MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương Loại 1: Trong hệ phương trình có phương trình bậc ẩn x y rút x theo y ngược lại Ví dụ Giải hệ phương trình sau x (y + 1)(x + y + 1) = 3x − 4x + xy + x + = x (1) (2) Nhận xét x = không thỏa mãn phương trình (2) nên ta suy y + = x2 −1 (3) x Thay (3) vào (1) ta x2 −1 x −1 x2 × (x + ) = 3x − 4x + ⇔ (x − 1)(x + 1)(2x − 1) = (x − 1)(3x − 1) x x x = 2 ⇔ (x − 1)(2x + 2x − 4x) = ⇔ 2x(x − 1) (x + 2) = ⇔ x = x = −2 Loại nghiệm x = 0, phương trình có hai nghiệm (1; –1) (–2; –5/2) Loại 2: Một hai phương trình hệ đưa dạng tích có nhân tử phương trình bậc hai ẩn Ví dụ Giải hệ phương trình sau xy + x + y = x − 2y x 2y − y x − = 2x − 2y (1) (2) Điều kiện: x ≥ y ≥ (1) (x² – xy – 2y²) – (x + y) = (x + y)(x – 2y) – (x + y) = (x + y)(x – 2y – 1) = (3) Vì x + y > theo điều kiện nên (3) x = 2y + (4) Thay (4) vào (2) ta có: (2y + 1) 2y − y 2y = 2(2y + 1) − 2y ⇔ (y + 1) 2y = 2(y + 1) ⇔ 2y = (5) y + > (5) y = suy x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (5; 2) Loại 3: Đưa phương trình thành phương trình bậc hai ẩn ẩn lại xem tham số dùng cơng thức nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình sau y = (5x + 4)(4 − x) 2 y − 5x − 4xy + 16x − 8y + 16 = (1) (2) Biến đổi phương trình (2) thành y² – 4(x + 2)y – 5x² + 16x + 16 = với y ẩn, x tham số Khi Δ’ = 4(x + 2)² – (–5x² + 16x + 16) = 9x² Nhận xét Δ’ có dạng bình phương biểu thức bậc theo x nên nghiệm (2) có dạng y = 2(x + 2) + 3x = 5x + (a) y = 2(x + 2) – 3x = –x + (b) Thay (a) vào (1) ta có: (5x + 4)² = (5x + 4)(4 – x) x = –4/5 x = Thay (b) vào (1) ta có: (4 – x)² = (5x + 4)(4 – x) x = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (–4/5; 0); (0; 4) (4; 0) * Lưu ý: ta đưa phương trình (2) dạng tích giống loại nhân tử khó mà phán đoán từ đầu nên dạng thường dùng cơng thức nghiệm phương trình bậc hai để kiểm tra Sau chọn dùng cách giải phương trình bậc hai đưa dạng tích Mục đích chung cách giải ba loại hệ phương trình đưa phương trình dạng đơn giản dùng phương pháp ẩn theo ẩn cịn lại 2 Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Đôi lúc ẩn phụ không xuất từ đầu mà cần biến đổi thích hợp nhóm hạng tử, tách hạng tử, thêm bớt biểu thức phụ nhân chia cho biểu thức khác khơng Ví dụ Giải hệ phương trình sau x + + y(y + x) = 4y (1) (x + 1)(y + x − 2) = y (2) Ta thấy y = không thỏa mãn phương trình (1) nên chia vế phương trình cho y ta x2 +1 +y+x = y (*) x +1 y (y + x − 2) = x2 +1 Đặt a = b = y + x – ta y a + b = ⇔ a = b =1 ab = Từ ta có hệ phương trình sau x = x = −2 x + = y ⇔ ∨ x + y = y = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 2) (–2; 5) Sử dụng phương pháp hàm số Dạng thường có phương trình đưa dạng f(u(x)) = f(v(y)) với f hàm đơn điệu phạm vi xác định hệ phương trình Đơi cần cộng hay trừ hai phương trình xuất phương trình nói Khi suy u(x) = v(y) Loại 1: Hệ có phương trình có dạng f(u(x)) = f(v(y)) với f hàm đồng biến nghịch biến miền xác định D hệ phương trình Ví dụ Giải hệ phương trình sau y y − y = x − 6x (1) (2) x + y = Điều kiện y ≥ Từ phương trình (2) suy x8 ≤ y4 ≤ nên –1 ≤ x ≤ ≤ y ≤ Xét hàm số f(t) = t³ – 6t đoạn [–1; 1] Đạo hàm f’(t) = 3t² – < với t thuộc đoạn [–1; 1] Hay f(t) nghịch biến [–1; 1] Do (1) ⇔ f ( y) = f (x) ⇔ y = x ⇔ y = x (3) x ≥ Thay (3) vào (2) ta 2x4 = (4) Giải (4) ta x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ; 1 ÷ 2÷ Loại 2: Hệ có dạng đối xứng loại biến đổi cách trừ hai phương trình theo vế Ví dụ Giải hệ phương trình sau x + x − 2x + = 3y −1 + y + y − 2y + = 3x −1 + (1) (2) Nhận xét đổi chổ x y cho phương trình (1) biến thành phương trình (2) ngược lại nên thuộc hệ phương trình đối xứng loại Trừ hai phương trình ta x + x − 2x + − y − y − 2y + = 3y−1 − 3x −1 ⇔ 3x −1 + x − + (x − 1)2 + = 3y −1 + y − + (y − 1) + (3) Xét hàm số f(t) = 3t + t + t + R t t Đạo hàm f’(t) = ln + + Vì t t2 +1 < ⇔ −1 < t +1 t t2 +1 < ⇒ 1+ t t2 +1 >0 Nên f’(t) > với số thực t Hay f(t) đồng biến R Khi (3) f(x – 1) = f(y – 1) x = y (4) x −1 Thay (4) vào (1) ta x − + (x − 1) + = ⇔ ln x − + (x − 1) + = (x − 1) ln (5) Ta lại xét hàm số g(t) = ln(t + t + 1) − t ln R Đạo hàm g’(t) = Vì t +1 t +1 − ln < < ln Nên g’(t) < với số thực t Hay hàm số g(t) nghịch biến R mà g(0) = nên phương trình (5) g(x – 1) = x – = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1) Sử dụng phương pháp đánh giá Trong phương pháp thường sử dụng tính chất khơng âm bình phương, thức bất đẳng thức bản, đơi dùng hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Ví dụ Giải hệ phương trình sau 2xy = x2 + y x + x − 2x + 2xy y + = y2 + x y − 2y + (1) (2) Cộng phương trình (1) (2) theo vế rút gọn ta 2xy x − 2x + + 2xy y − 2y + = x + y (3) Vì x² – 2x + = (x – 1)² + ≥ y² – 2y + = (y – 1)² + ≥ Nên VT ≤ 2xy 2xy + = 2xy ≤ x² + y² = VP 8 Phương trình (3) x = y (4) Thay (4) vào (1) ta có: 2x x − 2x + = x ⇔ x (2 − x − 2x + 9) = x = x = ⇔ 3 ⇔ x = x − 2x + = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0) (1; 1) Bài tập tự luyện Giải hệ phương trình sau y = − x + 3x + x = 2y − 6y − xy − 3x − 2y = 16 2 x + y − 2x − 4y = 33 x (2 + 3y) = x(y − 2) = x + 3y = 2(x + 2x − y − 1) = x (y + 1) 2 y + 4(2x − 3)y − 48y − 48x + 155 = y + 4x + + ln(y + 2x) = x + x + + x + − y − − y − − y − = x + y = 2 2 x + xy + y − y = x + y + x + y = 44 e x = − y3 x y − 2x + y = y 3 e = − x 2x + 3x + 6y − 12x + 13 = Một số lưu ý giải hệ phương trình: Cần nắm rõ điều kiện xác định hệ phương trình đơi điều kiện có nghiệm quan trọng việc giải tốn Thơng thường, cần có phép biến đổi định tạo dạng hệ phương trình quen thuộc Do học sinh cần rèn luyện qua nhiều dạng khác nhau, đồng thời cố lại kiến thức phép biến đổi sử dụng đẳng thức, phép phân tích thành nhân tử, quy tắc so sánh, tính chất hàm số số kiến thức khác học Khi biến đổi cịn phương trình ẩn khơng quen thuộc không nên bỏ mà cần sử dụng số phương pháp hàm số đánh giá để giải tiếp Đơi cần đốn trước nghiệm máy tính Bài tốn minh họa Bài (A 2008) Giải hệ phương trình sau x + y + x y + xy + xy = − (1) x + y + xy(1 + 2x) = − (2) Phương trình (2) tương đương (x² + y)² + xy = –5/4 Phương trình (1) tương đương (x² + y) + xy + xy(x² + y) = –5/4 Nếu đặt u = x² + y v = xy 5 u + v = − v = − − u ⇔ u + v + uv = − u − u + u(− − u ) = (3) (4) phương trình (4) tương đương u = u = –1/2 x + y = y = −x x = * u = v = –5/4 ta có ⇔ ⇔ xy = − x = y = − 25 /16 1 2x + x − = x = x + y = − y = − − x ⇔ ⇔ ⇔ * u = –1/2 v = –3/2 ta có 3 y = − − x xy = − x(− − x ) = − y = − 2 25 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ; − ÷ (1; –3/2) 16 ÷ Bài (B 2009) Giải hệ phương trình sau xy + x + = 7y 2 x y + xy + = 13y (1) (2) Dễ thấy y = khơng thỏa mãn phương trình (2) nên chia hai vế phương trình (1) cho y hai vế phương trình (2) cho y² x 1 x (3) x + y + y = x + y + y = ⇔ x + x + = 13 (x + ) − x = 13 (4) y y2 y y u + v = u + u = 20 u = ∨ u = −5 ⇔ ⇔ Đặt u = x + 1/y v = x/y ta có u + v = u − v = 13 u + v = x = x + y = x = x = 3y ⇔ ⇔ ∨ Với u = v = 3: x y = 3y − 4y + = =3 y = y Với u = –5 v = 12: trường hợp không thỏa mãn điều kiện hệ phương trình có nghiệm u² ≥ 4v nên loại trường hợp Vậy hệ phương trình có nghiệm (3; 1) (1; 1/3) Bài Giải hệ phương trình sau x − − y = − x (x − 1) = y (1) (2) Đk: x ≥ y ≥ Thế (2) vào (1) ta được: x − − (x − 1) = − x ⇔ x − = − x + x − 2x + (4) Xét hàm số f(x) = –x³ + x² – 2x + với x ≥ Đạo hàm f’(x) = –3x² + 2x – = –x² + 2x(1 – x) – < với x ≥ Hàm số f(x) nghịch biến [1; +∞) Hàm số g(x) = x − đồng biến [1; +∞) Mà f(2) = g(2) = Nên x = nghiệm phương trình (4) Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1) * Nhận xét: thay việc sử dụng đạo hàm cách nhóm nhân liên hợp thích hợp Bài (A 2010) Giải hệ phương trình (4x + 1)x + (y − 3) − 2y = 2 4x + y + − 4x = (1) (2) Điều kiện: x ≤ 3/4; y ≤ 5/2 Phương trình (1) tương đương (4x² + 1).2x = (5 − 2y) − 2y + − 2y (3) Xét hàm số f(t) = t³ + t Đạo hàm f’(t) = 3t² + > với t Nên f(t) đồng biến R Phương trình (3) tương đương f (2x) = f ( − 2y) ⇔ x = − 2y hay x ≥ y = 5/2 – 2x² Thay vào (2) ta có: 4x² + (5 / − 2x ) + − 4x = (3) 5 2 Đạo hàm g’(x) = 8x − 8x( − 2x ) − < với < x < 3/4 − 4x Xét hàm số g(x) = 4x + ( − 2x ) + − 4x (0; 3/4) Nên g(x) nghịch biến (0; 3/4) g(0) ≠ 7; g(3/4) ≠ g(1/2) = Nên x = 1/2 nghiệm (3) Vậy hệ phương trình có nghiệm (1/2; 2) Bài tập tự luyện Giải hệ phương trình x − x y + x y = 1 x y − x + xy = −1 x + 2x y + x y = 2x + x + 2xy = 6x + 11x − y − y − x = 7 y − x + 6y − 26x = 3 (1− x )/x + xy + = y 2 2 (x y + 2x) − 2x y − 4x + = x − 3x = y3 − 3y − x−2 y −1 log y ( y − ) + log x ( x − ) = (x − 3) x + y = y + x x+y − x −1 = x − y x + 6y = y − x − 2y x + x − 2y = x + 3y − x − 12xy + 20y = ln(1 + x) − ln(1 + y) = x − y 2x y + y3 = 2x + x (x + 2) y + = (x + 1) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Dạng Hệ phương trình quy hệ bậc hai ẩn Bài tập: Giải hệ phương trình x − 2y + x + 2y = + = −1 x − 2y x + 2y 3(x + y) x − y = −7 5x − y = y − x x 3x − y +1 − y − −1 = x − + 3x − = y + y − x + + y = 2x − y = 2x + 2x − y − = 3 x + x + y − = x − + y − − = x − + y − = Dạng Hệ phương trình có phương trình bậc hai bậc cao phương trình bậc Bài tập: Giải hệ phương trình 2x − y − = 2 y − x + 2x + 2y = −4 x + 11 = 5y 2x + 3y = 12 1 x +1 + y = − −1 =0 (x + 1) y 2x − xy + 3y = 7x + 12y − x − y + = x + y + 6x + 2y = x + y + = x − y = 3 x − y = (2x + 3y − 2)(x − 5y − 3) = x − 3y = x + xy + x = 10 x − 2y + = (x − y)(x − y ) = 45 x + y = (x + y) + 4(x + y) − 117 = 10 x − y = 25 Dạng Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ phương trình đối xứng loại I hệ có phương trình khơng thay đổi hóa vị x y cho Cho nên phương pháp thường dùng biến đổi làm xuất tổng tích đặt ẩn phụ cần thiết Ngồi hệ có nghiệm (xo; yo) hệ có nghiệm (yo; xo) Bài tập: Giải hệ phương trình x + xy + y = x + xy + y = x + xy − y = 2 x + y + xy − 13 = x + xy + y = 2 x + x y + y = 21 1 x + y + x + y = x + y2 + + = x y2 x + y + z = xy + yz + zx − 12 = 2 2 + + =3 x y z 1 x + y + x + y = x + y2 + + = x y2 x + y + z = 10 xy + yz + zx = −4 3 x + y + z = x + y + z = 2 x + y + z = xyz = x + y + z = 11* xy + yz − zx = 2 x + y + z = 14 x + xy + y = 13 2 x y + xy = x + x + y + y = 18 14 xy(x + 1)(y + 1) = 72 x + y =1 15 2 x + y = 1 (x + y)( x + y ) = 16 (x + y )( + ) = 49 x y2 x + y + xy − 11 = 17 6 x + y + xy = 11 x + y5 = 18 9 4 x + y = x + y x y + y x = 30 19 x x + y y = 35 x y + = +1 x xy 20 y x xy + y xy = 78 21 x y2 = 18 + y x x + y = 12 x + y3 = xy(x + y) = −2 x + y = 17 12 2 x + y + xy − = x + + y + = x y + + y x + = Dạng Hệ phương trình đối xứng loại II Hệ phương trình đối xứng loại II hệ mà hoán đổi x y cho phương trình trở thành phương trình cịn lại ngược lại Cách giải thường dùng trừ hai phương trình cho nhằm làm xuất nhân tử (x – y) Bài tập: giải hệ phương trình x = 3x + 8y y = 3y + 8x y2 + 3y = x2 3x = x + y2 x = x + 2y + y = y + 2x + x − 3y = y − 3x = 4y x 4x y x + 4x = y + y3 + 4y = x + x − 2y − 5y − = 2 y − 2x − 5x − = 2x + y = x 2y + = x y 2x = y + y 2y = x + x y = x 10 x = y xy + x = − y 11 xy + y = − x x = 3x + 2y 12 y = 3y + 2x Dạng Hệ phương trình đẳng cấp 2x − 3x − y + = 2 2 2y − 3y − x + = a1x + b1xy + c1y = d1 Hệ gồm hai phương trình có dạng hệ phương trình đẳng cấp bậc a x + b xy + c y = d hai Cách giải thường nhân hai phương trình với số thích hợp khác khơng, sau cộng trừ hai phương trình để thu phương trình đẳng cấp Bài tập: giải hệ phương trình x − 3xy + y = −1 2 3x − xy + 3y = 13 x − 3xy + y = −1 2 2x + xy + 2y = x + 2x y + 3xy − 2y3 = 2 3y + x y − 2xy = 3x + 2xy + y = 11 2 x + 2xy + 3y = 17 x − xy + y3 = 3 2x − x y + y = x + y3 = 2 x y + 2xy + y = x − 2xy − 3y = x x + y y = −2 x − y3 = xy(x − y) = (x − y)(x + y ) = 13 2 (x + y)(x − y ) = 25 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐH CĐ Giải hệ phương trình x − y = x − y (B 2002) x + y = x + y + 1 x − x = y − y (A 2003) 2y = x + 23x − 5y + 4y = (D 2002) x + 2x +1 =y x +2 y2 + 3y = x2 (B 2003) 3x = x + y2 log1/4 (y − x) − log ( y ) = (A 2004) x + y = 25 (D 2005) x + y − xy = (A 2006) x + + y + = x + 2x y + x y = 2x + (B 2008) x + 2xy = 6x + x + y + xy = x − 2y (D 2008) x 2y − y x − = 2x − 2y x(x + y − 1) − = 11 (D 2009) (x + y) − + = x x − 4x + y + = 13 (D 2010) log (x − 2) − log y = 5x y − 4xy + 3y3 − 2(x + y) = 15 (A 2011) 2 xy(x + y ) + = (x + y) log (x + y ) = + log (xy) 10 (A 2009) x + y2 − xy = 81 3 x − + − y = 3log (9x ) − log y = log (3y − 1) = x x x + = 3y 12 (B 2010) (4x + 1)x + (y − 3) − 2y = 14 (A 2010) 2 3x + y + − 4x = xy + x − = 16 (D 2012) 2 2x − x y + x + y − 2xy − y = x − 3x − 9x + 22 = y3 + 3y − 9y 17 (AA1 2012) 2 x + y − x + y = x + + x − − y + = y 18 (AA1 2013) 2 x + 2x(y − 1) + y − 6y + = 2x + y − 3xy + 3x − 2y + = 19 (B 2013) 2 4x − y + x + = 2x + y + x + 4y CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC Giải hệ phương trình 2x − y − y − x = 1 3 2x − y + y − x = 10 2y(x − y ) − 3x = 2 x(x + y ) − 10y = 2x + 4xy + = −5 x + 2y x = −3 x + 2y x + y − = x + + y − = x − y + = 2y − y + + x − = (2x + y) + 6(2x − y) = 5(4x − y ) 2x + y + 2x − y = xy − 3x − 2y = 16 2 x + y − 2x − 4y = 33 x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18 x + x + y + − x + y + x + y + − y = y + xy = 6x 11 2 1 + x y = 5x x−y x + y +6 =5 x+y 12 x − y xy = 2x + y + − x + y − = 14 3x + 2y = 2(x + y) = 3( x y + xy ) 16 x + y = x + 2xy + 12y = 18 2 x + 8y = 12 x + y = 25 − 2xy y(x + y) = 10 19 3x − x − y + = 23 2 4x + 5x − 2y − = 22 24 x + 2x + − y = 26 2 x + y − x + 3y = 2x + y3 − 4x + = 27 2 x y − 2x + y = x + y + x − y = 12 21 y x − y = 12 x + + x + y = 29 x + (y − 4) + = x + y − 3x + 4y = 2 3x − 2y − 9x − 8y = x 2 x 3 ÷ + ÷ = 12 10 y y (xy) + xy = x + y + x + y = 20 13 2 x + y = 136 x + y + xy = 15 x + y = x + 3y x + x + y2 = 17 y − y − 3x = x + y2 x + xy + y = 19(x − y) 20 2 x − xy + y = 7(x − y) 20y = x+y+ x−y x 16x = x+y− x−y y x + 2−y = 2−x + y = x + xy − y + 3y + = 25 2 x + 2xy − 2y + 11x + 6y − = y3 + x = 64 − x 28 (x + 2)3 = y + x − + y − = x + y = 30 x + y + 2x + y + = 31 3x + 2y = 23 x + y = 33 x + + y + = 3 − (y + 1) = x − y 34 x + 8y = x − y − x + 3x = y3 − 3x − 32 x + xy + y = x + y + x − y = 35 (x + y)3 (x − y) =