích cho mặt phải là Vì tọa độ của mặt phải là m (xem hình vẽ) nên: trong đó A là diện tích của một mặt của hình lập phương, dễ thấy .Như vậy điện thông qua mặt phải của hình lập phương là: .+ mặt trái: yếu tố vector diện tích cho mặt trái là Vì tọa độ của mặt trái là (xem hình vẽ) nên: .+ mặt trên: yếu tố vector diện tích mặt trên là .+ mặt dưới: tương tự như mặt trên nhưng có chiều ngược lại: + mặt trước và mặt sau: điện thông qua hai mặt này bằng không vì điện trường vuông góc với pháp tuyến của các mặt này.Như vậy thông lượng điện trường qua mặt kín hình lập phương là: .5.3.3. Định luật Gauss (OstrogradskiGauss)A. Góc khối: Góc khối dΩ nhìn thấy diện tích dS từ điểm O là phần không gian giới hạn bởi hình nón có đỉnh tại O và có các đường sinh tựa trên chu vi của dS (Hình vẽ). Trong hệ SI đơn vị của góc khối là Sr (steradian).Gọi r: là khoảng cách từ O đến dS, α: là góc giữa pháp tuyến của dS và r,dSn= dS0 : là hình chiếu của dS lên mặt phẳng vuông góc với r.Ta có: . Biết dSn = dS.cosα.Ta rút ra : Đặc biệt nếu S là một mặt kín bao quanh O thì góc khối Ω từ O nhìn S có giá trị bằng diện tích cả mặt cầu tâm O, r = 1: .Néu chọn chiều pháp tuyến dương hướng ra ngoài mặt S thì Ω mang dấu + , ngược lại thì mang dấu .B. Điện thông từ một điện tích điểm q.a) Cho một điện tích điểm đặt tại O. Xét một diện tích vi phân dS và là pháp tuyến dương hướng ra ngoài. Tại điểm M của dS (OM = r) vector có phương theo và chiều hướng ra khi q>0 và có độ lớn : .Điện thông qua diện tích vi phân dS : ,Sử dụng góc khối, ta được : .Dạng tổng quát cho q>0 và q 0). Để xác định cường độ điện trường ở điểm M cách trục của trụ một khoảng r > R, ta vẽ qua M một mặt trụ kín S có cùng trục trên và có hai mặt đáy vuông góc. Áp dụng định luật Gauss cho mặt trụ kín S. Điện thông qua mặt trụ S trên bằng tổng các tích phân theo mặt bên và hai đáy. Nhưng vì ở hai đáy thì En = 0, nên các tích phân này bằng không và chỉ còn lại tích phân theo mặt bên. Kết quả là: .Áp dụng định luật Gauss ta có:Φe = E.2πrl = Q ε0ε.()Nếu gọi λ là điện trụ thì Q bằng:Q = λ.l = σ.2πRl.Từ hai công thức trên ta tính được E: Hiệu điện thế tại điểm M giữa 2 bản tụ điện là: Thay E vào ta tính được: Biết: Do đó điện dung tụ điện trụ là:(6.7a)với l là khoảng cách giữa hai bản tụ điện.3 Tụ điện cầu: là tụ điện gồm hai mặt cầu kim loại đồng tâm, có bán kính và , đặt lồng vào nhau và tích điện trái dấu. Giả sử bản tụ trong tích điện dương với điện tích , bản tụ ngoài tích điện âm với điện tích . Để xác định cường độ điện trường ở giữa hai bản tụ, ta áp dụng định luật Gauss cho mặt cầu kín S có bán kính với điều kiện : ,Trong đó Q là tổng điện tích mà mặt Gauss bao quanh; nó chính là điện tích trên bản tụ trong. Do tích chất đối xứng của tụ cầu, vector cường độ điện trường tại mọi điểm trên mặt cầu S phải có độ lớn bằng nhau và có chiều trùng với pháp tuyến của mặt cầu tại điểm đó. Như vậy ta có: Suy ra Hiệu điện thế giữa hai bản tụ được tính từ công thức (): Từ định nghĩa điện dung ta nhận được: . (6.8)Ghép tụ điện: Hệ tụ điện mắc nối tiếp: Xét hai tụ điện có điện dung và được mắc như Hình 6.4a, trong đó bản cực âm của tụ này nối với bản cực dương của tụ kia. Với cách mắc này điện tích trên hai tụ bằng nhau, . Gọi là hiệu điện thế giữa hai bản cực tụ thứ nhất và là hiệu điện thế giữa hai bản cực tụ thứ hai. Từ định nghĩa điện dung ta có: ; Hiệu điện thế giữa hai đầu AC là: Như vậy hệ hai tụ điện mắc nối tiếp tương đương với một tụ điện có điện dung tương đương C được cho bởi: .Trường hợp tổng quát: hệ n tụ điện mắc nối tiếp. Ta có điện dung tương đương của hệ là: . (6.9) Hệ tụ điện mắc song song: Xét hai tụ điện có điện dung và được mắc như Hình 6.4b, trong đó hai bản tụ điện tích điện dương nối với nhau; hai bản tụ điện tích điện âm nối với nhau. Với cách mắc này hiệu điện thế trên hai tụ bằng nhau và bằng . Từ định nghĩa điện dung ta có: ; ,trong đó và lần lượt là điện tích trên hai tụ.Tổng điện tích trên cả hai tụ là: .Như vậy hệ hai tụ điện mắc song song tương đương với một tụ điện có điện dung tương đương được cho bởi: .Trường hợp tổng quát: hệ n tụ điện mắc song song. Điên dung tương đương của hệ là: .

MỤC LỤC Trang

5.2.3 Vector cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm 3

CHƯƠNG 7 TỪ TRƯỜNG CỦA DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI 32

7.4 Từ thông Định luật Gauss (Ostrograski-Gauss) đối với từ trường 39

7.5 Lưu số của từ trường Định luật Ampere về dòng điện toàn phần 41

CHƯƠNG 5: TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN 5.1 Điện tích và tương tác tĩnh điện

5.1.1 Điện tích

Thực nghiệm chứng tỏ trong tự nhiên có hai lọai điện tích Benjamin Franklin đề xuất gọi chúng là điện tích dương và điện tích âm (qui ước: điện tích dương là điện tích giống với điện tích xuất hiện trên thanh thủy tinh khi nó cọ sát với lụa; điện tích âm là điện tích giống với điện tích xuất hiện trên thanh ebonite khi nó cọ sát với dạ) Các điện tích cùng loại thì đẩy nhau và khác loại thì hút nhau Điện tích có giá trị gián đoạn Nó luôn bằng một số nguyên lần điện tích nguyên tố (điện tích nhỏnhất không thể phân chia được, có giá trị e=1.6 10 C× −19 )

Vật chất được cấu tạo từ các nguyên tử Nguyên tử vật chất được cấu tạo từ các proton (proton

có điện tích +e) và các electron (electron có điện tích -e) Số proton và số electron trong nguyên tử bằng nhau do đó nguyên tử ở trạng thái bình thường trung hòa về điện

Nếu một vật bị mất đi một số electron thì nó sẽ mang điện dương Nếu vật dư thừa một số

electron nó sẽ mang điện âm

Định luật bảo toàn điện tích: trong một hệ cô lập tổng điện tích không thay đổi.

Điện tích điểm: là vật mang điện có kích thước nhỏ, không đáng kể so với khoảng cách từ vật đó

tới những điểm hoặc những vật mang điện khác đang khảo sát

5.1.2 Định luật Coulomb về tương tác tĩnh điện

Giả sử có hai điện tích điểm có điện tích q và 1 q đứng yên trong chân không và cách nhau một 2

khoảng r Lực tương tác giữa hai điện tích điểm này có phương dọc theo đường thẳng nối hai điện

Vì các vector rr12

và rr21

có độ lớn bằng nhau (bằng r ) và ngược chiều nên Fr12= −Fr21

- Ví dụ 1: So sánh độ lớn lực tương tác Coulomb với lực tương tác hấp dẫn của một proton và một

31 2

2 2 11

2 19 2

2 2 9 2

2

2

10kg106.1kg101.9kg

mN1067.6

C106.1C

mN109

e G

C

m Gm ke r

m m G

r

e e k F

14

q q F

r

πε ε

= (5.4)trong đó ε được gọi là hằng số điện môi của môi trường.

Tương tác Coulomb của hệ gồm nhiều điện tích điểm q , 1 q … 2 q lên một điện tích điểm n q 0

được cho bởi nguyên lý tổng hợp lực:

i

i i

n

i i

r

r r

q q F

là vector nối từ điện tích q lên điện tích i q 0

F =  + Hai lực F21 và F31 ngược chiều nhau Chiếu phương trình trên lên trục tọa độ thẳng nằm ngang có chiều dương là chiều từ trái sang phải ta được:

3 1 2

4 3 2 1 31 21 1

R

q q k R

q q k F F

5.2.1 Khái niệm điện trường

Xét hai điện tích điểm đặt trong chân không Chúng tương tác với nhau qua lực tương tác Coulomb Câu hỏi là: 1) tương tác này truyền đi như thế nào khi mà hai vật không tiếp xúc với nhau; 2) làm

Hình 5.1: Hình minh họa cho ví dụ 2

sao điện tích thứ nhất biết sự có mặt của điện tích thứ hai để tác dụng lực; nếu điện tích thứ hai di chuyển từ vị trí này sang vị trí khác, làm thế nào điện tích thứ nhất biết thông tin đó để thay đổi cường độ và phương của lực tác dụng lên điện tích thứ hai Để trả lời những câu hỏi trên người ta giả

thiết rằng mỗi điện tích q tạo ra một điện trường xung quanh nó Tại một điểm P bất kỳ trong không

gian xung quanh, tồn tại một vector điện trường có độ lớn và chiều xác định Độ lớn của trường tại

đây phụ thuộc vào độ lớn của điện tích và khoảng cách từ P đến q, có phương dọc theo đường thẳng nối q và P và có chiều phụ thuộc dấu của điện tích q Nếu ta đặt một điện tích q nào đó vào vị trí P 0

thì điện tích q sẽ tương tác với q thông qua điện trường của nó tại P Do điện trường tồn tại ở mọi 0

điểm không gian xung quanh q nên điện tích q dù ở vị trí nào cũng tương tác với trường, tức là 0

tương tác với điện tích q.

Như vậy, điện trường là một môi trường vật chất đặc biệt tồn tại xung quanh mỗi điện tích Nó đóng vai trò môi trường trung gian truyền lực tương tác tĩnh điện giữa các điện tích với nhau Mọi điện tích đặt trong điện trường đều bị điện trường tác dụng lực

5.2.2 Vector cường độ điện trường

Đặt một điện tích thử q vào trong điện trường E0  nào đó Giả sử điện tích q nhỏ để không làm 0

thay đổi điện trường đang xét

Lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích q là F0  Khi đó điện trường tại điểm đặt điện tích q được định0

nghĩa là:

0

q

F E

5.2.3 Vector cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm:

Đặt một điện tích thử q tại điểm P cách điện tích q một khoảng r0  Theo định luật Coulomb, lực

điện tích q tác dụng lên q là:0

r

r r

q q F





2 0 0

4

1επε

=

Từ định nghĩa (5.6) ta tìm được vector cường độ điện trường tại P là:

r

r r

q q

F E







2 0

1επε

=

= (5.7)Như vậy cường độ điện trường là một vector có phương dọc theo vector bán kính, có chiều sao cho

Nếu q>0: E hướng ra xa điện tích q

Nếu q<0: E hướng vào điện tích q

và có độ lớn:

2 0

4

1

r

q E

επε

= (5.8)

5.2.3 Nguyên lý chồng chất điện trường

Xét hệ gồm n điện tích điểm q1,q2, ,q n Đặt điện tích thử q tại điểm P trong điện trường của hệ 0

điện tích điểm trên Hợp lực tĩnh điện tác dụng lên q là:0

0 20

F

F=  +  + +  , trong đó Fi0 là lực Coulomb do điện tích q tác dụng lên điện tích thử i q 0

Điện trường gây bởi hệ điện tích tại điểm P là:

n

q

F q

F q

F q

=+++

=

0

0 0

20 0

10 0

trong đó Ei =Fi0/ q0 là điện trường tại điểm P gây bởi điện tích điểm q i

Chiếu lên phương trục x (xem Hình 5.3) ta được: E= E1 −E2

Cường độ điện trường gây bởi mỗi điện tích điểm được cho bởi (5.8) Ta nhận được:

2 0

2 0

2 2 0

2 1 0

2

12

14

1

2/4

12

/4

14

14

1

x

d x

d x

q

d x

q d

x

q r

q r

q E

επε

επεε

πεε

πεε

q x

d x

d x

q

4

1

2

21

2

214

1

2 0

Suy ra 3

0

24

1

x

qd E

επε

( 2 2)

0

2 0

2

14

14

1

R z

ds r

ds r

dq dE

λεπεε

4

1cos

R z

z R

z

ds dE

dE z

++

=

επεθ

z R

z dE

E

π

λεπε

2

0 2 2 2 2 0

41

( )

12

4

1

2 / 3 2 2 0 2

/ 3 2 2

zQ R

z

R z E

+

=+

=

=

επε

π

λεπε

- Ví dụ 3:

Xác định vectơ cường độ điện trường Eur do đĩa tròn bán kính R đặt trong không khí, tích điện đều với mật độ điện mặt σ gây ra tại điểm M trên trục đĩa, cách tâm đĩa một khoảng x

Xét một phần của đĩa tròn có dạng hình vành khăn, bán kính r, bề rộng dr, tích điện dq Phần này

xem như một vòng dây tròn, nên nó gây ra tại M vector Eur hướng vuông góc với đĩa tròn và có độ lớn:

Do đó vector Eur do toàn đĩa gây ra cũng hướng vuông góc với đĩa tròn và có độ lớn bằng:

Hình 5.4: Điện trường gây bởi vòng dây tròn tích điện

ds

r z R

Khi R =∞ (mặt phẳng rộng vô hạn) ,

hoặc gần tâm của đĩa tròn (x à 0) thì Eur bằng:

(điện trường đều)

- Ví dụ 4: Hai điện tích điểm cùng dấu q1 = q2 = q, đặt tại A và B cách nhau một khoảng 2a trongkhông khí Xét điểm M trên trung trực của hai điểm AB, cách đường thẳng AB một khoảng x Xácđịnh vectơ cường độ điện trường tại điểm M Tìm x để EM đạt cực đại

Khi x = 0 thì E = 0

5.2.4 Điện tích điểm chuyển động trong điện trường

Khi một điện tích q đặt trong một điện trường E (gây bởi các điện tích khác) thì điện tích q sẽ bị

điện trường tác dụng một lực bằng:

E q

F=  (5.10)

Trong công thức trên điện trường E không bao gồm điện trường gây bởi bản thân điện tích q và

trường này thường được gọi là trường ngoài Công thức (5.10) cho thấy lực tĩnh điện có chiều dọc

theo chiều điện trường nếu điện tích q dương và có chiều ngược lại nếu điện tích đó là âm.

- Ví dụ: Tìm quĩ đạo của một electron chuyển động trong điện trường đều E Vận tốc ban đầu của electron là v0 và có phương vuông góc với điện trường E (xem Hình 5.2)

Điện tích của electron là q=−e do đó lực điện trường tác dụng lên electron là:

E e

F=− Theo định luật 2 Newton, phương trình chuyển động của electron là:

a m E e

F=− = 

Chiếu phương trình chuyển động lên phương trục y:

y ma

2 2

2

12

1

t m

eE t

a

y= y =−Thành phần gia tốc của electron theo phương x bằng không, electron chuyển động với vận tốc v 0

không đổi theo phương này Phương trình cho tọa độ x của nó là:

t

x=v0Khử biến thời gian ta tìm được phương trình quĩ đạo của electron trong điện trường:

2 2 0

v2

1

x m

eE

y =−Như vậy, quĩ đạo của electron là một đường cong parabol

5.3 Định luật Gauss (Ostrogradski-Gauss)

5.3.1 Đường sức điện trường

Hình 5.2: Electron chuyển động trong điện trường đều

E 

E e

Định nghĩa: đường sức điện trường là đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với

phương của vector cường độ điện trường tại điểm đó; chiều của đường sức là chiều của vector cường

độ điện trường

Tính chất:

- Qua mỗi điểm luôn vẽ được một đường sức điện trường

- Hai đường sức điện trường không cắt nhau

- Đường sức điện trường có chiều xuất phát từ điện tích dương, và kết thúc tại điện tích âm

Hình vẽ trên mô tả một số đường sức điện trường của các điện tích dương và âm

5.3.2 Thông lượng của điện trường (điện thông)

Xét một mặt phẳng diện tích S, đặt trong một điện trường đồng nhất Er Thông lượng của điện

trường (điện thông) xuyên qua mặt phẳng S được định nghĩa bởi:

cos

ES θ

Φ = (5.11)trong đó θ là góc giữa điện trường Er và pháp tuyến nr

của mặt phẳng

- Nếu θ =0, điện trường vuông góc với mặt phẳng, điện thông qua mặt này có giá trị cực đại

- Nếu θ π= / 2, điện trường song song với mặt phẳng, điện thông qua mặt này bằng không

Chúng ta định nghĩa vector diện tích Sr là một đại lượng có độ lớn bằng diện tích mặt S và có chiều là chiều pháp tuyến nr

của mặt phẳng này Như vậy (5.11) có thể biểu diễn dưới dạng tích vector:

E S

Φ = ×r r (5.12)

Hình 5.5: Điện trường đi xuyên qua mặt S: a) điện trường vuông góc với

mặt; b) điện trường xiên góc với mặt; c) điện trường song song với mặt

Trong trường hợp S là mặt cong bất kỳ và điện trường không đồng nhất, ta chia mặt S ra thành các mảnh diện tích dS rất nhỏ và xem phần diện tích vi cấp này là phẳng và điện trường đi qua dS

là đồng nhất Thông lượng của điện trường gửi qua diện tích dS là:

S E

dΦ= ⋅ 

trong đó E là vector cường độ điện trường tại yếu tố mặt S d

Lấy tích phân theo toàn bộ bề mặt, ta tìm được thông lượng điện trường qua mặt cong

∫

=Φ

S S

S E

S S

S E

Qui ước: vector pháp tuyến của mặt kín có chiều hướng từ trong ra ngoài.

Từ công thức (5.12) ta có thể thấy điện thông là một đại luợng vô hướng; trong hệ SI nó có đơn

vị là Nm2/C

- Ví dụ: Tính điện thông của điện trường không đồng nhất có dạng E=3x i+4j đi qua mặt kín là hình lập phương cho bởi Hình 5.6

Điện thông qua mặt kín bằng tổng điện thông qua từng mặt của hình lập phương

+ mặt phải: yếu tố vector diện tích cho mặt phải là S=( )dS i

r =3 3 =9 =9

trong đó A là diện tích của một mặt của hình lập phương, dễ thấy A=4m2

Như vậy điện thông qua mặt phải của hình lập phương là:

Góc khối dΩ nhìn thấy diện tích dS từ điểm O là phần không gian giới hạn bởi hình nón có đỉnh tại

O và có các đường sinh tựa trên chu vi của dS (Hình vẽ) Trong hệ SI đơn vị của góc khối là Sr (steradian)

Gọi r: là khoảng cách từ O đến dS,

α: là góc giữa pháp tuyến nr của dS và r,

dSn= dS0 : là hình chiếu của dS lên mặt phẳng vuông góc với r

1( )

B Điện thông từ một điện tích điểm q.

a) Cho một điện tích điểm đặt tại O Xét một diện tích vi phân dS và nr là pháp tuyến dương hướng

ra ngoài Tại điểm M của dS (OM = r) vector Eurcó phương theo OM ruuuur r= và chiều hướng ra khi q>0 và có độ lớn :

2 0

/ /

q E

2 0

Định lý Gauss có nội dung tương đương với định luật Coulomb Thật vậy, ta xét một mặt kín S

là mặt cầu bán kính r bao quanh một điện tích điểm q đặt tại tâm hình cầu (Hình 5.7).

Hình 5.7: Điện trường tạo bởi một điện tích điểm

q

Mặt Gauss

E 

Do tính chất đối xứng cầu, điện trường tại mọi điểm trên mặt cầu bán kính r phải có độ lớn bằng

nhau và có phương vuông góc với mặt cầu (tức là trùng với pháp tuyến của mặt cầu) Thông lượng

của điện trường qua mặt S là:

(4 r2)

E dS E EdS S

E

S S

επε

=

Ta nhận lại được công thức tính điện trường gây bởi điện tích điểm (5.8) Chú ý là trong phần trước công thức (5.8) được rút ra từ định luật Coulomb Như vậy có thể thấy định luật Gauss và định luật Coulomb tương đương với nhau (dẫn đến kết quả giống nhau)

Xét trường hợp mặt S bao quanh nhiều điện tích điểm q1,q2, ,q n Theo nguyên lý chồng chất

điện trường ta có điện trường gây bởi hệ điện tích điểm bằng tổng điện trường gây bởi từng điện tíchđiểm:

n E E

S S

q q

q S E S

E S E S

E  (5.14)Dạng vi phân của định luật Gauss: Nếu điện tích trong thể tích V (giới hạn bởi mặt kín S) phân bố

liên tục với mật độ điện tích khối ρ, thì (5.14) trở thành:

εε

E

Hay

j x

i

∂

∂+

∂

∂+

* Điện trường của sợi dây tích điện:

Bài toán: xác định điện trường gây bởi một sợi dây thẳng dài vô hạn tích điện đều theo chiều dài Mật độ điện tích theo chiều dài là λ

Xét mặt kín S có dạng hình trụ bán kính r, có trục trùng với dây tích điện như Hình 5.8 Điện thông

đi qua mặt trụ bằng tổng điện thông đi qua mặt xung quanh và hai đáy của hình trụ:

2

đ

xq +Φ +ΦΦ

=Φ

S E S E S E S

Do tính chất đối xứng của sợi dây, điện trường nó tạo ra có phương vuông góc với dây và đi qua dây Ngoài ra độ lớn của điện trường bằng nhau trên bề mặt xung quanh của hình trụ và có phương song song pháp tuyến của mặt xung quanh hình trụ Ta có:

)2( rl E dS E S E

xq

xq S S

trong đó 2πrl là diện tích xung quanh của hình trụ.

Điện trường vuông góc với pháp tuyến của hai mặt đáy của hình trụ nên điện thông qua hai mặt này bằng không:

0

2 1

S E S

λπ

0

)2

1

= (5.16)

* Điện trường của mặt phẳng tích điện:

Bài toán: Tìm điện trường gây bởi mặt phẳng vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích mặt là σ.Xét mặt Gauss là mặt trụ kín có diện tích đáy là A, đặt vuông góc với mặt phẳng tích điện như Hình 5.9 Điện thông đi qua hình trụ bằng điện thông đi qua mặt xung quanh cộng với điện thông qua hai đáy của hình trụ:

2

đ xq

S

S E S E S E S

Do tính chất đối xứng ta nhận thấy điện trường phải có phương vuông góc với mặt phẳng tích điện Vector pháp tuyến của mặt xung quanh song song với mặt phẳng tích điện nên vuông góc với điện trường và do đó điện thông qua mặt xung quanh hình trụ bằng không Vector pháp tuyến của hai mặt

đáy song song cùng chiều với E nên ta có:

EA EA EA dS E dS E

đ đ

20

2 1

=+

=+

σε

A Q

S E S

* Điện trường của hai mặt phẳng tích điện trái dấu:

Bài toán: Tìm điện trường gây bởi hai mặt phẳng vô hạn tích điện đều bằng nhau nhưng trái dấu, đặt song song với nhau

Sử dụng kết quả ở trên và áp dụng nguyên lý chồng chất điện trường

2

E

E=  +  + Điện trường ở giữa hai mặt phẳng: E1 và E2 cùng chiều do đó:

εε

σεε

σεε

σ

0 0

* Điện trường của quả cầu đặc tính điện đều:

Bài toán: Tìm điện trường gây bởi quả cầu đặc bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích khối là

ρ.

Xét mặt Gauss là hình cầu bán kính r có tâm là tâm của quả cầu tích điện

+ Trường hợp mặt Gauss là mặt cầu S nằm trong quả cầu tích điện (1 r< R) như Hình 5.10a: Tổng điện tích bên trong mặt S bằng 1 

Áp dụng định luật Gauss cho mặt S ta có:1

1 1





Suy ra điện trường bên trong quả cầu tích điện là:

εε

Áp dụng định luật Gauss cho mặt S ta có:2

2 2

E dS E S E

S S





Suy ra điện trường bên ngoài quả cầu tích điện là:

2 0

3

R E

εε

ρ

= (5.20b)

5.3.5 Vector điện cảm (cảm ứng điện):

Vector cường độ điện trường của điện tích điểm ở khoảng cách r tại P theo (5.7) là:

r

r r

q q

F E







2 0

1επε

Hình 5.10: Mặt Gauss hình cầu bán kính r có tâm trùng với tâm quả cầu tích

điện; a) Mặt Gauss nằm trong quả cầu; b) Mặt Gauss nằm ngoài quả cầu

14

q r D

r r

π

ur

Khi đó có thể phát biểu định luật Gauss (5.10) gọn hơn, như sau:

Thông lượng cảm ứng điện qua một mặt kín bằng tổng đại số các điện tích chứa trong mặt kín ấy.

5.4.1 Công của lực điện trường

a Công của lực điện trường đều

Xét điện tích q dịch chuyển từ vị trí M đến N trong điện trường đều E0 r Giả sử điện trường có

phương dọc theo trục tọa độ y (như trên Hình 5.11) Lực điện trường tác dụng lên điện tích là

0

F q Er = r Công của lực điện trường thực hiện trong dịch chuyển này là:

Hình 5.11: Điện tích di chuyển từ vị trí M đến N trong điện trường đều

yM

M

y

N

y

(dấu trừ do ta chọn chiều dương trục y ngược với chiều điện trường)

Như vậy, tính tích phân ta được:

N M

MN q Ey q Ey

A = 0 − 0 (5.24)

b Công của lực điện trường gây bởi một điện tích điểm

Công của lực điện trường gây bởi một điện tích điểm điện tích q thực hiện trong dịch chuyển điện

M N

r d q q dr r

q q

Edr q r d E q s d E q

44

1

0

0 2

0 0 0

14

q q A

επεε

= (5.25)

Kết luận: Từ hai trường hơp trên ta thấy rằng trường tĩnh điện là trường lực thế vì công của lực tĩnh

điện trong dịch chuyển bất kỳ của điện tích q chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của nó0

chứ không phụ thuộc vào dạng đường đi

5.4.2 Thế năng của một điện tích trong điện trường

Vì điện trường là một trường lực thế nên công của lực điện trường chính là độ biến thiên thế năng

Ký hiệu thế năng là W, ta có:

N M

trong đó C là hằng số, được xác định khi chọn gốc thế năng.

- Thế năng của điện tích điểm q trong điện trường gây bởi điện tích điểm q:0

Từ (5.25) và (5.26) ta tìm được :

C r

q q

0

4

1ε

πε (5.28)Chọn gốc thế năng tại vô cùng bằng không W(r =∞)=0 suy ra C=0

5.4.3 Điện thế

Định nghĩa: điện thế của điện trường tại một điểm là tỉ số giữa thế năng của điện tích thử với điện

tích của nó tại điểm đó:

0

W V q

= (5.29)

Vì thế năng W phụ thuộc tuyến tính vào độ lớn điện tích thử nên với định nghĩa (5.29), điện thế không phụ thuộc vào độ lớn của điện tích thử mà chỉ phụ thuộc vào điện trường và vị trí của điểm đang xét

Trong hệ đơn vị SI, điện thế có đơn vị là Volt (V) Từ định nghĩa điện thế ta có:

J1V=1CTrong mục 5.2 chúng ta biết đơn vị của cường độ điện trường là N/C,

Như vậy đơn vị của cường độ điện trường còn có thể là V/m

- Điện thế của điện trường đều:

ε

πε04

1

= (5.31)

- Điện thế của điện trường bất kỳ:

Công của lực điện trường trong dịch chuyển điện tích q từ vị trí M đến N là:0

q

A V

0

(5.32)Hiệu số V M −V N =∆V được gọi là hiệu điện thế giữa hai điểm M và N Nó có giá trị bằng công của

lực điện trường trọng dịch chuyển một đơn vị điện tích dương đi từ điểm M đến điểm N

Cho điểm N tiến ra vô cùng và chọn thế năng tại vô cùng bằng không (V∞ =0), khi đó thế năng tại điểm M được cho bởi:

0

(5.33)Như vậy điện thế tại một điểm trong điện trường có giá trị bằng công của lực tĩnh điện thực hiện trong sự dịch chuyển một đơn vị điện tích dương từ điểm đó ra xa vô cùng

- Điện thế của hệ nhiều điện tích điểm:

Xét hệ gồm nhiều điện tích điểm q , với i i=1, 2, ,n Theo nguyên lý chồng chất điện trường, điện

trường của hệ tạo ra tại điểm M là:

i i

Điện thế tại điểm M:

- Ví dụ 2: Tính điện thế tại tâm P của một hình vuông cạnh a=1.3mcó đỉnh là các điện tích điểm

3 2

2 1

1 0

q r

q r

q V

V

i i πε εTrong đó r1,r2,r3,r4 lần lượt là khoảng cách từ các điện tích đến điểm P Chúng bằng nhau và bằng

một nửa đường chéo của hình vuông, tức là r1 =r2 =r3 =r4 =a/ 2

( ) ( )

( )m / 2 350V1.3

C1017312412C

Nm10

- Ví dụ 3: Vòng dây tròn, bán kính a, tích điện đều với điện tích tổng cộng Q Tính điện thế tại tâm O

của vòng dây và tại điểm M trên trục vòng dây, cách O một đoạn x Suy ra hiệu điện thế UOM

Điện thế của một điện trường đều Er=const được cho bởi (5.30):

V =Ey C+ Phương trình của mặt đẳng thế là:

const

Ey C+ = suy ra y=const.Như vậy mặt đẳng thế là mặt phẳng vuông góc với phương điện trường (xem Hình 5.13a)

Ví dụ 2: Tìm mặt đẳng thế gây bởi một điện tích điểm.

Điện thế gây bởi một điện tích điểm được cho bởi (5.31):

( )

0

14

q r

πε ε = suy ra r=const.

Như vậy mặt đẳng thế là mặt cầu bán kính r có tâm là điện tích điểm (xem Hình 5.13b).

- Tính chất của mặt đẳng thế:

+ Không cắt nhau vì mỗi điểm trong không gian chỉ có một giá trị điện thế

+ Công của lực tĩnh điện khi điện tích di chuyển trên mặt đẳng thế bằng không

A =W −W =q V −V =+ Vector cường độ điện trường luôn vuông góc với mặt đẳng thế

là vector bất kỳ trên mặt đẳng thế, E dsr⊥ r có nghĩa là Er vuông góc với mặt đẳng thế.

- Ví dụ: Điện thế của một điện trường có dạng: V(x,y,z) = a(x2 + y2 + z2), với a là hằng số dương Xác định cường độ điện trường tại điểm M(x,y,z) Những mặt đẳng thế có dạng như thế nào?

Bài giải :

Cường độ điện trường :

Hình 5.13: Các đường liền là các đường sức điện trường, các đường gạch mô tả các mặt đẳng thế: a) điện trường đều; b) điện tích điểm; c) lưỡng cực điện

Các thành phần :

Nên :

Để tìm dạng của mặt đẳng thế ta giải phương trình:

Như vậy mặt đẳng thế là mặt cầu tâm O ở gốc tọa độ có bán kính bằng:

5.5 Liên hệ giữa vector cường độ điện trường và điện thế

Từ định nghĩa thế năng và điện thế ta có công của lực điện trường Er trong dịch chuyển điện tích q

ds

dV

E =− (5.35)

Tức là điện trường bằng độ giảm thế trên đoạn ds.

Trong trường hợp tổng quát ta có :

∂

∂+

V i x

V V

E     (5.36)

Chú ý, công thức (5.36) và (5.32) có nội dung tương đương với nhau, chỉ khác nhau ở cách biểu diễn(dạng vi phân và dạng tích phân) Các công thức này mô tả mỗi liên hệ giữa vector cường độ điện trường và điện thế Chúng cho phép ta tính được điện trường nếu biết điện thế và ngược lại

- Ví dụ: (Sử dụng lại ví dụ 1 trong mục 5.2.3.) Tìm điện trường do một lưỡng cực điện (gồm một cặp

điện tích trái dấu q1 =+q,q2 =−q đặt cách nhau một khoảng d) gây ra tại điểm P (xem Hình 5.1).

Điện thế tại điểm P là:

=

2 1

1 2 0 2

1 0 2

2 1

1

14

1

r r

r r q r

q r

q r

q r

q V

επεε

πεε

4

1

x

qd V

επε

a

=

Suy ra điện trường theo phương x:

3 0

24

1

x

qd dx

dV E

επε

* Điều kiện cân bằng tĩnh điện:

1) Để các điện tích trong vật dẫn không chuyển động thì điện trường bên trong vật dẫn bằng không:

0

trong =

E (6.1)2) Để các điện tích trên bề mặt vật dẫn không chuyển động thì thành phần tiếp tuyến của điện

trường trên bề mặt vật dẫn phải bằng không, có nghĩa là điện trường trên bề mặt vật dẫn vuông góc với bề mặt vật dẫn:

n n

t E E E

00

M N

M V E d s E d s

V     (vì En vuông góc với s d)

suy ra V M =V N =Vmat

2) Điện tích chỉ phân bố trên bề mặt vật dẫn:

Áp dụng định luật Gauss cho một mặt kín bất kỳ bên trong vật dẫn

ε

ε0

trong trong

Q S E

Hình 6.1: Điện trường của vật dẫn tích điện chỉ tồn tại ở bề mặt và có phương

vuông góc với bề mặt vật dẫn Bên trong vật dẫn điện trường bằng không

0

+ +

+ +

+

+

+ + + +

+ + + +

0

E r =

n

E r

Hình vẽ dưới đây mô tả:

Bên trong vật dẫn đặc cũng như vật dẫn rỗng đều không có điện tích và điện trường bằng không

Như vậy vật dẫn rỗng chính là môt màn cách điện cho bên trong ruột.

3) Hiệu ứng mũi nhọn:

Sự phân bố điện tích trên mặt vật dẫn phụ thuộc vào hình dạng của bề mặt vật dẫn Những vật

dẫn có dạng mặt cầu, mặt trụ dài vô hạn, mặt phẳng rộng vô hạn thì điện tích phân bố đều

Những vật dẫn có hình dạng bất kì thì điện tích tập trung nhiều tại các chỗ lồi ra Tại các mũi

nhọn, mật độ điện tích rất lớn, tạo nên điện trường rất mạnh Điện trường này làm một số ion và

electron có sẵn trong khí quyển chuyển động, va chạm với các phân tử khí, gây ra hiên tượng ionhóa, sinh ra rất nhiều hạt mang điện

E

→

Ein = 0

Các hạt mang điện trái dấu với điện tích của mũi nhọn sẽ bị mũi nhọn hút vào, và do đó điện tíchcủa mũi nhọn giảm dần Các hạt mang điện trái dấu với điện tích của mũi nhọn sẽ bị đẩy ra xa mũi

nhọn và chúng kéo theo các phân tử khí chuyển động, tạo thành luồng gió điện Hiện tượng mũi

nhọn bị mất dần điện tích và tạo thành gió điện được gọi là hiệu ứng mũi nhọn.

Khi trời mưa giông điện tích từ các đám mây sẽ phóng xuống các vật nhọn gần nhất Người tadụng cột thu lôi (Hình ảnh) để thu sét làm giảm hư hại mái nhà, vật dụng và người đang ở trong nhà

- Ví dụ 1: Tính điện trường và điện thế của quả cầu kim loại bán kính R, tích điện với mật độ điện

tích bề mặt σ .

Áp dụng định luật Gauss cho mặt kín S có hình cầu bán kính r ≥R

( ) σ(επε )

εε

S S

εε

V r

2

0εε

σ

0

- Ví dụ 2: Nối hai quả cầu kim loại bán kính R và 1 R với nhau bằng một dây dẫn Tìm tỉ số mật độ 2

điện tích bề mặt trên hai quả cầu σ1/σ2

Gọi V và 1 V là điện thế trên hai quả cầu Từ tính chất đẳng thế của vật dẫn ta có:2

2 1 0

εε

σε

1

R

R

=σ

σ

(6.2*)

Như vậy, bán kính hình cầu kim loại càng nhỏ thì mật độ điện tích trên mặt của nó càng lớn và ngược lại Trong các vật dẫn có hình dạng bất đối xứng tùy ý, khi đó nếu vật dẫn tích điện, các điện tích sẽ phân bố không đồng nhất mà tập trung vào những nơi có dạng mũi nhọn của vật dẫn (tức là nơi có bán kính cong bé nhất); ví dụ: mũi nhọn của cột thu lôi, mũi nhọn của máy bay…Hiệu ứng

này cũng được gọi là hiệu ứng mũi nhọn:

6.2 Hiện tượng điện hưởng (hưởng ứng điện)

Đặt một vật dẫn chưa mang điện vào trong một điện trường ngoài E0 Dưới tác dụng của điện trường các điện tích (electron) trong vật dẫn chuyển động và làm cho trên bề mặt vật dẫn xuất hiện các điện tích trái dấu Các điện tích này được gọi là các điện tích cảm ứng

Các điện tích cảm ứng gây ra điện trường phụ E′ , và điện trường tổng hợp là:

E E

E= 0 + ′

Điện trường cảm ứng E′ có chiều ngược với E0 và làm điện trường tổng hợp bên trong vật dẫn giảm Khi điện trường tổng hợp bên trong vật dẫn giảm tối đa E=0 các điện tích ngừng chuyển động Lúc này vật dẫn đã đạt đến trạng thái cân bằng tĩnh điện

Hiện tượng các điện tích cảm ứng xuất hiện trên vật dẫn (lúc đầu không mang điện) khi đặt trongđiện trường ngoài được gọi là hiện tượng điện hưởng

Điện trường phụ E′ phụ thuộc nhiều vào hình dạng vật dẫn và nó làm phổ điện trường ngoài thay đổi Một số đường sức phải kết thúc trên bề mặt tích điện cảm ứng âm; một số khác xuất phát trên bề mặt tích điện cảm ứng dương Vì các đường sức điện trường phải vuông góc với bề mặt vật dẫn nên chúng bị uốn cong như minh họa trên Hình 6.3a

* Điện hưởng một phần và điện hưởng toàn phần:

Xét vật mang điện có điện tích q đặt gần một vật dẫn không mang điện như Hình 6.3a Trên vật0

dẫn xuất hiện các điện tích cảm ứng q Trong trường hợp này vì không phải tất cả các đường sức

điện trường gây bởi vật mang điện đều kết thúc trên bề mặt vật dẫn nên độ lớn của điện tích cảm ứng

Hình 6.2: Mật độ điện tích trên bề mặt quả cầu tỉ lệ nghịch với bán kính của chúng

trên vật dẫn nhỏ hơn độ lớn điện tích của vật mang điện: q < q0 Trường hợp này được gọi là điện hưởng một phần.

Trong trường hợp vật dẫn là một khối kín rỗng ruột và vật mang điện đặt ở bên trong như Hình

6.3b Do hiện tượng điện hưởng, bề mặt bên trong vật dẫn xuất hiện điện tích q , bề mặt ngoài xuất hiện điện tích q− Áp dụng định luật Gauss cho mặt kín S nằm giữa hai mặt trong và ngoài của vật dẫn:

trong S

Q S

E⋅ =

trong đó Q trong là tổng điện tích bên trong mặt Gauss (bao gồm điện tích của vật mang điện và điện

tích trên bề mặt trong của vật dẫn): Q trong =q0 +q Vì điện trường bên trong vật dẫn trong trạng thái

cân bằng tĩnh điện bằng không: E=0, ta suy ra Q trong =q0 +q=0 hay q=−q0 Điện tích trên mặt ngoài của vật dẫn là −q=q0 Trong trường hợp này tất cả các đường sức gây bởi vật tích điện đều

kết thúc trên vật dẫn; độ lớn của điện tích cảm ứng trên vật dẫn bằng độ lớn điện tích vật mang điện Trường hợp này được gọi là điện hưởng toàn phần

6.3 Điện dung của vật dẫn cô lập

Một vật dẫn được gọi là cô lập về điện nếu gần nó không có vật nào khác có thể gây ảnh hưởng đến

sự phân bố điện tích trên bề mặt của nó

Nếu ta truyền cho vật A một điện tích Q Theo tính chất cân bằng tĩnh điện thì điện tích Q sẽ chạy hết lên bề mặt sao cho điện trường bên trong bằng không

Điện thế V của vật dẫn cô lập cũng tỷ lệ với điện tích Q của nó:

trong đó C là hệ số tỷ lệ được gọi là điện dung của vật dẫn; nó phụ thuộc vào hình dạng kích thước

và tính chất của môi trường cách điện bao quanh vật dẫn

Nếu cho V = 1 V, thì C = Q

Như vậy ở cùng một điện thế V, vật nào có điện dung lớn hơn thì vật đó sẽ tích điện nhiều hơn.Kết luận:

Điện dung của vật dẫn cô lập là đại lượng đặc trưng cho khả năng tích điện của vật dẫn ở một

điện thế nhất định, có giá trị bằng điện tích mà vật dẫn tích được khi điện thế của nó là một đơn vị điện thế.

Hình 6.3: (a) Điện hưởng một phần; (b) Điện hưởng toàn phần

(b)(a)

Vật dẫn

+

++++ + + − − − ++ + + ++++ + + +

+ +

Vật mang điện

Ta có:

Q C V

Trong hệ SI, đơn vị của điện dung là Farad (kí hiệu F)

V

C1F

Ở sát mặt ngoài của cầu ta có r ≈ R

Suy ra, điện dung của quả cầu là:

Quả cầu có điện dung 1F thì phải có bán kính R = 9.109m (rất lớn!)

6.4 Điện dung của tụ điện

* Tụ điện: là hệ gồm hai vật dẫn không tiếp xúc nhau, đặt gần nhau sao cho giữa chúng luôn xảy ra

hiện tượng điện hưởng toàn phần Hai vật dẫn đó được gọi là hai bản (hay hai cốt) của tụ điện Hai

bản này sẽ tích điện trái dấu:

* Điện dung của tụ điện:

Điện dung của tụ điện được định nghĩa bởi:

V

Q V V

Q C

(6.6)

* Điện dung của một số tụ điện thông dụng:

kQ V

r

= ε

Hình ảnh: Một số tụ điện thường dùng trên thị trường.

1- Tụ điện phẳng: là tụ điện gồm hai mặt phẳng kim loại diện tích A đặt song song cách nhau khoảng cách d (giả sử d rất nhỏ so với kích thước của mặt phẳng kim loại)

Áp dụng kết quả của chương trước (5.15) ta có cường độ điện trường bên ngoài tụ điện phẳng bằng không; cường độ điện trường bên trong tụ điện phẳng là

εε

ε

ε0

=Hiệu điện thế giữa hai bản tụ là:

A

d Q Ed ds E s d E V V V

Giả sử mặt trụ thẳng dài vô hạn có bán kính R, có mật độ điện mặt σ (cho σ > 0) Để xác định cường độ điện trường ở điểm M cách trục của trụ một khoảng r > R, ta vẽ qua M một mặt trụ kín S

d

+ + + + + + + +

- - -

có cùng trục trên và có hai mặt đáy vuông góc Áp dụng định luật Gauss cho mặt trụ kín S Điện thông qua mặt trụ S trên bằng tổng các tích phân Φ =e ∫E dS n theo mặt bên và hai đáy Nhưng vì ở hai đáy thì En = 0, nên các tích phân này bằng không và chỉ còn lại tích phân theo mặt bên Kết quả là:

.2

n matben matben

σπ

=

Do đó điện dung tụ điện trụ là:

(6.7a)

với l là khoảng cách giữa hai bản tụ điện

3- Tụ điện cầu: là tụ điện gồm hai mặt cầu kim loại đồng tâm, có bán kính R và 1 R , đặt lồng vào 2nhau và tích điện trái dấu Giả sử bản tụ trong tích điện dương với điện tích Q , bản tụ ngoài tích điện âm với điện tích Q−

Để xác định cường độ điện trường ở giữa hai bản tụ, ta áp dụng định luật Gauss cho mặt cầu kín

S có bán kính r với điều kiện R2 >r >R1:

0 2 1

ε0

Q S E S

S S

4

1

r

Q E

επε

=Hiệu điện thế giữa hai bản tụ được tính từ công thức ():

( )

2 1 0

1 2 2

0

2

1 2 1

44

1

2

1 2

R R Q dr r

Q Edr

s d E V V V

2 1 0

4

R R

R R V

Q C

- Hệ tụ điện mắc nối tiếp: Xét hai tụ điện có điện dung C và 1 C được mắc như Hình 6.4a, trong đó 2

bản cực âm của tụ này nối với bản cực dương của tụ kia Với cách mắc này điện tích trên hai tụ bằngnhau, Q1 =Q2 =Q Gọi U là hiệu điện thế giữa hai bản cực tụ thứ nhất và AB U BC là hiệu điện thế

giữa hai bản cực tụ thứ hai Từ định nghĩa điện dung ta có:

=

2 1

11

C C Q U

U

U AC AB BC Như vậy hệ hai tụ điện mắc nối tiếp tương đương với một tụ điện có điện dung tương đương C được

cho bởi:

2 1

111

C C

Trường hợp tổng quát: hệ n tụ điện mắc nối tiếp Ta có điện dung tương đương của hệ là:

n C C

C C

1

111

2 1

+++

= (6.9)

- Hệ tụ điện mắc song song: Xét hai tụ điện có điện dung C và 1 C được mắc như Hình 6.4b, trong 2

đó hai bản tụ điện tích điện dương nối với nhau; hai bản tụ điện tích điện âm nối với nhau Với cách mắc này hiệu điện thế trên hai tụ bằng nhau và bằng U Từ định nghĩa điện dung ta có: AB

AB U C

Q1 = 1 ; Q2 =C2U AB,trong đó Q và 1 Q lần lượt là điện tích trên hai tụ.2

Tổng điện tích trên cả hai tụ là:

(C C )U AB Q

Q

Q= 1 + 2 = 1+ 2